3. BİREYLER YÖNTEM
3.3. İstatistiksel Analiz
4.2.3. Modifiye Yıldız Denge Testi Posterolateral Yön Uzanma Mesafesi ile Kuadriseps Kas Kuvveti, Dorsifleksiyon Normal Eklem Hareketi ve
Fontes de corrente
Os modelos baseados em fontes de corrente s˜ao bastante utilizados em an- tenas filamentares, antenas que sejam excitadas por antenas filamentares ou antenas alimentadas por sondas conforme mostrado na Fig. 4.2. Esse m´etodo consiste em assumir que a distribui¸c˜ao de corrente da antena filamentar ou da sonda ´e conhecida [Mit73]. Para o caso de antenas cujos elementos ali- mentados s˜ao dipolos, pode-se assumir que a distribui¸c˜ao de corrente em um dipolo ´e dada por:
Ji(x′ = 0, y′ = 0, z′) = I0senk l 2 − z
′ ˆz 0 6 z′ 6l/2
I0senk 2l + z′ ˆz −l/2 6 z′ 60 , (4.2)
onde assume-se que o dipolo est´a centrado na origem do sistema de coorde- nadas e seu comprimento ao longo do eixo z ´e igual a l . Esse modelo de
distribui¸c˜ao de corrente ´e v´alido desde que o raio do dipolo seja muito menor que os comprimentos de onda das freq¨uˆencias de opera¸c˜ao da antena [Bal97]. Para o caso da antena corneta alimentada por uma sonda da Fig. 4.2, a distribui¸c˜ao de corrente no filamento da sonda pode ser aproximada por [Har61]: Ji(x′ = 0, y′ = 0, z′) = ( I0 sen[k(l−z′)] sen(kl) z 0 6 zˆ ′ 6l 0 z′ >l , (4.3)
onde assume-se que a sonda esteja localizada no centro do sistema de co- ordenadas e que seu comprimento ao longo do eixo z ´e igual a l. Assim como na aproxima¸c˜ao para o dipolo, a distribui¸c˜ao de corrente apresentada em (4.3) s´o ´e v´alida para sondas com filamentos de raio muito menor que o comprimento de onda.
A modelagem do alimentador, assumindo conhecida sua distribui¸c˜ao de corrente, ´e bastante utilizada no projeto de antenas pois propicia bons resul- tados principalmente no c´alculo do diagrama de radia¸c˜ao. Outra vantagem ´e sua a f´acil inser¸c˜ao na equa¸c˜ao da forma fraca (4.1), pois as correntes no alimentador aparecem de forma expl´ıcita no lado direito da equa¸c˜ao. Entre- tanto, para o c´alculo da impedˆancia de entrada da fonte este tipo de modelo pode n˜ao apresentar bons resultados, uma vez que, dependendo da geometria da antena ou de sua proximidade com outros objetos, n˜ao ´e mais poss´ıvel garantir a distribui¸c˜ao de corrente no alimentador.
Fontes de tens˜ao
Outra maneira de representar as fontes de campo no alimentador ´e as- sumir que a tens˜ao nos terminais da antena ´e conhecida. Esse tipo de modelo de alimentador apresenta melhores resultados para o c´alculo da impedˆancia de entrada quando comparado aos modelos de fontes de corrente, pois a dis- tribui¸c˜ao de corrente no alimentador ´e obtida atrav´es da solu¸c˜ao do m´etodo de elementos finitos e leva em conta a geometria da antena e os objetos ao seu redor.
Para antenas ou alimentadores do tipo dipolo, pode-se assumir que a tens˜ao entre seu terminais seja conhecida conforme ilustrado na Fig. 4.3. Como a fonte de tens˜ao mant´em constante a tens˜ao em seus terminais, a tens˜ao entre os terminais do dipolo tamb´em ser´a constante. Uma vez que o espa¸camento entre os elementos do dipolo ´e muito pequeno e que o campo
el´etrico sobre uma superf´ıcie condutora ´e normal `a superf´ıcie, pode-se assumir que entre os elementos do dipolo, o campo el´etrico ser´a aproximadamente constante e sua magnitude ser´a dada por E = V /h, onde V ´e a diferen¸ca de potencial entre os terminais do dipolo e h ´e a distˆancia entre os dois terminais. C E V
+
-
Figura 4.3: Alimenta¸c˜ao do dipolo.
Uma vez solucionado o problema atrav´es do m´etodo de elementos finitos, a impedˆancia de entrada da antena pode ser obtida por
Z = V /I, (4.4)
onde I ´e a corrente nos terminais do dipolo e pode ser obtida atrav´es da Lei de Amp`ere:
I = Z
cH · dl,
(4.5) onde C ´e o percurso fechado indicado na Fig. 4.3.
Para antenas alimentadas atrav´es de sondas, um modelo apropriado para o alimetador apresentado em [Mit73] consiste em considerar conhecida a distribui¸c˜ao do campo el´etrico na abertura do cabo coaxial que alimenta a sonda conforme mostrado na Fig. 4.4. Para esse modelo, pode-se assumir
Figura 4.4: Alimenta¸c˜ao da sonda.
que o campo na abertura do cabo coaxial pode ser aproximado somente pelo modo dominante no interior do cabo, matematicamente:
Eρ=
V
ρ ln(b/a), (4.6)
onde V ´e a diferen¸ca de potencial entre os condutores do cabo coaxial na abertura, a ´e o raio da sonda e b ´e o raio externo do cabo coaxial.
A principal vantagem desse modelo para o alimentador consiste na sua proximidade com o modelo fisicamente implementado, ou seja, a geometria do alimentador ´e modelada como ela realmente ´e implementada o que permite um c´alculo mais exato da impedˆancia de entrada da antena.
A impedˆancia de entrada da antena pode ser obtida, ap´os a solu¸c˜ao do m´etodo de elementos finitos, atrav´es da corrente que entra na sonda.
Z = V /I, (4.7)
onde I pode ser obtido integrando-se a densidade de corrente superficial na base da sonda: I = Z c (ˆn × Js) · dl = − Z cH · dl, (4.8)
onde C ´e a curva fechada da intercess˜ao entre a sonda e o plano na abertura do cabo coaxial da Fig. 4.4.
Diferentemente do modelo de fontes de corrente, os modelos de fontes de tens˜ao n˜ao aparecem de forma natural na equa¸c˜ao da forma fraca (4.1) devendo ser implementadas diretamente nos graus de liberdade oriundos da discretiza¸c˜ao do dom´ınio atrav´es de condi¸c˜oes de contorno do tipo Dirichlet [Hug87].
Aplicando o m´etodo de Galerkin em (4.1) ´e poss´ıvel reescrever a equa¸c˜ao na forma matricial [K]{u} + [S]{u}Γ = {f}, (4.9) onde Kij = Z Ω{[α 1(∇ × Ni)] · (∇ × Nj) − k2α2Ni· Nj}dΩ, (4.10) Sij = Z Γ{ˆn × [α 1(∇ × Ni)]} · NjdΓ, (4.11) fi = Z Ωf · N idΩ. (4.12)
Como detalhado na Se¸c˜ao 3.6, a discretiza¸c˜ao do dom´ınio pode ser feita atrav´es da subdivis˜ao do dom´ınio em pequenos tetraedros. No interior de cada tetraedro, os campos el´etrico ou magn´etico podem ser aproximados atrav´es de fun¸c˜oes de forma do tipo:
u =
6
X
i=1
Niui, (4.13)
onde Ni´e uma fun¸c˜ao de aproxima¸c˜ao associada `a i-´esima aresta do tetraedro
e ui representa a circula¸c˜ao de u sobre a aresta i, ou seja,
ui =
Z
eu · dl.
(4.14) Sobre as arestas, o campo u n˜ao sofre varia¸c˜oes abruptas visto que o com- primento das arestas ´e, em geral, muito menor que o comprimento de onda, logo a express˜ao (4.14) pode ser aproximada por
onde umed ´e o valor de u avaliado no centro da aresta e l ´e o vetor que liga
os dois extremos da aresta.
Se uma aresta est´a situada em uma regi˜ao onde o campo u ´e conhecido, como por exemplo na abertura do cabo coaxial de uma sonda ou entre os terminais de alimenta¸c˜ao de um dipolo, o valor da inc´ognita ui sobre a aresta
´e definido pela equa¸c˜ao (4.15) e conseq¨uentemente, a linha do sistema ma- tricial gerada pela inc´ognita ui pode ser descartada na solu¸c˜ao do sistema.
A influˆencia das arestas com condi¸c˜oes de contorno de Dirichlet na solu¸c˜ao do problema de elementos finitos ´e contabilizada no lado direito do sistema matricial conforme demonstrado na equa¸c˜ao a seguir.
[K′]{u} + [S′]{u}Γ= {f} − [Kd]{u}d, (4.16)
onde Kij′ = Z Ω{[α 1(∇ × Ni)] · (∇ × Nj) − k2α2Ni· Nj}dΩ, (4.17) Sij′ = Z Γ{ˆn × [α 1(∇ × Ni)]} · NjdΓ, (4.18) fi′ = Z Ωf · N idΩ, (4.19) Kidd = Z Ω{[α 1(∇ × Nd)] · (∇ × Ni) − k2α2Ni· Nd}dΩ. (4.20)
Os ´ındices i e j est˜ao associados `as arestas da discretiza¸c˜ao onde n˜ao s˜ao impostas condi¸c˜oes de Dirichlet, enquanto o ´ındice d indica as arestas cujo valor da inc´ognita ´e conhecido. O procedimento descrito acima proporciona uma maneira de incorporar as fontes de tens˜ao no m´etodo de elementos finitos.