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Em certos casos as curvas de Pareto não podem ser computadas de maneira eficiente. Embora na teoria seja possível encontrar exatamente todos os pontos, é possível que haja problemas de tamanho exponencial. Para estes existem métodos de aproximação que são frequentemente utilizados. No entanto, muitas vezes a aproximação não representa uma escolha secundária para o tomador de decisão. De fato, existem muitos problemas da vida real dos quais são muito difíceis para o tomador de decisão obter todas as informações para formular estes

problemas de maneira correta. Levando em consideração que os tomadores de decisão tendem a entender mais sobre o problema assim que algumas soluções preliminares são apresentadas, ter algumas soluções aproximadas pode ajudar o especialista em sua tarefa (BAZGAN et al., 2013); (MIRJALILI e LEWIS, 2015); (CASTRO, 2015).

Técnicas de aproximação geralmente apresentam objetivos variados tais como: representação de um grupo de soluções gráficas que podem ser convertidos para números (problemas multiobjetivo convexos); representação de um grupo de soluções gráficas onde apenas algumas curvas de Pareto podem ser representadas numericamente (problemas multiobjetivo não-lineares); representação de um grupo de soluções gráficas onde todo grupo eficiente de soluções não pode ser representado numericamente (problemas multiobjetivo discretos) (CASTRO, 2015).

4.4.1 A Técnica de Transformação Escalar

Classicamente, um modelo de otimização multiobjetivo pode ser escalonado ou transferidos para um único problema de otimização objetivo. Dois métodos simples desta abordagem são: o método da soma ponderada (WSM) e o método do produto ponderado (WPM). No primeiro método, a função composta é gerada pela pré-multiplicação de cada objetivo por um peso fornecido pelo usuário (Eq. (4.11)), enquanto que no último método a composição da função é gerada através da multiplicação dos objetivos com uma potência fornecida pelo usuário (Eq.(4.12)). Os pesos e as potências referidas geralmente representam a preferência de paradigma na otimização multicritério (TAGHDISIAN et al., 2015); (GHANE- KANAFI e KHORRAM, 2015).

( ) = ∑ ( ) (4.11) ( ) = ∏ [ ( )] (4.12) Nas Eqs. (4.11) e (4.12) é um vetor de pesos (ou potências), normalmente definido pelos tomadores de decisão. Ambos os métodos têm suas vantagens e limitações. Por exemplo, embora o WSM seja o mais simples e provavelmente a abordagem mais amplamente utilizada, a seleção de valores apropriados para fatores de peso ainda é mais um marco para o sistema de decisões. (GHANE-KANAFI e KHORRAM, 2015); (CARAMIA e DELL'OLMO, 2008).

No caso de WPM, potencializar aumentando as não linearidades na composição da função impede a utilização generalizada deste método. Este é o caso, onde solucionadores clássicos são usados, caso contrário, otimizadores evolutivos podem lidar com as não linearidades muito habilmente.

Um problema multiobjetivo geralmente é solucionado através da combinação de vários objetivos em uma única função objetivo escalar. Esta técnica é denominada como soma ponderada ou método de transformação escalar. Mais detalhadamente, o método da soma ponderada minimiza positivamente a soma ponderada conexa das funções objetivo, tal que (CARAMIA e DELL'OLMO, 2008); (GHANE-KANAFI e KHORRAM, 2015); (CASTRO, 2015):

∑ . ( ) (4.13)

= 1 > 0, = 1, … ,

∈ , (4.14) Ao qual representa uma nova otimização de apenas uma função objetivo. A esta nova denominação da soma ponderada pode-se atribuir a função ( ).

É possível provar que ao minimizar a função mono-objetivo ( ) encontra-se uma solução eficiente para o problema multiobjetivo original, devido ao fato da imagem desta função pertencer a curva de Pareto. Em particular, se o vetor ponderado γ tiver todos os seus elementos maiores que zero, então a minimização converge para a região ótima de Pareto restrita ( ( )), em contrapartida se ao menos 1 elemento de γ for igual a zero, então a minimização converge para a região ótima de Pareto fraca. Não existe uma relação, a priori, entre o vetor ponderado γ e a solução do vetor, cabendo ao tomador de decisão determinar os coeficientes apropriados, muito embora o coeficiente não se relacione diretamente com a importância das funções objetivo. Além do fato de o tomador de decisão não estar ciente de quais coeficientes são apropriados para obter a solução de forma satisfatória. Tendo isto em mente pode-se afirmar também que a tarefa de desenvolver uma heurística para auxiliar o tomador de decisão é significativamente difícil pois, deve-se partir do conceito de inicializar a busca com determinados coeficientes e de forma interativa com os vetores ponderados alcançar determinada região da curva de Pareto (ANTCZAK, 2011) (GHANE-KANAFI e KHORRAM, 2015); (CASTRO, 2015).

Uma vez que a criação de um vetor ponderado leva à apenas um ponto na curva de Pareto, realizar várias otimizações exige um grande poder de processamento e um elevado custo computacional. No entanto cabe ao especialista técnico determinar quais combinações diferentes dos coeficientes devem ser consideradas para que uma boa parte da frente de Pareto

possa ser representada (GHANE-KANAFI e KHORRAM, 2015). Além do elevado custo computacional, o método de transformação escalar também apresenta duas deficiências técnicas que são explicadas a seguir (CASTRO, 2015):

 A relação entre os coeficientes da função objetivo e a curva de Pareto é tal que uma distribuição uniforme dos coeficientes, em geral, não reproduz uma distribuição uniforme na curva de Pareto. Isto pode ser observado pelo fato de que alguns pontos são agrupados em algumas partes da frente de Pareto enquanto algumas partes (as vezes as mais significantes) não são reproduzidas.

 As partes não convexas do grupo de Pareto não podem ser alcançadas pela combinação da minimização convexa das funções objetivo. Para ilustrar, considera-se uma interpolação geométrica do método de soma ponderada em duas dimensões, quando = 2. EM um espaço bidimensional a função objetivo pode ser expressa da seguinte forma: = . ( ) + . ( ), (4.15) onde

( ) = − . ( )+ . (4.16) A minimização de . ( ) no método de soma ponderada pode ser interpretado como a tentativa de encontrar o valor de tal que a reta cuja a inclinação é determinada por − seja tangente a região C. Obviamente, ao mudar os parâmetros dos coeficientes é possível alcançar diferentes pontos contidos na frente de Pareto. Se a curva de Pareto for convexa existe maior possibilidade de calcular tais pontos para diferentes vetores de (como pode ser observado na figura 4.4).

Figura 4.4 - Representação geométrica da soma ponderada no caso da curva de Pareto convexa.

Fonte: (CARAMIA e DELL'OLMO, 2008).

De forma análoga, quando a curva é não convexa existe um grupo de pontos que não podem ser alcançados por quaisquer combinações do vetor ponderado (conforme a figura 4.5).

Figura 4.5 - Representação geométrica da soma ponderada, Curva de Pareto não - convexa.

Fonte: (CARAMIA e DELL'OLMO, 2008).

De acordo com Geoffrion apud Caramia, (2008), as condições necessárias e suficientes para casos de convexidade são:

 Se um grupo de soluções S for convexa e os n objetivos de são convexos em , onde x∗ _{é considerado uma solução restrita de Pareto ótimo, se e somente se, existir um γ ϵ R}

tal que x∗ _{é uma solução ótima do problema ( );}

 Da mesma forma: Se um grupo de soluções S for convexa e os n objetivos de são convexos em , onde ∗ _{é considerado uma solução fraca de Pareto ótimo se e somente}

se existir um tal que ∗_{é uma solução ótima do problema ( ).}

Se a hipótese de convexidade não for satisfeita, apenas as condições necessárias permanecerão válidas, isto é, as soluções ótimas de ( ) e ( ) são respectivamente os ótimos de Pareto restrito e fraco (CARAMIA e DELL'OLMO, 2008); (ANTCZAK, 2011); (GHANE-KANAFI e KHORRAM, 2015); (CASTRO, 2015).