Antes de apresentarmos análise sistemática dos dados, é importante explicitar o que estamos considerando como problemas compatíveis e incompatíveis. Como compatíveis enquadram-se os problemas que apresentaram no seu enunciado as seguintes características: (i) clareza na linguagem utilizada; (ii) coerência entre os dados fornecidos e o contexto utilizado; (iii) conformidade com as categorias, do Campo Conceitual Multiplicativo, descritas no capítulo 3 do presente estudo; (iv) exigência das operações de multiplicação e/ou divisão para a sua resolução.
Como incompatível, estamos considerando os problemas elaborados com as seguintes características: (i) Campo Conceitual Aditivo; (ii) descrição na linguagem natural de uma operação Matemática; (iii) falta de dados.
A tabela 5.1 apresenta, quantitativamente, os problemas elaborados levando em conta a sua compatibilidade ou incompatibilidade. Assim, foram analisados 84 problemas, resultado do produto entre 14 (número de professoras) e seis (número de problemas elaborados por cada professora). Esse dado é positivo, do ponto de vista do nosso estudo, pois revela um engajamento das professoras, tendo em vista que todas não só atenderam a solicitação dos pesquisadores/formadores, como também demonstraram empenho na realização do que fora proposto. Essa característica das professoras, o comprometimento delas, sinalizou, favoravelmente, para o desenvolvimento do processo formativo que ora estávamos encampando.
Tabela 5.1: Classificação dos problemas elaborados – compatíveis x incompatíveis
Os dados da tabela 5.1 mostram que os problemas elaborados foram classificados, majoritariamente, como compatíveis. É conveniente ressaltar ainda que os 15,5% que representaram os problemas incompatíveis, podem parecer, à primeira vista, uma quantidade elevada. Contudo, ao analisarmos o tipo de incompatibilidade, observamos que apenas quatro problemas entre os considerados incompatíveis eram inconsistentes, do ponto de vista matemático, por falta de dados (4,8%). Esse dado é positivo e relevante, pois mostra que essas professoras, independentemente da série em que estavam atuando no momento da coleta de dados, elaboram problemas pertinentes e adequados no âmbito do Campo Conceitual Multiplicativo.
Problemas incompatíveis
Foi possível classificar as incompatibilidades em três tipos, a saber: (tipo 1) situações pertencentes ao Campo Conceitual Aditivo; (tipo 2) descrição na linguagem natural de uma operação matemática; (tipo 3) falta de dados.
Total de problemas analisados Compatíveis Incompatíveis
Tabela 5.2: Tipos de incompatibilidade Campo Conceitual
Aditivo (I) natural de uma operação Descrição na linguagem Matemática (II)
Falta de dados (III)
04 05 04
A título de ilustração segue um exemplo de cada tipo de problema considerado como incompatível.
O tipo I de incompatibilidade refere-se a problemas que, para sua resolução, requer estratégias condizentes ao Campo Conceitual Aditivo. Portanto, queremos reafirmar que esses quatro problemas, do ponto de vista matemático, são pertinentes, porém não podem ser classificados como pertencentes ao Campo Conceitual Multiplicativo. Observe um exemplo que elucida essa afirmação:
Exemplo de problema considerado incompatível (tipo I).
Esse problema foi elaborado por uma professora da 3ª série e se constitui como um representante do que classificamos como incompatibilidade do tipo I (Campo Conceitual Aditivo). Note que o problema elaborado pela referida professora não apresenta nenhuma inconsistência do ponto de vista matemático, entretanto não se trata de um problema pertencente ao Campo Conceitual Multiplicativo.
Com relação ao tipo II (descrição na linguagem natural de uma operação matemática) destacamos o problema elaborado por uma professora da 1ª série.
Observe que o problema elaborado pela professora, do ponto de vista matemático, não pode ser considerado errado, nem inconsistente. Assim como no tipo I, esses problemas apresentam incompatibilidade do ponto de vista do nosso estudo, em virtude de privilegiar o algoritmo da multiplicação em detrimento de contextos que, de fato, levem o estudante a construir o significado das operações (multiplicação e divisão). É importante ressaltar que três dos cinco problemas foram elaborados por uma mesma professora, o que significa que metade dos problemas elaborados por ela resumiu-se à exploração do algoritmo. É razoável inferir que esse tipo de problema denota uma postura didática centrada em procedimentos e regras para o ensino dessas operações.
Finalmente, apresentaremos um exemplo do tipo III (Falta de dados). O problema em referência foi elaborado por uma professora da 2ª série.
Exemplo de problema considerado incompatível (tipo III).
Note que o problema não explicita o número total de coelhos, e tampouco o número de coelhos em cada gaiola. Ao ser indagada, em um momento posterior, a professora percebeu a falta de dados: “Nossa! esqueci de desenhar a quantidade de coelhos!”. Ela não percebe que, mesmo fornecendo a quantidade de coelhos, por meio do desenho, ainda há outra inconsistência em relação à pergunta do problema, pois mesmo sabendo a quantidade de coelhos a pergunta não tem sentido, a não ser que ela queira que o estudante faça apenas contagem, o que descaracteriza situações concernentes ao Campo Conceitual Multiplicativo. Em outras palavras, se de fato fosse fornecido a quantidade total de coelhos, a pergunta deveria se referir à quantidade de coelhos que ficaria em cada gaiola.
Cabe ressaltar ainda, que nenhum dos seis problemas elaborados pela professora Maria foi classificado como incompatível. Esse dado demonstra que ela teve uma preocupação em elaborar situações que de fato requeriam para sua resolução uma operação de multiplicação e/ou divisão.
Problemas compatíveis
Para apresentarmos os problemas compatíveis, organizamos uma tabela que apresenta o percentual de problemas elaborados pelas professoras, com destaque aos elaborados pela professora Maria, levando em consideração os quatro eixos do Campo Conceitual Multiplicativo (VERGNAUD, 1983; MAGINA et al, 2010). Para efeito dessa análise serão considerados apenas 71 (setenta e um) problemas, aqueles que foram classificados como compatíveis.
Tabela 5.3: Distribuição dos problemas de acordo com os eixos do Campo Conceitual
Multiplicativo
Eixo 1 Eixo 2 Eixo 3 Eixo 4
Proporção simples Proporção múltipla Comparação Multiplicativa Produto de medidas Todas as professoras 64 de 71 (90%) 0 de 71 (0%) 6 de 71 (8,5%) 1 de 71 (1,5%) Professora Maria 5 de 6 0 de 6 0 de 6 1 de 6
A primeira observação que pode ser feita, a partir dos dados da tabela 5.3, é a de que os problemas elaborados pelas professoras concentram-se, majoritariamente, no eixo 1 (proporção simples), seguido, muito de longe, pelo eixo 3 (comparação multiplicativa). Os problemas envolvendo o eixo 4 (produto de medidas), praticamente não foram contemplados pelas professoras (apenas 1 em 71). Podemos constatar ainda, que as professoras não elaboraram problemas que contemplassem o eixo 2 (proporção múltipla). Fato que poderia ser explicado por duas razões: problemas envolvendo a ideia de proporção múltipla são abordados em sala de aula a partir da 5ª série do Ensino Fundamental e, portanto não estão presentes no cotidiano dessas professoras; problemas com essa abordagem requer um nível cognitivo mais sofisticado, nem sempre presentes nos estudantes das séries iniciais.
Com relação à professora Maria, podemos constatar que seus problemas não diferem dos problemas elaborados pelas demais professoras, já que a maioria deles pertence ao eixo 1 (proporção simples), cinco dos seis apresentados. Porém, diferentemente das outras professoras, Maria não apresentou problema do eixo 3 (comparação multiplicativa) e o único apresentado pelas professoras no eixo 4 (produto de medidas) foi o que ela propôs.
Esse dado revela um descompasso entre as concepções das professoras, assim como da professora Maria, e as recomendações contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1997) do Ensino Fundamental, na medida em que esse documento sugere que para construção dos significados das operações de multiplicação e divisão, o professor deve lançar mão de um conjunto de situações, em diversos contextos, propiciando aos estudantes uma vasta experiência com as mais variadas situações do Campo Conceitual Multiplicativo. Recomendações essas que corroboram às ideias teóricas defendidas por Vergnaud (1983).
Quanto aos problemas classificados no eixo 1 (proporção simples), esses se referem, exclusivamente, à correspondência um para muitos. Os problemas envolveram as operações de multiplicação e a de divisão partitiva.
A tabela 5.4 apresenta a distribuição desses problemas, considerando as operações requeridas para a sua resolução (multiplicação, divisão partitiva).
Tabela 5.4: Distribuição percentual dos problemas de acordo com a operação requerida
Operações Multiplicação Divisão – partitiva
Modelo matemático 1 a b x 1 x b c Todas as professoras (%) 48 de 64 ( 75%) 16 de 64 (25%) Maria 2 de 6 (33%) 3 de 6 (50%)
Pudemos observar que a professora Maria teve maior equilíbrio, pois dentre os cinco problemas que elaborou, dois deles requeriam como operação mais adequada para sua resolução a multiplicação, e três, a operação de divisão. Quanto ao grupo de professoras, notamos que, no âmbito do eixo 1 (proporção simples – na correspondência um para muitos) há uma clara preferência para elaborar problemas que requerem a operação de multiplicação para a sua resolução (75% dos problemas foram elaborados com essa característica). Tal fato poderia ser explicado por algumas razões. Destacamos três delas que, a nosso ver, estão intimamente ligadas ao conjunto de variáveis que determina a concepção das professoras, em relação ao Campo Conceitual Multiplicativo.
A primeira razão é que problemas com essas características possibilitam estabelecer uma relação de continuidade entre os Campos Conceituais Aditivo e Multiplicativo. Fato que facilitaria, do ponto de vista didático, a introdução do conceito de multiplicação a partir da adição de parcelas repetidas. No capítulo III, fizemos uma ampla discussão sobre a limitação dessa abordagem didática e suas implicações para o ensino dos conceitos de multiplicação e de divisão.
A segunda razão é que os problemas envolvendo o eixo 1 (proporção simples) na correspondência um para muitos se configuram como prototípicos das operações de multiplicação e divisão, e são comuns na maioria dos livros didáticos, portanto são problemas mais recorrentes no cotidiano do professor.
A última razão é que, esse tipo de problema permite um tratamento didático típico das relações ternárias, qual seja: a x b = c; c ÷ b = a; ou c ÷ a = b (VERGNAUD, 1991). Reconhecemos, contudo, que problemas com a ideia de proporção simples envolvem uma relação quaternária (uma relação fixa entre quatro quantidades), conforme já discutidos no capítulo III. Tais tratamentos favorecem a algoritmização precoce das operações de multiplicação e de divisão, apoiados na memorização da tabuada, estratégia de ensino mais comumente explorada em sala de aula.
Para ilustrar, tomaremos o problema elaborado pela professora Maria:
Mariana precisa comprar 5 pacotes de bolacha. Cada pacote custa R$ 3,20. Quanto ela gastará?
Seguindo as razões destacadas anteriormente, esse problema nos permite observar que:
• Se cada pacote de bolacha custa R$ 3,20, a estratégia da operação de multiplicação se dá a partir da adição de parcelas repetidas (cinco parcelas de R$ 3,20 corresponde a 5 x 3,20).
• Problemas do tipo um para muitos (um pacote custa R$ 3,20, quanto custam cinco pacotes?), dispensam a relação quaternária que é uma relação fixa entre quatro quantidades, permitindo assim o tratamento didático típico das relações ternárias, qual seja: 5 x 3,20 = 16,00.
Com relação à estrutura dos problemas de divisão, observamos que todos eles foram elaborados com a ideia de divisão partitiva (FISCHBEIN et. al, 1985) – ato de dividir quantidades de naturezas diferentes (ex.: figurinhas por crianças). As palavras “repartir”, “distribuir” são, comumente, utilizadas como sinônimos de dividir, e ao mesmo tempo funcionam como indicativas para caracterizar as situações que requerem uma operação de divisão para a sua resolução. Observamos, ainda, que esses termos são empregados, deliberadamente, sem a devida preocupação em evidenciar a “repartição” ou “distribuição” como sendo uma divisão equitativa.
Nos três problemas elaborados por Maria com a ideia de divisão partitiva, observamos que ela omite as expressões dividir, repartir ou distribuir, colocando ao final da pergunta as palavras em cada. Para ilustrar transcrevemos os problemas elaborados:
i. A escola fará um passeio e 97 crianças participarão. Elas serão transportadas em 3 ônibus. Quantas crianças irão em cada ônibus?
ii. D. Luiza faz doces. Ela já fez 125 doces. Para enfeitar a mesa serão usadas 5 bandejas. Quantos doces irão em cada bandeja?
iv. Comprei 82 mudas de flores e vou plantá-las em 4 floreiras. Quantas mudas irão em cada floreira.
Podemos inferir que Maria supõe que o fato de usar as palavras em cada implica necessariamente uma divisão equitativa. Com relação ao problema (ii) não está explícito que as bandejas são do mesmo tamanho e, nem tampouco, que cada uma delas deve receber a mesma quantidade de doces, entretanto, nos parece que Maria não percebe isso da mesma forma. Nos problemas (i) e (iii) podemos imaginar que ela quisesse trabalhar com o resto da divisão (97:3=32,3
e 82 : 4 = 20,5), pois nos dois casos o dividendo representa uma quantidade discreta (criança/mudas de flores) e, portanto, não é possível pensar em quebra de unidade.
No que diz respeito aos seis problemas elaborados pelas professoras referentes ao eixo 3 (comparação multiplicativa) a ideia central presente nos enunciados envolvia uma relação de “dobro” e de “triplo” entre duas quantidades. Em todas as situações informava-se o referente e a relação, e era
solicitado o referido, por exemplo: Carlos tem 10 anos e Maria tem o dobro de sua idade. Quantos anos tem Maria?
Como pudemos observar na tabela 5.3, Maria não elaborou problemas que pertencessem ao eixo 3, porém foi a única professora que elaborou um problema do eixo 4 (produto de medidas – 4B combinatória), que transcrevemos a seguir:
Paula tem em seu armário cinco blusas e três saias. Quantos conjuntos ela pode formar?
Para esse problema a professora Maria e/ou seus estudantes poderiam lançar mão de duas estratégias de resolução: uma referente ao Campo Conceitual Multiplicativo, multiplicando a quantidade de blusas (cinco) e a quantidade de saias (três) (5 x 3). A outra estratégia poderia ser, por consequência da pequena magnitude das quantidades envolvidas (5 blusas e 3 saias), utilizar a árvore de possibilidades. Porém, como já destacamos no capítulo III, essa estratégia faz parte do Campo Conceitual Aditivo, em que se lançam todas as possibilidades e depois se faz a contagem:
Blusa 1 Blusa 2 Blusa 3 Blusa 4 Blusa 5
a b c a b c a b c a b c a b c Saias Saias Saias Saias Saias
A partir da análise dos enunciados dos problemas elaborados e por nós classificados como sendo compatíveis, podemos sintetizar que o modelo matemático (a×b=c; c÷b=a; ou c÷a=b) se configurou como uma estratégia
bem adaptada para resolver todos eles, já que não foi possível identificar nenhum problema que extrapolasse esse modelo como estratégia de resolução, como por exemplo: problemas envolvendo a ideia da correspondência muito para muitos. Esse fenômeno pode ter sido notado no grupo de professoras como um todo, inclusive com Maria.
5.1.2 Análise comparativa entre o desempenho dos estudantes e os