edilir. Ters e¸sitsizlik her zaman do˘gru oldu˘gundan fo(x, v) = D+f (x; v) olur.
2.5 Normaller ve Te˘getler
E ⊆Rn bo¸s olmayan kapalı k¨ume olmak ¨uzere
dE(x) = min{kx − ck | c ∈ E}
ile tanımlı d¨uzg¨un olmayan (nonsmooth) fakat Lipschitz olan uzaklık fonksi-yonu g¨oz¨on¨une alınsın.
E’nin d¨uzg¨un ya da konveks olmasına ihtiya¸c duymadan dE’nin doE Clarke genelle¸stirilmi¸s t¨urevi kullanılarak E’nin x’deki bir te˘geti kavramı ve buna dayalı olarak da E’nin x’deki TEC(x) Clarke te˘get konisi kavramı
TEC(x) := {v ∈ Rn | doE(x, v) = 0}
bi¸ciminde tanımlanabilir.
Bunun kapalı ve konveks bir koni oldu˘gu g¨osterilebilir. Te˘get konisi tanımlandı˘gından normal koni tanımı TEC(x)’in poları yardımıyla
NE(x) := {ξ | hξ, vi ≤ 0, ∀v ∈ TEC(x)}
olarak verilebilir. A¸cıktır ki NE(x) kapalı ve konveks bir k¨ume olan ∂dE(x) subdiferansiyeliyle ¨uretilir.
TEC ve NE’yi uzaklık fonksiyonu kullanmadan tanımlayıp tanımlayamayaca˘gımızı sormak do˘galdır. Bunun yanıtı olumludur ve ¸su ¸sekilde yapılabilir:
v ∈ TEC(x)’dir ⇐⇒ x’e yakınsak her (xn)n∈N ⊆ E ve 0’a yakınsak her (tn) ⊂R+ i¸cin xn+ tnvn ∈ E olacak ¸sekilde v’ye yakınsak en az bir
(vn)n∈N⊆Rn dizisi vardır.
NE’nin direk tanımını verebilmek i¸cin bir diklik tanımına ihtiya¸c duyulur.
Bu tanım ¸su ¸sekilde verilebilir:
Bir v ∈ Rn vekt¨or¨u E’ye x noktasında diktir ⇐⇒ x′, x’e E i¸cinde tek en yakın noktası olmak ¨uzere v = x′− x’dir ⇐⇒ x′ merkezli ¨oyle bir kapalı yuvar vardır ki bunun E ile kesi¸simi x tek noktasından olu¸sur.
Bu durumda
NE(x) = conv{λ lim
i→∞
vi
kvik | λ ≥ 0, xn noktasında vn⊥ E, xn→ x ve vi → 0}.
Buraya kadar, fo ve ∂Cf gibi iki analitik notasyon ve TEC ve NE gibi iki geometrik notasyon olu¸sturuldu ve bunlar bir anlamda birbirlerinin dualidirler.
Yani, biri bilinirse di˘geri bundan elde edilebilir.
Buna g¨ore, bu analitik kavramlarla geometrik kavramların birbirleriyle ili¸skisi kurulacaktır. Bu ili¸ski de fonksiyonun epigrafı yardımıyla kurulacaktır.
Geometrik olarak bu k¨ume, bir fonksiyonun grafi˘ginin ¨ust¨unde kalan b¨olgeden ba¸ska bir¸sey de˘gildir. Buradan iki ¨onemli sonu¸c elde edilir.
TepifC (x, f (x)) = epifo(x, ·)
∂Cf (x) = {ξ | (ξ, −1) ∈ Nepif(x, f (x))}.
Elde edilen son sonu¸c, diferansiyel kalk¨ul¨uste bilinen [f′(x, −1)] vekt¨or¨un¨un f ’nin grafi˘gine (x, f (x)) noktasında dik olması (ya da normali olması) ¨ozelli˘ginin bir genellemesidir.
Dolayısıyla, fo, ∂fC, TEC ve NE kavramları bu t¨ur ¸calı¸smaların ¸cekirde˘gini
olu¸sturmaktadır.
Buraya kadar, yerel Lipschitz fonksiyonlar sınıfı ¨uzeride duruldu. Bununla birlikte yerel Lipschitz olmayan fonksiyonlar ailesi ¨uzerinde i¸s g¨oren benzer kavramlar tanımlanabilir. Bu durumda d¨uzg¨unl¨uk ve konvekslik gibi kavram-lardan biraz uzakla¸sılır. C¸ ¨unk¨u f , x noktasının bir kom¸sulu˘gunda Lipschitz de˘gilse ∂Cf (x) kompakt olmayabilir. Hatta bazen bo¸s k¨ume olur. A¸sa˘gıda S¸ekil 2.6’da grafi˘gi verilen fonksiyon bu duruma bir ¨ornek olarak verilebilir.
b b b b b b
∂Cf (x1) = {−1}
∂Cf (x2) = [0, 1]
∂Cf (x3) = [1/2, 1]
∂Cf (x4) = [−1, 2]
∂Cf (x5) = ∅
∂Cf (x6) =R
x1 x2 x3 x4 x5 x6
S¸ekil 2.6. Bazı noktalarda yerel Lipschitz olmayan fonksiyon ¨orne˘gi
Ku¸skusuz bu kavramlar Banach uzaylara genelle¸stirilebilir ve bunlarla, bi-linen t¨urev kavramları arasındaki ili¸skiler incelenebilir.
Tanım 2.5.1. X = Rn ve E ⊂ X k¨umesi verilsin. x ∈ X i¸cin ∀ε ≥ 0 iken x + εx + o(ε) ∈ E ve ε → 0+ iken o(ε)
ε → 0 olacak ¸sekilde n boyutlu vekt¨or de˘gerli o(ε) fonksiyonu var ise x ∈ X noktasına, E k¨umesinin x noktasındaki alt te˘geti denir. B¨ut¨un bu x te˘getlerinin olu¸sturdu˘gu k¨umeye de E k¨umesinin x noktasındaki alt tanjant konisi denir ve TEL(x) ile g¨osterilir. Yani E k¨umesinin x noktasındaki alt tanjant konisi
TEL(x) = {x| lim
ε→0+
d(x + εx, E)
ε = 0}
bi¸ciminde ifade edilir.
Tanım 2.5.2. X =Rn, E ⊂ X k¨umesi ve x ∈ cl(E) elemanı verilsin. εk → 0+
ve ˆxk → x i¸cin x + εkxˆk ∈ E, k = 1, 2, ... olacak ¸sekilde ∃(εk)k∈N ⊂ R+ ve
∃(ˆxk)k∈N ⊂ X dizileri var ise x ∈ X noktasına, E k¨umesinin x noktasındaki
¨
ust te˘geti denir. B¨ut¨un bu x te˘getlerinin olu¸sturdu˘gu k¨umeye de E k¨umesinin x noktasındaki ¨ust tanjant konisi veya Contingent konisi denir ve TEU(x) ile g¨osterilir. Yani E k¨umesinin x noktasındaki Contingent konisi
TEU(x) = {x|ˆxk → x, εk → 0+ ve ∀k ∈N i¸cin x + εkxˆk ∈ E olan
∃(ˆxk)k∈N⊂ X ve ∃(εk)k∈N⊂R+ dizileri vardır } bi¸ciminde ifade edilir.
Tanım 2.5.3. ∅ 6= E ⊆ X, x ∈ cl(E) verilsin.
xk
→ x, εE k → 0+ olan ∀(xk)k∈N⊆ E ve ∀(εk)k∈N dizileri i¸cin ˆxk→ x ve
∀k ∈ N i¸cin xk + εkxˆk ∈ E olacak ¸sekilde ∃(ˆxk)k∈N ⊆ X dizisi bulunabiliyor ise x’ye E k¨umesinin x noktasındaki Clarke te˘geti, x te˘getlerinin olu¸sturdu˘gu k¨umeye de E k¨umesinin x noktasındaki Clarke konisi denir ve TEC(x) ile g¨osterilir.
A¸sa˘gıda TEL(x) ve TEU(x) i¸cin bazı karakterizasyonlar verilmi¸stir.
Onerme 2.5.1. ∅ 6= E ⊆ X, x ∈ cl(E) verilsin. x ∈ T¨ EL(x) olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul εk → 0+ olan ∀(εk)k∈N dizisi i¸cin x + εkxˆk ∈ E, k = 1, 2, ... ve ˆ
xk → x olacak ¸sekilde ∃(ˆxk)k∈N⊆ E dizisinin var olmasıdır.
Onerme 2.5.2. ∅ 6= E ⊆ X, x ∈ cl(E) verilsin. x ∈ T¨ EU(x) olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul xk → x ve x = lim
k→∞εk(xk− x) olacak ¸sekilde ∃(εk)k∈N ⊆R+ ve
∃(xk)k∈N⊆ E dizilerinin var olmasıdır.
Onerme 2.5.3. ∅ 6= E ⊂ X ve x ∈ cl(E) verilsin. Bu durumda a¸sa˘gıdakiler¨ sa˘glanır.
(i) TEU(x), TEC(x) ve TEL(x) kapalıdır.
(ii) TEC(x) konvekstir.
(iii) TEC(x) ⊂ TEL(x) ⊂ TEU(x)’dir.
Kanıt. (i) TEU(x) kapalılı˘gı g¨osterilsin. TEU(x) ⊂ TEU(x) oldu˘gundan
TEU(x) ⊂ TEU(x) g¨osterilmelidir. O halde y ∈ TEU(x) alınsın. Bu durumda
yn→ y (2.12)
olacak ¸sekilde ∃(yn)n∈N ⊂ TEU(x) dizisi vardır. ∀n ∈N i¸cin yn ∈ TEU(x) oldu˘gundan lim
k→∞xˆk= x, lim
k→∞εk(ˆxk− x) = yn olacak ¸sekilde
∃(ˆxk)k∈N ⊆ E ve (εk)k∈N ⊆ R+ vardır. Buradan ∀n ∈ N i¸cin k ≥ k(n) olmak ¨uzere
kˆxk− xk ≤ 1
n ve kεk(ˆxk− x) − ynk ≤ 1
n (2.13)
olacak ¸sekilde ∃k(n) ∈N vardır. ¨Ote yandan ∀n ∈N i¸cin hn:= ˆxk(n) ve tn := εk(n) > 0 olmak ¨uzere (2.13)’ten lim
n→∞hn = x olur. Buradan, ktn(hn− x) − yk = kεk(n)(ˆxk(n)− x) − yn+ yn− yk
≤ kεk(n)(ˆxk(n)− x) − ynk + kyn− yk (2.13)’ten
ktn(hn− x) − yk ≤ 1
n + kyn− yk olur. (2.12)’den
n→∞lim ktn(hn− x) − yk = 0 elde edilir. B¨oylece lim
n→∞tn(hn− x) = y olup y ∈ TEU(x) yani TEU(x) ⊂ TEU(x)’dir. Dolayısıyla TEU(x) kapalıdır.
TEC(x)’in kapalılı˘gı g¨osterilsin. TEC(x) ⊂ TEC(x) oldu˘gundan TEC(x) ⊂ TEC(x) g¨osterilmelidir. O halde y ∈ TEC(x) alınsın.
Bu durumda yn→ y olacak ¸sekilde (yn)n∈N ⊆ TEC(x) dizisi vardır.
∀n ∈N i¸cin yn∈ TEC(x) oldu˘gundan ∀εk→ 0 ve ∀xk → x i¸cin xk+ εkxˆk ∈ E ve ˆxk → yn olacak ¸sekilde ∃(ˆxk)k∈N dizisi vardır.
∀xk → x ve ˆxk→ yn oldu˘gundan ∀n ∈N i¸cin k ≥ k(n) iken,
kxk(n)− xk < 1
n ve kˆxk(n)− ynk < 1
n (2.14)
olacak ¸sekilde ∃k(n) ∈N vardır. ¨Ote yandan
hn := xk(n), ˆhn := ˆxk(n), λn := εk(n) olmak ¨uzere ∀λn → 0+ olur.
Dahası
kˆhn− yk = kˆhn− yn+ yn− yk kˆhn− yk ≤ kˆhn− ynk + kyn− yk
olur. yn → y oldu˘gundan ve (2.14) ile birlikte lim
n→∞ˆhn = y elde edilir.
Ote yandan kh¨ n− xk = kxk(n)− xk < n1 oldu˘gundan lim
n→∞khn− xk = 0 ve hn+ λnˆhn = xk(n)+ εk(n)xˆk(n)∈ E olup y ∈ TEC(x) olur. Bu durumda TEC(x) ⊂ TEC(x)’dir. TEC(x) = TEC(x) olur. TEC(x) kapalıdır.
TEL(x)’nin kapalılı˘gı da benzer ¸sekilde g¨osterilebilir.
(ii) TEC(x)’in konveks oldu˘gu g¨osterilsin.
TEC(x) koni oldu˘gundan ∀x1, x2 ∈ X i¸cin x1 + x2 ∈ TEC(x) g¨osterilmesi yeterli olacaktır. Keyfi x1, x2 ∈ TEC(x) alınsın. Bu durumda εk → 0+ ve xk → x olan keyfi (xk)k∈N ⊂ E, (εk)k∈N ⊂ R dizileri ve ∀k ∈ N i¸cin x1 ∈ TEC(x) oldu˘gundan
ˆ
x1k → x1 ve xk+ εkxˆ1k ∈ E olan ∃(ˆx1k)k∈N ⊆ X dizisi vardır.
x1,k := xk+ εkxˆ1k olarak tanımlansın. Burada ∀k ∈ N i¸cin x1,k ∈ E ve x1,k→ x oldu˘gu a¸cıktır. x2 ∈ TEC(x) oldu˘gundan ˆx2k → x2 ve
x1,k+ εkxˆ2k= xk+ εkxˆ1k+ εkxˆ2k = xk+ εk(ˆx1k+ ˆx2k) ∈ E olan ∃(ˆx2k)k∈N⊆ X dizisi vardır. B¨oylece xk → x, εk → 0 olan ∀(xk)k∈N ⊆ E, ∀(εk)k∈N ⊂R dizileri i¸cin ˆxk = ˆx1k + ˆx2k → x1 + x2 ve ∀k ∈ N i¸cin xk + εkxˆk ∈ E olacak ¸sekilde (ˆxk)k∈N = (ˆx1k+ ˆx2k)k∈N⊆ X dizisi elde edilir. Dolayısıyla x1+ x2 ∈ TEC(x) olur. O halde TEC(x) konvekstir.
(iii) TEC(x) ⊆ TEU(x) kapsamı g¨osterilsin.
x ∈ TEC(x) alınsın. Bu durumda xk→ x, εk → 0 olan keyfi (xk)k∈N⊂ E, (εk)k∈N ⊂ R+ dizileri i¸cin ˆxk → x ve ∀k ∈ N i¸cin xk + εkxˆk ∈ E olan
∃(ˆxk)k∈N ⊆ X dizisi vardır. Burada ¨ozel olarak (xk)k∈N = (x)k∈N sabit dizisi se¸cilirse ∀k ∈ N i¸cin x + εkxˆk ∈ E olur. B¨oylece εk → 0+, ˆxk → x ve ∀k ∈N i¸cin x+εkxˆk∈ E olan ∃(εk)k∈N⊂R+ ve ∃(xk)k∈N⊆ X dizileri
elde edilir. Dolayısıyla x ∈ TEU(x) olur.
A¸sa˘gıda alt tanjant koni, ¨ust tanjant koni ve Clarke koniye dair ¨ornekler verilmi¸stir.
Ornek 2.5.1. E = {(x, y) ∈¨ R2||x| = |y|} k¨umesi olmak ¨uzere S¸ekil 2.7(a)’da E k¨umesinin (0, 0)’daki ¨ust tanjant konisi, S¸ekil 2.7(b)’de ise E k¨umesinin (0, 0)’daki Clarke tanjant konisi g¨osterilmi¸stir.
TEU(0, 0) = E
(a)
b
TEC(0, 0) = {(0, 0)}
(b)
S¸ekil 2.7. (a) E k¨umesinin (0, 0)’daki ¨ust tanjant konisi, (b) E k¨umesinin (0, 0)’daki Clarke konisi
Ornek 2.5.2. S¸ekil 2.8(a)’da E k¨¨ umesinin x noktasındaki alt ve ¨ust tanjant konileri S¸ekil 2.8(b)’de de Clarke konisi g¨osterilmi¸stir.
bx
E
TEU(x) = TEL(x) (a)
bx
E
TEC(x)
(b)
S¸ekil 2.8. (a) E k¨umesinin x noktasındaki alt ve ¨ust tanjant konileri, (b) E k¨umesinin x noktasındaki Clarke konisi