Matematik öz yeterlik algısı ile ilgili araştırmalar

São encontrados na literatura diversos trabalhos que tratam de forma teórica, numérica ou experimental do escoamento de fluidos Newtonianos/Não-Newtonianos através de tubos e canais anulares. Tais escoamentos podem ser originados da movimentação de uma parede (Escoamento de Couette), de um diferencial de pressão imposto (Escoamento de Poiseuille) ou de uma combinação dos dois: Escoamentos de Couette e de Poiseuille ou helicoidais.

Nesta tese são referenciados artigos que lidam com escoamento num anular concêntrico e sem rotação do tubo interno. Com vistas a aplicação na operação de perfuração, onde o movimento do tubo interno é uma caracteristica inerente do processo, são referenciados artigos que lidam com o escoamento num anular concêntrico com rotação do cilindro interno (fluxo espiral ou helicoidal). Desde que, uma outra complicação que ocorre no projeto da operação de perfuração de poços, é que a coluna se encontra desviada do centro do poço, isto é, apresenta uma configuração excêntrica, são também referenciados trabalhos que lidam com o escoamento em anulares excêntricos sem rotação do tubo interno e trabalhos que lidam com escoamentos em anulares excêntricos com rotação do cilindro interno. Especificamente na perfuração direcional, pode ocorrer uma outra dificuldade que é o acumulo de sólidos no fundo do poço formando um leito de cascalhos sedimentado que obstrui parcialmente o escoamento. É desejavel também se estudar este processo a fim de se verificar as condições que garantam um bom carreamento dos cascalhos. Para este caso citado por último, a literatura é bastante escassa, e por isso será abordado nesta tese.

Um dos primeiros trabalhos dedicados ao escoamento de fluidos não-Newtonianos em tubos de seção anular é o de BIRD e FREDRICKSON (1958). Nesse trabalho pode ser encontrada uma solução analítica para o escoamento axial completamente desenvolvido em anulares concêntricos utilizando os modelos Power-Law e Bingham. Foram apresentadas expressões para o cálculo da perda de carga, além de alguns exemplos de aplicação na indústria do petróleo.

UNER et al. (1988) apresentam uma solução aproximada para predizer a relação vazão volumétrica e queda de pressão para fluxo laminar permanente de fluidos não-Newtonianos em anulares excêntricos modelados como fendas de alturas variáveis. Na teoria da lubrificação o método é baseado na hipótese de uma folga de comprimento variável e as regiões anulares são aproximadas ao modelo de placas paralelas. Essa abordagem permite a obtenção de solução analítica para o problema.

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FORDHAM et al. (1991) apresentaram um algoritmo robusto para estimativa da queda de pressão e perfil de velocidade axial no fluxo laminar, completamente desenvolvido, de fluidos viscoplásticos em anulares concêntricos, slots (anulares muito estreitos) e tubos. Foram considerados os modelos reológicos de Casson, Herschel-Bulkley e Robertson-Stiff. O modelo apresentado pelos autores calcula as respostas em função da vazão ao invés da queda de pressão como comumente é encontrado na literatura. Um procedimento experimental utilizando um fluido de base aquosa com 0,5% de GX foi realizado, e os resultados foram comparados com os previstos pelo modelo proposto mostrando boa concordância. O anular concêntrico usado nos experimentos apresentava 3 m de comprimento e gap de 5 mm. Os resultados mostraram que o gradiente de pressão calculado nos canais são praticamente independentes da geometria (anular ou slot), porém sensíveis aos parâmetros reológicos do fluido, com destaque para τ . Os autores apresentam perfis de velocidade para anulares ₀ concêntricos calculados para diversas razões de diâmetros, mostrando que a previsão dos perfis usando modelagem com a aproximação de placas paralelas (slot) só fornece boas previsões quando o anular é estreito: apresenta pequeno gap ou alta razão de diâmetros.

BITTLESTON e HASSAGER (1992) abordaram o escoamento helicoidal de fluidos viscoplásticos de Bingham, que é gerado quando há a rotação do cilindro interno de um anular concêntrico (fluxo tangencial) sob um gradiente de pressão (fluxo axial). Uma solução analítica foi obtida para a idealização do problema com uma fenda plana (slot). Os autores também apresentam soluções numéricas que não levavam em conta a aproximação slot.

ESCUDIER e GOULDSON (1995) estudaram experimentalmente o escoamento de fluidos Newtonianos e pseudoplásticos em um anular concêntrico com rotação do cilindro interno. Os autores usaram o LDA (laser doppler anenometer) como técnica de medida que permitiu a obtenção dos perfis de velocidade axial e tangencial para diversas situações de escoamento (vazão de fluido e rotação do cilindro interno), além de apresentar dados de fator de atrito versus número de Reynolds. Para fluidos de característica Newtoniana foram empregadas soluções de xarope de glicose, enquanto que a carboximetilcelulose foi a base para as soluções de comportamento não-Newtoniano. Os autores observaram que em todos os regimes de fluxo (laminar, transicional e turbulento) o fator de atrito ou a queda de pressão aumentaram com a rotação do cilindro interno. As medidas de velocidade axial obtidas foram similares ao que era esperado para o caso sem rotação.

NOURI e WHITELAW (1997) mediram experimentalmente usando um sistema laser- Doppler (LDV) as três componentes da velocidade e as quedas de pressão de fluidos

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Newtoniano e não-Newtoniano em um anular excêntrico ( E = 0,5) com rotação do cilindro interno (300 rpm) nos regimes laminar e turbulento. O fluido Newtoniano era uma mistura de 31,8% de tetralina em turpentina e o fluido não-Newtoniano era uma solução aquosa com 0,2% de CMC, bem representada como um fluido Power-Law. A seção anular possuía diâmetro do tubo externo de 40,3 mm e diâmetro do tubo interno de 20 mm. Os resultados mostraram que a rotação tem um efeito similar em ambos os fluidos: um fluxo axial mais uniforme através do anular e máximas velocidades tangenciais na região anular de menor gap. Os resultados foram comparados com fluxo em anular concêntrico com e sem rotação e em anular excêntrico sem rotação. Os autores utilizaram números adimensionais como o número de Rossby que representa a razão entre as forças inerciais (efeito da vazão) e de Coriolis (efeito de rotação) para caracterizar o escoamento. Foi evidenciada a distorção no perfil de velocidade axial gerada pela rotação: os valores máximos de velocidade não se situavam no centro do gap mas sim próximos das paredes a depender da posição analisada. Observou-se que a velocidade rotacional era reduzida com o aumento do gap (distância entre os cilindros), efeito este contrário ao que ocorre com a velocidade axial. Para ambos fluidos estudados, a resistência ao fluxo aumentou mais que 30% com a rotação, para os casos com menores números de Reynolds. Já para os casos com altos números de Reynolds, este efeito foi praticamente desprezível.

NOUAR et al. (1998) abordaram o efeito do comportamento reológico do fluido e a rotação do cilindro interno sobre o campo de fluxo em um anular concêntrico. A seção anular consistia em um cilindro interno de 40 mm e um cilindro externo de 65 mm. As medidas experimentais de velocidade foram feitas utilizando um sistema Laser Doppler. O fluido utilizado foi uma solução de 0,2% de Carbopol 940, que era bem representada pelo modelo Herschel-Bulkley. Os perfis de velocidade axial obtidos experimentalmente mostraram que a rotação do cilindro interno induzia uma modificação nestes perfis, caracterizada por um decréscimo do gradiente de velocidade axial (∂ ∂u r) nas proximidades do cilindro externo, ou de outra forma, os perfis de velocidade axial apresentavam pico próximo do cilindro interno. Segundo os autores esta deformação do perfil de velocidade axial era devido a uma diminuição da viscosidade aparente nas proximidades do cilindro interno, onde as taxas de deformação aumentavam devido à rotação.

MEURIC et al. (1998) estudaram numericamente o fluxo laminar de fluidos viscoplásticos do tipo Herschel-Bulkley em anulares concêntricos e excêntricos. As soluções numéricas abordaram fluxos axiais (devido a um gradiente de pressão) e tangenciais (devido a

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rotação do cilindro interno) usando o método de elementos finitos. Foram calculadas velocidades, perfis de tensão e deformação, viscosidade aparente e distribuição de pressão para várias excentricidades, razões de diâmetros, propriedades do fluido e parâmetros de fluxo. Os autores apresentaram diversos resultados para a vazão calculada em função da rotação do tubo interno (0 ‒ 120rpm), excentricidade (0 ‒ 0,7) e expoente _n do fluido Power-

Law (0,7 ‒ 1,3). Os resultados mostraram que para uma queda de pressão fixa, a vazão

aumenta com a excentricidade e diminui com o expoente n. Para uma excentricidade fixa, a vazão diminui com um aumento da rotação ou com o aumento do expoente n.

ESCUDIER et al. (2000) estudaram através de simulações numéricas o escoamento laminar completamente desenvolvido de um fluido Newtoniano através de um anular excêntrico com rotação do cilindro interno. Os autores apresentaram resultados de campo de fluxo, distribuição de tensão cisalhante na parede e fator de atrito para diversos valores de excentricidade (até 0,98), razão entre os raios dos cilindros interno e externo (0,2, 0,5 e 0,8) e números de Taylor (até 50000). Os perfis de velocidades numéricos foram confrontados com dados experimentais mostrando boa concordância. Os resultados mostraram que o fluxo do fluido Newtoniano através do anular exibe um comportamento completamente inesperado para altas taxas de rotação do cilindro interno em excentricidades muito altas. Particularmente, a distribuição de velocidade axial desenvolve um segundo pico.

ESCUDIER et al. (2002a) apresentaram resultados de procedimento numérico, usando o método de volumes finitos para resolução das equações, para o escoamento completamente desenvolvido, laminar e isotérmico de fluido não-Newtoniano do tipo Power-Law em anular excêntrico com rotação do tubo interno. Foram também apresentados cálculos adicionais para modelos reológicos mais complexos, incluindo Cross, Carreau e Herschel-Bulkley, os quais foram comparados sistematicamente com o modelo Power-Law. Os autores utilizaram adimensionais como o número de Reynolds generalizado e o número de Taylor para analisar o escoamento. Os resultados mostraram a distorção do perfil de velocidade axial criado pelo efeito combinado da excentricidade e rotação do cilindro interno. Também mostraram que há um crescimento do produto f Re (fator de atrito de Fanning multiplicado pelo número de Reynolds) com o aumento da rotação do eixo interno (crescimento do número de Taylor, Ta ), e um crescimento de Ref com baixa e alta excentricidade, mas uma diminuição comum a

excentricidade intermediária.

ESCUDIER et al. (2002b) reportaram dados experimentais para o escoamento laminar completamente desenvolvido de um fluido não-Newtoniano (0,1% de GX/0,1% de CMC) em

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anulares concêntricos e com excentricidade de 80%, para casos com e sem rotação do cilindro interno. A seção anular consistia de tubos cilíndricos de diâmetro 50,8 mm e 100,4 mm, que podiam ser arranjados de forma concêntrica e excêntrica. Os perfis de velocidade foram obtidos utilizando um sistema de anemômetro laser Doppler, LDA. Os autores também confrontaram previsões numéricas de campo de fluxo com dados da literatura e com seus dados experimentais próprios. Das diversas comparações de resultados, em geral, observou-se que os resultados calculados mostraram muito boa concordância com os dados experimentais, mesmo para situações em que os efeitos viscoelásticos foram negligenciados. Houve, entretanto discrepâncias em alguns casos que podem ser atribuídas a erros experimentais ao invés dos cálculos.

Como exemplo de estudo de fluidos Herschel-Bulkley em tubos e anulares tem-se o trabalho de KELESSIDIS et al. (2006), que realizaram estudos experimentais de fluidos de perfuração que continham bentonita como aditivo e exibiam comportamento não-Newtoniano. Os autores afirmaram que para a estimação de parâmetros hidráulicos da operação de perfuração, como por exemplo, quedas de pressão e perfis de velocidade, é muito importante ser cuidadoso com a técnica utilizada para estimativa dos parâmetros do modelo reológico do fluido. Pequenas diferenças nestes parâmetros podem levar a grandes diferenças nas estimativas dos parâmetros hidráulicos. Os autores propuseram uma metodologia ótima para a determinação dos parâmetros do modelo Herschel-Bulkley e apresentaram diversos resultados calculados de queda de pressão e perfis de velocidade, no regime laminar em anulares concêntricos, utilizando diferentes ajustes dos parâmetros do modelo para os fluidos, mostrando a grande diferença resultante.

ARIARATNAM et al. (2007) desenvolveram uma metodologia simplificada para prever as pressões do fluido ao longo de um anular visando reduzir o risco de faturamento hidráulico na perfuração horizontal. Foram coletadas amostras de solo que foram combinadas com fluidos de perfuração e obtidas suas curvas reológicas que foram ajustadas a modelos reológicos. Esses modelos forneceram a base para o cálculo das quedas de pressão para fluxo laminar. Os resultados mostraram que a pressão no poço aumenta com a densidade da lama e com o comprimento do poço.

PEREIRA et al. (2007) estudaram numericamente o escoamento de fluidos não- Newtonianos viscoplásticos do tipo Cross em seções anulares horizontais (concêntrica e de excentricidade 0,8) utilizando técnicas de fluidodinâmica computacional. Foram analisados os efeitos da viscosidade, excentricidade, vazão e rotação do tubo interno sobre os perfis de velocidade e a queda de pressão. Os resultados numéricos foram validados com os resultados

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experimentais de ESCUDIER et al. (2002b). Os autores identificaram que a zona de escoamento preferencial em anulares excêntricos com rotação se deslocava para a região inferior do anular. Os resultados de queda de pressão ao longo da seção anular indicaram que quanto mais forte fosse o comportamento não-Newtoniano do fluido (menor índice de consistência) e com a utilização de maiores vazões, o comprimento de entrada necessário para se estabelecer escoamento plenamente desenvolvido era maior.

FOUNARGIOTAKIS et al. (2008) utilizaram uma abordagem semi-empírica com aproximação slot para fazer previsões da queda de pressão no escoamento laminar, transicional e turbulento de fluidos do tipo Herschel-Bulkley em anulares concêntricos. As soluções para o fluxo turbulento foram desenvolvidas usando o número de Reynolds Metzner- Reed após a determinação dos parâmetros Power-Law como função da geometria e dos parâmetros reológicos de Herschel-Bulkley. A queda de pressão e o fator de atrito foram estimados fazendo-se uma modificação na equação do escoamento em tubos. A comparação das previsões usando essa abordagem/metodologia proposta pelos autores com dados experimentais e simulados da literatura mostrou excelente concordância sobre todos os regimes de fluxo estudados.

De forma similar a deposição de cascalhos no fundo do anular de poços direcionais e horizontais, pode ocorrer também a sedimentação do adensante da suspensão nestes poços, levando a formação de camadas de fluidos de diferentes densidades e a formação de um leito de sólidos (sag beds). Os leitos formados por adensantes serão muito mais suscetíveis à remoção pela vazão e rotação do tubo interno do que leitos formados por cascalhos. NGUYEN et al. (2011), estudaram a sedimentação de barita em fluidos de perfuração base- óleo em geometrias concêntricas e excêntricas, com e sem rotação do cilindro interno. Foi observado que a excentricidade do poço favorece a formação do leito de partículas de adensante. No caso de anulares excêntricos, a rotação do cilindro interno ajudou a prevenir na formação do leito de partículas, pois o leito foi perturbado e as partículas ressuspendidas. No caso concêntrico, este efeito não foi pronunciado.

ALEGRIA et al. (2011) apresentaram um estudo analítico e numérico do escoamento laminar de um fluido viscoplástico em tubos elípticos anulares concêntricos/excêntricos. Foram analisados os efeitos dos parâmetros geométricos do tubo, cinemáticos do escoamento e reológicos do fluido no padrão do escoamento e na perda de carga. As simulações numéricas foram realizadas com o programa comercial PHOENICS-CFD. Para validar os resultados, foram realizadas comparações com a literatura. Para cada geometria investigada foram obtidos parâmetros de interesse na engenharia como perfil de velocidade, vazão

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volumétrica, perfil das tensões e expressão para o fator de atrito. Foi observado para seção elíptica anular concêntrica que conforme a razão de aspecto da elipse diminuía (aumento da ovalização) a distribuição do perfil de velocidade axial tornava-se irregular, e quanto maior a ovalização, maiores eram as velocidades axiais nas seções de maior folga anular e menores nas seções mais estreitas. Foi observado para seção elíptica anular excêntrica o aumento dos valores da velocidade axial nas regiões de maior espaço anular e a diminuição nas regiões de menor espaço anular, sendo que as regiões de maior velocidade concentravam-se nas posições de maior folga, opostas ao deslocamento do tubo interno.

KELESSIDIS et al. (2011) realizaram um estudo experimental e predições segundo equações semi-empíricas da queda de pressão de fluidos Herschel-Bulkley escoando nos regimes laminar, transicional e turbulento em anulares concêntrico e excêntrico (100%). A seção anular possuía diâmetro do tubo externo de 70 mm e diâmetro do tubo interno de 40 mm, que podia ser ajustado para a posição totalmente excêntrica. Como fluidos não- Newtonianos foram utilizadas suspensões de bentonita em água. Os dados de fluxo laminar experimentais dos próprios autores e outros dados da literatura foram bem preditos pelo modelo proposto. Já no regime de transição e turbulento houveram pequenas discrepâncias. As estimativas para os dados dos casos excêntricos eram feitas fazendo correções em cima das previsões dos casos concêntricos. Os autores observaram que os anulares excêntricos quando comparados aos anulares concêntricos sob as mesmas condições levavam as quedas de pressão menores, e que essa redução da queda de pressão ocasionada pela excentricidade era mais evidenciada para fluidos não-Newtonianos do que para fluidos Newtonianos.

VIEIRA NETO et al. (2012) estudaram a fluidodinâmica de fluidos não-Newtonianos em um espaço anular com movimento excêntrico variável do tubo interno. A principal resposta estudada foi a queda de pressão. Os efeitos de quatro variáveis operacionais foram quantificados: concentração de Goma Xantana (0,05, 0,10 e 0,15%), excentricidade (0, 0,23 e 0,46), rotação do tubo interno (100 e 200 rpm) e vazão de fluido (5, 7 e 9 m3/h). Para a faixa experimental trabalhada o número de Reynolds variou de 82 a 965. A variável que mais afetou a queda de pressão foi a concentração de Goma Xantana que afetou positivamente esta resposta. Com o aumento da concentração de goma aumentaram-se as propriedades não- Newtonianas do fluido conduzindo a um aumento da resistência ao fluxo, e aumento da queda de pressão. O efeito do aumento da excentricidade foi provocar uma redução na queda de pressão, já que havia formação de zonas preferenciais de escoamento axial. Já a vazão afetou positivamente a queda de pressão. O efeito do aumento da rotação foi uma redução da queda de pressão para o caso concêntrico e um aumento da queda de pressão para o caso excêntrico.

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A comparação entre os dados experimentais e simulados de queda de pressão indicaram uma boa concordância.

MAO et al. (2012) realizaram a modelagem e simulação numérica do fluxo de fluidos viscoplásticos do tipo Herschel-Bulkley em anulares concêntricos e excêntricos. Os autores desenvolveram seus modelos levando em conta o escoamento que ocorre em duas regiões, na região em que as tensões excedem a tensão limite de escoamento foram aplicadas as equações para a mecânica dos fluidos, e na região em que as tensões são menores do que a tensão limite de escoamento (região de escoamento plug flow) foram aplicadas as equações para a mecânica dos sólidos. A solução numérica foi baseada no método de diferenças finitas. Os resultados simulados de vazão volumétrica baseados na abordagem CVA (continuous viscoplastic

approach) apresentaram baixa concordância com dados experimentais. Um modelo

matemático rígido foi proposto para escoamento de fluido Herschel-Bulkley em anular concêntrico fornecendo melhores previsões.

OLIVEIRA et al. (2013) apresentaram um modelo matemático para predizer a propagação de pressão num fluido de perfuração bombeado num poço fechado. O modelo era composto por equações do balanço de massa e movimento, assumindo fluxo unidimensional, incompressível e isotérmico. Assumiram que o escoamento ocorria da coluna de perfuração diretamente para o espaço anular, sem considerar a broca. As tensões na parede da coluna de perfuração e no espaço anular eram calculadas usando a abordagem do fator de atrito de Fanning e o fluido modelado como um fluido de Bingham ou Newtoniano. Os resultados simulados para uma vazão constante na entrada foram comparados com os resultados experimentais do trabalho de OLIVEIRA et al. (2012) mostrando boa concordância. Observou-se que as oscilações eram dissipadas mais rapidamente e a pressão não era completamente transmitida nos fluidos de Bingham por causa da tensão limite de escoamento. E que a propagação de pressão era interrompida se o gradiente de pressão não fosse suficiente para ultrapassar a tensão limite de escoamento do fluido.

HAJIDAVALLOO et al. (2013) estudaram o comportamento fluidodinâmico de um fluxo bifásico gás-sólido no espaço anular de um poço de perfuração gasoso sob diferentes arranjos usando simulação tridimensional, onde foram avaliados os efeitos da excentricidade e rotação da coluna sobre a queda de pressão e os perfis de velocidade do gás e das partículas.