METANET Bağ Eşitlikleri

METANET modeliyle, seçilen çalışma bölgesindeki trafiği modellemeden önce, bölgenin bağlara ayrılması gerekir (Şekil 4.1). Bağlar benzer geometrik özelliklere sahip yol parçalarıdır. Örnek vermek gerekirse bir bağ üzerinde katılım, ayrılma ya da şerit sayısı değişimi gibi ögeler ya da değişiklikler aynı anda bulunamaz. Bu tür öge ve değişikliklerin olduğu yerlere düğüm noktası yerleştirilir ve yeni bir bağ tanımlanır. Bağlar eğer çok uzun yol kesimlerine sahipse, kendi içinde kesimlere ayrılır. Bunun nedeni çok uzun yol kesimlerinin modellemeyi olumsuz etkilemesidir. Buna göre METANET modeli her kesim için aşağıdaki üç trafik durum değişkenini hesaplamaya çalışır.

1) Yoğunluk, (taş/km/şerit) 2) Ortalama hız, (km/h)

3) Kesimden dışarı çıkan akım, (taş/sa)

Şekil 4.1 : METANET modelinde bağ, kesim ve kesimlerdeki akımlar.

METANET modeli kullanarak çalışma bölgesindeki trafik akımını modellemeden önce, çalışma bölgesi için oluşturulan bağlar ve kesimlerin birtakım kurallara uygunluğu mutlaka kontrol edilmelidir. Bunlar;

1. Seçilen kesim uzunluğu benzetim zaman aralığına ( ) doğrudan bağlıdır. Kesim uzunluğu seçilen zaman aralığıyla (örneğin =10 saniye) bağa ait serbest hızın çarpımından küçük olmamalıdır. Bu kuralın amacı, seçilen zaman aralığı içinde kesime giren taşıtın hala kesimde olmasını sağlamaktır.

73

Taşıtlar kesimi bu zaman aralığından önce terk ediyorsa o kesime ait ortalama hız, yoğunluk ve akım hesapları da doğal olarak yanlış olacaktır.

2. Katılımların bulunduğu yerlere düğüm noktaları konularak bağlar oluşturulur. 3. Şerit sayısında azalma olan yerlerde yeni düğümler ilave edilerek yeni bağlar

oluşturulur.

Oluşan bağ ya da kesimlerin 1. adımdaki ölçütü sağlayıp sağlamadığına bakılır ve böylelikle ağ oluşumu (çalışma kesimi) METANET geometrisi tamamlanır. Eğer kesimlerden birisi 1. ölçütü sağlamıyorsa zaman adımı küçültülür. Ancak zaman adımının küçültülmesi, benzetim süresi içinde yapılacak hesaplama adımını arttıracağından kalibrasyon süresi ve kontrol süreçlerindeki hesaplama sürelerini de arttıracaktır. Örneğin beş dakikalık benzetim süresi için , 10 saniye yerine 5 saniye seçildiğinde toplam hesaplama adımı 30’dan 60 adıma yükselerek iki katına çıkacaktır.

Bağ eşitlikleri, kesimlerdeki yukarıda belirtilen üç trafik durum değişkeninin hesabında kullanılır. Her bir zaman adımı ( ) ve yol kesimi ( ) için eşitlikler tekrar kullanılır. METANET modelinde hesaplama adımı daktilo yazı yazmaya benzetilebilir. Daktiloya koyulan kağıt genişliği yol kesimlerini, her bir satırda zaman adımı olarak tanımlanırsa soldan sağa doğru durum değişkenleri hesaplanır ve tekrar başa dönülür. Yeni bir satır için (zaman adımı) işlemler tekrarlanır. Model teknik olarak basit görünse de bazı kesimler için eşitliklerde birtakım düzenlemelerin yapılması gerekir. Her eşitlik mevcut durumdan bir sonraki zaman adımı için ( ) ilgili durum değişkenlerini hesaplar.

METANET modelinde ilk olarak ilgili yol kesimindeki yoğunluk hesaplanır. Bunun için aşağıdaki eşitlik kullanılır;

(4.8) ,

Eşitlikteki, , zaman adımındaki bağı içindeki kesimindeki yoğunluğu (taşıt/km/şerit) temsil eder. değeri zaman adımına

74

karşılık gelen süreyi gösterir. Bu değerin birimi saniyedir, ancak eşitlikte hesaplamalar yapılırken değeri saate çevrilerek hesaplanır. ) bağın şerit sayısını, , bağına ait ( ) yol kesiminin uzunluğunu (km) temsil eder.

METANET modelinde ikinci eşitlik ilgili yol kesimindeki ortalama hız eşitliğidir;

(4.9) Eşitlikteki terimler;

: anındaki bağındaki kesimindeki hız (km/sa) :Denge terimine ait zaman sabitidir ( )

:Dengedeki hız değeridir ve yoğunluğun bir fonksiyonudur (km/sa)

: bağına ait kesiminin uzunluğu ( ) :Öngörü terimine ait parametre (

: anındaki akım yukarı yöndeki kesime ait hız (km/sa)

: anındaki akım aşağı yöndeki kesime ait yoğunluk (taşıt/km/şerit) :Öngörü terimine ait parametre ( )

parametreleri her bağ için ayrı ayrı kestirilebileceği gibi tüm çalışma bölgesindeki bağlar için aynı kabul edilerek ( kestirilebilir. Bu çalışma da ( parametreleri tüm bağlar için eşit kabul edilmiştir.

Akım ise bu yoğunluk ve ortalama hız hesabından elde edilir. Buna göre akım (taşıt/saat);

75 olarak tanımlanır.

Ampirik dinamik ortalama hız eşitliği (4.9) METANET’in en uzun ve karmaşık eşitliğidir. Bunun nedeni, METANET’in ilgili yol kesimlerine ait ortalama hızları aşağıda belirtilen pek çok etkeni dikkate alarak hesaplamasıdır.

Bu etkiler ortalama hız eşitliği içindeki terimler aracılığıyla tanımlanır. Eşitlik (4.9) daki ikinci terim olan denge (relaxation) terimi kesimdeki taşıt hızının, denge hızına doğru evrimleşmesini temsil eder. METANET modelinde dengedeki ortalama hız ile yoğunluk arasında ilişki için Kotsialos ve Papageorgiou (2002) ve Hegyi (2004)’nin kullandığı ve bu çalışmada dengedeki hız eşitliği olarak anılan aşağıdaki ampirik statik hız eşitliği kullanılır.

(4.11)

; model parametresi, bağındaki serbest hız, ; bağına ait kritik yoğunluk (taşıt/km/şerit) değeridir.

METANET genelleştirilmiş bir model değildir. Bir çalışma kesimine uygulanması için öncelikle kalibre edilmesi gerekir (parametrelerinin tahmini). Eğer kalibre edilmiş METANET modeli, kontrol problemlerinde kullanılacaksa Eşitlik (4.11) yerine aşağıda hız sınırlarını içeren fonksiyonu kullanılır (Hegyi, 2004).

(4.12)

Bu eşitlikte yer alan ( anında uygulanan hız (km/sa) sınırlamasıdır. sürücülerin hız sınırına uymalarını temsil eden bir değeridir. Başka bir deyişle yaptırımın gücünü ifade etmektedir. Eğer sürücülerin ortalama hızı, hız sınırlamasından yüksekse değeri pozitif, düşükse negatif değer alacaktır.

Sürücü bir yol kesiminden diğerine geçtiğinde hızı farklıysa mevcut hızını girdiği yol kesimdeki hıza göre ayarlar. Ancak bu durum hemen oluşmayacağından, mevcut kesimin ortalama hızı bundan etkilenecektir. Bir önceki kesimdeki hızın bir sonraki

76

kesime olan etkisi ortalama hız eşitliğinde (4.9) üçüncü terim olan uyarlama (convection) terimi ile yansıtılmaktadır.

Sürücü bulunduğu yol kesimini terk etmek üzereyken bir sonraki kesimdeki yoğunluğu fark ederek kesimi terk etmeden hızını bir sonraki duruma uydurmak ister. Bu istek hesap yapılan kesimdeki ortalama hızda değişime neden olur ve bu değişimde öngörü (anticipation) terimi ile ortalama hıza yansıtılır. Ancak eşitlik (4.9)’daki öngörü terimine ait değerin hesaplanmasında kullanılan model parametresi koşullu parametredir. Şok dalgası nedeniyle kuyruklanma oluştuğunda, kesimler arası yoğunluk farkına göre sürücü davranışı farklılık gösterir. Bu durumda parametre seçimi aşağıdaki şarta göre belirlenir.

(4.13)

Yol geometrisindeki değişimler ortalama hıza, katılım (merge) ve şerit daralma parametreleri ile eklenir. Katılım nedeniyle ana akım üzerindeki hızlar olumsuz etkilenecektir. Diğer yandan katılım akımlarının ana yol akımına örülmesi de, anaakımda katılımın olduğu kesimdeki yoğunluğa doğrudan bağlıdır. Şekil 4.2’de katılımın METANET geometrisindeki gösterimi ve katılım teriminin hesabında kullanılan değişkenlerin yerleri görülmektedir.

Şekil 4.2 : Katılımın anaakım ortalama hızı üzerindeki etkisi. Katılım terimi (4.14) eşitliği ile hesaplanır.

77

^(4.14)

Eşitlikteki ve model parametreleri, ; anında katılım hacmi ve ise sırasıyla, katılımın olduğu bağdaki kesimin ortalama hız ve yoğunluğudur. katılımın olduğu kesimin uzunluğu, katılım saplandığı bağın şerit sayısıdır. hesabı takip eden bölümde ayrıca anlatılacaktır.

Şekil 4.3 : METANET geometrisinde şerit iptali durumu.

(4.15)

(4.15) numaralı eşitlik şerit iptalinin (Şekil 4.3) ortalama hıza olan etkisini hesaplar. bağ m, kesim i’de şerit sayısı, bağ m+1, kesim 1’de şerit sayısı, m bağı, i yol kesiminin uzunluğu, şerit iptali terimine ait model parametresidir. Eşitlik (4.14) ve (4.15)’deki her iki terimin de işaretinin eksi olması bu iki durumun ortalama hız üzerindeki olumsuz etkisini gösterir.

Ancak METANET hesaplaması için yukarıdaki eşitlikler yeterli değildir. METANET, yoğunluk ve ortalama hız hesabı için ardışık bağ ve kesimlerdeki değerleri kullanarak hesabı yürütmektedir (daktilo örneği). Buna göre ilk bağın ilk kesimindeki yoğunluk hesabı (Eşitlik 4.8) için bir önceki kesime ait akım değerlerine ihtiyaç duyulurken son bağın son kesiminde ortalama hız hesabında (Eşitlik 4.9) bir sonraki kesime ait yoğunluk değerine gereksinim duyulur. Ancak bu kesimler gerçekte mevcut olmadığından, ilk ve son kesimlerdeki yoğunluk ve ortalama hızı hesaplamaları için METANET sınır şartları adı altında eşitlikler

78

kullanır. Bu eşitlikler aşağıda alt başlıklarda anlatılmakta olup, eşitliklerle ilgili ayrıntılı bilgiye Burger vd. (2008) bakılabilir.

Şekil 4.4 : METANET ağına eklenen sanal bağlar.

4.1.1 İlk bağ ilk kesimdeki (m,i=1) yoğunluk ve ortalama hız hesabı

İlk bağ ilk kesimde yoğunluğun hesabı için gerekli olan Eşitlik 4.8’deki terimi, bir bağa giren akım değerini (taşıt/sa) temsil etmektedir. Çalışma bölgesinin ilk bağın ilk kesiti için böyle bir bağın varlığı söz konusu olmadığından, çalışma bölgesinin başına sanal bir bağ eklenir (Şekil 4.4). Bu bağ aynı zamanda trafik yüklemesinin ilk gerçekleştiği bağlardan birisidir. Trafik sadece bu sanal bağdan değil, aynı zamanda katılım bağlarına eklenen sanal bağlardan yüklenir (Şekil 4.4). Trafik talep matrisi kullanılarak ilgili zaman adımlarında sanal bağlara taşıtlar bırakılır. Çalışma bölgesindeki ilk bağ ilk kesim (m,i=1) için değeri;

(4.16)

ile hesaplanır. ; anında sanal bağdan ilk bağın ilk kesimine girmek için kuyrukta bekleyen taşıt sayısıdır. ilk bağın ilk kesimine girmeye çalışan ana akıma ait talep değeridir (taşıt/sa).

ilk bağdaki hıza bağlı olarak bağa girebilen akımı tanımlar. Buna göre bu akımın hesabı için aşağıdaki parçalı fonksiyon kullanılır.

79

(4.17) ilk bağın taş/sa cinsinden kapasitesidir. bağ 1, kesim 1’de mevcut yoğunluk ve hız sınırına (uygulanan) göre hesaplanan akımdır. parametresinin amacı teorik olarak yazılmış yukarıdaki fonksiyonun, gerçek uygulamada sapmalardan kaynaklanan hatalarını gidermektir.

hesabı için ise dengedeki hız ve kritik yoğunluk değeri kullanılır. değeri, değerinin ( değeri Eşitlik (4.8)’den yararlanılarak bulunur), mevcut hız ile çarpımına eşittir.

(4.18) (4.19) (4.20)

, bağ 1 kesim1’de zaman adımında uygulanan hız sınırıdır (km/sa). Hız sınırı uygulanmıyorsa Eşitlik (4.20)’den bu terim çıkartılır.

Eşitlik (4.20) hız kontrolü uygulanacağında kullanılan eşitliktir. Eğer çalışma bölgesinde hız sınırlaması yoksa olur. , bağ 1, kesim 1’de zaman adımındaki mevcut hızdır.

Sanal bağdan kesimine girmek için bekleyen taşıt sayısı (kuyruklanma), aşağıda görülen eşitlik ile hesaplanır:

) (4.21)

İlk bağın ilk kesimindeki ortalama hız eşitliği için gereken değeri sanal bağa ait ortalama hız değeridir ve değer ilk bağın ilk kesimindeki hıza eşittir.

80

4.1.2 Katılım akımı ( ve katılım kuyruklanma ( hesabı

Eşitlik (4.14) deki katılım teriminin hesaplanması için katılımdan anayola giren akımın (katılım hacminin) ( belirlenmesi gerekmektedir. Bu değer aynı zamanda kuyruklanma matrisi hesabında da kullanılır.

(4.22)

bağına ait kesimindeki katılımın bağına ait taşıt/sa cinsinden kapasite değeri, katılımın saplandığı bağın taşıt/sa cinsinden tıkanma yoğunluğudur (Şekil 4.2). katılım talebi, katılıma ait kuyruklanma değeridir. Eşitlik (4.22) katılımdan gelen trafiğin (talebin) yanısıra katılım bağındaki yoğunluk-kapasite ilişkisini göstermektedir. Buna göre talep ne olursa olsun, katılımdan otoyol kesimine giren taşıt sayısı, katılımın kapasitesini geçemez. Talebin kapasiteyi aştığı durumda katılımlarda kuyruklanma gelişir. Otoyol katılımlarında kuyruklanma ana akıma benzer şekilde aşağıda görülen eşitlikle hesaplanır.

(4.23) Eğer katılımlarda otoyol giriş denetimi yapılıyorsa, kontrol eylemi için eşitlik (4.22) aşağıdaki gibi yazılır:

,

(4.24)

; anında uygulanan otoyol giriş denetimine ait parametre, katılımın uygun şartlarda ana akıma bırakabileceği enbüyük trafik hacmi yani kapasitedir. 4.1.3 En son bağdaki ortalama hız için hesabı

METANET ortalama hız eşitliğindeki öngörü teriminin hesabında, bir sonraki kesimin yoğunluk değeri kullanılır. Ara bağlar ya da kesimler için bir sonraki bağ yoğunluğu METANET tarafından zaten hesaplanmakta ancak son bağ için böyle bir hesap yapılmamaktadır. Bu nedenle eklenen sanal bağa ait yoğunluk vektörü oluşturulur. Sanal bağın yoğunluğu için, eğer son bağ yoğunluğu son bağın kritik

81

yoğunluğundan küçükse, son bağın yoğunluğu, büyükse kritik yoğunluk olarak alınır.