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Houve uma intensa atividade matemática no século XVII, e ao contrário do século anterior com intensa comunicação entre os matemáticos da época, assim o desenvolvimento desta área de conhecimento se dava mais em termos de lógica interna do que sob a ação de forças econômicas, sociais ou tecnológicas (BOYER, 1974, p. 245).

Essa época traz um marco da evolução do conhecimento matemático, pois embora o surgimento da Geometria Analítica não tenha uma data certa39 cogita-se que

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Em alguns ramos da matemática, como geometria e aritmética, por exemplo, também não se sabe uma

data exata que determine sua origem, é possível apenas conjecturar sobre quando e o que levou o homem a medir e contar. No caso da álgebra, khowarizmi pode ter influência de outros povos, como hindus ou mesopotâmicos (EVES, 1997). Logo, considerando que a matemática tenha surgido antes mesmo das mais antigas civilizações, e nessa época a escrita ainda não havia se desenvolvido para fornecer registros dos acontecimentos, a determinação de datas para marcar o surgimento de descobertas matemáticas são aproximações do período em que suspeita-se sua ocorrência.

tenha ocorrido na primeira metade do século XVII. Quanto à sua descoberta, não há apenas uma pessoa que mereça todo o mérito de sua criação, mas não se pode desconsiderar que René Descartes tenha tido um maior destaque nos estudos desse assunto.

Segundo Eves (1997, p. 383), no referido século houve um considerável desenvolvimento do simbolismo e dos processos algébricos, que progrediam desde a Renascença. Podem ser atribuídos a Descartes muitos símbolos matemáticos que utilizamos atualmente, como mostra o seguinte trecho:

O uso de letras do começo do alfabeto para parâmetros e das do fim como incógnitas. A adaptação da notação exponencial a essas, e o uso dos símbolos germânicos + e -, tudo isso fez com que a notação de Descartes se assemelhasse a nossa, pois naturalmente tiramos a nossa dele (EVES, 1997, p. 247).

Na confluência do desenvolvimento algébrico com o momento de instabilidade de crenças advindas da idade média, ocorreu a publicação do seu livro La géometrie, o terceiro apêndice de um tratado filosófico chamado Discours de La Méthode pour Bien Conduire as Raison ET Chercher La Verité Dans les Sciences, cuja tradução é: “Discurso do método para bem conduzir a razão e procurar a verdade nas ciências”.

Este livro foi o único trabalho de Descartes na área da Matemática, pois a sua dedicação se concentrava na Filosofia e na Ciência. Em La Géometrie encontra-se a abordagem de princípios da geometria algébrica, a atribuição de segmentos a incógnitas, por exemplo, para ele x² é o quarto termo da proporção 1:xx x: ²e não uma área como pensavam os gregos e a resolução de equações com grau maior que dois (EVES, 1997).

O objetivo do texto contemplado no desenvolvimento dos aspectos acima citados é a apresentação de construções geométricas, como indica a primeira frase do livro: “Todo problema de Geometria pode facilmente ser reduzido a termos tais que o conhecimento dos comprimentos de certos segmentos basta para a construção” (BOYER, 1974, p. 247). De uma maneira geral, baseando-se nessa frase e no próprio nome La Géometrie, é plausível inferir que o conteúdo desta obra seja totalmente direcionado à área da Geometria, porém a álgebra tem o seu destaque.

Descartes não demonstrava parcialidade por Álgebra ou Geometria, e possivelmente por esse motivo os seus estudos matemáticos contemplavam as duas áreas, como explica Boyer (1974, p. 249), ele:

(...) acusava a segunda de usar demasiado pesadamente diagramas que fatigam a mente desnecessariamente, e a primeira de ser uma arte confusa e obscura que embaraça a mente. O objetivo do seu método, portanto, era duplo: (1) por processos algébricos libertar a geometria de diagramas e (2) dar significado às operações da álgebra por meio de interpretações algébricas.

Assim, é possível observar o quanto as aplicações da álgebra à geometria e da geometria à álgebra caracterizam a Geometria Analítica, convém ressaltar que a palavra aplicação, mencionada acima, não tem o sentido que habitualmente compreendemos, ou seja, de uma maneira geral atualmente aplicação se refere à utilização de um determinado conhecimento para resolver situações do cotidiano, e neste caso as aplicações não tinham qualquer ligação com este tipo de situação. Segundo Boyer (1974, p. 253), o uso de coordenadas não veio de considerações práticas, nem da representação gráfica medieval de funções. Surgiu da aplicação da álgebra de renascença a problemas geométricos da antiguidade.

Estas aplicações utilizando álgebra e geometria não possibilitam apenas a caracterização desse ramo da matemática, mas distinguem as visões de Descartes e de Pierre de Fermat, um advogado da época que também se dedicou a esse objeto de estudo. Segundo Eves (1997), em grande escala, onde Descartes partia de um lugar geométrico40 e então encontrava sua equação, Fermat partia de uma equação e então estudava o lugar correspondente.

Os estudos de Fermat, não tiveram repercussão na época, pois circularam por muito tempo informalmente, contribuindo assim para que Descartes tivesse um destaque maior quando o assunto era Geometria Analítica.

Considerando o processo de transposição didática ocorrido com os assuntos que são abordados em sala de aula, é notável observar que a Geometria Analítica atual pouco se assemelha com os estudos desenvolvidos no século XVII, como explica Boyer (1974, p. 251):

Não há nada de sistemático sobre coordenadas retangulares, pois coordenadas oblíquas eram geralmente assumidas; portanto não há fórmulas para distâncias, inclinação, ponto de divisão, ângulo entre duas retas, ou outro material introdutório semelhante (...) nunca se usou abscissas negativas.

40

Denominamos ligar geométrico a um conjunto de pontos tais que todos eles e só eles possuem uma dada propriedade (MACHADO, 1994, p. 5)

Observa-se então que a semelhança dos estudos de Descartes e Fermat para o ensino atual41 da Geometria Analítica Plana se concentra na ideia central desse ramo de conhecimento matemático, ou seja, a aplicação da álgebra à geometria e vice-versa.

E como a Geometria Analítica Plana está sendo abordada nas salas de aula atualmente? A seguir serão fornecidas algumas conjecturas sobre o ensino deste conteúdo.

5.2. Análise de livros didáticos e documentos pedagógicos acerca do ensino da