As ferramentas informáticas dos SIG permitem o armazenamento de informação georreferenciada, com a integração de vários formatos e tipos de dados. Estes sistemas oferecem simultaneamente diversas modalidades de visualização e exploração dos dados armazenados, permitindo o desenvolvimento de complexas operações de análise espacial.
No caso da maioria dos fenómenos naturais que têm propriedades que variam em todas as dimensões do espaço, geralmente, as informações sobre as propriedades destes fenómenos são obtidas de forma discreta, a partir de um número limitado de medidas pontuais realizadas em campo. As ferramentas de interpolação espacial possibilitam gerar superfícies contínuas a partir de informação pontual, permitindo representar num mapa a geometria espacial contínua das estruturas e as características que configuram o fenómeno.
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A interpolação de dados é uma técnica usualmente adotada para estimar valores desconhecidos de uma variável, a partir de valores conhecidos da mesma variável, ou seja, envolve a estimativa do valor de um atributo em locais não amostrados, a partir de pontos amostrados na mesma área ou região.
A interpolação espacial baseia-se no conceito enunciado pela primeira lei da geografia, proposto por Waldo Tobler (in LI &HEAP, 2008): tudo está relacionado
mas as realidades tendem a ser semelhantes em locais mais próximos do que em locais mais afastados. Esse conceito fundamenta a base das relações espaciais entre fenómenos geográficos e a correlação espacial. Os métodos de interpolação espacial podem ser agrupados em três categorias: métodos determinísticos, geoestatísticos e métodos combinados (LI &HEAP, 2008).
Os métodos determinísticos calculam superfícies, baseadas na extensão de semelhança entre os pontos ou no grau de suavidade pretendido, através de funções matemáticas. No que diz respeito aos métodos geoestatísticos, estes geram superfícies baseando-se em estatísticas e modelos de previsão de superfícies que incluem erros e incerteza na previsão. Finalmente os métodos combinados resultam da combinação dos dois anteriores.
Dentro dos diferentes métodos existentes destacam-se os seguintes: Ponderação pelo Inverso da Distância (Inverse Distance Weighting - IDW), Spline e Krigagem (Kriging).
A Ponderação pelo Inverso da Distância (Inverse Distance Weighting - IDW) é um método determinístico e local (JOHNSTON et al., 2001). O método IDW é um interpolador exato (i.e., a superfície estimada passa pelos valores observados), que se baseia no facto de que a superfície de interpolação deve ser influenciada por pontos mais próximos e menos influenciada por pontos mais distantes (ESRI, 1999). A cada amostra, pertencente à vizinhança local do ponto a estimar, é associado um peso com base no inverso da sua distância ao ponto a estimar, elevada a uma potência. Quanto maior for o valor da potência dos pesos, menor o efeito que os pontos têm na malha de pontos durante a interpolação. Este método tem a tendência a gerar padrões de contornos concêntricos ao redor dos pontos observados. Este efeito pode ser
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minimizado pela adoção de um parâmetro de suavização (SOARES, 2000), mas que conduz a que o interpolador já não seja exato.
Portanto, a equação do método IDW é apresentada na forma (MERWADE et al.,
2006):
∗ = ∑
∑ (Equação 1)
Z*: valor interpolado/estimado
di: distância do ponto amostrado i à localização que se pretende estimar Zi: valor do ponto amostrado i
p: exponente de ponderação da distância
n: número de pontos amostrados considerados na interpolação
A influência de cada uma das amostras no valor estimado de um ponto é obtida pelo inverso da distância ao ponto elevado a uma potência. A escolha da potência é arbitrária, quanto maior for a potência, maior será a influência da amostra mais próxima e, caso a potência seja nula, o ponderador é igual para qualquer amostra. A potência mais utilizada é “2”, sendo por isso conhecido pelo método do inverso do quadrado das distâncias.
Neste método, os valores interpolados nunca atingem o valor máximo ou mínimo das amostras (JOHNSTON et al., 2003), podendo, nestes casos, os resultados da
interpolação não transporem a realidade (e.g. linhas de cumeada).
O IDW é um método que apresenta bons resultados com dados regularmente espaçados, consequentemente o mesmo não se verifica quando os dados se encontram aglomerados (clustering) (ISAAKS &SRIVASTAVA, 1989).
A interpolação por spline também é um método determinístico, local e exato. Este método utiliza um polinómio para interpolar os valores observados nos pontos de amostragem. A superfície interpolada passa em todos os pontos observados e pode exceder o intervalo de valores da amostra (CABRAL, 2011; JOHNSTON et al., 2003).
Este efeito é particularmente útil pois permite estimar valores que se encontram acima, ou abaixo, dos valores observados na amostra.
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= + + + (Equação 2)
As interpolações polinomiais apresentam como inconveniente produzirem superfícies suavizadas e pouco sensíveis a variações locais. Assim sendo, o spline é um método com melhores resultados para capturar a tendência global de superfícies. Ou seja, quando os pontos se encontram muito próximos e têm diferenças muito grandes nos seus valores, este interpolador não produz bons resultados(CABRAL,
2011).
O método spline inclui duas técnicas: regularized e tension. O spline do tipo Tension gera uma superfície mais plana que o spline do tipo Regularized, forçando a superfície produzida a permanecer constrangida aos valores reais dos pontos, i.e. passando pelos pontos amostrados. Já o spline Regularized cria uma superfície suave, que muda gradualmente, estima valores que podem sair do intervalo de dados de amostragem (MERWADE et al., 2006).
A krigagem (kriging) é um método de interpolação geoestatística baseado numa média móvel ponderada, sendo que os pesos atribuídos às amostras são calculados de forma a minimizar a variância de estimação, calculada em função do variograma e da localização relativa de cada uma das amostras ao ponto que se pretende estimar (GOOVAERTS,1997;SOARES,2000).
Segundo JOHNSTON et al., (2001) a krigagem é um interpolador estocástico
estacionário.
Este processo foi designado de krigagem por Georges Matheron em honra a Daniel Krige. Nos anos 60, o cientista francês Matheron descobriu o trabalho pioneiro do Engenheiro Krige o qual efetuou estudos empíricos em minas de ouro na África do Sul, permitindo-lhe concluir que apenas a informação fornecida pela variância era insuficiente para explicar o fenómeno em estudo, tornando-se necessário ter em consideração a distância entre as observações e a sua dependência espacial. GEORGES
MATHERON (1963, 1965) formalizou matematicamente o estimador linear
geoestatístico (kriging), com base na teoria das variáveis regionalizadas. Os valores deste tipo de variável dependem da localização espacial, pelo que as variáveis
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regionalizadas têm características intermédias entre as variáveis puramente aleatórias e as variáveis determinísticas.
A krigagem resulta de um conjunto de algoritmos de regressão de mínimos quadrados generalizados que fornecem estimativas não enviesadas de valores no espaço a partir de um conjunto de observações recolhidas em várias localizações, e que usam o modelo de covariâncias espaciais estimado a partir dos dados observados (GOOVAERTS,1997;SOARES,2000).
Entre as técnicas de interpolação que consideram médias ponderadas, a krigagem é o melhor estimador não enviesado, estejam ou não os dados normalmente distribuídos. (JOHNSTON et al., 2003).
Uma das vantagens deste método de interpolação é a modelação de fenómenos anisotrópicos e, não sendo um método totalmente isento de erro, permite calcular o erro de estimação e a construção de mapas de erro e superfícies de probabilidade (LINDLEY et al., 2004).
O estimador de krigagem pondera os valores medidos (observados) na vizinhança do ponto a estimar, ou seja baseia-se na soma ponderada dos dados (JOHNSTON et al.,
2001).
= ∑ (Equação 3)
Sendo o valor medido na i-ésima localização; corresponde a um peso desconhecido para os valores medidos na i-ésima localização; é a localização a prever; N refere-se ao número de valores medidos.
A família de técnicas kriging abrange um conjunto de métodos ligeiramente diferentes entre si, apesar da filosofia subjacente ser a mesma. Neste trabalho serão utilizados métodos univariados: o Simple kriging, o Ordinary kriging, Universal kriging
O Simple kriging exige o pressuposto de que as médias locais são relativamente constantes e de valor semelhante à média da população que é conhecida. A média da população é utilizada para cada estimação local, em conjunto com os pontos vizinhos estabelecidos como necessários para a estimação (GOOVAERTS,1997;SOARES,2000).
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No Ordinary kriging, não se assume que as médias locais sejam idênticas à média da população, nem conhecidas, usando-se as amostras vizinhas da localização a estimar para inferir as médias locais. Assim, esta técnica tem em conta as variações locais da média, porque limita o seu domínio de estacionaridade a uma vizinhança local (SOARES,2000).
No Universal kriging, as médias locais não são conhecidas, mas assume que são influenciadas por uma tendência geral. Este método especifica que a média da amostra a ser estimada varia primeiro dentro da vizinhança e depois sobre toda a área de estudo considerada. A componente de tendência é modelada como uma combinação linear de funções das coordenadas espaciais. Esta técnica considera, simultaneamente, a tendência e a estimativa dos valores e, como consequência, os erros de estimativa incluem os erros associados à estimativa da superfície de tendência (LANDIM et a.l, 2002).
Neste trabalho será usado o IDW e os métodos de Kriging (ordinary kriging, simple kriging e universal kriging).