Motoru çalıştırma / durdurma

A diferenciação é o processo pelo qual descobrimos o valor dy_dx quando

Como qualquer outra operação matemática, o processo de diferenciação pode ser revertido. Assim, sabendo que a derivada de _y=x4 _{é dy dx=4x}3_,

alguém poderia dizer que o processo reverso da diferenciação na expressão

3

4x

y= resulta _x4_{. Contudo, existe algo curioso nesse processo. Se tivéssemos}

diferenciado as expressões _x4_{, x}4 _{+a, x}4 _{+c, ou x}4 _{com qualquer constante}

adicionada, teríamos tido como resultado _{dy dx=4x}3_{. Desse modo, fica claro que}

é preciso estar prevenido em relação às constantes quando utilizamos o processo reverso de diferenciação. Assim, se a derivada de _y=xn _{resulta dy dx=n⋅x}n−1_,

revertendo o processo em _{= ⋅} n−1 x n dx

dy , teremos y₌xn ₊C_{, sendo C uma}

constante indeterminada qualquer.

[. . .]

Vamos começar com um exemplo simples: _x2 dx dy ₌

Podemos escrever essa expressão da seguinte forma: dy₌x2dx

Ora, essa é uma “equação diferencial” que nos informa que um elemento de y é igual ao elemento correspondente de x multiplicado por _x2_{. Bem, o que}

queremos é reverter o processo de diferenciação – a integral; vamos então escrever esses elementos com o símbolo apropriado:

∫

∫

Ainda não integramos a expressão acima: apenas escrevemos instruções para executar a integração. Agora vamos tentar integrar – se for

possível. Mas, antes disso, lembre-se: muitos tolos conseguem fazer isso – por que não conseguiríamos?

O termo à direita é muito simples. A soma de todas as pequenas quantidades de y resulta no próprio y . Podemos escrever, então, que:

∫

= x dx

y 2

Ao olhar para o termo à esquerda, devemos lembrar que não precisamos somar todos os dxs simplesmente, mas todos os termos do tipo x2dx_{; e o}

resultado não será o mesmo que x2

∫

Então, devemos nos lembrar do que sabemos desse processo de integração. Nossa regra para essa operação, quando estivermos lidando com expressões do tipo n

x , será adicionar 1 ao expoente da expressão e dividir essa mesma

expressão pelo expoente alterado. Isto é, dxx2 _resultará 3

3 1

x . Transferindo o

resultado para a última equação que desenvolvemos (sem nos esquecer da constante), temos: C x y= 3 + 3 1

Pronto! Você integrou a expressão. Como é simples!

[Thompson continua o capítulo resolvendo outros tipos de “equações diferenciais” e, ao final, propõe alguns exercícios].

.:: ANEXO III – A CRÍTICA DE KARL MARX ::.

Um importante trabalho que, assim como o Calculus Made Easy, intentava desmistificar o Cálculo eram os manuscritos matemáticos de Karl Marx. Faremos, abaixo, uma breve exposição de uma das principais críticas que esse filósofo fez ao tratamento do cálculo diferencial.

Karl Marx (1818 – 1883) é muito conhecido como o fundador do materialismo histórico e dialético ou como o principal crítico do modelo capitalista. Seus estudos econômicos e filosóficos ainda hoje são cuidadosamente analisados por cientistas de diversas áreas. Curiosamente, Karl Marx se interessou também por muitas áreas científicas, escrevendo textos referentes à economia, à filosofia e, surpreendentemente, à matemática. Alguns desses trabalhos podem ser encontrados no livro Karl Marx: arrancar o véu misterioso

à matemática – sobre os manuscritos matemáticos de Karl Marx, de Paulus

Gerdes (1983). Nesse livro, (p. 21), o autor relata:

Os manuscritos matemáticos que Marx deixou à posteridade consistem em 31 cálculos elaborados, resumos sobre a aritmética, álgebra, análise, geometria e 19 esboços e estudos matemáticos independentes, num total de quase 1000 páginas. Além disso, ficou conservada uma série de aplicações da matemática em problemas de economia política: a renda diferencial, o processo de circulação, a taxa de mais-valia, a taxa de lucro, o problema das crises.

Marx, ao que parece, era muito interessado em matemática por conta de seus estudos econômicos, o que revela uma carta, datada de 11 de janeiro de 1858, em que diz a Engels (1820 – 1895):

Na elaboração dos princípios econômicos, fiquei tão abominavelmente retido por erros de cálculo que, desesperado, comecei de novo a percorrer a álgebra (GERDES, p. 10).

Tudo indica que Marx – como principal crítico da economia capitalista – precisava estar constantemente em contato com os novos pensamentos matemáticos que impulsionavam a economia de sua época e, por conta disso, debruçou-se sobre vários estudos envolvendo questões matemáticas. O cálculo diferencial – responsável por tantas mudanças na indústria e na sociedade – também sofreu algumas críticas desse famoso socialista.

Mas por que Karl Marx se interessou pelo cálculo diferencial?

A resposta, nesse caso, está profundamente atrelada ao período da Revolução Industrial. Segundo Gerdes (1983, p. 23),

A invenção do cálculo infinitesimal, tal como o nascimento de toda a ciência moderna, seguiu de perto o nascimento do capitalismo. O grande renascimento do comércio e da indústria [...] veio a exercer uma tremenda influência sobre a matemática.

É provável que a relação entre a ciência e o nascimento do capitalismo tenha sido um dos fortes motivos que levaram Marx a estudar e conhecer alguns dos pensamentos modernos da matemática. Além disso, Gerdes (1983) destaca que Marx estava convencido da grande aplicabilidade do cálculo diferencial e ficou impressionado com os notáveis sucessos dessa ferramenta matemática.

Porém, ao estudar os manuais sobre o Cálculo da época, escritos por Newton, Leibniz, Euler, D’Alembert e Lagrange, Marx constatou que existiam idéias misteriosas e contraditórias nos conceitos básicos de derivada e de diferencial (GERDES, p. 25). Um desses conceitos misteriosos, segundo ele, era

a idéia de infinitamente pequeno. O que era exatamente a idéia de infinitamente pequeno? Marx também intrigara-se com o processo que Leibniz utilizava para achar o quociente diferencial de uma função:

• Achar o quociente diferencial de _f(x)=x2

Pelo processo de Leibniz, temos dx=x₁ −x₀ e dy= y₁ − y₀. Então:

2 0 2 1 1 (x ) (x dx) y = = + 2 0 2 0) 2 ( ) (x + x dx+ dx = E, como 2 0 0 (x ) y = , podemos escrever: 2 0 2 0 0 1 y 2x dx (dx) dy 2x dx (dx) y = + + = = +

Então, dividindo todos os membros por dx, e suprimindo dx, temos:

0

2x

dx dy ₌

Apesar de ser possível alcançar o resultado correto pelo processo de Leibniz, Marx argumentava que não era correto suprimir os termos dessa maneira. Nas palavras de Marx, “para obter as fórmulas corretas do cálculo diferencial, as grandezas infinitesimais às vezes são escamoteadas ou violentamente suprimidas, ou seja, tratadas como zero (dx=0)” (GERDES, 1983, p. 34). Essa era, na verdade, a grande crítica que Marx fazia ao cálculo diferencial: era preciso arrancar o véu misterioso, desmistificar os conceitos básicos dessa ciência moderna.

Foi em virtude disso que Karl Marx passou a se dedicar ao cálculo diferencial, criticando principalmente a maneira como as contas eram feitas. Acreditava, nesse sentido, que os infinitesimais não eram “números normais – conhecidos” e, assim, argumentava que não era correto aplicar as mesmas regras dos “números normais” aos infinitesimais (como era feito no cálculo de Leibniz acima). Marx propôs uma série de alternativas para o tratamento do cálculo diferencial, suprimindo todos os conceitos que, para ele, eram misteriosos. Assim, cumpre dizer que os trabalhos de Marx e Thompson foram, talvez, os primeiros textos dedicados à desmistificação dessa disciplina.