Na lógica fuzzy, os conectivos clássicos de conjunção, disjunção, negação e impli- cação são generalizadas para o reticulado[0,1].Nesta seção, apresentam-se esses conec- tivos e algumas propriedades necessárias para o desenvolvimento deste trabalho.
4.2. CONJUNTOS FUZZY E LÓGICA FUZZY 49 Definição 4.2.2. [Sussner, Nachtegael, Mélange, Deschrijver, Esmi & Kerre 2011] (Con- junção Fuzzy)
Uma função C ∶[0,1]2→[0
,1] é chamada conjunção fuzzy se satisfizer as seguintes condições:
(1) C é uma aplicação isotônica;
(2) C(0,0) =C(0,1) =C(1,0) = 0 e C(1,1) = 1.
Definição 4.2.3. [Sussner, Nachtegael, Mélange, Deschrijver, Esmi & Kerre 2011] (Dis- junção Fuzzy) Uma função D ∶[0,1]2→[0
,1] é chamada disjunção fuzzy se satisfizer as seguintes condições:
(1) D é uma aplicação isotônica;
(2) D(0,0) = 0 e D(1,0) = D(1,1) = D(0,1) = 1.
Um caso especial de conjunção são as chamadas T-normas triangulares ou simples- mente T-normas. Por outro lado, T-conormas são casos especiais de disjunções.
Definição 4.2.4. [Baczyz´nski & Jayaram 2008] Uma T-norma é uma função T ∶[0,1]2→[0
,1] que satisfaz as propriedades: (1) T é uma conjunção;
(2) T é associativa; (3) T é comutativa; (4) T(1,x) = x.
A Tabela 4.1 apresenta alguns exemplos de T-normas fuzzy que utilizadas neste tra- balho.
Tabela 4.1: Algumas T-normas Fuzzy Nome T-norma Lukasiewicz TLK(x,y) = max(0,x+ y − 1) Gödel TGD(x,y) = min(x,y) Goguen TGG(x,y) = x⋅y Weber TW B(x,y) = { 1 se x< 1,y< 1 min(x,y) c.c. Fodor TFD(x,y) = { 1 se x + y < 1 min(x,y) c.c. Produto Drástico TD(x,y) = { 0 se (x,y) ∈]0,1[ 2 min(x,y) c.c. FONTE:[Baczyz´nski & Jayaram 2008]
Um tipo de T-norma importante na construção de operadores morfológicos é a T- norma contínua à esquerda.
50 CAPÍTULO 4. MORFOLOGIA MATEMÁTICA FUZZY Definição 4.2.5. [Baczyz´nski & Jayaram 2008] Uma T-norma T ∶[0,1]2→[0,1] é con- tínua à esquerda se para cada y∈[0,1] e para toda sequência não decrescente(xn)n∈N tivermos:
lim
n→∞T(xn,y) = T( limn→∞xn,y). (4.7)
Segundo Baczy´nski as T-normas de TLK,TGD,TGG são exemplos de T-normas con- tínuas à esquerda.
Definição 4.2.6. [Baczyz´nski & Jayaram 2008] Se para duas T-normas T1e T2for o caso
que T1(x,y) ≤ T2(x,y), para todo (x,y) ∈ [0,1],então diz-se que T1é mais fraca que a T2, ou equivalentemente, que T2é mais forte que T1.
Com base nesta definição pode-se comparar as T-normas da Tabela 4.1.
TD≤ T ≤ TGD, (4.8) onde a T-norma do produto drástico é mais fraca e a T-norma de Gödel é a mais forte. A união fuzzy é definida a partir da generalização do operador clássico de disjunção, que pode ser chamado de T-conorma triangular ou simplesmente T-conorma.
Definição 4.2.7. [Baczyz´nski & Jayaram 2008] Uma T-conorma é uma função S∶[0,1]
2→[0
,1] que satisfaz as propriedades: (1) S é disjunção;
(2) S é associativa; (3) S é comutativa; (4) S(x,0) = x.
Um conectivo importante que generaliza a negação clássica é a negação fuzzy.
Definição 4.2.8. [Baczyz´nski & Jayaram 2008] Uma função N∶[0,1] → [0,1] é chamada de negação fuzzy se;
(1) N(0) = 1,N(1) = 0; (2) N é decrescente.
Uma negação fuzzy,N,é chamada estrita se, além disso, N for estritamente decres- cente e contínua. Uma negação fuzzy ,N, é diz-se forte se for uma involução, ou seja, N(N(x)) = x com x ∈ [0,1].
Definição 4.2.9. [Buckley & Eslani 2002] Dados dois conjuntos fuzzyχS,χT ∶ A →[0,1] e uma conjunção C ∶[0,1]×[0,1] → [0,1] a interseção fuzzy de χS com χT é a função χS∩ χT(x) =C(χS(x),χT(x)).
4.2. CONJUNTOS FUZZY E LÓGICA FUZZY 51 Definição 4.2.10. [Baczyz´nski & Jayaram 2008](Implicação Fuzzy) Uma função I∶[0,1]
2→[0,1] é chamada de implicação fuzzy, se para todo x
,x1,x2,y,y1,y2∈[0,1] as seguintes condições são satisfeitas:
(i) Se x1≤ x2⇒I(x1,y) ≥ I(x2,y); (ii) Se y1≤ y2⇒I(x,y1) ≤ I(x,y2); (iii) I(0,0) = 1; (iv) I(1,1) = 1; (v) I(1,0) = 0. (vi) I(0,1) = 1.
Segundo [Fodor & Roubens 1994] existem implicações fuzzy que possuem algumas das seguintes propriedades.
(1) I(1,x) = x, x∈[0,1];
(2) I(x,I(y,z)) = I(y,I(x,z)), x,y,z∈[0,1]; (3) I(x,x) = 1, x∈[0,1];
(4) I(x,y) = 1 ⇔ x ≤ y, x,y∈[0,1]; (5) I(x,y) ≥ y x,y∈[0,1];
(6) I(x,0) = N(x) é uma negação forte; (7) I(x,y) é uma função contínua
(8) I(x,y) = I(N(y),N(x)), x,y∈[0,1] e N uma negação forte. Na Tabela 4.2 são apresentadas algumas implicações fuzzy básicas.
Tabela 4.2: Exemplos de Algumas Implicações Fuzzy Nome Implicação Reichenbach IRC(x,y) = 1−x+xy Kleene-Dienes IKD(x,y) = max(1−x,y) Rescher IRS(x,y) = { 1 se x≤ y 0 se x> y Yager IY G(x,y) = { 1 se x= 0 e y = 0 yx se x> 0 e y > 0 FONTE:[Baczyz´nski & Jayaram 2008]
Um grupo interessante de implicações são as R-implicações devido à sua semelhança com a implicação intuicionista onde vale a lei lógica a∧c ≤ d ⇔ c ≤ I(a,d).A implicação intuicionista chamada implicação residuada é importante no conceito de adjunções que são básicas na Morfologia Matemática.
Definição 4.2.11. [Baczyz´nski & Jayaram 2008] A função I∶[0,1]
2→[0
,1] é chamada de R-implicação se existir uma T-norma,T,tal que
52 CAPÍTULO 4. MORFOLOGIA MATEMÁTICA FUZZY Dentro dessas implicações tem-se uma classe de grande relevância, as implicações residuadas, que são R-implicações, onde o supremo em 4.9 coincide com o máximo do conjunto , isto é,
I(x,y) = max{t ∈ [0,1]∣T(x,t) ≤ y}. (4.10) Na Tabela 4.3 apresentam-se algumas R-implicações que serão utilizadas neste tra- balho e uma comparação com relação as propriedades de Fodor & Roubens entre elas é vista na Tabela 4.4.
Tabela 4.3: Algumas R-Implicações Fuzzy Nome Implicação
Lukasiewicz ILK(x,y) = min(1,1−x+y) Gödel IGD(x,y) = { 1 se x≤ y y se x> y Goguen IGG(x,y) = { 1 se x≤ y y x se x> y Weber IW B(x,y) = { 1 se x< 1 y se x= 1 Fodor IFD(x,y) = { 1 se x≤ y max(1−x,y) se x> y FONTE:[Fodor & Roubens 1994]
A Tabela 4.4 faz um comparativo das propriedades das R-implicações utilizadas. Segundo Baczy´nski [pg. 8] as implicações IGD,IGG,IFD são contínuas à esquerda na primeira variável e contínua à direita na segunda variável. E a implicação IW B é contínua
à esquerda na segunda variável.
As R-implicações possuem uma classe denominada implicações residuadas, que são as implicações em que o par(T,I) formam uma adjunção, para isso utiliza-se o resultado que segue.
Tabela 4.4: Comparação entre as R-implicações Implicações (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ILK √ √ √ √ √ √ √ √ IGD √ √ √ √ √ √ x √ IGG √ √ √ √ √ √ x √ IW B √ √ √ x √ √ x √ IFD √ √ √ √ √ √ x √
4.2. CONJUNTOS FUZZY E LÓGICA FUZZY 53 Proposição 4.2.1. [Baczyz´nski & Jayaram 2008] Para uma T-norma,T,as seguintes afir- mações são equivalentes:
(i) T é contínua à esquerda;
(ii) T e I formam um par adjunção, isto é, se elas satisfizerem o princípio residual:
Tz(x) = T(z,x) ≤ y ⇔ x ≤ I(z,y) = Iz(x) x,y,z∈[0,1]. (4.11) (iii) Se o supremo de 4.9 for o máximo, isto, é
I(x,y) = max{t ∈ [0,1]∣T(x,t) ≤ y}. (4.12) Demonstração. (i) ⇒ (ii) Suponha, primeiramente, que T seja uma T-norma contínua à esquerda e assuma que T(x,z) ≤ y,para algum x,y,z∈[0,1].Isto implica que, em particu- lar, z ∈{t ∈ [0,1]∣T(x,t) ≤ y},e por isso I(x,y) ≥ z.
Reciprocamente, assuma que z ≤ I(x,y), para algum x,y,z∈[0,1]. Considere agora dois casos. Se z < I(x,y) então existe uma t
′> z tal que T(x,t′) ≤ y então, pela propriedade
monotônica, implica que T(x,z) ≤ y.Se z = I(x,y),ou então z ∈{t ∈ [0,1]∣T(x,t) ≤ y} e, portanto, T(x,z) ≤ y,ou z ∉{t ∈ [0,1]∣T(x,t) ≤ y}.Assim, existe uma sequência crescente (ti)i∈Ntal que ti< z,T(x,ti) ≤ y,para todo i ∈ N e limi→∞ti= z.Pela continuidade à esquerda de T tem-se que
T(x,z) = T(x,lim
i→∞ti) = limi→∞T(x,ti) ≤ y.
(ii) ⇒ (iii) Assuma que T e I formam um par de adjunção, isto é, elas satisfazem (4.11). Desde que I(x,y)≤I(x,y),tem-se que T(x,I(x,y))≤y,que significa, pela definição de I como R-implicação, que o supremo em (4.9) é o máximo.
(iii) ⇒ (i) Como para qualquer T-norma,T,ela é crescente e comutativa, isto é sufi- ciente para mostrar que T é infinitamente sup-distributiva, isto é, T(x,supy∈Sys) = sups∈ST(x,ys) onde x,ys∈[0,1] para cada s ∈ S. Observe primeiramente que a partir da monotonicidade de T sempre tem-se a inequação
T(x,sup
y∈S
ys) ≥ sup y∈S
T(x,ys).
Seja y = supy∈ST(x,ys).Isto implica que T(x,ys) ≤ y,para cada s ∈ S.Por isso, ys∈{t ∈
[0,1]∣T(x,t)≤y}, para cada s ∈ S e, consequentemente, ys≤ I(x,y), para cada s ∈ S.Então,
supy∈Sys≤ I(x,y).Pela monotonicidade de T,tem-se que T(x,sup
y∈S
ys) ≤ T(x,I(x,y)) ≤ y = sup
y∈S
T(x,ys).
Com base nessas desigualdade, tem-se que T é infinitamente sup-distributiva, e com isso, contínua à esquerda.
Como foi mencionado, as T-normas apresentadas na Tabela 4.1 são contínuas à es- querda, exceto as T-norma de Weber e de Fodor. Pode-se concluir, utilizando desta in- formação e da proposição acima, que os pares(TLK,ILK),(TGD,IGD),(TGG,IGG) formam
54 CAPÍTULO 4. MORFOLOGIA MATEMÁTICA FUZZY adjunções. Como consequência pode-se obter operadores morfológicos para cada par de adjunção, como feito na proposição 4.3.1.