Arima Modelinin Uygulanması

Yukarıda açıklanan modeller yolcu sayısının hesaplanması için nihai olarak kullanılması planlanmayan görece ilkel modellerdir. Tahminleme çalışması kapsamında kullanılan bir diğer model Arima modelidir. Tek değişkenli zaman serisi analizlerinin yapılması amacıyla kullanılan, Box-Jenkins modeli olarak da bilinen bu model uygulanırken verinin son dönemlere ait küçük bir kısmı, kontrol periyodu olarak verinin geri kalanından ayrılır. Elde kalan veriyle gerçek değerleri bilinen kontrol periyodunun değerleri tahmin edilir. Bu çalışmada 1960-2011 arası veri, toplam verinin 2015 yılına kadar olan kısmından ayrılarak tahminleme için kullanılmıştır. Sonuçların yeterli yakınlıkta olduğuna karar verilirse model gelecekteki dönemlere ait değerlerin tahmin edilmesi için de kullanılır. Bunun dışında kullanılacak modelin otokorelasyon, değişen varyans ve kalıntıların normal dağılımı gibi çeşitli regrasyon varsayımlarına uygunluğunun test edilmesi gerekecektir.

Tüm bu işlemlerden önce üzerinde çalışılan verinin durağanlığının sağlanması gerekmektedir. Bir zaman serisi durağansa ortalaması, varyansı ve çeşitli gecikmelerdeki ardışık ortak varyansı ölçüldüğü zamandan bağımsız olarak aynı kalır, yani zaman değişmezdir. Böyle bir zaman serisi kendi ortalamasına dönme eğilimi taşımaktadır (Gujarati ve Porter, 2012). Geleneksel olarak tüm zaman serileri genel eğilim (trend) bileşeni, mevsim bileşeni, çevrimsel (konjonktürel) bileşen ve düzensiz bileşenden oluşur. Bir zaman serisinde bunlardan bazılarının ya da tamamının

63

bulunduğu varsayılır (Newbold, 2009). Bu bileşenler zaman serilerini durağanlıktan uzaklaştırırlar ve eldeki veriyle çalışmaya başlamadan önce çeşitli yöntemler kullanılarak durağanlığın sağlanması gerekir. Durağan olmama durumundan bazı kaynaklardan üzerinde çalışılan veride birim kök bulunması sorunu şeklinde de bahsedilmektedir. Farklı kaynaklarda durağan olmayan değişkenlerin tahminleme işleminde kullanılmasının uygun olmadığı ifade edilmektedir. Gujarati ve Porter’a (2012) göre bir zaman serisi durağan değilse, davranışı sadece ele alınan dönem için incelenebilir, seri içerisinde bulunan diğer zaman dilimlerine genelleme yapılamaz. Bir seride durağanlık genellikle fark alınma işlemiyle sağlanmaktadır. Şekil 4.2’de gösterilen, 1960-2015 yılları arasındaki yolcu sayılarını içeren, doğal logaritması alınmış serideki belirgin trend de serinin durağan olmadığını göstermektedir. Doğal logaritma alınarak oluşturulan seri, Eviews 9 programında fark alma işlemine tabi tutulup ortaya çıkan yeni serinin grafiği oluşturulduğunda Şekil 4.3’teki görüntü elde edilmektedir.

Şekil 4.3 : Fark Alma İşlemi Sonrasında Serinin Görüntüsü (1960-2011) Bu görüntü incelendiğinde serinin büyük ölçüde durağanlaştığı, değerlerin ortalama etrafında saçılım gösterdiği izlenimi oluşmaktadır. Fakat bu görüntü durağanlıktan emin olmak için yeterli değildir. Korelogram çizimlerinin incelenmesi ve Artırılmış Dickey Fuller testlerinin uygulanması sonrasında daha kesin bir yargıya ulaşılabilecektir. Şekil 4.4 farkı alınmış veriye ait korelogram çizimini göstermektedir.

64

Şekil 4.4 : Farkı alınmış yolcu sayısı verisine ait korelogram çizimi

Şekil 4.4’e göre otokorelasyon ve parçalı otokorelasyon çizimlerinde görülen değerlerin eşik değerlerin içinde olduğu, farkı alınmış verinin durağanlaştığı görülmektedir. Şekil 4.5’te görülen “Artırılmış Dickey Fuller Testi” sonuçlarının da durağanlık sonucunu desteklediği anlaşılmaktadır. Eldeki veri için Eviews programı tarafından hesaplanan eşik değerleri %1, %5 ve %10 düzeyi için belirlenen kritik düzeylerden daha düşüktür.

65

Bir sonraki aşama ARIMA(p,d,q) notasyonu ile ifade edilen ARIMA modeli unsurlarının derecesine karar vermektir. “d” değeri serinin bir kere fark alınarak durağanlaştırılması nedeniyle 1 olarak belirlenmiştir. “P” değerini belirlemek için parçalı korelasyon fonksiyonu, q değerini belirlemek için otokorelasyon fonksiyonu incelenmiş, 6-10. gecikmeler arasında çeşitli model denemelerinin anlamlı sonuç vereceği düşünülmüştür. Anlamlı ARIMA modelleri arasında seçim yapabilmek için Akaike Bilgi Kriteri (AIC) ve Schwarz Bilgi Kriteri’nden (SIC) yararlanılmıştır. Bilgi kriterleri otoregregresif gecikmenin derecesini belirlerken fonksiyonel biçimdeki gecikmelerin sayısını minimize etmeye çalışmaktadır. AIC ve SIC bilgi kriterleri bir ceza fonksiyonu kullanarak doğru derecenin seçilmesine yardımcı olur (Sevüktekin ve Çınar, 2014’te alıntılandığı şekilde). Dolayısıyla, anlamlı denklemler arasında en düşük AIC ve SIC değerlerine sahip model tahmin için kullanılacaktır. 1960-2011 yılları arasını içeren veri üzerinden yapılan çalışma sonrasında tespit edilen anlamlı modeller, Çizelge 4.3’te gösterilmektedir. Bunlar arasında istenen kriterlere uygunluğu en yüksek modelin ARIMA(10,1,10) modeli olduğu anlaşılmaktadır.

Çizelge 4.3 : Anlamlı ARIMA Modellerine Ait AIC ve SIC Kriter Değerleri

Model AIC SIC KKT

Arima (5,1,5) -0,918 -1,033 0,140 Arima (6,1,6) -1,031 -1,147 0,132 Arima (7,1,7) -1,086 -1,203 0,128 Arima (8,1,8) -1,24 -1,358 0,118 Arima (9,1,9) -1,186 -1,305 0,122 Arima (10,1,10) -1,624 -1,744 0,097 Arima (10,1,10) - Kuklalı -2,251 -2,586 0,060

Seçilen bu model için farkların dışadüştüğü 1980-1981-1991-1992 ve 1999 yılları için denkleme kukla değişkenler eklenmiş ve katılan bu değişkenler de anlamlı sonuç vermiştir. Kukla değişkenlerin eklendiği denkleme ait Eviews programı sonuç çıktısı Şekil 4.6’da gösterilmektedir.

66

Şekil 4.6 : Kukla değişken eklenen ARIMA(10,1,10) Modeli sonuç çıktısı Ortaya çıkan bu denklem taminleme için kullanılmadan önce, kalıntıların aşağıdaki varsayımlara uygunluk açısından test edilmesi gerekmektedir:

 Hata terimlerinin ilişki içerisinde olmaması gerekliliği

 Varyansın değişkenlik içermediği, sabit olduğu varsayımı

 Kalıntıların normal dağılıma uygun dağıldığı varsayımı

Yüksek mertebeden otokorelasyonun incelenmesi için Lagrange Çarpanı (LM) testi de denen Breusch Godfrey testi kullanılmaktadır (Güriş, Çağlayan ve Güriş, 2013). Test sonucunda hesaplanan ki-kare değeri 0,30 > 0,05 olduğu için hata terimleri arasında otokorelasyon olmadığı sonucuna ulaşılmaktadır.

67

Değişen varyans durumu bulunmadığı varsayımını test edebilmek için ise White Değişen Varyans Testi uygulanmıştır. Test sonucunda hesaplanan olasılık değeri 0,05’den büyük olduğu için sabit varyans varsayımı geçerlidir.

Şekil 4.8 : White Değişen Varyans Testi Sonuçları

Normallik varsayımı anakütle hata teriminin normal dağıldığını varsayar ve parametre tahminlerinin istatistiksel olarak anlamlılığının testi için gereklidir(Güriş, Çağlayan ve Güriş, 2013). Jargue-Bera testi sonuçlarına göre hata terimleri normal dağılmaktadır.

Şekil 4.9 : Normal Dağılım Testi Sonuçları

Bir sonraki aşama 1960-2011 yılları arası veri kullanılarak oluşturulan modelin 2012-2015 yılları arasındaki dönem için test edilmesidir. Modele göre yapılan tahminlerin gerçekleşen değerlerle karşılaştırması Çizelge 4.4’te bulunmaktadır. Türkiye geneli yıllık toplam yolcu sayısı tahmin değerlerinin başarılı olduğu ve gelecek dönemleri tahmin için kullanılabileceği düşünülmektedir. 2015 yılı için modelin belirlediği tahmin değeri gerçekleşen değerle neredeyse birebir örtüşmektedir.

Çizelge 4.4 : 2012-2015 yılları arası test periyodu için tahmin sonuçları

Yıl Gerçekleşen Model Sapma

2012 130.351.620 131.040.717 1%

2013 149.430.421 142.932.776 -4%

2014 165.720.234 168.909.473 2%

68