Metotlar

Banker, Charnes e Cooper (1984), introduziram um modelo de programação matemática linear, denominado na literatura de BCC, no qual se fazia presente a premissa da convexidade, diferentemente do modelo anterior apresentado, o CCR. Esta nova proposta trouxe consigo a premissa de que se houver alterações na escala de produção, o modelo será capaz de interpretar os efeitos ao longo da função de produção decorrentes dessas variações. Equivale a dizer que este novo modelo considera retornos variáveis de escala em sua composição, substituindo o axioma da proporcionalidade entre inputs e outputs do CCR. Por este motivo, esse novo modelo também é conhecido por Variable Returns to Scale (VRS), ou, traduzindo, Retornos Variáveis de Escala (RVE).

Ao impor que a fronteira de eficiência seja convexa, o RVE possibilita que DMUs que operam com valores menores de inputs tenham retornos crescentes de escala e as que operam com valores maiores de insumos tenham retornos decrescentes de escala. Ao se formalizar este modelo, a convexidade da fronteira implica a uma restrição adicional no Modelo do Envelope citado anteriormente em (1.31), que passa a ser o indicado em (1.32):

Sendo que, dentro desta nova restrição, é um vetor de dimensão x de algarismos unitários , que terá sua interpretação explorada mais à frente, após a explanação de outros conceitos importantes para compreensão da sua função.

Para Charnes, Cooper, Lewin et al. (1996), o modelo BCC ramifica a eficiência em dois segmentos: eficiência técnica pura e eficiência de escala.No modelo CCR, quando nem todas as DMU’s estiverem operando no ponto de escala ótima, a indução é que seja considerada eficiência de escala como eficiência técnica.Entretanto, uma forma de evitar esta equivocada dedução é a utilização dos dois modelos para uma comparação de resultados. Caso uma DMU qualquer não apresente os mesmos valores para sua eficiência técnica nos dois modelos, isto significa dizer que essa DMU, possui ineficiência de escala, sendo seu valor mensurável justamente pela diferença entre o valor reportado da eficiência técnica pelo modelo BCC e o CCR. Salienta-se que este cálculo deve ser realizado para cada uma das

DMU’s.

Figura 4: Fronteiras de eficiências com retornos distintos

Fonte: Coelli, T. J. 1996.

Na Figura (4) ficam ilustradas as duas fronteiras de eficiência calculadas pelo DEA, sendo que a linha contínua representa uma fronteira para o modelo de retornos constantes de escala (RCE) e a linha pontilhada exemplifica uma fronteira para o modelo de retornos variáveis de escala (RVE). Na curva RVE, do ponto ao os retornos são crescentes, já pontualmente em os retornos são constantes, e deste ponto em diante os retornos todos são decrescentes. Os pontos e representam duas DMU’s que apresentam desempenhos tecnicamente ineficientes sob as duas perspectivas: RCE e RVE. Levando em conta o ponto

, a ineficiência técnica dessa DMU sob o pressuposto de retornos constante é dado pela

distância , por conseguinte, sob a suposição de retornos variáveis, a ineficiência técnica é representada pelo segmento . Portanto, a ineficiência de escala para a DMUv, como já

citado anteriormente, será a diferença entre as distâncias e . Em (1.33) apresenta-se os valores das medidas de eficiência para a DMUv:

(1.33)

A variável ilustra a eficiência técnica, já a eficiência de escala. Com essas igualdades simplifica-se a percepção de que , ou

Vc T RVE RCE Y X D C 0 B A Tv Tc Vv V

seja, formaliza-se a afirmação de que a eficiência técnica pura e a eficiência de escala compõe a medida de eficiência técnica sob o pressuposto de retornos constante de escala. Analogamente, esta mesma abordagem se aplica para o cálculo dos valores das medidas de eficiência para a DMUT, sendo a única diferença a localização desta DMU que se encontra na

parte da fronteira de eficiência onde os retornos são decrescentes.

Neste sentido, retorna-se aos pressupostos de (1.32), mais precisamente ao , que não permite a distinção entre qual faixa de retorno encontra-se a DMU sob análise. A única conclusão que se pode exprimir é que, se a medida de eficiência de escala for igual a um, a DMU estará operando com retornos constantes de escala, mas quando esse valor for inferior a unidade a DMU poderá estar operando com retornos crescentes ou decrescentes de escala (GOMES E BAPTISTA, 2004).

Por isso, para que seja possível identificar quais retornos de escala que as DMUs estão operando, torna-se inevitável ajustar a restrição . Desta forma, adota-se tanto uma restrição para os retornos não-decrescente de escala (RNDE), quanto

para retornos não-crescente de escala (RNCE).Para o RNDE a fronteira será do ponto até , composta por um intervalo com retornos crescentes, desse segmento em diante, por um intervalo de retornos constantes.Já para o RNCE a fronteira vai da origem até o ponto e é composta por um intervalo de retornos constantes, desse ponto em diante, tem- se um segmento de retornos decrescentes.

Então, para que se possa identificar a faixa de escala a que cada DMU pertence, basta que se realize a comparação dos coeficientes de eficiência técnica: se o valor para este coeficiente no modelo RNDE for igual ao valor apresentado por este mesmo coeficiente do modelo RVE, esta DMU estará operando com retornos crescente de escala; por outro lado, se os coeficientes forem diferentes, esta DMU estará operando com retornos decrescente de escala. De mesma forma, é possível pensar de maneira inversa: se no modelo RNCE os coeficientes forem iguais ao modelo RVE, a DMU estará operando com retornos decrescente de escala, caso contrário, se os coeficientes forem diferentes, a mesma estará numa faixa de retornos crescente de escala. O formato para esses dois modelos, RNDE e RNCE, são apresentados em (1.34):

sujeito a: sujeito a: