1. BÖLÜM
5.2. Nokta-Kuaterniyonik E¼ gri Aç¬ortay Yüzeyi
5.2.2. Nokta-Kuaterniyonik E¼ gri Aç¬ortay Yüzeyin E¼ grilikleri
yüzeyler bir regle yüzeydir. Bundan dolay¬ bu bölümde bir regle yüzeyin Gauss ve ortalama e¼grilikleri klasik diferensiyel geometriden farkl¬ olarak
kuaterniyonik i¸slemlerle elde edilecektir. Ayr¬ca bu yüzey üzerindeki orto- normal çat¬ alan¬ fT1; T2; Ng olmak üzere T1; T2; N çat¬s¬ için kartezyen
eksen üzerinde (4:40) dönü¸sümleri tan¬mlans¬n ve R3
1 Minkowski uzay¬, QH
birim kuaterniyonlar¬n uzay¬ile gösterilsin. I = [0; 1] R olmak üzere QH da kuaterniyonik iki e¼gri
q : I R ! QH = P3i=1(qi(u) ei)
ve
t : I R ! QH = P3i=1(ti(u) ei)
dir. O halde kuaterniyonik bir regle yüzey
F (u; v) = q (u) + vt (u) (5.38) dir.
Teorem 5.2.2.1QH de kuaterniyonik bir regle yüzeyi F (u; v) = q (u) + vt (u)
ise bu yüzeyin Gauss e¼grili¼gi ve ortalama e¼grili¼gi s¬ras¬yla KF = 4[ ( (q3 + vt3) (q10 + vt10) (q1+ vt1) (q03+ vt03)) ( (q3+ vt3)t2+ (q2+ vt2)t3) + ( (q3+ vt3) (q02+ vt02) +(q2+ vt2)(q03+ vt03))( (q3+ vt3)t1+ (q1+ vt1) t3)]; HF = 1 2[(2( (q3+ vt3) (q 0 1 + vt01) (q1+ vt1) (q03+ vt03)) 2( (q3+ vt3) t2+ (q2+ vt2) t3)] d¬r. ·
Ispat QH de (5:38) e¸sitli¼giyle verilen F (u; v) = (F1;F2;F3) yüzeyinin u
ya ve v ye göre türevleri s¬ras¬yla @F @u =Fu = (F 0 1;F02;F03) ve @F @v =Fv = ( _F1; _F2; _F3)
ile gösterilsin. (3:6) dan T1 =Fu =F (F 1 Fu) (5.39) ve T2 =Fv =F (F 1 Fv) (5.40)
yaz¬l¬r. O halde (5:38) e¸sitli¼ginden F (u; v) yüzeyinin birinci türevleri ve e¸sleni¼gi s¬ras¬yla
F 1 = ( q1 vt1; q2 vt2; q3 vt3); (5.41)
Fu = (q10 + vt01; q20 + vt02; q30 + vt03); (5.42)
Fv = (t1; t2; t3) (5.43)
dir. Son iki e¸sitlik (5:39) ve (5:40) de yerine yaz¬l¬r ve kuaterniyon çarp¬m¬ yap¬l¬rsa T1 = Fu =F 1 2[2((q1+ vt1) (q 0 1+ vt01) (q2+ vt2) (q20 + vt02) (q3+ vt3) (q03+ vt03)); 2( (q3+ vt3) (q20 + vt02) + (q2+ vt2) (q30 + vt03)); (5.44) 2( (q3+ vt3) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q30 + vt03)); 2((q2+ vt2) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q20 + vt02))] ve T2 = Fv =F 1 2[2((q1+ vt1) t1 (q2+ vt2) t2 (q3+ vt3) t3); 2( (q3+ vt3) t2+ (q2+ vt2) t3); (5.45) 2( (q3+ vt3) t1+ (q1+ vt1) t3); 2((q2+ vt2) t1 (q1+ vt1) t2)]
olur. Bu ¸sekilde elde edilen T1(u; v)ve T2(u; v),F (u; v) yüzeyinin ortogonal
te¼getleridir. E¼ger T1(u; v) ve T2(u; v) ortogonal de¼gil iseler Gram-Schimit
yöntemiyle ortogonalle¸stirilebilirler. Di¼ger yandan T1(u; v)ve T2(u; v),F (u; v)
kuaterniyonik regle yüzeyinin te¼getleri oldu¼gundan ve (3:8) ; (3:13) ve (3:14) e¸sitliklerini sa¼glayaca¼g¬ndan
(q1+ vt1) (q10 + vt01) (q2+ vt2) (q20 + vt02) (q3+ vt3) (q30 + vt03) = 0 ;
d¬r. O halde F (u; v) kuaterniyonik regle yüzeyinin te¼getleri T1 = Fu =F 1 2[0; 2( (q3+ vt3) (q 0 2+ vt02) + (q2+ vt2) (q30 + vt03)); 2( (q3+ vt3) (q01+ vt01) (q1+ vt1) (q30 + vt03)); (5.46) 2((q2+ vt2) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q02+ vt02))] ve T2 = Fv =F 1 2[0; 2( (q3+ vt3) t2 + (q2+ vt2) t3); 2( (q3+ vt3) t1 + (q1+ vt1) t3); 2((q2+ vt2) t1 (5.47) (q1 + vt1) t2)]
olur. Di¼ger taraftan N = T1^LT2 ve T1; T2 ortogonal oldu¼gundan
N= T1 T2
yaz¬l¬r. (5:46) ve (5:47) denklemleri son e¸sitlikte göz önüne al¬n¬rsa
N = 1 4F [0; 2( (q3 + vt3) (q 0 2+ vt02) + (q2+ vt2) (q30 + vt03)); 2( (q3 + vt3) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q03+ vt03)); 2((q2+ vt2) (q01+ vt01) (5.48) (q1+ vt1) (q02+ vt02))] F [0; 2( (q3+ vt3) t2 + (q2+ vt2) t3); 2( (q3+ vt3) t1+ (q1+ vt1) t3); 2((q2+ vt2) t1 (q1+ vt1) t2)]
olur. Bu durumda F (u; v) kuaterniyonik regle yüzeyi üzerinde fT1; T2; Ng
çat¬alan¬elde edilir. Ayr¬ca (3:7) e¸sitli¼ginden F 1 v =Fv1 =Fv1 F F 1 dir. Ayr¬ca (3:8) den
Fv1 = 1 2(F
1 F
yaz¬l¬r. (5:43) e¸sitli¼gi (5:49) de yerine yaz¬l¬rsa Fv1 = 1
2[0; 2( (q3+ vt3) t2+ (q2+ vt2) t3);
2( (q3+ vt3) t1+ (q1+ vt1) t3); (5.50)
2((q2+ vt2)t1 (q1+ vt1) t2)] F 1
elde edilir. Bu durumda (5:44) ve (5:50) e¸sitlikleri yard¬m¬yla Fu Fv1 = 1 4F [4[ ( (q3+ vt3) (q 0 2+ vt02) + (q2+ vt2) (q03+ vt03)( (q3+ vt3)t2+ (q2+ vt2) t3) +( (q3+ vt3) (q10 + vt01) (q1+ vt1)(q30 + vt03)) ( (q3 + vt3) t1+ (q1+ vt1)t3) + ((q2+ vt2) (q01+ vt01) (q1+ vt1) (q20 + vt02))((q2 + vt2)t1 (q1+ vt1) t2)]; 4[((q2+ vt2) (q01+ vt01) (q1+ vt1) (q02+ vt02))( (q3+ vt3) t1 + (q1+ vt1)t3) ( (q3 + vt3) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q03+ vt03)) ((q2+ vt2) t1 (q1+ vt1) t2)]; 4[((q2+ vt2) (5.51) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q20 + vt02))( (q3 + vt3) t2 +(q2 + vt2)t3) ( (q3+ vt3) (q02+ vt02) + (q2+ vt2) (q30 + vt03))((q2+ vt2) t1 (q1+ vt1) t2)]; 4[ ( (q3+ vt3) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q30 + vt03)) ( (q3+ vt3) t2+ (q2+ vt2)t3) + ( (q3+ vt3) (q02+ vt02) + (q2+ vt2) (q03+ vt03))( (q3+ vt3)t1 + (q1+ vt1) t3)]] F 1
yaz¬l¬r. Benzer ¸sekilde yukar¬daki e¸sitlik I = (1; 0) birim eleman olmak üzere Fu Fv1 = 1 4[4[ ( (q3+ vt3) (q 0 2+ vt02) + (q2+ vt2) (q03+ vt03) ( (q3+ vt3)t2+ (q2+ vt2) t3) + ( (q3+ vt3) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q30 + vt03))( (q3+ vt3) t1+ (q1+ vt1)t3) +((q2+ vt2) (q01+ vt01) (q1+ vt1) (q20 + vt02))((q2+ vt2) t1 (q1+ vt1) t2)]I + 4[((q2+ vt2) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q20 + vt02))( (q3+ vt3) t1+ (q1+ vt1)t3) ( (q3+ vt3) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q03+ vt03))((q2+ vt2) t1 (5.52)
(q1 + vt1) t2)]T1+ 4[((q2+ vt2) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q20 + vt02))( (q3+ vt3) t2+ (q2+ vt2)t3) ( (q3+ vt3) (q20 + vt02) + (q2+ vt2) (q03+ vt03))((q2+ vt2) t1 (q1 + vt1) t2)]T2+ 4[ ( (q3 + vt3) (q10 + vt01) (q1 + vt1) (q30 + vt03))( (q3+ vt3) t2+ (q2+ vt2)t3) +( (q3+ vt3) (q02+ vt02) + (q2+ vt2) (q03+ vt03)) ( (q3+ vt3)t1+ (q1+ vt1) t3)]N]
olarak elde edilir. Son e¸sitlikten F (u; v) kuaterniyonik regle yüzeyinin Gauss e¼grili¼gi
KF= 4[ ( (q3+ vt3) (q01+ vt10) (q1+ vt1) (q30 + vt03))
( (q3+ vt3)t2+ (q2 + vt2)t3) + ( (q3+ vt3) (q02+ vt02)
+ (q2+ vt2) (q30 + vt03))( (q3+ vt3)t1+ (q1 + vt1) t3)]
dir.
Di¼ger taraftan (4:40), (5:46) ve (5:47) e¸sitliklerinden Fu F Fu1+Fv F Fv1 =F (0; x) F
1 F F 1
u +F (0; y) F
1 F F 1 v
dir. F 1 F =I oldu¼gu yukar¬daki e¸sitlikte yerine yaz¬l¬rsa
Fu F Fu1+Fv F Fv1 =F (0; x) F 1 u +F (0; y) F 1 v olur. (3:8) ve (5:50) den Fu F Fu1 = 1 2F [ (0; 1; 0; 0) (0; 2( (q3+ vt3) (q 0 2+ vt02) + (q2+ vt2) (q30 + vt03)); 2( (q3+ vt3) (q01+ vt01) (q1 + vt1) (q30 + vt03)); 2((q2+ vt2) (q10 + vt01) (q1 + vt1) (q20 + vt02))) + (0; 0; 1; 0) (0; 2( (q3+ vt3) t2+ (q2+ vt2) t3); 2( (q3+ vt3) t1 + (q1+ vt1) t3); 2((q2+ vt2) t1 (q1+ vt1) t2)] F 1 Fv F Fv1
dir. Yani Fu F Fu1 = 1 2[[(2( (q3+ vt3) t2+ (q2+ vt2) t3) (2( (q3 + vt3) (q20 + vt02) + (q2+ vt2) (q30 + vt03))]I [2((q2+ vt2) t1 (q1+ vt1) t2]T1 [2((q2+ vt2) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q02+ vt20))]T2+ [(2( (q3+ vt3) (q10 + vt01) (q1+ vt1) (q30 + vt03)) 2( (q3+ vt3) t2+ (q2+ vt2) t3)]N] Fv F Fv1
oldu¼gundan F (u; v) kuaterniyonik regle yüzeyinin ortalama e¼grili¼gi HF = 1 2[(2( (q3+ vt3) (q 0 1+ vt01) (q1+ vt1) (q30 + vt03)) 2( (q3+ vt3) t2+ (q2+ vt2) t3)] dir.
6. BÖLÜM
UYGULAMALAR Örnek 6.1 R3
1 de, s¬ras¬yla s ve t ile parametrize edilmi¸s birim h¬zl¬
kuaterniyonik
(s) = (0; cos s; sin s) ve
(t) = (cosh t; 0; sinh t) e¼grileri verilsin. O halde bu e¼grilerin te¼getleri s¬ras¬yla
t (s) = (0; sin s; cos s) ve
t (t) = (sinh t; 0; cosh t)
dir. Yukar¬da yap¬lan hesaplamalar (5:10) da dikkate al¬n¬rsa
h1 = (0; cos s; sin s) (0; sin s; cos s) + (0; sin s; cos s) (0; cos s; sin s);
h2 = (cosh t; 0; sinh t) (sinh t; 0; cosh t) + (sinh t; 0; cosh t) (cosh t; 0; sinh t);
h3 =
1
2((0; cos s; sin s) + (cosh t; 0; sinh t)) ((0; cos s; sin s) (cosh t; 0; sinh t)) +1
2((0; cos s; sin s) (cosh t; 0; sinh t)) ((0; cos s; sin s) + (cosh t; 0; sinh t)) olmak üzere
h1 = 0; h2 = 0; h3 = 1
dir. Di¼ger taraftan (5:10) e¸sitli¼ginden
(f1;f2;f3) (0; sin s; cos s) + (0; sin s; cos s) (f1;f2;f3) =h1;
(f1;f2;f3) (sinh t; 0; cosh t) + (sinh t; 0; cosh t) (f1;f2;f3) =h2;
(f1;f2;f3) (0; cos s; sin s) (cosh t; 0; sinh t)
+ ((0; cos s; sin s) (cosh t; 0; sinh t)) (f1;f2;f3) =h3
(6.1)
lineer denklem sistemi elde edilir. (6:1) lineer denklem sisteminde basit hesaplamalarla rasyonel aç¬ortay yüzeyi
olarak elde edilir. Burada f1 = 1 K[ sin s cosh t]; f2 = 1 K[ cos s sinh t]; f3 = 1 K[ sin s sinh t]; K = sin s sinh t dir. ¸
Sekil 6.1. (s) = (0; cos s; sin s) ; ¸Sekil 6.2. ·Iki split kuaterniyonik (t) = (cosh t; 0; sinh t) ; 0 s e¼gri ile elde edilen rasyonel
0 t 2: F (s; t) aç¬ortay yüzeyi.
Örnek 6.2. R3
1 de, s¬ras¬yla s ve t ile parametrize edilmi¸s birim h¬zl¬iki
kuaterniyonik e¼gri a¸sa¼g¬daki gibi verilsin:
(s) = (sinh s; cosh s; 0); (t) = (3t; 2t; 2t):
O halde (3:10) e¸sitli¼gi bu e¼griler için göz önüne al¬n¬rsa m1 = (sinh s; cosh s; 0) (cosh s; sinh s; 0)
+ (cosh s; sinh s; 0) (sinh s; cosh s; 0); m2 = (3t; 2t; 2t) (3; 2; 2) + (3; 2; 2) (3t; 2t; 2t);
m3 =
1
2((sinh s; cosh s; 0) + (3t; 2t; 2t)) (sinh s; cosh s; 0) (3t; 2t; 2t) +1
2((sinh s; cosh s; 0) (3t; 2t; 2t)) (sinh s; cosh s; 0) + (3t; 2t; 2t) olmak üzere
m1 = 0; m2 = t; m3 =
1 2 1 + t
2
dir. Di¼ger taraftan (5:10) e¸sitli¼ginden
(h1;h2;h3) (cosh s; sinh s; 0) + (cosh s; sinh s; 0) (h1;h2;h3) =m1;
(h1;h2;h3) (3; 2; 2) + (3; 2; 2) (h1;h2;h3) =m2;
(h1;h2;h3) (sinh s; cosh s; 0) (3t; 2t; 2t)
+ ((sinh s; cosh s; 0) (3t; 2t; 2t)) (h1;h2;h3) =m3
(6.2) lineer denklem sistemi elde edilir. (6:2) lineer denklem sisteminde basit hesaplamalarla rasyonel aç¬ortay yüzeyi
H (s; t) = (h1(s; t) ;h2(s; t) ;h3(s; t)) ; dir. Burada h1 = 1 K[(1 + t 2 ) sinh s]; h2 = 1 K[(t 2 1) cosh s]; h3 = 1 K[(1 t 2 )(cosh s + 3 2sinh s) + t(cosh 2 s + sinh2s)] ve K = 2 cosh2s 2 sinh2s
dir.
¸
Sekil 6.3. (s) = (sinh s; cosh s; 0); ¸Sekil 6.4. ·Iki split kuaterniyonik (t) = (3t; 2t; 2t); 0 s 2 e¼gri ile elde edilen rasyonel
t 2 : H (s; t) aç¬ortay yüzeyi.
Örnek 6.3. R31 de, s¬ras¬yla s ve t ile parametrize edilmi¸s birim h¬zl¬iki kuaterniyonik e¼gri a¸sa¼g¬daki gibi verilsin:
(s) = (0; cos s; sin s); (t) = (2t; 0;p3t): O halde rasyonel aç¬ortay yüzeyi
Y (s; t) = (y1(s; t) ;y2(s; t) ;y3(s; t)) ; dir. Burada y1 = 1 K[ 3 2 t 2 1 sin s t]; y2 = 1 K[(t 2 1) cos s]; y3 = 1 K[(t 2 1) sin s] ve K = 2
dir.
¸
Sekil 6.5. (s) = (0; cos s; sin s); ¸Sekil 6.6. ·Iki split kuaterniyonik (t) = (2t; 0;p3t); 0 s 2 e¼gri ile elde edilen rasyonel
0 t 2: Y (s; t) aç¬ortay yüzeyi.
Örnek 6.4R3
1 de, s¬ras¬yla sabit bir nokta ve s yay uzunlu¼gu parametresi
ile parametrize edilmi¸s bir birim h¬zl¬kuaterniyonik e¼gri b = (1; 1; 1) ;
a (s) = (cosh s; 0; sinh s)
olsun. O halde bu e¼grinin te¼geti vek (s0)e¼grisininP (s) yön vektörü s¬ras¬yla
ta(s) = (sinh s; 0; cosh s) ;
P (s) = ( cosh s; 1 + sinh s cosh s; sinh s) d¬r. Yukar¬da yap¬lan hesaplamalar (5:35) de dikkate al¬n¬rsa
h1 = (cosh s; 0; sinh s) (sinh s; 0; cosh s)
+ (sinh s; 0; cosh s) (cosh s; 0; sinh s);
h2 = (1; 1; 1) ( cosh s; 1 + sinh s cosh s; sinh s)
+ ( cosh s; 1 + sinh s cosh s; sinh s) (1; 1; 1); h3 =
1
2((cosh s; 0; sinh s) + (1; 1; 1)) (cosh s; 0; sinh s) (1; 1; 1) +1
olmak üzere
(f1;f2;f3) (sinh s; 0; cosh s) + (sinh s; 0; cosh s) (f1;f2;f3) = 0;
(f1;f2;f3) ( cosh s; 1 + sinh s cosh s; sinh s)
+ ( cosh s; 1 + sinh s cosh s; sinh s) (f1;f2;f3) = 1;
(f1;f2;f3) (cosh s; 0; sinh s) (1; 1; 1)
+ ((cosh s; 0; sinh s) (1; 1; 1)) (f1;f2;f3) = 1
(6.3)
lineer denklem sistemi elde edilir. (6:3) lineer denklem sisteminde basit hesaplamalarla rasyonel aç¬ortay yüzeyinin taban e¼grisi
F (s) = (f1(s) ;f2(s) ;f3(s))
olarak elde edilir. Burada f1 = 1 K[ cosh 2 s + sinh s cosh s]; f2 = 1 K[ sinh s cosh s]; f3 = 1 K[ sinh 2 s + sinh s cosh s];
K = 1 + cosh2s + sinh2s (sinh s cosh s) (sinh s + cosh s) dir. O halde sabit bir nokta ve reel split kuaterniyonik bir e¼gri ile elde edilen O (s; t) = (o1(s; t) ;o2(s; t) ;o3(s; t)) aç¬ortay yüzeyi
o1 =
1
K[ cosh
2s + sinh s cosh s t cosh s];
o2 =
1
K[ sinh s cosh s + t[1 + sinh s cosh s]]; o3 =
1
K[ sinh
2s + sinh s cosh s t sinh s]
olmak üzere
dir.
¸
Sekil 6.7. a (s) = (cosh s; 0; sinh s) ; Sekil 6.8. Bir nokta ve bir split¸ b = (1; 1; 1) ; 0 s =10 kuaterniyonik e¼gri ile elde edilen
2 t 2 rasyonel O (s; t) aç¬ortay yüzeyi.
Örnek 6.5R31 de, s¬ras¬yla sabit bir nokta ve s yay uzunlu¼gu parametresi ile parametrize edilmi¸s bir birim h¬zl¬kuaterniyonik e¼gri
w = (1; 0; 1) ; q (s) = (0; cos s; sin s) olsun. O halde k (s0)e¼grisinin P (s) yön vektörü
P (s) = (sin s 1; cos s; sin s) d¬r. Yukar¬da yap¬lan hesaplamalar (5:35) de dikkate al¬n¬rsa
r1 = (0; cos s; sin s) (0; sin s; cos s)
+ (0; sin s; cos s) (0; cos s; sin s); r2 = (1; 0; 1) (sin s 1; cos s; sin s)
+ (sin s 1; cos s; sin s) (1; 0; 1); r3 =
1
2((0; cos s; sin s) + (1; 0; 1)) (0; cos s; sin s) (1; 0; 1) +1
olmak üzere 2
4 1 0sin s cos ssin s cos ssin s 1 cos s sin s 1 3 5 2 4 ff12 f3 3 5 = 2 4 1 2 sin s0 1 3 5 (6.4)
matris denklemi elde edilir. (6:5) matris lineer denkleminden basit hesapla- malarla rasyonel aç¬ortay yüzeyinin taban e¼grisi
F (s) = (f1(s) ;f2(s) ;f3(s))
olarak elde edilir. Burada f1 = 1 K[2 sin 2s 3 sin s + 2]; f2 = 1 K[sin s cos s]; f3 = 1 K[sin 2s]; K = sin2s 2 sin s + 2
dir. O halde sabit bir nokta ve reel split kuaterniyonik bir e¼gri ile elde edilen E (s; t) = (e1(s; t) ;e2(s; t) ;e3(s; t))aç¬ortay yüzeyi e1 = 1 K[2 sin 2s 3 sin s + 2 + t (sin s 1)]; e2 = 1
K[sin s cos s t cos s]; e3 = 1 K[sin 2s t sin s] olmak üzere E (s; t) = F (s) + tP (s)
dir.
¸
Sekil 6.9. q (s) = (0; cos s; sin s) ; Sekil 6.10. Bir nokta ve bir split¸ w = (1; 0; 1) ; 0 s kuaterniyonik e¼gri ile elde edilen 0 t =2 rasyonelE (s; t) aç¬ortay yüzeyi.
7. BÖLÜM SONUÇ
Minkowski uzay¬nda x, y ve z eksenleri etraf¬nda dönerek olu¸san helikal spiraller tan¬mland¬. Spiralin timelike ve spacelike olma durumuna göre, bu spirali merkez e¼gri olarak alan deniz kabu¼gu yüzeyi tan¬mland¬. Ayr¬ca bu e¼grinin baz¬ karakterizasyonlar¬ yard¬m¬yla kuaterniyonik deniz kabu¼gu yüzeyi tan¬mlan¬p, bu yüzeyin Gauss ve ortalama e¼grilikleri kuaterniyonik i¸slemlerle elde edildi.
Di¼ger taraftan, Minkowski uzay¬nda iki split kuaterniyonik e¼gri ile elde edilen ve bir split kuaterniyonik e¼gri ile bir noktadan elde edilen rasyonel aç¬ortay yüzeyi tan¬plan¬p bu yüzeyin baz¬dejenere durumlar¬elde edilmi¸stir. Ek olarak bu yüzeylerin Gauss ve ortalama e¼grilikleri dördüncü bölümle ben- zer ¸sekilde klasik diferensiyel geometriden farkl¬olarak kuaterniyonik i¸slem- lerle elde edilmi¸stir.
4. bölümdeki teoremlere ba¼gl¬olarak a¸sa¼g¬daki baz¬sonuçlar elde edildi. Sonuç 7.1 R3
1 de (4:22) denklemi ile verilen deniz kabu¼gu yüzeyi ve bir
q ('; ) spacelike vektör parçal¬ timelike birim kuaterniyonu için spacelike N( ) vektörüne dik p ('; ) ve r ('; ) birim timelike vektörleri verilsin. O halde p ('; ) ve r ('; ) vektörleri aras¬ndaki aç¬' ise deniz kabu¼gu yüzeyi
S ('; ) = H ( ) + 1 2P (') a ( ) [T ( ) (r ('; ) p 1 ('; ) +r ('; ) p 1('; ) B ( )) +r ('; ) p 1('; ) (N ( ) + T ( ) )] dir.
Sonuç 7.2 R31 de (4:19) denklemi ile verilen deniz kabu¼gu yüzeyi için N( ) birim spacelike vektörüne dik s ('; ) ve l ('; ) birim spacelike vek- törleri verilsin. O halde s ('; ) ve l ('; ) vektörleri aras¬nda ki aç¬' ise bu deniz kabu¼gu yüzeyinin denklemi
S ('; ) = H ( ) + 12P (') a ( ) [T ( ) (l ('; ) s 1('; ) +l ('; ) s 1('; ) B ( )) +l ('; )
dir. Burada jhs ('; ) ; l ('; )ij > 1 dir.
Sonuç 7.3 R31 de (4:31) denklemi ile verilen deniz kabu¼gu yüzeyi ve bir q ('; ) spacelike vektör parçal¬ timelike birim kuaterniyonu için spacelike T( ) vektörüne dik p ('; ) ve r ('; ) birim timelike vektörleri verilsin. O halde p ('; ) ve r ('; ) vektörleri aras¬ndaki aç¬' ise deniz kabu¼gu yüzeyi
S ('; ) = H ( ) + P (') a ( ) r ('; ) p 1('; ) N ( ) dir.
Sonuç 7.4R3
1de (4:31) denklemi ile verilen deniz kabu¼gu yüzeyi için T ( )
birim spacelike vektörüne dik s ('; ) ve l ('; ) birim spacelike vektörleri verilsin. O halde s ('; ) ve l ('; ) vektörleri aras¬ndaki aç¬ ' ise bu deniz kabu¼gu yüzeyinin denklemi
S ('; ) = H ( ) + P (') a ( ) l ('; ) s 1('; ) N ( ) dir. Burada jhs ('; ) ; l ('; )ij > 1 dir.
Sonuç 7.5 R3
1 de (4:36) denklemi ile verilen deniz kabu¼gu yüzeyi ve bir
q ('; ) timelike vektör parçal¬timelike birim kuaterniyonu için timelike T ( ) vektörüne dik s ('; ) ve l ('; ) birim spacelike vektörleri verilsin. O halde s ('; ) ve l ('; ) vektörleri aras¬ndaki aç¬' ise deniz kabu¼gu yüzeyi
S ('; ) = H ( ) + P (') a ( ) N ( ) s ('; ) l ('; ) dir.
Bu çal¬¸sma Minkowski uzay¬nda deniz kabu¼gu yüzeyi ve aç¬ortay yüzey- lerinin ara¸st¬r¬lmas¬nda önemli bir referans olacakt¬r.
Bu çal¬¸smada deniz kabu¼gu yüzeyi Minkowski uzay¬nda ilk kez tan¬m- land¬¼g¬ndan bu yüzey Minkowski uzay¬nda uygun çal¬¸smalara aç¬kt¬r.
KAYNAKLAR
[1] Alagöz, Y., Oral, K.H., Yüce, S., 2012. Split Quaternion Matri- ces, Miskolc Mathematical Notes, 13(2), 223–232.
[2] Ashline, G.L., Kadas, Z.M., Monaghan, J.A.E., McCabe, D.J., 2009, Modeling Seashell Morphology.
[3] Ata E., Yayl¬ Y., 2009. Dual Quaternions and Dual Projective Spaces, Solitions&Fractals, 40(3), 1255-1263.
[4] Babaarslan M., 2013. Sabit E¼gimli Yüzeyler ve Uygulamalar¬, Ankara Üniv. Fen Bil. Ens., Doktora Tezi, Ankara.
[5] Beem, J. K., Ehrlich, E. P., 1981. Global Lorentzian Geometry, Marcel Dekker. Inc., New York.
[6] Carmo M.P., 1976. Di¤erential Geometry of Curves and Surfaces, Englewood Cli¤s, Prentice Hall.
[7] Chen, B.Y., 1973. Geometry of Submanifolds, Marcel Dekker Inc., pp. 310, New York.
[8] Elber, G., Kim, M.S., 2000. A Computational Model for Nonra- tional Bisector Surfaces: Curve-Surface and Surface-Surface Bisectors, 364- 372.
[9] Elber, G., Myung-Soo, K., 1998. The Bisector Surface of Rational Space Curves, ACM Transactions on Grap., 17, 32-49.
[10] Gray, A., 1999. Modern Di¤erential Geometry of Curves and Sur- faces with Mathematica, second ed., CrcPress, USA.
[11] Hanson, A.J., 1998. Quaternion Gauss Maps and Optimal fram- ings of Curves and Surfaces, Technical Report No:518, Indiana University, Indiana.
[12] Inoguchi, J., 1998. Timelike Surfaces Of Constant Mean Curvature in Minkowski 3-Space, Tokyo J. Math., 21(1).
[13] Jirapong, K., Krawczyk, R.J., 2003. Seashell Architectures, ISAMA, Bridges Conference.
[14] Körp¬nar, T., Turhan, E., 2013. Parallel Surfaces to Normal Ruled Surfaces of General Helices in the Sol Space, Bol. Soc. Paran. Mat, 31(2), 245–253.
[15] Körp¬nar, T., Turhan, E., 2012. Rect¬fy¬ng Developable Surface of T¬mel¬ke B¬harmon¬c Curve in The Lorentz¬an He¬senberg Group He¬s, TWMS J. App. Eng. Mat, 2(1), 101-108.
[16] Kula, L., Yayl¬, Y., 2007. Split Quaternions and Rotations in Semi Euclidean Space, J. Korean Math. Soc., 44(6),1313-1327.
[17] Leunenn J.A.J., 2012. Q-Formulae, http://www.e-physics.eu. [18] Lopez, R., 2014. Diferential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz- Minkowski space, arXiv:0810.3351v2.
[19] Mandic D.P., Jahanchahi C., Took C.C., 2011. A Quaternion Gradient Operator and Its Applications, IEEE Signal Pro. Letters, 18(1), 47-50.
[20] Naser, R.G.G., 2013. Kuaterniyonlar ve ·Interpolasyonlar, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi, Ankara.
[21] Nomizu, K., 1966. Fundamentals of Linear Algebra, McGraw-Hill Book Company, New York.
[22] Okuyucu O. Z., 2013. Characterizations of The Quaternionic Mannheim Curves in Euclidean Space E4, arxiv: 1301.5666v1 [math.DG].
[23] O’Neill, B., 1983. Semi-Riemannian Geometry, Academic Press, New York.
[24] Özdemir, M., 2009. The Roots of a Split Quaternion, Applied Mathematics Letters, 22, 258–263.
[25] Özdemir, M., Ergin, A.A., 2008. Timelike Quaternion Frame of a Non-Lightlike Curve, Beitr¨ Age Zur Algebra Und Geometrie Contributions To Algebra And Geometry, 49(2), 325-333.
[26] Özdemir, M., Ergin, A.A., 2006. Rotations with Unit Timelike Quaternions in Minkowski 3 Space, Jour. Geom. Phy., 56, 322-336.
[27] Peternell, M., 2000. Geometric Properties of Bisector Surfaces, Graphical Models, 62, 202–236.
[28] Picado, J., 2009, Seashell: The Plainness and Beauty of Their Math- ematical Description.
[29] Sabuncuo¼glu, A., 2007. Diferensiyel Geometri, Nobel Yay¬nc¬l¬k, Ankara.
[30] Savc¬, Ü. Z., 2011. 3-Boyutlu Öklid Uzay¬nda Paralel Regle Wein- garten Yüzeyler Üzerine, Eski¸sehir Osmangazi Üniversitesi Fen Bilimleri En- stitüsü, Doktora Tezi, Eski¸sehir.
[31] Shen, L.Y., Diaz, S.P., 2014. Characterization of Rational Ruled Surfaces, Journal of Symbolic Computation, 63, 21-45.
[32] ¸Senyurt S., Çal¬¸skan A., 2015. An Application According to Spa- tial Quaternionic Smarandache Curve, App. Math. Sci., 9(5), 219-228.
[34] Wang J., 1997. Quaternions and Cayley Numbers Algebra and Ap- plications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
[35] Wang X., Goldman R., 2015. Quaternion Rational Surfaces: Ra- tional Surfaces Generated from The Quaternion Product of Two Rational Space Curves, Graph. Models, 81, 18-32.
[36] Yoon D.W., Tunçer Y., Karacan M.K. , 2013. Generalized Mannheim Quaternionic Curves in Euclidean 4-Space, App. Math. Sci., 7(132), 6583-6592.
[37] Yu, Y., Liu, H., Jung, S.D., 2014. Structure and Character- ization of Ruled Surfaces in Euclidean 3-Space, Applied Mathematics and Computation, 233, 252-259.
[38] Zhao, X., Wang, H., Komura, T., 2014. Indexing 3D Scenes Us-
ÖZGEÇM·I¸S
1986 y¬l¬nda Elaz¬¼gda do¼gmu¸sum. ·Ilk, orta ve lise ö¼grenimimi Elaz¬¼g’da tamamlad¬m. 2003 y¬l¬nda F¬rat Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matem- atik Bölümünü kazand¬m. 2007 y¬l¬nda Lisans ö¼grenimimi, 2012 y¬l¬nda ise F¬rat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Geometri Bilimdal¬nda yüksek lisans ö¼grenimimi tamamlad¬m. Daha sonra ayn¬ y¬l F¬rat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Geometri Bilimdal¬nda Doktora ö¼grenimime ba¸slad¬m. 2010 y¬l¬ndan itibaten Mu¸s Alparslan Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ara¸st¬rma Görevlisi olarak çal¬¸smaktay¬m. Evli ve iki çocuk babas¬y¬m.