Null Koni Q 3 Uzerindeki Y¨ ¨ uzeyler

4 boyutlu Minkowski uzayında irtibatlı, y¨onlendirilmi¸s 2-boyutlu bir manifold M ve x : M −→ R⁴1, (u, v) isothermal parametreleri ile bir y¨uzey olsun. Bu durumda dx = xudu + xvdv olmak ¨uzere,

˜

g =< dx, dx >= 2e^ω(du²+ dv²) (3.3.1) fonksiyonu x(u, v) y¨uzeyi ¨uzerinde bir metrik tanımlar.

˜

g =< x_u, x_u > du²+ 2 < x_u, x_v > dudv+ < x_v, x_v > dv² (3.3.2) oldu˘gundan

< xu, xu >=< xv, xv >= 2e^ω, < xu, xv >= 0 (3.3.3)

olur. Burada z = u + iv d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa,

dz = du + idv, d¯z = du − idv (3.3.4)

e¸sitliklerinden

dz ⊗ d¯z = d¯z ⊗ dz = du²+ dv² (3.3.5) elde edilir ve (3.3.1) deki ˜g metri˘gi

˜

g =< dx, dx >= e^ω(dz ⊗ d¯z + d¯z ⊗ dz) (3.3.6) ifadesine d¨on¨u¸s¨ur.

Ayrıca dx = xzdz + xz¯d¯z oldu˘gundan

< dx, dx >=< xz, xz > dz²+ < xz, xz¯ > dz ⊗ d¯z+ < x^z¯, xz > d¯z ⊗ dz+ < x^¯z, x¯z > d¯z² (3.3.7) olarak yazılır ve (3.3.6) den

< xz, xz >=< xz¯, xz¯>= 0, < xz, x¯z >=< x¯z, xz >= e^ω (3.3.8) sonucuna ula¸sılır.

∂z = ∂

∂_z = 1 2

 ∂

∂_u − i∂

∂_v



, ∂z¯= ∂

∂_z¯ = 1 2

 ∂

∂_u + i∂

∂_v



(3.3.9) Cauchy-Riemann operat¨orleri kullanılarak;

xz = 1

2(xu− ix^v), xz¯ = 1

2(xu+ ixv) (3.3.10) e¸sitlikleri elde edilir.

S¸imdi (u, v) isothermal parametreleri ile Q³ light koni ¨uzerinde x : M −→ Q³ y¨uzeyini alalım. x(u, v) y¨uzeyi ¨uzerine indirgenen metrik (3.3.6) den

g =< dx, dx >= e^ω(dz ⊗ d¯z + d¯z ⊗ dz) (3.3.11) ile verilir. x(u, v) ∈ Q³ oldu˘gundan < x, x >= 0 dır. Bu son e¸sitlikte z ve ¯z ye g¨ore kısmi t¨urevler alınırsa

< x, xz >= 0, < x, x¯z >= 0 (3.3.12) e¸sitlikleri elde edilir. Burada

g =< dx, dx >= 2e^ω(du²+ dv²) = e^ω(dz ⊗ d¯z + d¯z ⊗ dz) (3.3.13) metri˘gi i¸cin

27

< x, x >=< x, x_z >=< x, x_z¯ >=< x_z, x_z >=< x_¯z, x_¯z >= 0

< xz, x¯z >= e^ω (3.3.14) elde edilir.

Bu e¸sitliklerde z ve ¯z ye g¨ore kısmi t¨urevler alarak;

< x_z, x_zz >=< x_z, x_{z ¯z} >=< x_¯z, x_{¯z ¯z} >=< x_z¯, x_{z ¯z} >=< x, x_zz >=< x, x_{z ¯¯z} >= 0, (3.3.15)

< xz¯, xzz >= e^ωωz, < xz, xz ¯¯z >= e^ωωz¯, < x, xz ¯z >= −e^ω (3.3.16) ifadeleri elde edilir [13]. (3.3.9) ve (3.3.13) den g metri˘ginin Laplace operat¨or¨u

∆ = 1 2e^ω

 ∂²

∂u² + i ∂²

∂v²



= 1

2e^ω4∂_z∂_¯z = 2e^−ω∂_z∂_z¯ (3.3.17) olur. Bu durumda

∆x = 2e^−ωxz ¯z (3.3.18)

olur. (3.3.17) den x(u, v) y¨uzeyinin K Gauss e˘grili˘gi K = −1

2∆ω = −1

22e^−ωωz ¯z (3.3.19) olarak elde edilir.

Ayrıca Q³ light koni ¨uzerinde (u, v) isothermal parametreleri ile verilen x(u, v) y¨uzeyi i¸cin Christoffel Sembolleri

Γ¹₁₁= Γ²₁₂= −Γ¹22= 1

2(ω_z+ ω_z¯), Γ¹₁₂= Γ²₂₂= −Γ²11= 1

2i(ω_z− ωz¯) (3.3.20) ile verilir.

B¨oylece x(u, v) y¨uzeyinin K Gauss e˘grili˘gi, Christoffel sembolleri cinsinden a¸sa˘gıdaki

¸sekilde ifade edilir [13].

K = −e^−ωωz ¯z = −e^−ω (Γ¹₁₁)¯z+ (iΓ²₁₁)¯z

(3.3.21)

Q³ light koni ¨uzerinde

y = y(u, v) = −1

2∆x − 1

8 < ∆x, ∆x > x (3.3.22) e¸sitli˘gi ile tanımlı bir y y¨uzeyi i¸cin

< x, y >= 1, < y, y >=< xz, y >=< xz¯, y >= 0 (3.3.23)

olup burada z ve ¯z ye g¨ore kısmi t¨urevler alınırsa;

< x, y_z >=< x, y_z¯>=< y_z, y >=< y_¯z, y >= 0 (3.3.24) ve

< xz, yz >=ϕ, < xz¯, yz¯>= − ¯ϕ, < xz¯, yz >=< yz¯, xz >= −λ (3.3.25) e¸sitlikleri elde edilir [13].

Bununla birlikte x(u, v) y¨uzeyi i¸cin u¹ = u, u² = v ve hij ler y¨uzeyin ikinci temel formunun bile¸senleri olmak ¨uzere

< x_uⁱ_u^j, y >= 2hije^ω (3.3.26)

¸seklindedir [18].

(3.3.3) deki ilk e¸sitlikten, kx^uk = kx^vk = (2e^ω)¹² olup, (2e^ω)⁻¹²xu ve (2e^ω)⁻¹²xv

ortonormal (birim dik) vekt¨orlerdir. Ayrıca (3.3.14) ve (3.3.23) deki e¸sitlikler dikkate alınarak a¸sa˘gıdaki sonu¸c verilebilir.

Sonu¸c 3.3.1. Q³ light koni ¨uzerindeki x(u, v) y¨uzeyi boyunca nx, y, (2e^ω)⁻¹²xu, (2e^ω)⁻¹²xv

o

k¨umesi E₁⁴ ¨uzerinde bir asimtotik ortonormal ¸catı alanı ve nx, −y,√

2(2e^ω)⁻¹²xz,√

2(2e^ω)⁻¹²(1 − i)x^z¯o k¨umesi de R⁴₁ ¨uzerinde bir lightlike ¸catı (null tetrat) alanıdır [13].

Ali ˙Ihsan BORAN (2008) hazırladı˘gı tez ¸calı¸smasında; E₁⁴ ¨uzerindeki lightlike ortonormal ¸catılar ile ilgili a¸sa˘gıdaki tanımları vermi¸stir;

Tanım 3.3.1. R₁⁴’ in B = {f, f^∗, k, l} quasi-ortonormal bazı yardımıyla

< f, f^∗ >=< m, ¯m >= 1

olacak ¸sekilde ikisi reel null vekt¨or, ikisi kompleks null vekt¨orden olu¸san T =



f, f^∗, m = (1 + i)

2 (k + il), ¯m = (1 − i)

2 (k − il)



¸catısına R⁴₁’de bir lightlike baz adı verilir.

29

Tanım 3.3.2. Q³ light koni ¨uzerindeki x(u, v) y¨uzeyi boyunca nx, y, (2e^ω)⁻¹²(1 + i)x_z, (2e^ω)⁻¹²(1 − i)xz¯

o

k¨umesi R⁴₁ ¨uzerinde bir lightlike ¸catı alanıdır.

BORAN (2008); x_z, x_z¯ ve y nin z ve ¯z ye g¨ore kısmi t¨urevleri R⁴₁ de ya-taca˘gından dolayı x(u, v) y¨uzeyi boyunca R₁⁴ ¨uzerindeki

nx, y, (2e^ω)⁻¹²(1 + i)xz, (2e^ω)⁻¹²(1 − i)x^¯zo

lightlike ortonormal ¸catı alanı cinsinden yazılabilece˘gi i¸cin bu y¨uzeyin yapı denklem-lerini a¸sa˘gıdaki teoremle ifade etmi¸stir.

Teorem 3.3.1. x : M −→ Q³; light koni ¨uzerinde bir y¨uzey olsun ve x(u, v) y¨uzeyi boyunca

nx, y, (2e^ω)⁻¹²(1 + i)xz, (2e^ω)⁻¹²(1 − i)x^z¯o

lightlike ¸catısı i¸cin < xz ¯z, y >= λ ve < xzz, y >= ϕ olmak ¨uzere x(u, v) y¨uzeyinin yapı denklemleri

x_z = x_z, x_z¯= x_¯z xzz = ϕx+ ωzxz

x¯z ¯z = ¯ϕx + ωz¯xz¯

xz ¯z = λx − e^ωy

yz = −λe^−ωxz− ϕe^−ωxz¯

y_z¯= − ¯ϕe^−ωx_z− λe^−ωx_z¯

¸seklindedir [13].

∆x’in (3.3.18) deki de˘geri ∆x = 2e^−ωx_{z ¯z}, x ile i¸c ¸carpıma tabi tutulursa

< ∆x, x >= −2 elde edilir. Buradan, λ =< xz ¯z, y >=< ∆x

2e^−ω, y >= ¹₂e^ω < ∆x, y >

= ¹₂e^ω < ∆x, −¹₂∆x − ¹₈ < ∆x, ∆x > x >

= ¹₂e^ω{−¹₂ < ∆x, ∆x > −¹₈ < ∆x, ∆x >< x, ∆x >}

= ¹₂e^ω{−¹₂ < ∆x, ∆x > −¹₈ < ∆x, ∆x > (−2)}

= ¹₂e^ω{−¹4 < ∆x, ∆x >}

= −¹₈e^ω < ∆x, ∆x >

bulunur.

B¨oylece a¸sa˘gıdaki teorem verilir.

Teorem 3.3.2. x : M −→ Q³ ⊂ E1⁴ light koni ¨uzerinde bir y¨uzey olsun ve x(u, v) y¨uzeyi boyunca

n

x, y, (2e^ω)⁻¹²(1 + i)xz, (2e^ω)⁻¹²(1 − i)x^z¯o

⊂ E1⁴

¸catısı i¸cin < xz ¯z, y >= λ ve < xzz, y >= ϕ olmak ¨uzere x(u, v) y¨uzeyinin yapı denkleminin integrallenme ¸sartlarından

2λ = ωz ¯z

¯

ϕz = λz¯− λω^¯z ϕz¯= λz− λω^z sonu¸cları elde edilir [13].

Buna g¨ore x(u, v) y¨uzeyinin yapı denklemlerinde kullanılan katsayıların K Gauss e˘grili˘gi cinsinden ifadeleri

λ = −¹2e^ωK ϕz¯ = −¹₂e^ωKz

¯

ϕ_z = −¹₂e^ωK_z¯

¸seklinde verilir [13].

Tanım 3.3.3. x : M −→ Q³ bir y¨uzey olsun. Q³ deki x(u, v) y¨uzeyinin H ortalama e˘grili˘gi

H = 1

2 < ∆x, y >

ile tanımlanır. E˘ger H = 0 ise x(u, v) y¨uzeyine Q³ ¨uzerinde sıfır ortalama e˘grilikli y¨uzey denir.

Teorem 3.3.3. x : M −→ Q³ light koni ¨uzerinde bir y¨uzey olsun. x(u, v) y¨uzeyinin H ortalama e˘grili˘gi ile K Gauss e˘grili˘gi arasında

K + 2H = 0 ba˘gıntısı ge¸cerlidir.

x y¨uzeyinin ortalama e˘grili˘gi ile Gauss e˘grili˘gi arasındaki bu ba˘gıntıdan a¸sa˘gıdaki sonuca ve ortalama e˘grili˘gin Christoffel Sembolleri cinsinden ifadesini veren a¸sa˘gıdaki lemmaya ula¸sılır.

31

Sonu¸c 3.3.2. x : M −→ Q³ light koni ¨uzerinde bir y¨uzey olsun. Bu y¨uzey i¸cin a¸sa˘gıdaki ifadeler denktir:

i) x : M −→ Q³ bir flat y¨uzeydir.

ii) x : M −→ Q³ y¨uzeyi sıfır ortalama e˘grilikli bir y¨uzeydir.

Lemma 3.3.1. Q³ light koni ¨uzerinde (u, v) isothermal parametreleri ile verilen x(u, v) y¨uzeyinin H ortalama e˘grili˘ginin Christoffel Sembolleri cinsinden ifadesi

H = 1

2e^−ω Γ¹₁₁

¯

z+ iΓ²₁₁

¯ z

¸seklindedir.

S¸imdi x y¨uzeyinin sıfır ortalama e˘grilikli bir y¨uzey olması durumunda denk oldu˘gu y¨uzey tipini veren a¸sa˘gıdaki teoremi verelim.

Teorem 3.3.4. x : M −→ Q³ y¨uzeyi sıfır ortalama e˘grilikli bir y¨uzey olsun.

Bu durumda bu y¨uzey, a¸sa˘gıdaki y¨uzeylerden birine denktir.

i) x : M −→ Q³ y¨uzeyi total umbilik bir y¨uzeydir.

ii) x(u, v) = a(sin u, cos u, sinh v, cosh v), 0 6= a ∈ R

C¸ alı¸smamının bundan sonraki kısmında x y¨uzeyine konformal olarak denk olan bir y¨uzey ile x y¨uzeyinden t¨uretilen bir y¨uzeyi ele alıp, x y¨uzeyinin sıfır ortalama e˘grili˘ge sahip olması durumunda bu y¨uzeylerin durumları incelenecektir.

Uyarı 3.3.1. σ : M −→ R bir diferansiyellenebilir fonksiyon olmak ¨uzere Q³ deki bir x(u, v) y¨uzeyine ba˘glı olarak tanımlanan ˜x(u, v) = e^σx(u, v) y¨uzeyi de Q³ de bir y¨uzeydir. Ger¸cekten

< ˜x, ˜x >=< e^σx, e^σx >= e^2σ < x, x >= 0 dir. Aynı zamanda

< d˜x, d˜x >= e^2σ< dx, dx >= 0

oldu˘gundan ˜x(u, v) ve x(u, v) y¨uzeyleri konformal olarak denk y¨uzeylerdir.

Lemma 3.3.2. x(u, v), Q³ ¨uzerinde bir y¨uzey olsun. σ : M −→ R bir difer-ansiyellenebilir fonksiyon olmak ¨uzere ˜x(u, v) = e^σx(u, v) ile tanımlı Q³ de bulunan di˘ger bir y¨uzeyin ˜K Gauss e˘grili˘gi ile x y¨uzeyinin K Gauss e˘grili˘gi arasında

K = e˜ ^−2σ(K − 2σ^{z ¯z}e^−ω) ba˘gıntısı ge¸cerlidir.

H, ˜˜ x(u, v) y¨uzeyinin ortalama e˘grili˘gini g¨ostersin. ˜x(u, v) y¨uzeyi de Q³ light koni ¨uzerinde bir y¨uzey oldu˘gu i¸cin ˜x y¨uzeyinin ˜H ortalama e˘grili˘gi ile ˜K Gauss e˘grili˘gi arasında Teorem 3.3.3 den

K + 2 ˜˜ H = 0

ba˘gıntısı yazılabilir. B¨oylece x y¨uzeyi ile ˜x y¨uzeylerinin ortalama e˘grilikleri arasındaki ba˘gıntıyı veren a¸sa˘gıdaki lemma verilebilir.

Lemma 3.3.3. x(u, v), Q³ ¨uzerinde bir y¨uzey olsun. σ : M −→ R bir difer-ansiyellenebilir fonksiyon olmak ¨uzere ˜x(u, v) = e^σx(u, v) ile tanımlı Q³ de bulunan di˘ger bir y¨uzeyin ˜H Ortalama e˘grili˘gi ile x y¨uzeyinin H Ortalama e˘grili˘gi arasında

H = e˜ ^−2σ(H + 2σz ¯ze^−ω) ba˘gıntısı ge¸cerlidir.

σ : M −→ R diferansiyellenebilir fonksiyonu,

σ(u, v) = au + buv + cv + d a, b, c, d ∈ R ile tanımlanarak a¸sa˘gıdaki teorem ve sonu¸clar elde edilmi¸stir.

Teorem 3.3.5. x : M −→ Q³ y¨uzeyinin sıfır ortalama e˘grilikli bir y¨uzey olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart ˜x : M −→ Q³ y¨uzeyinin de sıfır ortalama e˘grilikli bir y¨uzey olmasıdır.

Teorem 3.3.6. x : M −→ Q³ y¨uzeyinin flat olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart x : M −→ Q˜ ³ y¨uzeyinin flat olmasıdır.

x : M −→ Q³ y¨uzeyi i¸cin bu y¨uzeyden t¨uretilen ve y(u, v) = −1

2∆x − 1

8 < ∆x, ∆x > x

e¸sitli˘gi ile tanımlanan bir y(u, v) y¨uzeyi alınarak, bu y¨uzeyin x y¨uzeyine konfarmal olarak denk olan ˜x(u, v) = e^σx(u, v) y¨uzeyi ile arasındaki ili¸ski incelenmi¸s, y y¨uzeyi i¸cin H_y ortalama e˘grili˘gi ile K_y Gauss e˘grili˘gi arasında

Ky+ 2Hy = 0 ba˘gıntısı elde edilmi¸stir.

33

Teorem 3.3.7. x : M −→ Q³ bir y¨uzey ve bu y¨uzeyden t¨uretilen y¨uzey de y(u, v) olsun. Bu durumda, x(u, v) y¨uzeyinin sıfır ortalama e˘grilikli bir y¨uzey (veya flat bir y¨uzey) olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart y(u, v) y¨uzeyinin de sıfır ortalama e˘grilikli y¨uzey (veya flat y¨uzey) olmasıdır.

Son iki teoremden a¸sa˘gıdaki sonu¸c elde edilir.

Sonu¸c 3.3.3. x : M −→ Q³ light koni ¨uzerinde sıfır ortalama e˘grilikli bir y¨uzey olsun. Bu durumda Q³ ¨uzerinde alınan herhangi bir y¨uzeyin, sıfır ortalama e˘grilikli bir y¨uzey olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart, ya x(u, v) y¨uzeyine konformal olarak denk bir y¨uzey olması ya da x(u, v) y¨uzeyinden t¨uretilen bir y¨uzey olmasıdır.

Yani, ˆx ⊂ Q³ sıfır ortalama e˘grilikli bir y¨uzey ise ˆx a¸sa˘gıdaki e¸sitliklerden birisi ile tanımlıdır.

i) ˆx(u, v) = e^σx(u, v),

ii) ˆx(u, v) = −1

2∆x −1

8 < ∆x, ∆x > x(u, v).

KAYNAKLAR

[1] K.L. Duggal and A. Bejancu, Lightlike Submanifolds of Semi-Riemannian Manifolds and Applications, Kluwer Academic Publisher. Dordrecht/ Boston/

London, (1996), 1-76.

[2] B. O’Neill, Semi-Riemann Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, New York, (1983), 54-157.

[3] T.Weinstein, An Introduction Lorentz Surface, Walter de Gruyter and Co., New York, (1996), 4-18.

[4] H.H. Hacisalihoglu, Diferensiyel Geometri, Gazi ¨Universitesi Basın-Yayın Y¨uksekokulu Basımevi, Ankara, (1983), 139-253.

[5] H.L. Lui, Curves in the Lightlike Cone, Contributions to Algebra and Geome-try, Volume 45 No.1 (2004) 291-303.

[6] R. Aslaner, Analitik Geometri, Nobel, Ankara, (2011).

[7] H.H. Hacisalihoglu and A. Sabuncuo˘glu, Diferensiyel Geometri, Milli E˘gitim Basımevi, Ankara, (1983).

[8] S. Izumiya and N.Takeuchi, New special curves and developable surfaces, Turk.

J. Math., 28 (2004) 531–537.

[9] A. Ma˘gden, On the curves of constant slope, YY ¨U Fen Bilimleri Der-gisi, 4 (1993) 103-109.

[10] M. ¨Onder, H. Kocayi˘git and M. Kazaz, Spacelike helices in Minkowski 4-space E₁⁴, Ann Univ Ferrara, 56 (2010) 335-343.

[11] M. ¨Onder, H. Kocayi˘git, M. Kazaz and O. Kılı¸c, B2 slant helix in Euclidean 4-space E⁴, International Journal of the Contemph. Math. Sci-ences, Vol.3 No.29 (2008) 1433-1440.

[12] H. Liu and Q. Meng, Representation Formulas of Curves in a Two- and Three-Dimensional Lightlike Cone, Results, Math. Volume 59, (2011), 437-451.

[13] A.˙I. Boran, 4-Boyutlu Minkowski Uzayında Null E˘griler ve Null Y¨uzeylerin Geometrisi ¨Uzerine, Ph.D. Thesis, ˙In¨on¨u ¨Univ. Fen Bil. Enst., Malatya, (2008).

[14] W.B. Bonnor, Null curves in a Minkowski space-time, Tensor, 20,(1969), 229-242.

35

[15] H.L. Lui, Surfaces in the lightlike cone, J.Math.Anal. Appl., 325,(2007), 1171-1181.

[16] G.L. Naber, The Geometry of Minkowski Spacetime, California State University, Springer-Verlag, New York, (1992),7-64.

[17] C¸ . Camcı, K. ˙Ilarslan and E. Sucurovic, On Pseudohyperbolical Curves in Minkowski Spacetime, Turk J.Math., 27 (2003) 315-328.

[18] A.˙I. Boran, “Lorentz Y¨uzeyleri ¨Uzerine”, Master Thesis, ˙In¨on¨u ¨Univ. Fen Bil.

Enst., Malatya, (2004).

[19] H. B. ¨Oztekin, M. Erg¨ut, On Curves in the Lightlike Cone, TWMS Jour. Pure Appl. Math, V.2, N.2, (2011), 221-227.

[20] W.B. Bonnor, Null hypersurface in Minkowski spacetime, Tensor, 24, (1972), 229-245.

[21] A.F. Yalınız and H.H. Hacısaliho˘glu, Null Generalized Helices in L₃ and L₄, 3 and 4-dimensional Lorentzian Space, Math. And Comp. Appl, Vol.10 No.1, (2005), 105-111.

[22] A. Ferrandez, A. Gimenez and P. Lucas, Null Helices in Lorentzian Space Forms, Int J Mod Phys A, 6(30), (2001), 4845-4863.

[23] J.K. Beem and P.E. Ehrlich, Global Lorentzian Geometri, Marcel Dekker, New York, (1981).

[24] Y. Matsushima, Differentiable Manifolds, Marcel Dekker, New York, (1972).

[25] L. Kula, Y. Yayli, On slant helix and its spherical indicatrix, Applied Mathe-matics and Computation, 169 (2005) 600-607.

[26] A.C. C¸ ¨oken, ¨U. C¸ ift¸ci, On The Cartan Curvatures of a Null Curve in Minkowski Spacetime, Geometriae Dedicata, 114 (2005) 71-78.

[27] H.L. Lui, Ruled surfaces with lightlike ruling in 3-Minkowski space, Journal of Geometry and Physics, 59 (2009) 74-78.

[28] M. ¨Onder, H. Kocayi˘git, M. Kazaz, Spacelike B2 slant helix in Minkowski 4-space E₁⁴, International Journal of the Physical Sciences, Vol.5(5) (2010) 470-475.

[29] R. Lopez, Surfaces with Constant Mean Curvature in Euclidean Space, Inter-national Electronic Journal of Geometry, Vol. 3 (2010) 67-101.

[30] H. Balgetir ¨Oztekin, M. Erg¨ut, On Curves in The Lightlike Cone, TWMS Jour.

Pure Appl. Math., Vol.2 No.2 (2011) 221-227.

Belgede Null koni üzerinde eğriler ve yüzeylerin geometrisi (sayfa 33-44)