The Machine (2013)

= _hzi| " zj+1− 2zj+  zj−1 zj+1− zj
zj− zj−1
# (7.26) = δi, j+1− 2δi, j+ δi, j−1 zj+1− zj
zj− zj−1
. (7.27) Que é uma matriz tridiagonal.

Logo, o operador hamiltoniano, formado da soma de uma matriz tridiago- nal e uma diagonal na base das coordenadas, é uma matriz tridiagonal que possui técnicas próprias de cálculo de auto-vetores e auto-valores.

7.2.2 Cálculo dos estados ligados

O hamiltoniano, descrito na forma matricial N × N, admite até N auto- estados e auto-valores correspondentes.

Para resolver os auto-valores, utiliza-se algumas sub-rotinas existentes, por exemplo, da Numerical Recipes [12, 13]. Deve-se conhecer também as auto- funções, que também são resolvidas por sub-rotinas do Numerical Recipes, que resolvem todas as auto-funções possíveis, levando mais tempo que a sub-rotina DEVFSF do pacote MSIMSL da Microsoft, que resolve as auto-funções e auto- valores de uma matriz para uma dada faixa de auto-valores. O resultado obtido dessa sub-rotina são funções normalizadas.

Deve-se sempre observar as unidades utilizadas, pois os programas numé- ricos normalmente não manipulam unidades. Como no artigo Long-range atom- surface bound states [10], foram utilizadas as unidades em MHz para a energia e metros para o espaço. A conversão da unidade de energia em unidade de freqüência (MHz) é feita utilizando-se a relação de energia e freqüência: E = hν.

7.2. ESTADOS LIGADOS

A qualidade do programa foi testada comparando-se os resultados (auto- valores e auto-funções) obtidos numericamente com as soluções analíticas da equa- ção de Schrödinger, para um potencial de Morse. Aplica-se então esse procedi- mento ao potencial de van der Waals, para o sistema átomo de césio com uma superfície dielétrica. Esse potencial tem a forma, descrita na seção 7.1:

V(z) = Ae−αz₋C3

z3, (7.28)

onde o primeiro termo, Ae−αz_{, representa a interação repulsiva a curto alcance e o}

segundo termo, −C3

z3, a atração de van der Waals de longo alcance. Os parâmetros

Ae α foram determinados a partir dos valores de C3e da profundidade do poço D,

determinados experimentalmente para o nível fundamental 6S_1/2: C3 = 2 kHz.µm3

[2] e D ≈ 0,5 eV [14].

Os parâmetros da equação potencial 7.28 são então C3=8.3 eVÅ3, A = 150

eV e α = 2.1 Å−1_{, para o sistema Cs(6S}

1/2)-vidro.

Foram calculadas também as auto-energias para o potencial de van der Waals com esses parâmetros, e comparadas com um resultado analítico do potencial de Morse:

V(z) = Am e−2αmz− 2e−αmz
, (7.29)

em que foram ajustadas as variáveis Ame αmpara melhor ajuste na faixa observada

(ver Figura 7.2). Como a forma dos poços de potencial são diferentes, principal- mente a localização mais restrita do potencial de Morse, deve-se decidir qual é a curva Morse que melhor se aproxima da de van der Waals.

Para realizar o cálculo com o método DVR, deve-se escolher uma região no espaço e o número de pontos. A região de cálculo será a região a função de onda será diferente de zero, além dessa região é zero ou aproximadamente zero. Essa região deve incluir os pontos de retorno clássico mais a região de tunelamento, ou seja, será maior que largura do potencial naquela faixa de energia observada.

2 4 6 8 -0,50 -0,40 -0,30 -0,20 -0,10 0,00 Morse Am= 0.4828 eV αm = 1.125 A-1 vWaals C3= 8.3 eV A3 A = 150 eV α = 2.8 A-1 vWaals Morse Energia (eV) Z (A)

Figura 7.2: Comparação dos potenciais de Morse e van der Waals para o nível fundamen- tal do átomo de césio.

Deve-se ter pontos suficientes para que a função encontrada seja suave, como é de se esperar, pois o potencial utilizado é limitado e derivável no espaço, e, ao mesmo tempo, um número pequeno de pontos (e da matriz) pela dificuldade computacional. Pode-se ver na Figura 7.3 que as auto-funções são suaves (existem muitos pontos

1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 -2 -1 0 1 2 Ψ (m -1/2 ) z (A)

Figura 7.3: Exemplo de um auto-estado de van der Waals, para n=3

em cada ondulação).

Após a resolução das auto-energias dos potenciais, observa-se na Figura 7.4 que há uma boa concordância, para as auto-energias dos estados profundos, mostrando que o programa resolve muito bem os auto-valores. Para níveis superio- res, a diferença aumenta, pois a diferença entre os potenciais torna-se significativa.

7.2. ESTADOS LIGADOS 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -0,48 -0,46 -0,44 -0,42 -0,40 -0,38 vWaals C₃= 8.3 eV A3 A = 150 eV α = 2.8 A-1 Morse A_m= 0.4828 eV α_m = 1.125 A-1 Morse van der Waals

Energia (eV)

Número do auto-estado

Figura 7.4: Comparação entre as auto-energias do van der Waals e Morse

De fato, espera-se que haja mais níveis no potencial “real” que no potencial de Morse, por causa do maior alcance do potencial de “real”.

O resultado final do cálculo das auto-funções para o potencial de van der Waals é mostrado na Figura 7.5, onde há as auto-funções sobre a auto-energia cor- respondentes.

Como o coeficiente C3de van der Waals depende do estado em que se en-

contra o átomo, deve-se calcular as auto-energias e as auto-funções para os dois ní- veis do átomo envolvidos no processo de foto-associação. Foi considerado o átomo de césio (Cs) e que os níveis 6S_1/2e 6P_3/2estão em ressonância com os lasers. Para simplificar, foi considerado o sistema atômico como sendo formado apenas por dois níveis, o fundamental (6S_1/2) e o excitado (6P_3/2).

Sabendo que a eficiência do mecanismo de transferência depende da so- breposição das funções de onda e considerando que inicialmente os átomos estão em um estado livre e que ocupam toda região z > 0, estudou-se as auto-funções que tinham maior alcance. As auto-energias próximas do estado livre têm as auto-

1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 -0,48 -0,46 -0,44 -0,42 -0,40 Auto-funções Energia (eV) z (A)

Figura 7.5: Auto-funções correspondentes à autoenergias de alguns níveis do potencial de van der Waals.

funções associadas com o maior alcance. Esses estados ligados são chamados de estados ligados rasos em relação aos auto-estados próximos ao mínimo do poço de potencial (estados ligados profundos). Na subseção 7.2.3, é mostrado os auto- estados considerados na simulação e a dependência com o potencial repulsivo.