A possibilidade de conferir à aproximação o comportamento de uma função sin- gular abre caminho para estudos no campo da Mecânica da Fratura Elástica.
Recentemente, o grupo de Belytshcko, desenvolvedor do MGLE, re-direcionou os estudos para o enriquecimento da PU, obtida pelo MEF, com funções que simu- lam o campo de tensões ao redor da trinca. Em BELYTSCHKO; BLACK (1999) e MOËS; DOLBOW; BELYTSCHKO (1999) denomina-se essa estratégia de Método dos Elementos Finitos Extendido, MEFX (Extended Finite Element Method - XFEM). Tal abordagem é, contudo, equivalente à proposta em MELENK; BABUŠKA (1996) e ODEN; DUARTE; ZIENKIEWICZ (1998) e que, mais tarde, originou o MEFG. Como contribuição, podem ser destacadas as estratégias criadas para se considerar a propagação da trinca, DOLBOW (1999), MOËS; DOLBOW; BELYTSCHKO (1999) e STOLARSKA (2001).
Em STROUBOULIS; BABUŠKA; COPPS (2000), por sua vez, referencia-se di- retamente o MEFG, e uma abordagem bastante genérica é apresentada para introdução de vazios e descontinuidades no meio, sem que a malha de elementos seja alterada. Já em DUARTE (2001), o MEFG é empregado para simular a propagação dinâmica de trinca em um meio sob representação tri-dimensional. Funções especiais, a exemplo do que foi utilizado na seção 3.2.4, são adotadas para aproximar o campo de tensões ao redor da trinca. Para que a propagação da fratura possa ser simulada sem alterações na malha de elementos, funções de Shepard são combinadas com as funções Lagrangianas
na construção da PU.
Estratégias para a aplicação do MEFG em problemas da Mecânica da Fratura Elástica já se encontram, portanto, em franco desenvolvimento. Um caminho ainda não explorado corresponde ao estudo da propagação de fratura em meios com dano. Nesse contexto, ocorre um abatimento da concentração de tensões na extremidade da trinca devido à formação de uma zona de processo. Outro ponto de interesse consiste na simulação da transição entre a formação e distribuição de micro-fissuras e o surgi- mento da trinca macroscópica. Através do MEFG, torna-se bastante simples modificar a descrição da solução durante a análise, pois o enriquecimento não introduz nenhum nó adicional. Dessa forma, a análise pode ser realizada com o enriquecimento poli- nomial para a fase em que o dano é o processo dominante e, no instante de transição para a fratura, novas funções podem ser introduzidas. A ferramenta numérica talhada para esse tipo de aplicação existe, portanto. Resta, contudo, que seja adaptada para tal. Neste trabalho, procura-se estabelecer as bases para tal desenvolvimento. An- tes, porém, é necessário que alguns conceitos da Mecânica do Dano Contínuo sejam introduzidos.
Capítulo 4
Modelo Constitutivo
A teoria do dano tem como domínio de estudo os fenômenos de deterioração incidentes sobre o material, compreendidos entre o que seria um estado virgem, sem a presença de imperfeições, e a formação das primeiras trincas macroscópicas. Tais fenômenos abrangem o processo de ”nucleação” e crescimento de cavidades e de trin- cas microscópicas, distribuídas ao longo do volume e da superfície do material. A Mecânica do Dano Contínuo procura descrever o processo de danificação do material real a partir do comportamento mecânico macroscópico de um meio equivalente con- siderado contínuo. Para isso, introduzem-se variáveis para quantificar a deterioração desse meio e que penalizam suas propriedades elásticas. Detalhes sobre a Mecânica do Dano Contínuo, fundamentada hoje na termodinâmica dos processos irreversíveis, podem ser encontrados em KRAJCINOVIC; LEMAITRE (1987), LEMAITRE; CHA- BOCHE (1990) e LEMAITRE (1992).
Existem atualmente, dentro da Mecânica do Dano Contínuo, diversos modelos matemáticos que se aplicam à simulação do comportamento físico não-linear de es- truturas em concreto. Nas próximas seções, após discorrer sobre alguns conceitos fundamentais, são apresentados dois desses modelos constitutivos conhecidos como Modelo de Mazars e Modelo de La Borderie 1. Tais modelos foram utilizados neste trabalho devido à sua simplicidade e aplicabilidade aos tipos de problemas estudados. Para o caso particular das análises realizadas relativamente a estados planos de tensão e de deformação, apenas o Modelo de Mazars, em sua formulação não-local, foi em- pregado. Alguns detalhes de tal formulação, bem como a razão para seu emprego são abordados ao final deste capítulo.
1Ambos os modelos são conhecidos pelo nome dos pesquisadores que os propuseram, MAZARS
4.1
Conceitos da Mecânica do Dano Contínuo
Não é o objetivo deste trabalho aprofundar-se nos fundamentos da Mecânica do Dano Contínuo, mas alguns de seus conceitos merecem ser registrados para uma me- lhor compreensão dos modelos constitutivos adotados para as análises numéricas. São eles:
• elemento de volume representativo; • tensão efetiva;
• princípio da deformação equivalente.
O elemento de volume representativo é definido como uma região do material grande o suficiente para representar a média dos micro-processos presentes e não tão pequena para que, assim, as equações da Mecânica do Contínuo mantenham seu signi- ficado, LEMAITRE (1992), Figura 4.1.
Figura 4.1:Elemento de volume representativo
Tomando-se um ponto no interior do volume representativo, o estado de deterio- ração, segundo uma dada direção definida pelo versor ~n, é quantificado pela variável Dn, através da razão:
Dn = δSD
δS (4.1)
onde δS é a área da interseção entre o elemento e o plano normal a ~n no ponto. Já δSD representa a parcela de δS que corresponde aos vazios ou descontinuidades geométri- cas. Dessa maneira, definem-se:
• Dn= 0 ⇒ elemento de volume íntegro;
Considera-se, agora, que o elemento de volume esteja solicitado na direção ~n por uma força F , de tal maneira que nesta direção tenha-se a tensão nominal dada por σ = F/δS. Se no lugar de δS for usada a área que realmente resiste à solicitação, δS − δSD, obtém-se a tensão efetiva presente em um ponto da parte íntegra de δS:
σef = F δS − δSD