Matematiksel Muhakeme

Ball ve Bass (2003), muhakemenin matematiksel temel bir beceri olduğunu ve muhakemenin matematiksel kavramların anlaĢılmasında, matematiksel düĢünme yollarının ve iĢlemlerin rahatça kullanılmasında oldukça önemli olduğunu ifade etmiĢtir. Russell (1999), matematiksel muhakemenin temelde; geliĢtirme, gerekçelendirme ve matematiksel genellemeleri kullanma becerilerine dayandığını ifade etmiĢtir. Brodie ve diğerleri (2010, s. 11) ise, matematiksel muhakemenin matematiksel keĢfetmenin anahtar bir parçası olduğunu ve matematiksel muhakemenin düĢüncelerin arasında bağlantıların oluĢmasında büyük bir rol oynadığını belirtmiĢtir.

Ball ve Bass (2003), muhakeme becerisinin matematik öğretimi için oldukça önemli olduğunu belirterek matematiksel kavrayıĢın muhakeme becerisi olmadan mümkün olmayacağını öne sürmüĢtür. Ayrıca Ball ve Bass (2003), muhakemesiz bir matematiğin sadece iĢlemsel ve araçsal bir görünüme bürüneceğini belirtmiĢtir. AraĢtırmacılar muhakemenin matematik için öneminin daha iyi anlaĢılması için Ģu örneği vermiĢtir. Altıncı sınıfa devam eden bir öğrenci matematikle uğraĢmanın boĢa kürek çekmek olduğunu düĢünmektedir. Bu öğrenciye göre, verilen problemleri çözmek için matematik öğretmeninin göstermiĢ olduğu çözüm yolunu takip etmek yeterlidir. Bu öğrenci verilen problemlere ait çözümleri bulmak için muhakeme etmeden ve yargılamadan iĢlemleri gerçekleĢtirmekte ve yaptığı iĢlemleri birbirine

karıĢtırmaktadır. Sonuç olarak bu öğrenci, bilgiyi muhakeme etmeden kullandığı için mantıksız sonuçlara ulaĢmıĢtır.

Ball ve Bass (2003) matematikte muhakemenin bilginin yeniden üretilmesinde oldukça önemli bir iĢlevi yerine getirdiğini belirtmiĢtir. Matematiksel kavrayıĢın gerçekleĢmemesi; matematiksel bilginin kullanılmasını, yeni ve türetilmiĢ durumlara uygulanmasını güçleĢtirmektedir. Matematiğin bir iĢlemler dizi olmaktan ziyade mantıklı bir bilim dalı olarak algılanması ise, ezberlenen ve unutulan bilginin yeniden oluĢturulmasını oldukça kolaylaĢtırmaktadır.

Kilpatrick ve diğerleri (2001, s. 5) iç içe geçmiĢ ve birbirini etkileyen beĢ halkadan oluĢan bir matematiksel yeterlik kavramı tanımlamıĢtır. Bu halkalar; kavramsal anlayıĢ (conceptual understanding), iĢlemsel akıcılık (procedural fluency), yol-yordam yetisi (strategic competence), uyarlanabilir muhakeme (adaptive reasoning) ve üretken eğilim (productive disposition) olarak sıralanmıĢtır. Bu halkalar Ģu Ģekilde açıklanmıĢtır:

 Kavramsal anlayıĢ: Matematiksel kavramları, iĢlemleri ve iliĢkileri kavrama becerisi,

 ĠĢlemsel akıcılık: Matematiksel iĢlemleri kolay, doğru, eksiksiz, etkili ve uygun bir Ģekilde yerine getirebilme,

 Yol-yordam yetisi: Matematiksel problemleri formülleĢtirebilme, ifade edebilme, görselleĢtirebilme ve çözebilme,

 Uyarlanabilir muhakeme: Mantıksal düĢünebilme, yansıtabilme, açıklayabilme, doğrulayabilme ve gerekçelendirebilme,

 Üretken eğilim: Matematiğin mantıklı, yararlı ve değerli olduğuna inanma olarak tanımlanmıĢtır.

ġekil 14. Ġç Ġçe GeçmiĢ Matematiksel Yeterlik Halkaları (Kilpatrick vd., 2001)

Kilpatrick ve diğerlerine (2001, s. 129) göre, matematiksel yeterlik halkaları arasında karĢılıklı etkileĢimin gerçekleĢmesi için bütün halkaların birbirine tutunması gerekmektedir (ġekil 14). Uyarlanabilir muhakeme bir tutkal görevi görerek tüm halkaları bir arada tutar ve bu görevi ile matematiksel yeterliğin gerçekleĢmesinde oldukça önemli bir rol üstlenir. Uyarlanabilir muhakeme; kavram ve iĢlemlerin mantıksal bir yol ile bağlanmasına, uygun problem çözümlerinin üretilmesine, tartıĢmaların gerekçeli yollarla sürdürülmesine imkân tanımaktadır. Bu bakımdan uyarlanabilir muhakeme; temelinde iddiaların gerekçelendirilmesi ve argümanların geliĢtirilmesi gibi mantıksal süreçleri barındıran bir beceridir.

Open üniversitesi öğrencilerine matematiksel muhakemelerini etkili bir Ģekilde kullanabilmeleri için bazı önerilerde bulunmuĢtur. Bu öneriler üç soru baĢlığı altında toplanmaktadır. Öğrencilerin matematiksel faaliyetler sırasında bu üç soruya cevap bulmak için çaba harcamaları gerektiği belirtilmiĢtir (Open Üniversitesi, 1997, akt. Brodie ve diğerleri, 2010, s. 58):

Doğru olan ne? : Bu soru öğrencinin bir varsayımı haklı kılabilecek örüntü ve iliĢki bulmak için bir arayıĢa girdiğinde ortaya çıkar. Eğer öğrenci kendini ikna edecek yeterli delile ulaĢmıĢ ise öğrenci varsayımı bir formül ile ifade edebilir. Bu nokta öğrencilerin en çok hataya düĢtüğü noktadır. Öğrenciler yeterli delil

toplamadan birkaç örnek üzerinde inceleme yapıp genel formüller yazabilmektedir. Örneğin; öğrenciler sadece birkaç üçgenin iç açılarını ölçtükten sonra bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180 olur gibi genellemelere varabilir.

Nasıl emin olabilirim? : Bu soru öğrencinin her durum ya da durumlar için açıklık getiremeyen olası delillerle karĢılaĢtığında ortaya çıkar. Bu durumda öğrenci mantık yürütebilmek için ulaĢtığı delilleri de içeren genel çıkarımlara ve ispatlara ihtiyaç duymaktadır. Delil toplama ve varsayımları formülleĢtirme süreçleri olmadan öğrenci hazır verilen ispatları sadece baĢka durumlar için geçerli bir delil olarak göz önünde bulundurur. Çoğu zaman öğrenciler öğretmenlerin örnekler üzerinde yaptıkları açıklamaları bir teoremin neden doğru olduğu ile ilgili değil de bir teoremin ispatı ile ilgili olduğu yönünde bir algıya sahiptir.

Neden doğru? : Bir ifadenin bir durum ile ilgili gerçeği açıklayan mantıklı bir açıklama olması bile, herhangi bir kiĢiyi neden bu ifadenin doğru olduğuna ikna etmek için yeterli değildir. Ġspatın veya çıkarımların açıklayıcı fonksiyonu doğrulama iĢleminden oldukça farklıdır. Muhtemelen bu durum öğrencinin bir Ģeyin neden doğru olduğunu göstermesinden ziyade, öğrencinin o Ģeyin doğruluğunu kabul etmesi için neden o Ģeyin doğru olduğunu anlamasına ihtiyaç duymasından kaynaklanmaktadır.

Bu bölüme kadar açıklanan ve birbiri ile iliĢkisi bulunan problem çözme, muhakeme ve uzamsal düĢünme becerilerinin bireylere kazandırılmasında ve farklı akademik görevler içerisinde bu becerilerin etkili bir Ģekilde kullanılmasında, öz- yeterlik inancının önemli bir etkisinin olduğu söylenebilir. Bir sonraki bölümde öz- yeterlik kavramı ayrıntılı bir Ģekilde ele alınmıĢtır.