olarak bulunur

1 2





    

   



ve





 



 

 ( 1 ) ( 0 ) ) 1 ( ) 0 (









olup, iki boyutlu istatistiğin asimptotik dağılımı

n  

iken

1 2 2

1 1

1 1

, ( , )

n n

n t t t t D

t t

e X e X N

n _ n _



 

 

   



 

 ⁰

Z ,

şeklinde elde edilir. Bulunan sonuçlar birleştirildiğinde ˆ_n(X X^ )^1X Y^ olmak üzere,

n  ^{ ˆ}

ⁿ

^{ } 

nın asimptotik dağılımı

n  

iken

 

^{1 1 2 2 1}

1 1

1 1

ˆ_n ˆ_n ⁿ _{t t} , ⁿ _{t t} ^D ( , )

t t

n e X e X N

n n



 

 

 

 

      



 

 ⁰

 

AR(2) modeli kesim noktası bulunmayan regresyon modeli gibi ele alınsın. e_t ~WN(0,²) beyaz gürültü serisinin varyansı



² nin EKK tahmin edicisi,

2 2 2 1

1

2

( ˆ

1

ˆ )

2

ˆ 1

_

 

 ^{ }

 

ⁿ _t

t

t t

n

X X X

n  



şeklindedir. Burada

X

_t yerine



₁

X

_t1

 

₂

X

_t2

 e

_t yazılırsa,

 

2 2

1 1 2 2

1

1 1 1 2 2 2 2

1

1 ˆ ˆ

ˆ ( )

2

1 ( ˆ ) ( ˆ )

2

n

n t t t

t n

t t t

t

X X X

n

e X X

n

  

   

 



 



  



    







eşitliği elde edilir. Bu ifade biraz daha düzenlenerek ˆ_n²

 

2 2

1 1 1 2 2 2

1

1 ˆ ˆ

ˆ ( ) ( )

2

n

n t t t

t

e X X

 n   _   _



    





2 2

2 1 1 2 2 2 2

1 2

1 1 1

ˆ ˆ

( ) ( )

1

2 2 2

n n n

t t t

t t t

e X X

n n n

   

 

  

 

  













1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2

1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

( ) ( ) ( )( )

2 2 2

n n n

t t t t t t

t t t

e X e X X X

n n n

       

   

  

   

  













şeklinde yazılabilir. Daha önce görüldüğü gibi,

(   ˆ

₁



₁

)  O

_P

(1/ n )

ve 2

ˆ

2

(    )  O

_P

(1/ n )

olup serinin durağanlığından

2 2

1 2 1 2

1 1 1

( ), ( ), ( )

n n n

t P t P t t P

t t t

X _ O n X _ O n X _ X _ O n

  

  

  

1 2

1 1

( ) , ( )

n n

t t P t t P

t t

e X _ O n e X _ O n

 

 

 

eşitlikleri yazılabilir. Zayıf büyük sayılar yasasına göre

n   iken,

2 1

2

2

1   

 

 n P t

e

t

n

elde edilir. Yani,

 nin EKK tahmin edicisi n   iken

²

2 2 2 2

1 1 2 2

1 1

1 ˆ ˆ 1 1

ˆ ( )

2 2

n n

P

t t t t P

t t

n

X X X e O

n n n

 

_



_



 

               

olduğundan



² için tutarlıdır.

Durağan AR(2) modeli e_t ~WN(0,²) olmak üzere,

n

t e X

X

X

_t

 

_{1 t1}

 

_{2 t2}



_t

,  1 , 2 , 3 ,...,

şeklinde verilmiş olsun. Bu model regresyon modeli gibi düşünüldüğünde

0

:

₂

0

 

H

hipotezinin

H

_a

: 

₂

 0

alternatif hipotezine karşı test edilmesi için

t   ˆ

₂

/ s (  ˆ

₂

)

test istatistiği kullanılır. İstatistiğin asimptotik dağılımı, regresyon modelinin varsayımları sağlanması halinde, serbestlik derecesi n2 olan

t 

dağılımıdır. Yani,

t

_n

  ˆ

₂

/ s (  ˆ

₂

) ~ t

_n2 dir.

Durağan AR(2) modelinde



₂ parametresinin en EKK tahmin edicisi asimptotik normaldir. O halde,

H

₀

: 

₂

 0

hipotezinin

H

_a

: 

₂

 0

alternatif hipotezine karşı test edilebilmesi için

t   ˆ

₂

/ s (  ˆ

₂

)

istatistiği kullanılabilir ve bu istatistiğin asimptotik dağılımı da serbestlik derecesi

2

n olan

t 

dağılımıdır,

t

_n

  ˆ

₂

/ s (  ˆ

₂

) ~ t

_n2.

Bu yorum daha yüksek dereceden durağan AR modelleri için de geçerlidir. e_t ~WN(0,



²) olmak üzere, AR(p) zaman serisi modeli

1 1 2 2 3 3

... , 1, 2,3,...,

t t t t p t p t

X   X

_

  X

_

  X

_

   X

_

 e t  n

şeklinde verilmiş olsun. H₀:



₃ 



₄ ...



_p 0 hipotezi red edilemez ise, seri AR(2) olarak modellenebilir.

H

₀ hipotezi altında indirgenmiş model

X

_t

 

₁

X

_t1

 

₂

X

_t2

 e

_t dir. Her iki model regresyon modeli gibi düşünüldüğünde, regresyon hata kareler toplamlarını SSE( full) ve

) (red

SSE ile gösterelim. İndirgenmemiş modelin hata kareler ortalamasına da MSE( full) diyelim. Buna göre,

[ ( ) ( ) ]

/ ( )

2

SSE red SSE full

F MSE full

p

 



istatistiğinin dağılımı p2 ve n p serbestlik dereceleri ile F dir (Fuller, 1996, s.413). Regresyon sonuçlarından hesaplanan F değeri, belirlenmiş bir anlam düzeyindeki tablo değeri ile karşılaştırılarak,

H

₀ hipotezi hakkında istatistiki sonuç çıkarım yapılır.

Örnek 3.4.6 Aşağıda bir zaman serisine ait 100 veri satırlar halinde verilmiştir. Verilere ilişkin zaman serisi grafiği ile otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının grafikleri de aşağıdadır.

Grafiklerinden, kısmi otokorelasyonların ikinci gecikmeden sonra sıfır (%95 lik güven sınırları içinde), otokorelasyonların ise hızla azaldığı görülmektedir. Buna göre seri AR(2) olarak modellenmelidir. Parametrelerin tahmin edicilerinin asimptotik dağılımları durağanlık varsayımına bağlıdır.

Bu nedenle herhangi bir sonuç çıkarım için serinin durağanlığı da sınanmalıdır. Durağanlık testleri ileriki bölümlerde inceleneceğinden şimdilik serinin durağan olduğunu varsayalım.

8.31 10.51 11.85 12.22 10.51 9.34 9.13 6.70 5.72 6.14 7.69 9.88 12.34 13.49 15.46 14.65 15.24 17.08 19.28 18.53 16.92 14.27 13.30 12.46 13.03 11.82 10.40 10.68 10.77 11.63 12.10 11.41 11.53 11.51 10.99 12.33 12.21 11.26 10.13 11.44 11.49 11.79 11.39 11.86 11.21 11.19 8.88 7.14 6.79 5.23

4.53 4.97 6.64 7.48 8.02 7.42 7.89 9.27 9.85 11.46 11.26 10.05 8.85 8.57 8.86 8.44 9.27 10.59 11.36 11.19 8.49 9.70 10.34 9.60 10.45 10.83 10.45 10.62 9.18 7.77 6.82 7.72 10.00 11.69 13.81 16.49 16.55 16.71 16.09 16.39 16.98 17.21 16.78 15.90 15.20 14.47 14.06 14.88 13.85 14.25

Seri ACF PACF

0 20 40 60 80 100

51015

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : x36

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.4-0.20.00.20.40.60.8

Series : x36

Verilerin aritmetik ortalaması

x

_n

 11.3048

olup

X

_t

 11.3048

nin

1

11.3048

X

t_



ve

X

_t2

 11.3048

üzerine regresyonundan kestirim denklemi ile parametrelere ait standart hataları (parantez içinde),

1 2

( ˆ 11.3048) 1.38( 11.3048) 0.47 ( 11.3048)

(0.088) (0.088)

t t t

X   X _   X _ 

olarak elde edilmiştir. Ayrıca, MSE1.03621 ve R²0.9030 olarak gözlenmiştir. Modele kesim noktası (intercept) eklenmesi halinde kestirim denklemi ve diğer sonuçlar

1 2

ˆ 1.064 1.38 0.47

(0.382) (0.088) (0.088)

t t t

X   X

_

 X

_

1.04698

MSE ve R² 0.9030 olarak elde edilmiştir. Her iki kestirim denkleminden de görüldüğü gibi, katsayılar birbirine çok yakındır.

Model parametrelerinin tahmin değerleri Yule-Walker denklemlerinden de bulunabilir. AR(2) modeli için Yule-Walker denklemleri

1 ) 0 ( 



ve h1 için

 ( h )  

₁

 ( h  1 )  

₂

 ( h  2 )

şeklindedir. Otokorelasyon fonsiyonunun simetriklik özelliği kullanıldığında 2

,

1

h için

) 1 ( )

0 ( )

1

( 

₁

 

₂



  

ve

 ( 2 )  

₁

 ( 1 )  

₂

 ( 0 )

eşitlikleri yazılır. Buradan,

 

 



 

 

 



 



 





) 2 (

) 1 ( 1

) 1 (

) 1 ( 1

2 1













denklem sistemi çözülerek, parametrelerin Yule-Walker tahmin edicilerinin

 

 



 



 



 

 

 





^

) 2 (

) 1 ( 1

) 1 (

) 1 (

1

¹

2 1













şeklinde olduğu görülür. Otokorelasyonların tahmin değerleri yerine yazıldığında



₁ ve



₂ parametrelerinin Yule-Walker tahmin değerleri,

1 1

2

ˆ 1 0.92469 0.92469 1.278

ˆ 0.92469 1 0.79971) 0.338





   



   

 

              

 

şeklinde hesaplanır. Parametre tahmin değerleri ile EKK tahmin değerleri arasında farklılıklar vardır.

Verilere AR(5) modelinin (Model I) uygun olabileceğini düşünülerek modelin AR(2) olup olamayacağını sınamak isteyelim. İki model

ModelI: (X_t ) ₁(X_t1 ) ₂(X_t2) ... ₅(X_t5) e_t Model II:

( X

_t

  )  

₁

( X

_t1

  )  

₂

( X

_t2

  )  e

_t

şeklinde yazıldığında Model I ve Model II olarak adlandırılan modellere ait regresyon sonuçları aşağıda verilmiştir.

0

:

H

Model AR(2) hipotezinin

H

_a

:

Model AR(5) alternatif hipotezine karşı testi için F istatistiğinin değeri kullanılabilir.

Model I

Parametre Tahmin Std. Hata

t 

ist. pdeğeri

intercept 1.0389 0.0437 2.523 0.0134



1 ^{1.3581 0.1047 12.963 0.0001}



2 ^{-0.3956 0.1784 -2.217 0.0292}



3 ^{-0.0576 0.1864 -0.309 0.7579}



4 ^{-0.0145 0.1810 -0.080 0.9360}



5 ^{0.01479 0.1048 0.141 0.8881}

95.71517

SSE , MSE1.07545,

R

²

 0.9065

F istatistiğinin hesaplanan (

F

_hesap) değeri,

[ ( ) ( ) ] 99.46334 95.71517

2 3

( ) 1.07545

1.24939 1.075545 1.16

hesap

SSE red SSE full F p

MSE full

 

  

 

dır. Bu değer tablo değeri ile karşılaştırıldığında (dağılımın serbestlik dereceleri n100 ve p5 olduğunda 3 ve 94 olması gerekir. Oysa, regresyon analizi yapılırken

X

_t1 gibi geçmiş değerler göz önüne alındığında serbestlik derecelerinde azalma olur)

1.16

0.05

(3, 89) 2.71

hesap

F   F 

olup

H

₀ yokluk hipotezi red edilemez. O halde, verilen zaman serisinin AR(2) olarak modellenmesi uygundur.

Şimdi,

( X

_t

  )  

₁

( X

_t1

  )  

₂

( X

_t2

  )  e

_t modelini göz önüne alalım ve

H

₀

: 

₂

 0

hipotezini

H

_a

: 

₂

 0

alternatif hipotezine karşı test etmek isteyelim.

Model II

Parametre Tahmin Std. Hata

t 

ist. pdeğeri

intercept 1.06488 0.3821 2.786 0.0064



1 ^{1.38063 0.08874 15.558 0.0001}



2 ^{-0.4738 0.08864 -5.345 0.0001}

99.46334

SSE , MSE1.04698,

R

²

 0.9030

Tek bir parametrenin sıfır olup olmadığı test edilmek istendiği için



t

testi kullanılabilir.

t 

istatistiğinin değeri (yukarıdaki tablodan

2 2

ˆ / ( )ˆ 5.345

hesap

t 



s



  ) mutlak değerce tablo değerinden büyük olduğundan H₀:₂  hipotezi red edilir (|0 t_hesap|t(0.0975,95) 1.96 ).

Başka bir ifade ile Model II red edilemez. Yani, veriler AR(2) modeline uygundur. Burada, dağılımın serbestlik derecesi 97 yerine 95 alınmıştır.

Bunun nedeni, regresyon analizi yapılırken

X

_t nin

X

_t1 ve

X

_t2 üzerine regresyonu yapıldığında, analizlerde 100 yerine 98 veri kullanılmıştır.

Aynı sonuç çıkarım yukarıdaki F testi yardımı ile de yapılabilir. Bunun için modeller,

Model I: (X_t  ) ₁(X_t1  ) ₂(X_t2  ) ... ₅(X_t5  ) e_t Model III:

( X

_t

  )  

₁

( X

_t1

  )  e

_t

şeklinde yazılır. Model I için regresyon sonuçları yukarıda verildi. Model III için regresyon sonuçları da aşağıdadır.

Model III

Parametre Tahmin Std. Hata

t 

ist. pdeğeri

intercept 0.8191 0.4289 1.909 0.0592



1 ^{0.9327 0.03658 25.493 0.0001}

133.2111

SSE , MSE1.3733,

R

²

 0.8701

Buradaki tablo değerleri kullanılarak, F istatistiğinin değeri

[ ( ) ( ) ] 133.21111 95.71517

2 4

( ) 1.07545

9.3739

8.716 1.07545

hesap

SSE red SSE full F p

MSE full

 

  

 

olarak hesaplanmıştır. F_hesap 8.716F^0.05(4,89) 2.71 olduğundan

0:

H Model AR(1) yokluk hipotezi H_a :Model AR(5) alternatifine karşı red edilir

Buraya kadar, verilen bir zaman serisinin modellenmesinde önemli olan otokorelasyonların sıfır olup olmadığının test edimesi ile AR serilerinde durağanlık varsayımı altında, model parametrelerinin anlamlı olup olmadığının sınanması üzerinde duruldu. Kısmi otokorelasyonlar da regresyon parametreleri ile ilişkili olduğundan kısmi otokorelasyonların testi regresyon parametrelerinin test edilmesi ile aynıdır. İkinci bölümde, kısmi otokorelasyonlar, otokorelasyonlar yardımı ile hesaplanmıştı. Serinin



(h) kısmi otokorelasyonları,

 

 

 

 





 

 

 

 





















1 )

1 ( . . . ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (

. .

. .

.

. .

. .

.

. .

. .

.

) 2 ( ) 3 ( )

1 ( 1

) 1 (

) 1 ( ) 2 ( . . . ) 2 ( )

1 ( 1

























h h

h

h h

h h

P

_h

ve

 

 

 

 





 

 

 

 

















) ( ) 1 ( .

. . ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (

. .

. .

.

. .

. .

.

. .

. .

.

) 2 ( ) 3 ( )

1 ( 1

) 1 (

) 1 ( ) 2 ( . . . ) 2 ( )

1 ( 1

*

h h

h h

h h

P

_h



























matrisleri kullanılarak h.nci kısmi otokorelasyon ( ) det(h  P_h^*) / det( )P_h dır. Kısmi otokorelasyon,

X

_t nin

X

_t1

, X

_t2

,..., X

_th üzerine regresyonu yapıldığında

X

_th nin katsayısıdır. Durağan AR serilerinde kısmi otokorelasyonlar serinin model derecesinin belirlenmesinde önemli bir araç olduğundan modelleme ilgili sonuç çıkarımların regresyon teknikleri ile yapılması yeterlidir.

3.5. Hareketli Ortalama (MA) Serilerinde Tahmin

Hareketli ortalama serilerinde parametre tahmini, AR serilerine göre daha karmaşıktır. AR modelleri regresyon modeline benzediği için tahmin yapmak kısmen kolaydır.

X

_t

    e

_t

 e

_t1

, t  1, 2,3,..., n

şeklinde verilen MA(1) zaman serisinin otokorelasyon fonksiyonu,

2

1 , 0

( ) /(1 ) , 1

0 , . .

h

h h

d d

  

 

     

 

şeklindedir. Otokorelasyonların nasıl tahmin edileceği bir önceki kısımda incelendi. Oradan elde edilen tahmin değerleri fonksiyonda yerine konularak,



nın tahmin değeri bulunabilir. Ancak, bu fonksiyonun bir otokorelasyon fonksiyonu olabilmesi için |



|0.5 olması gerekir. O zaman bulunan tahmin değerleri için bu koşul dikkate alınmalıdır. Otokorelasyon fonksiyonunun tahmin edicisi,

1 2

1

1 1

ˆ (1) ( ) ( ) ( )

n n

n t n t n t n

t t

X X X X X X







 

      

   





 





olup bu tahmin edici,

1

2 1

1 1

ˆ (1) ⁿ ( _{t n}) ⁿ ( _{t n})( _{t n}) (1) _P 1

t t

X X X X X X O

  n



  

     

         

 





 





şeklinde yazılabilir.



(1)



/(1



²) eşitliği,



(1)



² 

 

(1) 0 şeklinde ikinci dereceden denklemin çözümünden



nın tahmin edicisi,

  _ ^{  } _ ^

 2 ˆ ( 1 )

^

1 1 4 ˆ ( 1 )

ˆ

^{1 2}

2 ,

1

 



şeklinde bulunabilir. |



|0.5

koşulu dikkate alındığında tahmin edici (Fuller, 1996, s.422),

 

^{1 2}

1,2

ˆ ˆ ˆ

2 (1) 1 1 4 (1) , 0 | (1) | 0.5

ˆ 1 , ˆ(1) 0.5

1 , ˆ(1) 0.5

0 , d d. .

  

 



       

  

   

  



şeklinde olur.

Örnek 3.5.1

e

_t

~ WN ( 0 , 

²

)

olmak üzere, MA(2) zaman serisi modeli

X

_t

    e

_t



₁

e

_t1

 

₂

e

_t2

, t  1, 2,3,..., n

şeklinde verilsin.



parametresinin tahmini için örneklem ortalaması kullanılabilir. Durağan zaman serilerinde örneklem ortalamasının kitle ortalaması için tutarlı olduğu gösterilmişti. Basit aritmetik işlemlerden sonra örneklem ortalaması,

1 1 2 2

1 1

0 1 0 1

1 2 1 2

1

1 2 1 2

1

1 1

( )

1 (1 )

1 (1 ) (1 )

n n

n t t t t

t t

n n n n

t t

n

t n n n

t

X X e e e

n n

e e e e e e

n e n n

e R e R

n

  

    

     

 

 

 





    

   

     

         

 





şeklinde yazılabilir. Burada,

n

e e e e n

e

R_n e ⁿ   ⁿ  ⁿ

 





₁ ⁰



₂ ^{1 0 1} ve





 ⁿ

t t

n e

e n

1

1

dir. E R( _n) 0 ve sabit bir

c

sayısı için Var R( _n)c n/ ² dir. Buradan, (1/ )

n P

R O n elde edilir. e_t ~WN(0,²) olduğundan e_n O_P(1/ n) olup n  için

1 2

(1 ) ^P 0

n n n

X      e R

 

olasılıkta yakınsama elde edilir. Yani,

n  

iken

X

_n

 

^P



olup, örneklem ortalaması kitle ortalamasına olasılıkta yakınsar. Ayrıca,

 ^X

_n

 ^{n e}

_n

^{n R}

_n

n    ( 1  

₁

 

₂

) 

yazılabilir. Buradan,

) / 1

( n

O R

n

_n



_P ve

n  

iken

n e

_n

 

^D

N ( 0 , 

²

)

olduğundan Slutsky teoremine göre

n  

iken,

 X      N  0 , ( 1  

1

 

2

)

²



²



n

_n ^D

dağılımda yakınsama elde edilir. Bu asimptotik özelliğin geçerli olabilmesi için



₁

 

₂

  1

olmalıdır

Örnekteki sonuç yüksek dereceden MA modelleri için de geçerlidir.

MA(q) zaman serisi modeli

e

_t

~ WN ( 0 , 

²

)

ve



_q 0 olmak üzere,

1 1 2 2 ...

t t t t q t q

X   



e



e_ 



e_  



e_

şeklinde ise,

n  

iken

X

_n

 

^P



dir.



₁



₂ ...



_q 1 için





n

iken,



X_n

 

^D N



0, (1



1



2 ...



_q)²



²



n      

dağılımda yakınsama yazılabilir.

e

_t

~ WN ( 0 , 

²

)

ve



_q 0 olmak üzere MA(q) zaman serisi modeli,

1 1 2 2 ...

t t t t q t q

X   



e



e_ 



e_  



e_

şeklinde verilmiş olsun. Bu modele karşılık gelen karekteristik denklem











^q

i

i i q

q

m

m

1

 0

olup, modelin tersinir (denklemin bütün kökleri mutlak değerce 1 den küçük) olduğunu kabul edelim. Bu durumda model,

t

i i t i

t c X e

X 



^ 

 

1

şeklinde yazılabilir. Buradaki katsayılar,

c

₁

  

₁

, c

₂

  

₂

 

₁

c

₁ ve diğerleri ,

3 3 1 2 2 2

1 1 2 2 1 1

1

. .

... ,

, 1, 2,...

q q q q q

q

i m i m

m

c c c

c c c c

c c i q q

  

   



  





   

     

 



  

şeklindedir. Bunlardan belirli sayıdaki (ilk k tanesi) kullanılarak seri için t

k

i i t i

t c X e

X 





 

1

yaklaşımı ele alınabilir. Bu yaklaşıma göre MA(q) ile modellenmiş

X

_t serisi AR(k) gibi düşünerek,

c

_i

, i  1 , 2 ,..., k

katsayılarının tahmin değerleri hesaplanır. Elde edilen

cˆ

_i ler



 





^q

s

s s i

i

c

c

1

ˆ

ˆ 

eşitliklerinden

 ^ˆ

_s

tahminleri bulunur. Bu denklem sisteminin çözümü pratik değildir. Bu katsayılar için

 cˆ

_i lerin cˆ_i1,cˆ_i2,...,cˆ_iq, i1,2,...,q üzerine regresyonu kullanılarak tahmin değerleri hesaplanır. Burada,

q i

c c

c

cˆ_i  ₁ˆ_{i 1} ₂ˆ_{i 2} ... _qˆ_{i q}  _i , 1,2,...,





_



_



_



regresyon denklemi yardımı ile

 ^ˆ

_s tahmin değerleri hesaplanır.

Görüldüğü gibi, MA serilerinde tahmin edicilerin elde edilmesi karmaşıktır. Tahmin edicilerin bulunma yöntemleri ve asimptotik özellikleri (Fuller, 1996, s.421-442) de incelenmiştir. İstatistik paket programlar (SAS gibi) kullanılarak bu tahmin değerleri doğrudan hesaplanır. Örneğin, SAS da ARMA(2,3) modelinin parametreleri,

data a; input x; cards;

. veriler .

 



;

proc arima; i var=x; e p=2 q=3; run;

programı çalıştırılarak hesaplanabilir. Programda yer alan komutları ayrı ayrı açıklayalım. SAS da bir programı çalıştırmak için önce analizlerin yapılacağı verilere bir isim verilir. Programdaki, ”data a” komutu ile kullanacağımız veriler “a” olarak adlandırılmıştır. Daha sonra değişken ismi girilir. Burada

“input x” komutu ile değişken ismi “x” olarak seçilmiştir. Sonra “cards”

yazılarak programda verildiği gibi veriler girilir. Veriler girildikten sonra analiz kısmına geçilir, “proc arima” komutu zaman serilerinde standart analizlerin yapılabilmesi için kullanılan komuttur. “i var = x” komutunda analizlerin yapılacağı değişken belirlenir. Buradaki “i“ komutu “identify”

anlamındadır. Bu komutun yazılması ile, SAS’da otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının değerleri hesaplanarak grafikleri çizilir. Bu grafiklere bakarak sezgisel olarak modelin AR, MA veya ARMA türlerinden biri olacağına ve model derecelerinin neler olabileceğine karar verilir. Daha sonra “e p=2 q=3” komutu yazılarak verilerin ARMA(2,3) olarak modellenecegi belirtilir. Buradaki “e” komutu “estimate” anlamındadır ve çıktı olarak parametrelerin tahmin değerleri hesaplanır. Bu komut ile, bir sonraki bölümde göreceğimiz model belirleme kriterlerinden AIC ve SBC istatistiklerinin değerleri de hesaplanır.

Örnek 3.5.2 Rasgele üretilen 50 veri satırlar halinde aşağıdadır. Bu verilerin SAS da analizlerini yapıp çıktılarını inceleyelim.

17.4 16.3 15.0 13.8 13.5 14.4 14.4 13.7 11.6 10.6 11.8 12.7 11.9 10.8 11.4 13.6 18.1 20.7 22.4 25.1 27.7 29.5 30.0 27.9 26.7 23.8 21.0 18.8 18.7 17.2 14.9 13.1 11.7 10.1 9.9 9.9 9.0 9.1 8.3 7.3 5.9 5.6 7.6 8.7 11.1 10.9 11.5 12.5 13.5 15.3

Bu veriler için aşağıdaki programı çalıştıralım. Program çalıştırılırken, açıklama yapılmak isteniyorsa bu açıklamalar /*…*/; komutları arasına yazılır. Bu açıklamalar komut olarak dikkate alınmaz. Ayrıca, “input x @@”

komutunda kullanılan “@@” ile veriler satır halinde girilebilir.

data ornek; /* veriler ornek olarak tanımlandı*/;

input x@@; cards; /* cards komutu kullanıldıktan sonra veriler girilmelidir. Değişkenler üzerinde dönüşüm yapılmak isteniyorsa, “cards”

komutu kullanılmadan önce yapılmalıdır. */;

17.4 16.3 15.0 13.8 13.5 14.4 14.4 13.7 11.6 10.6 11.8 12.7 11.9 10.8 11.4 13.6 18.1 20.7 22.4 25.1 27.7 29.5 30.0 27.9 26.7 23.8 21.0 18.8 18.7 17.2 14.9 13.1 11.7 10.1 9.9 9.9 9.0 9.1 8.3 7.3 5.9 5.6 7.6 8.7 11.1 10.9 11.5 12.5 13.5 15.3

;

proc arima; i var=x;

e p=2 q=1; /* verilerin ARMA(2,1) olarak modellenmesi istenmektedir */; run;

Bu program çalıştırıldığında çıktılar aşağıdaki gibi olacaktır.

Tablo A) Verilerin aritmetik ortalaması ve örneklem varyansı bu tabloda verilmiştir. Buradaki örneklem ortalaması ile (14.928) Tablo (I) de verilen

“Estimated Mean” karıştırılmamalıdır.

Tablo B, C ve D sırası ile otokorelasyon, ters (inverse) otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının tahmin değerleri ile bunların grafiklerini içermektedir. Bu grafiklere bakılarak model türü ve dereceleri hakkında bir fikir sahibi olunur. Bu grafiklerde, otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlar için %95 lik güven bantları da verilmektedir.

Modelde hata terimlerinin beyaz gürültü serisine uygun olup olmadığını sınamak için önerilen ki-kare test istatistiklerinin değerleri Tablo E de verilmiştir.

Tablo F de koşullu en küçük kareler yöntemi ile elde edilen tahminler, bunların standart hataları ve

t 

istatistiklerinin değerleri ile model seçim kriterlerinden AIC ve SBC istatistiklerinin değerleri bulunmaktadır.

Tablo G ve H sırası ile tahmin edilen parametrelere ilişkin korelasyon matrisi ile modelden elde edilen artıklar serisinin beyaz gürültü serisi olup olmadığını sınamak için ki-kare istatistiğinin değerlerini içermektedir.

Veriler ARMA(2,1) olarak modellendiğinde, parametre tahminleri Tablo (I) da verilmiştir.

A) Name of variable = X.

Mean of working series = 14.928 Standard deviation = 6.214565 Number of observations = 50 B) Autocorrelations

Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std 0 38.620816 1.00000 | |******************** | 0 1 37.245424 0.96439 | . |******************* | 0.141421 2 34.091409 0.88272 | . |****************** | 0.239169 3 29.854105 0.77301 | . |*************** | 0.297270 4 25.009569 0.64757 | . |************* | 0.335069 5 19.582930 0.50706 | . |********** . | 0.359228 6 13.490306 0.34930 | . |******* . | 0.373268 7 7.216938 0.18687 | . |**** . | 0.379749 __________________________________________________________________________________

C) Inverse Autocorrelations

Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 -0.60986 | ************| . | 2 0.04692 | . |* . | 3 0.07352 | . |* . | 4 0.07227 | . |* . | 5 -0.17106 | . ***| . | 6 0.13725 | . |*** . | 7 -0.12713 | . ***| . | D) Partial Autocorrelations

Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 0.96439 | . |******************* | 2 -0.67644 | **************| . | 3 -0.04671 | . *| . | 4 -0.05975 | . *| . | 5 -0.26772 | .*****| . | 6 -0.26247 | .*****| . | 7 0.13015 | . |*** . |

_________________________________________________________________________________

E) Autocorrelation Check for White Noise

To Chi Autocorrelations Lag Square DF Prob

6 170.38 6 0.000 0.964 0.883 0.773 0.648 0.507 0.349

12 191.84 12 0.000 0.187 0.033 -0.098 -0.208 -0.302 -0.378

F) Conditional Least Squares Estimation

Approx.

Parameter Estimate Std Error T Ratio Lag MU 17.75313 0.88326 20.10 0 MA1,1 -0.04565 0.19878 -0.23 1 AR1,1 1.68099 0.13853 12.13 1 AR1,2 -0.73220 0.13729 -5.33 2 Constant Estimate = 0.90908173

Variance Estimate = 1.27057785 Std Error Estimate = 1.12719912 AIC = 157.698363*

SBC = 165.346455*

G) Correlations of the Estimates

Parameter MU MA1,1 AR1,1 AR1,2 MU 1.000 -0.004 0.004 0.015 MA1,1 -0.004 1.000 0.666 -0.655 AR1,1 0.004 0.666 1.000 -0.984 AR1,2 0.015 -0.655 -0.984 1.000 H) Autocorrelation Check of Residuals

To Chi Autocorrelations Lag Square DF Prob

6 6.24 3 0.101 -0.002 -0.045 -0.169 0.016 0.256 0.113 12 8.55 9 0.480 -0.032 -0.171 -0.028 0.050 -0.056 -0.018 18 10.20 15 0.807 -0.074 -0.028 -0.014 -0.034 -0.087 0.080 24 14.85 21 0.830 -0.162 -0.091 -0.060 0.074 0.063 -0.071 I) Model for variable X

Estimated Mean = 17.7531315 Autoregressive Factors

Factor 1: 1 - 1.681 B**(1) + 0.7322 B**(2) Moving Average Factors

Factor 1: 1 + 0.045647 B**(1)

Burada model,

1 2

2 1

1

( ) ( )

)

( X

_t

    X

_t

    X

_t

   e

_t

  e

_t olarak ele alındığından, parametre tahmin değerleri

753 . ˆ 17



,

 ˆ

₁

 1 . 681

,

 ˆ

₂

  0 . 7322

ve



ˆ 0.0456 olarak hesaplanmıştır

3.6. Mevsimsel Zaman Serilerinde Tahmin

Ekonomik bir çok zaman serisi mevsimsellik özelliği gösterir. Örneğin, yaz aylarında dondurma tüketiminin diğer mevsimlere göre fazla olacağını düşünmek doğaldır. Veriler bazen üçer aylık periyodlar halinde toplanır.

Örneğin, bir ülkedeki elektrik tüketimi verileri aylık veya mevsimsel olarak toplanabilir. Bazen de, mevsimsel olarak toplanmasa da gizli bir periyodiklik gözlenebilir. İktisadi olarak bu periyodikliğin belirlenmesi önemlidir.

İkinci bölümde, otoregresif mevsimsel zaman serilerine değinilmiş, mevsimsel serilerin genel özellikleri incelenmişti. e_t ~WN(0,²) olmak üzere, aylık (periyodu 12 olan) bir zaman serisi,

t

t

B B e

X B

B )( 1 ) ( 1 )( 1 )

1

(  

¹²

    

¹²

olarak verilmiş olsun.

W

_t

 ( 1  B )( 1  B

¹²

) X

_t denirse,

W

_t serisi için otokovaryanslar,

2 2 2

)( 1 ) 1

( ) 0

(  

    

,

 ( 1 )    ( 1  

²

) 

²,

 ( 11 )    

²

2 2

) 1 ( ) 12

(  

    

,

 ( 13 )    

²

ve diğer durumlarda



( ) 0j  dır (Wei, 2006 s. 168). Otokorelasyonlar ise,

) 1 ) ( 1

(

₂



 



 

,

( 13 )

) 1 )(

1 ) ( 11

(

_{2 2}





  









 

,

) 1 ) ( 13

(

₂







 



şeklindedir. Diğer otokorelasyonlar sıfırdır. Mevsimsel zaman serilerinde en önemli problemlerden biri uygun fark derecesinin belirlenmesidir. Fark derecelerinin belirlenmesi ise serinin içerdiği birim kök sayısı ile ilgilidir (beşinci bölümde incelenecektir). Bu kısımda verilen durağan mevsimsel bir zaman serisinin model parametrelerinin tahmini üzerinde durulacaktır.

) , 0 (

~ WN 

²

e

_t olmak üzere

SAR

₄

( 1 )

modeli,

n t

e X

X

_t

) (

_t

)

_t

, 1 , 2 , 3 ,..., (    

_4

   

şeklinde verilmiş olsun. Bu model,



₀

  ( 1   )

ve



₄

 

olmak üzere

t t

t

X e

X  

₀

 

_{4 4}



şeklinde yazılabilir. Yani, söz konusu mevsimsel zaman serisi modeli de regresyon modeline benzer. Parametre tahminleri, AR serilerinde olduğu gibi yapılır.

Örnek 3.6.1 Aşağıda 60 gözlemden oluşan bir zaman serisi satırlar halinde verilmiştir. Bu zaman serisine ait grafikler de aşağıdadır. Grafikler incelendiğinde, kısmi otokorelasyonlar dördüncü gecikmeden sonra sıfıra yakın değerler almaktadır. Otokorelasyonlar ise, her dört gecikmeden sonra üstel olarak azalmaktadır.

Zaman Serisi ACF PACF

0 10 20 30 40 50 60

789101112

Lag

ACF

0 5 10 15

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : y

Lag

Partial ACF

0 5 10 15

-0.20.00.20.40.6

Series : y

8.9 9.6 9.1 9.3 9.2 8.6 8.0 8.9 7.9 9.9 7.8 9.7 8.3 9.9 8.8 12.2 8.9 9.2 10.7 11.4 10.3 9.6 9.1 10.6 10.5 10.4 9.7 10.1 10.8 10.1 9.9 10.5 12.6 10.2 8.4 10.8 12.5 9.9 9.0 10.4 11.7 8.0 8.9 11.5 11.5 9.1 6.9 10.3 10.6 10.0 7.2 10.0 10.3 9.6 8.0 10.9 10.1 8.5 8.8 9.7

Buna göre serinin

60 ,..., 3 , 2 , 1 , ) (

)

( X

_t

    X

_t4

   e

_t

t 

olarak modellenmesi uygun görünmektedir. Zaman serilerinde durağanlık testleri henüz incelenmediği için, şimdilik serinin durağan olduğunu kabul edelim.

Otokorelasyonlarındaki hızlı azalma, sezgisel de olsa serinin durağanlığına işaret etmektedir. Model



₀

  ( 1   )

ve



₄

 

olmak üzere,

60 ,..., 3 , 2 , 1

4

,

4

0

  

 X

_

e t

X

_t

 

_{t t}

şeklinde yazıldığında parametre tahminleri için modeli,

5 1

6 2

56 60

1 1

. .

. ,

. .

.

1

X X

X X

X X

   

   

   

   

 

   

   

   

 

Y X ,

0

4





 

 

  

 

 



^ve

5 6

60

. . e e

e

 

 

 

 

 

 

 

 

e

olmak üzere, Y  X



e şeklinde yazalım. Buna göre,



nın en küçük kareler tahmin edicisi,

 ^ˆ

_n



(X X )^1X Y dir. Verilerden,

56 1

56 56

2

1 1

56 56 546.2

546.2 5413.94

t t

t t

t t

x

x x



 

 

   

 

     

 

 



 

X X ,

X Y ^{60 60} 4

 

5 1

, 546.4,5390.89

t t t

t t

X X X

_

 

   

         X Y

vektör ve matrisleri hesaplanmıştır. Buna göre EKK tahminleri de,

ˆ

_n

( X X )

1

X Y (2.82,0.71)

  

^

  

olarak bulunmuştur. Yani, kestirim denklemi,

X ˆ

_t

 2 . 82  0 . 71 X

_t4 şeklindedir. SAS PROC ARIMA ile hesaplanan tahminler (proc arima; i var=x; e p=(4);) EKK tahminlerine çok yakındır (

 ˆ

₀

 2 . 63

ve

 ˆ

₁

 0 . 72

olarak hesaplanmıştır). Verilere,

0 1 1 2 2 3 3 4 4

,

1, 2, 3,..., 60

t t t t t t

X     X

_

  X

_

  X

_

  X

_

 e t 

şeklinde bir modelin uygun olduğunu düşünelim.

H

₀

: 

₁

 

₂

 

₃

 0

hipotezini bunlardan en az biri sıfırdan farklıdır alternatif hipotezine karşı test

etmek isteyelim. Seri durağan olduğundan bu hipotezin testi için F test istatistiğinin değeri kullanılabilir. Bu model için SAS çıktıları aşağıda verilmiştir. Tablodan da görüldüğü gibi



₁

, 

₂ ve



₃ parametrelerine karşılık gelen pdeğerleri oldukça yüksektir. Yani, parametrelerin ayrı ayrı sıfır olduğu yokluk hipotezleri red edilemez. Bilinen parametre tahminlerine ilişkin test istatistiklerinin değerlerine bakarak verilerin

0 4 4

,

1, 2,3,..., 60

t t t

X     X

_

 e t



şeklinde bir modele uygun olduğu söylenebilir. Seri durağan ise, regresyon ile elde edilen tahmin değerleri ile PROC ARIMA da elde edilen tahmin değerleri birbirlerine yakındır. F istatistiğinin değeri de

0.256 0.84764

[ ( ) ( ) ] 43.99672 43.22942

2 3 0.30

( ) 0.84764

hesap

SSE red SSE full p

MSE full F

 

 

  

olarak hesaplanmıştır.

Model: X_t ₀₁X_t1₂X_t2₃X_t3₄X_t4e t_t, 1, 2, 3,..., 60

Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 4 44.52773 11.13193 13.133 0.0001 Error 51 43.22942 0.84764

C Total 55 87.75714

**********************************************************************************

Parameter Standard T for H0:

UVariable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |TU|

INTERCEP 1 3.140709 1.99901309 1.571 0.1223 X1 1 0.055543 0.10235326 0.543 0.5897 X2 1 -0.086977 0.10249045 -0.849 0.4001 X3 1 0.024026 0.10364239 0.232 0.8176 X4 1 0.685752 0.10286527 6.667 0.0001

Model: X_t ₀₄X_t4e t_t, 1, 2,3,..., 60 Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 1 43.76042 43.76042 53.710 0.0001 Error 54 43.99672 0.81475

C Total 55 87.75714

Parameter Standard T for H0:

UVariable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T ^U| INTERCEP 1 2.821324 0.95404601 2.957 0.0046 X4 1 0.711106 0.09703013 7.329 0.0001

 0.05 anlam düzeyinde F_hesap F^0.95(3,51) olduğundan

H

₀ yokluk hipotezi red edilemez. Yani, bu verilerin

60 ,..., 3 , 2 , 1

4

,

4

0

  

 X

_

e t

X

_t

 

_{t t}

şeklinde modellenmesi uygundur. Regresyon denklemi göz önüne alındığında parametre tahmin değerleri

 ˆ

₀

 2 . 82

ve

 ˆ

₁

 0 . 71

olup kestirim denklemi,

X ˆ

_t

 2.82 0.71  X

_t4 dir

3.7. Problemler

3.7.1

( X Y

_i

, ) ,

_i

  i 1, 2,3,...

beklenen değer vektörü



( ,

 

_{x y}) ve varyans kovaryans matrisi

xx xy

yx yy

 

 

 

   

 

 

olan bağımsız rasgele değişkenlerin dizisi olsun. W_n X_n/Y_n istatistiğinin asimptotik dağılımını bulunuz.

3.7.2 e_t ~WN(0,²) ve | | 1



 olmak üzere

X

_t

    e

_t

 e

_t1 şeklinde verilen MA(1) zaman serisi modelini göz önüne alalım. Aşağıda verilen reel sayı dizilerinin yakınsama hızlarını elde ediniz.

a) Var X( _n) b)

Var e ( )

_n c)

^Var  ^{n X (}

ⁿ

^{  )} 

3.7.3

e

_t

~ WN (0, 

²

)

ve | | 1



 olmak üzere

X

_t

    e

_t

 e

_t1 şeklinde verilen MA(1) zaman serisi modelini göz önüne alalım. Aşağıdaki rasgele değişken dizilerinin yakınsama hızlarını bulunuz.

a) X e_{n n} b)

( X

_n

  ) | e

_n

|

c)

X

_n² d)

 

²

1 n

i n

i

X X



 

^e)

^X

ⁿ² 3.7.4 AR(2) modeli

X

_t

 30 0.3  X

_t1

 0.4 X e 

_t şeklinde verilmiş olsun. Aşağıdaki ifadelerin yakınsama hızlarını elde ediniz.

a) Var X( _n) b) X_n c)

 

²

1 n

i n

i

X X



 

^{d) 2}

1 n

i i

e





e)

 

²

1 n

i n

i

e e



 

^{f) 1}

1 n

i i i

e e

_



 ^g)

^{( ) e}

^{n 1 h)}

^{( X}

ⁿ

⁾

^1

3.7.5

e

_t

~ WN (0, 

²

)

ve

X

₀

 0

olmak üzere, AR(1) zaman serisi modeli

X

_t

   X

_t1

 e t

_t

,  1, 2,3,..., n

şeklinde verilsin.



0 ve



0 durumları için aşağıdaki rasgele değişken dizilerinin yakınsama hızlarını bulunuz.

i) X_n ii) ²

1 n

i i

X



 ^{iii) 1}

1 n

i i

i

e X

_



 ^iv)

 

²

1 n

i n

i

X X



 

3.7.6 Teorem (3.2.2) de ispatı yapılmayan (b), (c) ve (e) ifadelerini ispat ediniz.

3.7.7

X

_t

  e

_t

 e

_t1

, t  1, 2,3,..., n

şeklinde verilen MA(1) modeli için

 ˆ (1)

_n tahmin edicisinin asimptotik dağılımını elde ediniz.

3.7.8 a b,  olmak üzere

X

_t

  a bt t ,  1, 2,3,..., n

olarak verilen

X

t zaman serisinin örneklem otokorelasyonları

 ˆ ( )

_n

h

olsun. Sabit her h için

n  

iken

 ˆ ( )

_n

h  1

olduğunu gösteriniz (Brockwell ve Davis, 1987).

3.7.9 AR(1) zaman serisi

( X

_t

  )   ( X

_t1

  )  e t

_t

,  1, 2,3,..., n

şeklinde verilsin.



nun EKK tahmin edicisini yazınız. Bu tahmin edici

 ˆ

_n olsun.



1 için

n  

iken

 ˆ

_n



^P

1

olduğunu gösteriniz.

3.7.10 Durağan AR(1) zaman serisi modeli,

( X

_t

  )   ( X

_t1

  )  e t

_t

,  1, 2,3,..., n

şeklinde verilsin.

w

_k

 2  k n /

olmak üzere Fourier katsayıları

 

1

1

ⁿ

cos( )

k i n k

i

a X X w t

n

_

  

^ve

 

1

1

ⁿ

sin( )

k i n k

i

b X X w t

n

_

  

olarak verilmiştir. ( ) ( ^{2 2})

n k 2 k k

I w n a b nin asimptotik dağılımını bulunuz.

ZAMAN SERİLERİNDE MODELLEME

Birinci bölümde zaman serileri ile ilgili temel kavramlar, ikinci bölümde bazı zaman serisi modellerinin özellikleri, üçüncü bölümde ise durağan zaman serisi modellerinde tahmin problemi ile tahmin edicilerin asimptotik özellikleri incelenmeye çalışıldı. Bu bölümde, zaman serisi verilerine uygun bir modelin nasıl oluşturulabileceği üzerinde durulacaktır.

Bilindiği gibi, zaman serilerinin modellenmesinde otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlar önemli araçlardır. Otokorelasyonlar belli bir gecikmeden sonra sıfır etrafında değerler alıyorsa böyle verilerin MA olarak modellenmesi uygundur. Kısmi otokorelasyonlar belli bir gecikmeden sonra sıfır oluyorsa böyle veriler de AR olarak modellenebilir. Otokorelasyonlar belli bir periyodiklik izliyorsa, bu tür verilere de mevsimsel zaman serisi modeli önerilebilir. Herhangi bir zaman serisinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonları bu yapıların dışında ise ARMA modelleri uygun olabilir.

Önerilebilecek bu modellerin gecikme derecelerinin tespiti önemlidir.

Zaman serisi analizleri yapılırken model derecelerinin belirlenmesi en önemli sorundur. İstatistiki sonuç çıkarımlar otokorelasyonların yapılarına bağlıdır. Durağanlık varsayımı altında otokorelasyonların tahmin edicilerinin asimptotik dağılımları üçüncü bölümde incelendi. Dağılım özellikleri kullanılarak model dereceleri hakkında istatistiki sonuç çıkarımlar da yapılabilir. Model derecelerinin tespiti problemi durağan olmayan seriler için de geçerlidir. Bir sonraki bölümde görüleceği gibi, durağanlık testleri için de model dereceleri önemlidir. Bunun için literatürde yer alan AIC ve SBC gibi bazı model belirleme kriterleri de bu bölümde incelenecektir.

Önceki bölümlerde, otoregresif serilerde parametrelerin tahmini için regresyon teknikleri kullanıldı. Halbuki, regresyondaki temel varsayımlardan biri hata terimlerinin bağımsız olmasıdır. Oysa, ARMA modellerinde olduğu

BÖLÜM 4

gibi hata terimleri otokorelasyonludur. Otokorelasyonlu hata terimleri ile regresyon parametrelerinin tahminine de bu bölümde yer verilecektir.

4.1. Bazı Örnekler

Bu kısımda, bazen rasgele üretilen bazen de gerçek veriler kullanılarak uygun modellerin belirlenmesine çalışılacaktır. Seçilen modele göre, model parametreleri değişik yöntemlerle tahmin edilecektir. Modelleme aşamasında otokorelasyonların yapısı ile beraber serinin durağanlığı da önemlidir. Bu bölümde, serilerin durağanlığının sınanması üzerinde durulmayacaktır.

Örnek 4.1.1 (MA serileri) Aşağıda satırlar halinde verilen seriyi ele alalım. Veriler S-Plus paket programında rasgele üretilmiştir. Verilerin zaman serisi grafiği ile otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonların grafikleri de aşağıdadır. Grafikler incelendiğinde, otokorelasyonlar birinci gecikmeden sonra sıfırdır (%95 lik güven sınırları içinde). Buna göre, serisin MA(1) olarak modellenmesi uygun görünmektedir.

Veriler:

12.7 7.2 9.4 10.1 10.9 8.2 7.4 12.2 10.7 7.7 8.8 8.9 8.5 9.3 9.5 10.1 12.2 10.5 10.9 7.8 8.7 10.3 8.6 11.3 7.6 10.9 12.7 13.1 6.8 7.5 8.8 12.2 11.6 5.9 9.5 8.4 10.5 5.9 14.0 6.0 10.6 8.9 10.3 14.8 9.6 10.4 11.7 9.2 9.0 10.1 7.6 8.9 13.7 8.7 9.8 12.2 10.6 10.3 6.2 9.1 10.3 10.0 9.4 11.5 9.9 9.4 9.6 11.4 8.5 9.4 14.4 11.7 6.2 12.0 14.3 8.2 13.2 10.0 7.5 10.4 10.0 10.7 11.9 9.9 8.8 14.4 7.1 12.9 9.5 12.2 10.2 14.2 7.8 8.7 11.6 10.8 10.4 9.9 7.7 11.7 Grafikler:

Seri ACF PACF

0 20 40 60 80 100

68101214

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : ma

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.2-0.10.00.10.2

Series : ma

Birinci gecikmeden sonraki otokorelasyonların sıfır olup olmadığı üçüncü bölümdeki yöntemler ile test edilebilir. Otokorelasyon fonksiyonun değerlerinden ilk 10 tanesi hesaplanmış, ˆ (9) 0.154  olarak gözlenmiştir.

Bu değer ihmal edilebilirse veriler MA(1) olarak modellenecektir. Diğer otokorelasyonların neredeyse tamamı %95 lik güven sınırının içindedir.

İlk 10 tane otokorelasyon dikkate alındığından, e_t ~WN(0,²) olmak üzere bu verilere uygun modelin MA(10) olduğunu düşünelim ve modeli,



 







¹⁰

1 i i t i t

t

e e

X  

şeklinde yazalım.

ACF ve PACF fonksiyonlarının hesaplanan değerleri:

h ^{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}

ˆ ( )h

 1.000 -0.226 -0.089 0.015 0.072 -0.038 0.062 -0.097 -0.001 0.154 -0.096

ˆ( )h

 ^-0.226 -0.148 -0.045 0.056 -0.007 0.073 -0.075 -0.038 0.138 -0.041 0: (1) 0

H   yokluk hipotezi H_a: (1) 0  alternatif hipotezine karşı test edilmek istensin. Box-Pierce istatistiğinin değeri Q_n nˆ (1) 5.1076²  olup bu değer serbestlik derecesi 1 olan ki-kare tablo değerinden büyük (₁²(0.05) 3.841 ) olduğundan H₀: (1) 0  hipotezi



0.05 anlam düzeyinde red edilir. Böylece,  0.05 anlam düzeyinde birinci otokorelasyon sıfırdan farklıdır.

Şimdi diğer otokorelasyonların sıfır olup olmadığına bakalım. İlk 10 otokorelasyon için H₀: (2) (3) ... (10) 0 hipotezini “en az bir tanesi sıfırdan farklıdır” alternatif hipotezine karşı test edelim. Bunun için, Box-Pierce istatistiğinin değeri  0.05 anlam düzeyindeki ki-kare dağılımının tablo değeri ile karşılaştırılır. Q hesap_n( ) 6.1461 olup hesaplanmış olup,













¹⁰

2

92

2

( ) 6 . 1461 ( 0 . 05 ) 16 . 919 ) ˆ

(

i

n

hesap n i

Q  

olduğundan

H

₀ red edilemez.

Model for variable X

Estimated Mean =10.0189996 Moving Average Factors Factor 1:1-0.28739 B**(1)

Buna göre, verilerin MA(1) şeklinde modellenmesi uygundur. Veriler



serinin beklenen değerini göstermek üzere,

X

_t

   e

_t

  e

_t1 olarak modellendiğinde,



ve



parametrelerinin tahminler (SAS PROC ARIMA) ˆ  0.28739 ve ˆ 10.018996  olarak gözlenmiştir. Program çıktıları yukarıdadır

Örnek 4.1.2 a) (AR serileri) Rasgele üretilen 100 veri ile bu verilere ait grafikler aşağıdadır. Otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlardan ilk 10 tanesi de hesaplanarak aşağıda verilmiştir. Grafiklerden, otokorelasyonların azaldığı, ikinci gecikmeden sonraki kısmi otokorelasyonların %95 lik güven sınırlarının içinde olduğu gözlenmektedir. Buna göre, verilerin AR(2) olarak modellenmesi uygun görünmektedir. Bu durumda verilere,

t t

t

t

X X e

X  )  (

_

 )  (

_

 ) 

(  

_{1 1}

 

_{2 2}



şeklinde bir model önerilebilir. Bu modele göre parametre tahminleri (SAS, PROC ARIMA) yapılmış, çıktıları da aşağıda verilmiştir.

Veriler

13.8 12.9 11.4 10.1 9.7 8.6 7.0 5.9 4.2 4.8 4.9 5.9 6.8 7.6 8.8 12.2 14.4 14.9 16.8 17.5 19.0 19.9 18.7 17.3 16.8 17.2 17.7 17.5 17.6 17.4 17.3 17.6 19.5 20.6 19.4 19.0 19.1 18.6 18.5 18.0 17.3 15.0 13.4 13.9 14.4 15.5 13.7 11.9 10.4 10.4 10.4 10.3 10.2 11.5 12.2 11.5 12.2 11.5 11.7 10.9 9.9 7.8 8.1 9.0 11.5 11.3 11.6 13.2 13.7 13.7 13.7 12.9 12.8 13.1 12.2 12.3 12.8 12.7 12.7 11.1 11.8 9.5 7.1 5.4 4.3 3.3 1.2 0.0 0.1 0.2 1.5 1.3 4.0 6.7 7.1 8.7 10.6 12.7 13.8 14.1 Grafikler:

Seri ACF PACF

0 20 40 60 80 100

05101520

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : ar2

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.50.00.51.0

Series : ar2

Model for variable X

Estimated Mean =13.9470781 Autoregressive Factors

Factor 1: 1 – 1.5158 B**(1)+0.55389 B**(2)

Parametre tahminleri ˆ 13.95  , ˆ₁ 1.5158 ve

 ˆ

₂

  0.55389

şeklinde olup kestirim denklemi

1 2

(Xˆ_t 13.95) 1.5158( X_t 13.95) 0.55389( X_t 13.95) dir.

ACF ve PACF fonksiyonlarının hesaplanan değerleri:

h ^{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}

ˆ( )h

 1.000 0.969 0.907 0.828 0.738 0.637 0.528 0.419 0.319 0.233 0.162

ˆ( )h

 0.969 -0.507 -0.109 -0.086 -0.163 -0.106 0.076 0.116 0.074 0.008

Veriler AR(2) olarak modellendiğinde e_t ~WN(0,²) olduğu varsayıldı. Verilerin gerçekten AR(2) olarak modellenebilmesi için hata terimlerinin beyaz gürültü serisi olduğunun incelenmesi gerekir. Bu AR(2) modeli regresyon modeli gibi düşünülerek, artıklar serisinin beyaz gürültü serisi olup olmadığına bakılması gerekir. Regresyon modeli

0 1 1 2 2

, 1, 2,3,...,

t t t t

X     X

_

  X

_

 e t  n

şeklinde yazılarak artıklar serisi elde edilir. Artıklar beyaz gürültü serisi ise, 0

h için ( ) 0 h  olmalıdır. O halde, artıklara ait otokorelasyonlar için

0: (1) (2) ... (10) 0

H      hipotezinin belirlenen bir anlam düzeyinde test edilmesi gerekir. Artıklar serisinin grafiği ile otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının hesaplanan değerleri aşağıdadır. Bu hipotez testi için üçüncü bölümde asimptotik dağılımı verilen

Q

_n^r istatistiğini kullanalım. Veriler başlangıçta AR(2) olarak modellendiği için m2 ve

1 2 2

1

( 2) ( ) ˆ ( ) ~

n r k

i k m

Q n n n i ^ i _



 



 ^{ }

olup Q_n^r istatistiğinin değeri Q hesap_n^r( ) olmak üzere, Q hesap_n^r( )₈²(0.05) ise H0 red edilir. İlk 10 otokorelasyon için Q hesap_n^r( )7.40225olup,

2

( ) 7.40225 15.507 8(0.05)

n

Q hesapr    olduğundan

0 ) 10 ( ...

) 2 ( ) 1 (

0

:       

H

hipotezi %5 anlam düzeyinde red edilemez. Sonuçta verilerin AR(2) olarak modellenmesi uygundur.

Artıklar Serisi ACF PACF

0 20 40 60 80 100

-2-1012

Lag

ACF

0 5 10 15

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : r1

Lag

Partial ACF

0 5 10 15

-0.2-0.10.00.10.2

Series : r1

Artıklar Serisine ait ACF ve PACF fonksiyonlarının değerleri:

h ^{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}

) ˆ h (



1.0 -0.067 0.000 0.026 0.075 0.196 -0.03 -0.028 -0.016 -0.098 -0.087

ˆ( )h



-0.067 -0.004 0.026 0.078 0.209 0.002 -0.035 -0.042 -0.143 -0.156

Başlangıçta, e_t ~WN(0,²) olmak üzere verilere

1

( _t ) ^p ( _{t i} ) _t

i

X  X _  e



    

şeklinde AR(p) model de önerilebilirdi. Modelin durağanlığı varsayımı altında serinin gerçekten AR(2) olduğunu söyleyebilmek için

0

:

3 4

...

_p

0

H       

yokluk hipotezinin belli bir anlam düzeyinde test edilmesi gerekir. Bunun için de üçüncü bölümde bahsedilen F testi kullanılabilir.

Veriler AR(2) olarak modellenip, ilk 50 öngörü değeri zaman serisine eklenerek grafiği aşağıda verilmiştir. Yukarıdaki ilk 100 veri ve devamına eklenen 50 öngörü incelendiğinde, öngörülerin hızla serinin ortalamasına (13.95) yaklaştığı gözlenmektedir.

İlk 100 veri ile 50 öngörü

0 50 100 150

05101520

b) Türkiye’nin Ocak 1995-Aralık 2005 dönemi aylık dış borç stokları aşağıdadır.

X

_t

 log(stok / 1000000 )

dönüşümü altında otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonların hesaplanan değerleri ile zaman serisi grafikleri aşağıda verilmiştir.

Veriler: x*1000000 ABD Doları

Yıl/Ay Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haz. Tem. Agus. Eylül Ekim Kasım Ara.

1995 33570 34101 35373 36599 36009 35383 35659 33912 33914 34037 33423 33655 1996 32766 33643 33419 33423 33426 33583 33748 33711 33387 32843 32633 32279 1997 31216 31267 30913 30052 31351 31545 30547 30504 31150 32425 31611 31432 1998 31716 32394 31789 32447 32490 31853 31626 31104 32282 32663 31952 32302 1999 31906 31905 32039 32209 31956 31356 32062 32391 32397 33092 33415 34549 2000 35760 35220 35609 35213 35619 37475 38365 38141 38421 37784 38524 40490 2001 40482 40574 39642 39288 38623 37170 38694 39684 39959 39693 39086 38724 2002 38978 47934 48427 50399 51328 52158 53090 54970 54721 54843 55763 56799 2003 58644 57955 57158 58158 60257 60056 59399 59016 61360 61811 61658 63408 2005 64682 64216 62518 62316 62976 63486 63085 63879 64903 66664 67829 68541 2005 68323 69262 68604 67436 65930 66232 66783 65517 64518 64095 62524 64445

Dış Borç Serisi için ACF ve PACF fonksiyonlarının değerleri:

h ^{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}

ˆ ( )h

 1.000 0.985 0.971 0.956 0.941 0.925 0.907 0.888 0.868 0.846 0.824

ˆ( )h

 ^{0.985 0.013 -0.021 -0.005 -0.049 -0.089 -0.027 -0.068 -0.046 -0.023} Grafiklerden, otokorelasyonların yavaş bir şekilde azaldığı, kısmi otokorelasyonların da birinci gecikmeden sonra sıfır etrafında değerler aldığı gözlenmektedir. Bulgular durağan olmayan AR(1) modelinin özelliklerine benzemektedir (serilerin durağanlığı beşinci bölümde incelenecektir).

Grafikler(Dış Borç serisi: Ocak 1995- Aralık 2005)

Seri PACF ACF

0 20 40 60 80 100 120

10.410.610.811.0

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : dborc

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : dborc

Elde edilen bulgulardan verilere

t t

t

X e

X  )  (

_

 ) 

(  

₁



şeklinde bir modelin uygun olduğu söylenebilir. AR(1) modeli



1 için durağan değildir.



₀

  ( 1   )

ve



₁

 

alınarak AR(1) modeli,

t t

t

X e

X  

₀

 

_{1 1}



şeklinde yazılabilir. Parametre tahminleri (PROC

ARIMA) ˆ 10.4940946 ve ˆ₁ olarak hesaplanmıştır. Model 1 regresyon modeli gibi düşünüldüğünde parametre tahminleri (PROG REG) aşağıdaki gibidir.

Parameter Estimates

Parameter Standard T for H0:

Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T|

INTERCEP 1 -0.015977 0.08657657 -0.185 0.8539 Y1 1 1.001969 0.00813257 123.205 0.0001

Her iki durumda da



₁ in tahmin değeri 1 dir. Böylece, verilerin sezgisel de olsa durağan olmadığı söylenebilir. Model durağan olmadığından parametreler hakkında istatistiki sonuç çıkarımlar anlamlı olmaz.

Artıklar Serisi ACF PACF

0 20 40 60 80 100 120

-0.050.00.050.100.150.20

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : r

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.10.00.1

Series : r

Veriler her nekadar AR(1) modelinin özelliklerine sahip olsa da, hata terimlerinin otokorelasyonlu olup olmadığına, yani serinin MA bileşeni içerip içermediğine bakılmalıdır. Verilere X_t ₀ ₁X_t1 şeklinde e_t regresyon modelinin uygun olduğu düşünülerek artıklar serisi için otokorelasyonlar hesaplanmış,

Q

_n^r istatistiğinin değeri ki-kare tablo değeri ile karşılaştırılarak artıklar beyaz gürültü serisi olduğu gözlenmiştir.

Artıkların grafiklerinden, otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonların tamamı

%95 lik güven sınırları içindedir. Artıklar serisinin zaman serisi grafiğindeki 2002 Ocak-Şubat dönemindeki sıçrama dikkat çekicidir.

X

t



_{ACF PACF}

0 20 40 60 80 100 120

-0.050.00.050.100.150.20

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : dy

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.10.00.1

Series : dy

Önerilen modelin sezgisel olarak durağan olmadığını söylemiştik.

Birinci derece fark serisine ait grafikler de yukarıdadır. Bu grafikler ile artıklar serisinin grafikleri karşılaştırıldığında, grafiklerin neredeyse bire bir örtüştüğü gözlenmektedir. Bunun sebebi, AR(1) modelinin parametre tahmin

değerinin 1 olmasıdır. Bu durumda model

( X

_t

  )   ( X

_t1

  )  e

_t olarak yazıldığında,



1 için



modelden düşer. Sonuç olarak, Türkiye’nin dış borç stoklarına

X

_t

 X

_t1

 e

_t veya

 X

_t

 e

_t şeklinde bir model uygun görünmektedir. Bu AR(1) modeli durağan olmadığına göre, birinci derece farkların durağan olması beklenir. İstatistiki sonuç çıkarımlarda

X

_t yerine

 X

_t verileri kullanılmalıdır

Örnek 4.1.3 a) (Mevsimsel seri) Mevsimsel zaman serisi modellerinin otokovaryans fonksiyonunun periyodik dalgalanmalar gösterdiğini, kısmi otokorelasyonların da AR serilerinde olduğu gibi belli bir gecikmeden sonra sıfır olduğunu biliyoruz. Aşağıda, satırlar halinde verilen ve her 3 ayda bir gözlenen 25 yıllık veri ve ilgili zaman serisi grafikleri bulunmaktadır.

Veriler

8.8 9.5 9.0 9.3 9.1 8.5 7.9 8.9 7.8 9.8

7.8 9.6 8.2 9.8 8.7 12.1 8.8 9.1 10.7 11.4 10.3 9.5 9.1 10.6 10.5 10.3 9.6 10.1 10.8 10.0 9.8 10.5 12.5 10.2 8.3 10.8 12.5 9.8 8.9 10.4 11.7 7.9 8.9 11.5 11.5 9.1 6.8 10.3 10.5 10.0 7.2 10.0 10.2 9.6 7.9 10.9 10.1 8.5 8.8 9.6 9.3 7.0 10.1 10.2 11.1 6.0 10.3 11.4 10.5 6.5 10.2 10.3 10.6 7.5 9.0 10.7 10.8 7.6 9.0 8.9 12.0 5.2 7.9 8.3 11.0 5.3 6.4 8.0 10.9 5.8 7.7 7.0 12.9 7.6 6.6 8.7 13.1 8.9 7.2 8.6

Grafikler

Seri ACF PACF

0 20 40 60 80 100

681012

Lag

ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.81.0

Series : sar1

Lag

Partial ACF

0 5 10 15 20

-0.20.00.20.40.60.8

Series : sar1

ACF ve PACF fonksiyonlarının hesaplanan değerleri:

h ^{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}

) ˆ h (



^{1.0 0.002 0.199 -0.049 0.780 0.062 -0.189 -0.094 0.580 0.056 -0.211} ˆ( )h



0.002 -0.199 0.051 0.773 0.067 -0.010 -0.031 -0.066 -0.118 -0.124

Belgede TEMEL KAVRAMLAR (sayfa 166-200)