Matematiksel Modelleme ve Uygulamaları

Modelleme terimi, gerçek bir olgunun bir modele özellikle de bir matematiksel modele geçişini gösterir. Önemli adımları: (1) Gerçeklikten modele geçiş, (2) Modelin analizi, (3) Geri olarak gerçekliğe geçiş [35].

Matematiksel modellemeyse, 1970’li yıllardan itibaren kapsamlı olarak gerçek yaşamda var olan problemlerin çözüm sürecini tanımlamak için kullanılan şemsiye bir terimdir [36] . Örneğin Burghes(1980)’e göre matematiksel modelleme matematiğin tüm uygulamalarıdır [37]. Matematiksel modellemenin oldukça uzun bir tarihi ve çoğu yükseköğretim dersinde belirgin özelliklere sahip olmasına rağmen, “matematiksel modelleme” teriminin, matematikçiler ve matematik eğitimcileri tarafından üzerinde anlaşılan tam bir tanımı yoktur [38]. Gerçekte, yıllar geçtikçe farklı görüş ve araştırma bakış açılarından doğan farklı yorumlar önerilmiş ve kullanılmıştır [39]. Matematiksel modelleme matematiğin tüm uygulamları gibi düşünülürken, zaman içinde bir süreç olarak görülmüş ve tanımlamalar bu yönde yapılmıştır:

Bassanezi (1994) e göre matematiksel modelleme basit olarak matematiksel terimler içinde gerçek bir hayat problemini anlama(kavrama), basitleştirme ve çözme sürecidir [40]. Swetz ve Hartzler (1991), matematiksel modellemeyi bir olguyu gözlemleme, ilişkileri bağlantılandırma, uygun denklemleri uygulama ve çözme, sonuçları yorumlama olarak tanımladılar. Mason ve Davies (1991), matematiksel modellemeyi fiziksel bir durumdan matematiksel bir temsile taşıma olarak tanımladılar [39]. Legé (2003)’e göre ise, matematiksel modelleme, bazı şeyleri tahmin etmek veya ilave anlamlar kazanmak için matematiksel terimlerdeki gerçek yaşam durumlarını tanımlama sürecidir [41]. Bir problem durumundan bir matematiksel modele götüren sürece, matematiksel modelleme denir. Genel olarak kullanılan görüş ise matematiksel modellemenin yapılandırma, matematikleştirme, matematiksel olarak çalışma ve yorumlama/geçerliği sağlamadan oluşan bütün bir süreç olduğudur [42] .

Matematiksel modellemenin geniş tanımı açık-uçlu problemleri çözme ve bu problemleri kurma, nicel görevleri gerçek problemlerle ilişkilendirme ve genel olarak uygulamalı problem çözmeyi bağdaştırmayı içine alır [43]. Öğrenciler bir modelleme problemi üzerinde çalışırken, en önemli hedef kullanışlı ve ilginç bir analiz ve rapor üretmektir, belirli bir matematiksel teknik üretmek değildir [44]. Modelleme durumlarının amaçlarından birisi de öğrencinin matematiksel olarak formüle etmeyi anlamasıdır. Buradaki başlıca güçlük, sistematik olarak problemle uğraşmaktır [45].

Genel olarak matematik ve fen alanlarında modellemenin kullanılma amaçları şöyledir:

(a) Modelleme hesaplama ve tümdengelim süreçlerini de içermiş olsa bile aslında öncelikli amacı tanımlama, açıklama veya kavramsallaştırmadır. (Kavramsallaştırma, ölçme boyutlandırma düzenleme ve genel anlamda matematikleştirme bağlantılandırma)

(b) Modelleme karmaşık sistemleri anlamak (onlara anlam vermek için) veya onları tasarlamak için yapılır. Modellerde öğrenme ve öğretme açısından bilgi parçalarının vurgulanması önemlidir. Özellikle öğrencileri geleceğe yönelik alanlarda matematiği ve teknolojinin güçlü kullanıcıları olmalarını başarmaları için onları hazırlama [46] .

Matematiksel modeller, tanımladıkları yapıların yapısal özelliklerine odaklandıklarından diğer model kategorilerinden ayrılırlar. (Fiziksel biyolojik, sanatsal). Model geliştirme özellikle ölçmeyi, düzenlemeyi, sistematikleştirmeyi, boyutlandırmayı, örgütlemeyi, genel anlamda da modellenen sisteme bağlanan nesneleri, ilişkileri, işlemleri, örüntüleri, kuralları matematikleştirmeyi içerir. Sonuç olarak, etkili olarak kullanılışlı modellerin geliştirilmesi, tekrar eden deneme tanımlamalarının (yapılandırma, açıklamalar) sınandığı ve gözden geçirildiği bir dizi tekrar eden modelleme döngülerine ihtiyaç duyar [27] .

Modelleme ve uygulamaları birçok farklı öğeleri ve özellikleri içerir: açık- uçlu sorular, matematikleştirilmiş durumlar, simülasyonlar, sözel problemler ve nerede olursa olsun uygulamalı problem çözme durumları [43]. Matos (1998)’e göre, matematiksel modelleme, öğrencilerin fikirlere, problemlere, matematiksel ve matematiksel olmayan kavramlara anlamlar verdiği bir etkinlik gibi öğrenme konusunu incelemek için ümit vadeden bir alan olarak görünmektedir [43] Modelleme ve uygulamalarının dâhil edilmesi matematik öğrenme ve öğretmeye yönelik daha çok anlam vermeye katkı sağlar [2].

Matematiksel modelleme, genellikle iki sınıfa ayrılır: (1) Deneysel modellemede, modeller problemde verilen veya öğrenci tarafından toplanan verilere

göre uyarlanır. (2) Teorik modellemede, bir öğrenci modelde içerilen önemli özelliklere odaklanan teorik bir bakış açısından bir model geliştirir [46].

Skovsmose (1994), matematiksel modellemeyi iki farklı türde tanımlamıştır. Bu modellerin isimleri “işaret edilmiş modelleme” (pointed modeling) ve “genişletilmiş modelleme” (extended modeling). İşaret edilmiş modellemede problem formal bir dile dönüştürülür. Genişletilmiş modelleme özel bir problem durumunu tanımlamak için çok kullanılmaz ama teknolojik bir süreç için genel bir kaynak sağlar. Matematik yorumladığımız kavramsal çerçevenin ve kendi modern dünyamızın gerçekliğinin bir parçası haline gelir. Günlük hayatımızdaki yaşamlarımız matematiksel olarak yapılandırılır. Uzaklığı, yeri, zamanı ve bunun gibi şeyleri nasıl ölçtüğümüz gibi, işaret edilmiş bir model, gerçekliğin özel bazı yorumlamalarına dayandırılmalıdır [47].

Galbraith (1999), gibi yazarlara göre matematiksel modellemeyle matematiğin uygulamaları, matematik uygulamalarının matematik ve bağlamla ilişkili olmasına rağmen ayrılabilirdir, yani birbirlerinden farklıdır. Diğer bir ifadeyle verilen bazı bağlamlarda problemi çözmek için gerekli olan matematiği uyguladıktan sonra bağlama ihtiyaç duymayız. Bir modelleme görevi belirli bir problem veya olguyu araştırmaya odaklanmasıyla farklılaşır. Kullanılan matematik sadece problemi anlama ve çözme için bir araçtır. Galbraith, matematiksel modellemenin öğretiminin “yapılandırılmış” veya “ açık” bir yaklaşımdan biriyle yapılabileceğine inanmaktadır. Yapılandırılmış modelde gerçek hayat bağlamı sağlanır, öğrencilerden problemi çözmek için uygun matematiği kullanmaları istenir. Modelin formüle edilmesi beklenmez. Ancak gerçek hayata ait verilerle veya verilen bilgiyle matematik arasında önemli bağlantılar yapılmalıdır. Bu yaklaşım, öğrencilerin kullanacakları matematik üzerinde bazı kontrolleri yapmalarını sağlar. [48] . Çalışılan matematik ve gerçek veriler arasındaki temel ilişkileri akılda tutarken, model formüle etmedeki bazı meydan okuyucu durumları ortadan kaldırır. Yapılandırılmış modelleme bağlamları, sık sık belirli bir bilinmeyeni bulmak için durumlara sahip olacaktır ve sonuç olarak öğrencilerin teknoloji kullanımı bir cevabı bulmada veya sağlama yapmada sınırlandırabilir [49] . Açık modellemede, meydan okuyan durum verilen bilgilere dayandırılan bir modeli formüle etmek ve bağlamın

bazı matematiksel temsillerini geliştirmektir. Bu durumda öğrenciler, belli bir düzeyde problemi ve matematiği uygulamaya ihtiyaç duyacaklardır. Problemi çözme girişimlerinde rahattırlar. Bu öğrenciler tarafından seçilen matematik üzerinde öğretmenin kontrolünün olmadığı anlamına gelir. [39] .Açık modellemede bulunan zorluk, belirli bir bağlam için matematiksel yapının gelişimine izin veren modeli formüle etmedir. Açık modellemenin temel aşamaları şunlardır:

(i) Problem gerçek yaşam terimleri içindedir, bu durum hiçbir surette kesin matematik içermez.

(ii) Bir matematiksel problem gibi formül, modelleyici tarafından sağlanmalıdır.

(iii) Çözüm gerçek yaşam verileri ve matematiksel işlemin bir bütünleşmesini içerir.

(iv) Sonuç, kontrol etmeye ve diğer gerçek yaşam verilerinde kullanmaya uygun olmalıdır [49] .

Matematiksel modelleme üç önemli değişkeni içerir; (1) yararlı olan nicelik değişmelerinin ve miktarlarının doğasını, (2) yararlı sistemlerin (veya modellerin) yaratılmasını sağlayacak şartlar ve çevrenin kullanımını ve (3) benzeri modellerin genellenebilen durumlarda gelişimi ve sadeleştirilmesini (basitleştirilmesini) [50] .