Mukaddime’deki Anahtar Kavramlar

6.1

Conclus˜oes

Neste trabalho foi desenvolvido um estudo de inferˆencia e diagn´ostico em modelos as- sim´etricos. A an´alise de diagn´ostico foi baseada em t´ecnicas gr´aficas (envelope simulado) e an´alises de influˆencia global, local e alavancagem, atrav´es da metodologia de Zhu e Lee (2001) para dados incompletos. Para os modelos j´a existentes normais assim´etricos (Azzalini, 1985, 1986) e t-normais assim´etricos (G´omez et al., 2007), foram desenvolvidos modelos de regress˜ao. Ainda, foram desenvolvidas duas novas classes de modelos assim´etricos, a de mis- tura de escalas normais e a de modelos mistos de misturas de escalas normais assim´etricos. Na parte de estima¸c˜ao dos parˆametros dos modelos, foram obtidas solu¸c˜oes num´ericas dos estimadores de m´axima verossimilhan¸ca via algoritmo EM para todos os modelos estuda- dos. Foram utilizados os sistemas R Gui e Matlab para as programa¸c˜oes dos processos de estima¸c˜ao e diagn´osticos dos modelos estudados.

O Cap´ıtulo 1 descreveu a distribui¸c˜ao normal assim´etrica introduzida por Azzalini (1985, 1986), destacando suas propriedades. Estima¸c˜ao, qualidade do ajuste e an´alise de diagn´ostico foram realizadas em um conjunto de dados simulados e tamb´em em uma aplica¸c˜ao a dados reais, considerando um conjunto de dados da ´area de medicina, em um estudo sobre qualidade de vida de pacientes com cˆancer de mama.

O Cap´ıtulo 2 descreveu o modelo t-normal assim´etrico, introduzido por G´omez et al. (2007), seus momentos, distribui¸c˜ao de uma forma quadr´atica e as matrizes de informa¸c˜ao observada e esperada. Estima¸c˜ao, qualidade do ajuste e an´alise de diagn´osticos foram re- alizadas em um estudo de simula¸c˜ao e para uma conjunto de dados reais, considerando medi¸c˜oes de gordura corporal e quantidade de manchas na pele de atletas australianos.

6.2 Perspectivas para Pesquisas Futuras 123 O Cap´ıtulo 3 apresentou uma nova fam´ılia de distribui¸c˜oes assim´etricas univariadas usan- do distribui¸c˜oes sim´etricas com mistura de escalas normais (Andrews e Mallows, 1974; Lange e Sinsheimer, 1993), englobando as distribui¸c˜oes normal, t de Student, slash, normal contami- nada e exponencial potˆencia assim´etricas. Propriedades das distribui¸c˜oes foram estudadas e a implementa¸c˜ao do algoritmo EM foi facilitada pelo fato de os passos E serem exatamente como na fam´ılia de modelos normal/independente (NI), proposta em Lange e Sinsheimer (1993), obtendo uma solu¸c˜ao anal´ıtica (no passo M) para o estimador dos parˆametros do modelo de regress˜ao. As matrizes de informa¸c˜ao de Fisher observadas foram calculadas para cada distribui¸c˜ao. Um estudo de convergˆencia do algoritmo EM foi desenvolvido. Uma aplica¸c˜ao do modelo foi realizada, considerando o conjunto de dados dos atletas australianos, ajustada para cada distribui¸c˜ao de mistura assim´etrica, constru´ıdos gr´aficos de envelopes e desenvolvida a an´alise de diagn´osticos para esse conjunto de dados.

O Cap´ıtulo 4 apresentou uma nova classe de modelos lineares mistos, atrav´es da classe de distribui¸c˜oes de misturas de escalas normais assim´etricas abordadas no Cap´ıtulo 3. O al- goritmo EM foi desenvolvido, obtendo uma solu¸c˜ao anal´ıtica para os estimadores. A Matriz de Informa¸c˜ao Observada foi calculada via aproxima¸c˜ao de Louis (1982), utilizando os dados incompletos. Um estudo de simula¸c˜ao utilizando a distribui¸c˜ao t-normal assim´etrica foi con- duzido, sob perturba¸c˜ao de alguns pontos e verificadas a capacidade do modelo de detectar pontos extremos. Ainda, uma aplica¸c˜ao utilizando os dados de colesterol de Framingham foi desenvolvida, ajustando cada distribui¸c˜ao de mistura, sendo desenvolvida a an´alise de diagn´osticos para esse conjunto de dados.

A an´alise de diagn´osticos foi realizada em todos os modelos, considerando as perturba¸c˜oes de pondera¸c˜ao de casos, perturba¸c˜ao no parˆametro de escala σ2_{, perturba¸c˜ao no parˆametro}

de assimetria λ, perturba¸c˜ao nas vari´aveis Resposta e Explicativa, bem como as matrizes de alavanca calculadas. Para o modelo misto, as perturba¸c˜oes nos parˆametros de escala foram calculadas para os parˆametros σ2

e e σ2b.

6.2

Perspectivas para Pesquisas Futuras

Os modelos desenvolvidos neste trabalho permitem tanto extens˜oes para o caso multi- variado, bem como extens˜oes da classe de misturas assim´etricas a outros modelos estat´ısticos.

6.2 Perspectivas para Pesquisas Futuras 124 Os modelos de misturas assim´etricos podem ser estendidos para o caso multivariado, tendo em vista que as distribui¸c˜oes de mistura sim´etricas multivariadas existem na lite- ratura, bem como as distribui¸c˜oes das vari´aveis de mistura U multivariadas e as esperan¸cas condicionais E(k−1_{(U )|Y) (Salgado, 2006). O modelo misto multivariado pode ser desen-}

volvido, considerando o efeito aleat´orio bi multivariado, sendo os c´alculos de estima¸c˜ao dos

parˆametros via Algoritmo EM e da matriz de informa¸c˜ao observada an´alogos aos desenvolvi- dos no Cap´ıtulo 4.

Em rela¸c˜ao `a extens˜oes da classe de misturas assim´etricas a outros modelos estat´ısticos, destaca-se alguns modelos em particular.

Modelo de Calibra¸c˜ao Comparativa Estrutural

Suponha que se tenha `a disposi¸c˜ao p ≥ 2 instrumentos utilizados para medir uma carac- ter´ıstica de interesse x em um grupo de n unidades experimentais. Seja xi o verdadeiro valor

(desconhecido) na unidade i e yij o valor medido obtido com o instrumento j na unidade i,

i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , p. O modelo de calibra¸c˜ao comparativa estrutural ´e definido pelo seguinte modelo linear

Yi = a + bxi+ ǫi, (6.1)

onde a = (0; α⊤₎⊤ _{= (0; α}

2, . . . , αp)⊤ e b = (0; β⊤)⊤ = (0; β2, . . . , βp)⊤ s˜ao vetores p × 1;

Yi = (yi1, . . . , yip)⊤ e ǫi = (ǫi1, ǫip)⊤ s˜ao vetores aleat´orios p × 1. ´E comum assumir que

ǫi iid

∼ Np(0; D(φ)) e xi iid

∼ N1(µx; σx2), (6.2)

i = 1, . . . , n, com D(φ) = diag(φ1, . . . , φp) e φ = (φ1, . . . , φp). Estudos inferenciais nesta

classe de modelos podem ser encontrados em Galea (1995). Assim, as componentes aleat´orias ǫie/ou xipodem ser modeladas com distribui¸c˜ao de misturas de escalas normais assim´etricas.

Modelos de Regress˜ao com Erros nas Vari´aveis com Intercepto Nulo Este modelo linear ´e definido por

xi = ξi+ δi,

yi = ηi+ ǫi,

η_i = Xiβi, i = 1, . . . , p,

6.2 Perspectivas para Pesquisas Futuras 125 onde xi = (xi1, . . . , xini)⊤, yi = (y⊤i1, y⊤i2)⊤ = (y1i1, . . . , ǫ1i_ni, ǫ2i1, . . . , ǫ2i_ni), β = (β1i, β2i)⊤, ξ_i = (ξi1, . . . , ξini)⊤, δi = (δi1, . . . , δini)⊤, ǫi = (ǫ⊤i1, ǫ⊤i2)⊤ = (ǫ1i1, . . . , y1ini, y2i1, . . . , y2ini) e Xi = " ξ 0 0 ξ #

. Tipicamente, sup˜oe-se que

δij iid

∼ N1(0, σ2), ǫkij ind

∼ N1(0, σǫ2i),

δij e ǫkij s˜ao n˜ao correlacionados e independentes de

ξij iid

∼ N1(µx, σx2), j = 1, . . . , ni, i = 1, . . . , p, k = 1, 2.

Para mais detalhes, veja Aoki (2001). Neste caso, a extens˜ao pode ser desenvolvida, supondo δij ou ǫkij com distribui¸c˜ao de misturas de escalas normais assim´etricas.