3. BÖLÜM
5.3. M 2n+2 Yakla¸ s¬k Pseudo-Kompleks Lie Grubunda Komutatör E¼ griler
M2n+2 yakla¸s¬k pseudo-kompleks Lie grubunda : I t ! ! M2n+2 (t) = exp t 1 2X exp t 1 2Y exp t 1 2X exp t 1 2Y ; t 0:
biçiminde tan¬mlanan e¼griye M2n+2 yakla¸s¬k pseudo-kompleks Lie grubunda kom-
pleks de¼gerli komutatör e¼gri denir, [27]. Teorem 5.3.2.
M2n+2 yakla¸
s¬k pseudo-kompleks Lie grubunun baz¬fJXi; J T;J Zi; J Yg olmak
üzere J Zi ve J T vektörleri yard¬m¬yla komutatör e¼gri
dir. Ayr¬ca komutatör e¼grinin t = 0 daki tanjant vektörü
0(0) = J X i
dir. ·
Ispat. Kabul edelimki ; M2n+2 yakla¸s¬k pseudo-kompleks Lie grubunda komu-
tatör e¼gri olsun. J Zi ve J T baz vektörleri kullan¬l¬rsa
(t) = exp t12J Zi exp t 1 2J T exp t 1 2J Zi exp t 1 2J T
yaz¬l¬r. Ayr¬ca Teorem 5.2.5 ve Tan¬m 5.3.1 birlikte göz önüne al¬n¬rsa (t) = expftJXig
elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
Sonuç 5.3.3.
M2n+2 yakla¸s¬k pseudo-kompleks Lie grubunun baz¬fJXi; J T;J Zi; J Yg olmak
üzere fJXi; J Tg ; fJXi; J Yg ; fJXi; J Zig ; fJZi; J Yg ; fJY; JTg baz vektörleri yard¬m¬yla
tan¬mlanan komutatör e¼gri regüler de¼gildir.
Key… vektör alanlar¬için regülerli¼gi inceleyelim:
(5.2.1) deki A ve C vektörleri yard¬m¬yla komutatör e¼gri
(t) = exp[tA2T C2 T tC2T A2 T tA2T C4 Y +tC4Y A2 T tA4Y C2 T+tC2T A4 Y
+tA4Y C4 Y tC4Y A4 Y+tP+O(t32)]
dir. Burada fJXi; J T;J Zi; J Yg, M2n+2 nin baz¬ ve A1i;A2;A3i;A4;C1i;C2i;C3i;C4
Buna göre a¸sa¼g¬daki sonucu verebiliriz: Sonuç 5.3.4.
M2n+2 yakla¸s¬k pseudo-kompleks Lie grubunda A ve C vektörleri yard¬m¬yla
verilen komutatör e¼grinin t = 0 daki tanjant vektörü
0(0) =A2T C2 T C2T A2 T A2T C4 Y
+C4Y A2 T A4Y C2 T+C2T A4 Y
+A4Y C4 Y C4Y A4 Y+P+O(t32)
dir. Burada fJXi; J T;J Zi; J Yg, M2n+2 nin baz¬ ve A1i;A2;Ai3;A4;C1i;C2i;C3i;C4
holomor…k fonksiyonlard¬r. ·
Ispat.
6. BÖLÜM SONUÇ
Genelle¸stirilmi¸s Lorentz Heisenberg grubu olu¸sturulmu¸s ve bu grup yard¬m¬yla H2n+1 S1 Lie grubu ifade edilerek bu grup üzerinde üstel dönü¸süm tan¬mlanm¬¸st¬r.
Bu dönü¸süm kullan¬larak komutatör e¼griler elde edilmi¸stir.
Daha sonra, H2n+1 S1 Lie grubu yard¬m¬yla M2n+2 yakla¸s¬k pseudo-kompleks
manifoldu olu¸sturularak ayn¬zamanda bir pseudo-kompleks Lie grubu olan bu mani- foldun skaler e¼grilikleri, holomor…k kesit e¼grilikleri ile Riemann e¼grilikleri aras¬ndaki baz¬yeni ba¼g¬nt¬lar ifade ve ispat edilmi¸stir. Ayr¬ca M2n+2;üzerinde üstel dönü¸süm
yard¬m¬yla komutatör e¼grilerin bir karakterizasyonu elde edilmi¸stir. Teorem 5.1.3 e ba¼gl¬olarak a¸sa¼g¬daki sonuç elde edildi.
Sonuç 6.1.1.
M2n+2 manifoldunun skalar e¼grili¼gi, H2n+1 S1 in fXi; Y; Zi; Tg ortonormal
baz¬na göre
= 3n
2
2 d¬r.
Teorem 5.1.5 e ba¼gl¬olarak a¸sa¼g¬daki sonuç elde edildi. Sonuç 6.1.2.
fXi; J Xig ; fZi; J Zig ; fY; JYg ; fT; JTg vektörlerinin olu¸sturdu¼gu holomor…k
düzlemler, s¬ras¬yla, 1; 2; 3; 4 olmak üzere M2n+2 manifoldunun holomor…k kesit
e¼grili¼gi
Xi;J Xi( 1) = Zi;J Zi( 2) =
1
d¬r.
Teorem 5.2.2 e ba¼gl¬olarak a¸sa¼g¬daki sonuç elde edildi. Sonuç 6.1.3.
M2n+2 yakla¸
s¬k pseudo-kompleks Lie grubunun fJXi; J T;J Zi; J Yg baz¬ için
a¸sa¼g¬daki e¸sitlikler geçerlidir:
i) exp (tJ Xi) exp (tJ T) = exp t (Zi Y) ;
ii) exp (tJ Xi) exp (tJ Y) = exp t (Zi+ T) ;
iii) exp (tJ Xi) exp (tJ Zi) = expft (Zi Xi)g ;
iv) exp (tJ Zi) exp (tJ T) = exp t Xi Y+
t2
2Zi ; v) exp (tJ Zi) exp (tJ Y) = exp t ( Xi+ T) ;
vi) exp (tJ Y) exp (tJ T) = exp t (Y T) :
Bu çal¬¸sma, s¬ras¬yla, H2n+1; H2n+1 S1 ve M2n+2 Lie gruplar¬nda üstel dönü¸süm
ve komutatör e¼grilerin ara¸st¬r¬lmas¬nda önemli bir referans olacakt¬r. Üstel dönü¸süm ve komutatör e¼gri kavramlar¬ kullan¬larak Lie gruplar¬ ve bu gruplar¬n Lie cebir- lerinin çe¸sitli cebirsel ve geometrik özellikleri incelenebilir.
KAYNAKLAR
[1] Abbena, E., 1984. An example of an almost Kahler manifold which is not Kahlerian, Boll. Un. Mat. Ital. 6 (3), 383-392.
[2] Auslander, L., 1964. The structure of complete locally a¢ ne manifolds, Topology Suppll. 3(1), 131-139.
[3] Batat, W. and Rahmani, S., 2010. Homogeneous Lorentzian structures on the generalized Heisenberg group, Di¤erential Geometry - Dynamical Systems, 12, 12-17.
[4] Batat, W. and Rahmani, S., 2011. Isometries, Geodesics and Jacobi Fields of Lorentzian Heisenberg Group, Mediterr. J. Math. 8, 411-430.
[5] Berdinsky, D.A. and Taimanov, I.A., 2005. Surfaces in three-dimensional Lie groups, Siberian Math. J. 46, 1005–1019.
[6] Berndt, J., Tricerri F.and Vanhecke, L., 1995. Generalized Heisenberg Groups and Damek-Ricci Harmonic Spaces, Lecture Notes in Mathematics 1598, Springer- Verlag.
[7] Blair, D. E., 1976. Contact Manifolds in Riemannian Geometry, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag 509, Berlin-New York.
[8] Blair, D.E. and Ianus, S., 1986. Critical associated metrics on symplectic manifolds, Contemp. Math., 51, 23–29.
[9] Citil, M., 2004. Bir ·Irtibatl¬Lie Grubunun Homotopi Gruplar¬n¬n Demeti Üzerinde Baz¬Teoremler. KSU. Journal of Science and Engineering 7 (2), 26-28.
[10] Carmo, M. do, 1992. Riemannian geometry. Birkhauser.
[11] Cordero, A.L., Fernandez, M. and Leon, M. 1985. Examples of com- pact non-Kähler almost Kähler manifolds, Proc. Am. Math. Soc., 95, 282–286.
[12] Calvaruso, G. and Marinosci, R., 2006. Homogeneous geodesics of three-dimensional unimodular Lorentzian Lie groups, Mediterranean, J. Math., 3 (3–4), 467–481.
[13] Chen, Q. and Qui, H., 2010. Weierstrass Representation for Surfaces in the Three-Dimensional Heisenberg Group, Chin. Ann. Math.31B(1), 119–132.
[14] Draghici, T., 1995. On some 4-dimensional almost Kähler manifolds, Kodai Math. J., 18, 156–163.
[15] Draghici, T., 1999. Almost Kähler 4-manifolds with J-invariant Ricci tensor, Houston J. Math., 25, 133–145.
[16] Gray, A., 1976. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds, Tohoku Math. J., 28, 601–612.
[17] Kaplan, A. 1981. Riemannian nilmanifolds attached to Cli¤ord modules, Geom. Ded., 11. 127-136.
[18] Kutsal, B., 2005 ·Istisnai Lie gruplar¬n¬n self homotopi gruplar¬n¬n demeti, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü.
[19] Hac¬saliho¼glu, H. H., 1980. Yüksek Diferensiyel geometriye Giri¸s, ·Istan- bul.
[20] Helgason, S., 1978. Di¤erential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces. Academic Press.
[21] Kobayashi, S. and Nomizu, K., 1963. Foundations of di¤erential geom- etry, I. Wiley–Interscience.
[22] Kobayashi, S. and Nomizu, K., 1969. Foundations of di¤erential geom- etry, II. Wiley–Interscience.
[23] Milnor, J., 1976. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups, Adv. Math., 21 (3), 293–329.
[24] O’Neill, B., 1983. Semi-Riemannian Geometry, Academic Press, New York. [25] Rahmani, N. and Rahmani, S., 1994. Structures homogenes Lorentzi- ennes sur le groupe de Heisenberg I, J. Geom. Phys. 13, 254-258.
[26] Rahmani, N. and Rahmani, S., 2006. Lorentzian Geometry of the Heisenberg group, Geom. Dedicata, 118, 133–140.
[27] Sagle, A.A. and Walde, R.E., 1973. Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Academic Press, New York.
[28] Tricerri, F. and Vanhecke, L., 1981. Curvature tensors on almost Her- mitian manifolds, Trans. Amer. Math. Soc, 267, 365–398.
[29] Turhan, E., 1997. The curvature properties of some complex Lie groups, Ph. D. Thesis, F¬rat University.
[30] Vezzoni, L., 2007. On the Hermitian curvature of symplectic manifolds, Adv. Geom., 7, 207–214.
[31] Warner, F.W., 1971. Foundations of Di¤erentiable Manifolds and Lie Groups, Scott, Foresman and Co., Glenview, Illinois.
[32] Weyl, H., 1997. The classical groups. Their invariants and representations, Princeton Univ. Press.
[33] Yano, K., 1965. Di¤erential Geometry on Complex and Almost Complex Spaces, New York, Pergamon Press.
ÖZGEÇM·I¸S
1981 y¬l¬nda Sivas’da do¼gmu¸sum. ·Ilk, orta ve lise ö¼grenimimi Sivas’da tamam- lad¬m. 1999 y¬l¬nda Cumhuriyet Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünü kazand¬m. 2003 y¬l¬nda Matematik Bölümünden mezun oldum. 2006 y¬l¬nda F¬rat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim dal¬nda yük- sek lisansa ba¸slad¬m. 2009 y¬l¬nda yüksek lisans¬ tamamlad¬m. 2009 y¬l¬nda F¬rat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim dal¬nda doktoraya ba¸slad¬m. F¬rat Üniversitesi Rektörlü¼günde memur olarak görev yapmakta olup evli ve bir çocuk babas¬y¬m.