Lucas Polinom Y¨ ontemi

Bu kısımda ilk olarak, (4.2) ile verilen kesirli mertebeden Dif¨uzyon probleminin Lucas polinom y¨ontemi ile n¨umerik ¸semasını elde etmek i¸cin denklemdeki ^∂_∂t^γUγ

Caputo kesirli t¨urevi yerine L1 form¨ul¨u[6] ve ^∂_∂x^2U2 t¨urevi yerine de Crank-Nicolson yakla¸sımı kullanılırsa b^γ_k = (k + 1)^1−γ − k^1−γ olmak ¨uzere s olmak ¨uzere (4.9) ¸seması

U^j+1− s bi¸ciminde d¨uzenlenebilir. Lucas polinomları ¨uzerine temellenen yakla¸sımın U^j+1 i¸cin L (x) = [L₀(x) , L₁(x) , ..., L_N(x)] ve C = [c₀, c₁, ..., c_N]^T olmak ¨uzere

U^j+1 =

XN n=0

c^j+1_n Ln(x) = L (x) C (4.11) oldu˘gu kabul edilirse, B¨ol¨um 3’de (3.7) ve (3.8) ile verildi˘gi gibi

U_xx^j+1 =

¸seklinde yazılabilir. (4.10) ¸semasında, (4.11) ve (4.12) ile verilen Lucas polinomları ile yakla¸sımlar yerlerine yazılırsa,

bulunur. Son olarak problemin sınır ¸sartları Lucas polinomları yardımıyla, U_N(a, t_j+1) =

¸seklinde yazılır ve sisteme eklenir. ˙Iterasyona ba¸slanabilmesi i¸cin Lucas polinom katsayılarının ba¸slangı¸c de˘gerleri

x_i = a + b− a

N (i− 1), i = 1, ..., N + 1, a ≤ xi ≤ b d¨u˘g¨um noktalarında, ba¸slangı¸c ve sınır ko¸sullarının kullanılmasıyla

AC = b

bi¸cimindeki (N +1)×(N +1) tipindeki lineer cebirsel denklem sistemin ¸c¨oz¨um¨u ile elde edilir.

Benzer ¸sekilde, (4.6) ile verilen kesirli mertebeden Dif¨uzyon dalga denkleminde yukarıdaki adımlar uygulanarak s = (∆t)^γΓ(3− γ) olmak ¨uzere elde edilir.

XN

denklemi elde edilir. Burada ^∂_∂t^γUγ Caputo kesirli t¨urevinin L2 form¨ul¨u ile diskrize edildi˘gine dikkat edilmelidir.

4.3.1 N¨ umerik C ¸ ¨ oz¨ umler

Bu kısımda, Lucas polinom y¨ontemiyle model problem olarak ele alınan (4.2)-(4.5) ile verilen Dif¨uzyon ve (4.6)-(4.8) ile verilen Dif¨uzyon dalga problemlerinin n¨umerik

¸c¨oz¨umleri bulundu.

Dif¨uzyon denkleminin, γ = 0.5, ∆t = 0.00007, t = 0.35 ve farklı N de˘gerleri i¸cin L2 ve L_∞ hata normları Tablo 4.1’ de verildi. Tablo incelendi˘ginde her ne kadar N i¸cin se¸cilen bu de˘gerler sonu¸clar bakımından yeterli ise de, N de˘gerinin daha b¨uy¨uk de˘gerleri i¸cin y¨ontem kondisyon sayısının ¸cok k¨u¸c¨ulmesi ile olu¸san k¨ot¨u ko¸sullu (ill condition) sistem kararlı sonu¸clar vermedi˘gi g¨or¨uld¨u. Aslında

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t=0.035 t=0.007 t=0.14 t=0.35

S¸ekil 4.1: ∆t = 0.00007, t = 0.35, N = 16 ve γ = 0.5 i¸cin elde edilen n¨umerik

¸c¨oz¨umler

bunun nedeni b¨uy¨uyen N de˘gerleri ile birlikte polinomun derecesinin de b¨uy¨umesinden kaynaklanmaktadır.

Tablo 4.1: γ = 0.5, ∆t = 0.0015, t = 3.75 ve farklı N de˘gerleri i¸cin problemin L₂ ve L_∞ hata normları

N = 8 N = 10 N = 12 N = 14

L₂× 10³ 0.0008478 0.0017138 0.0017036 0.0017037 L_∞× 10³ 0.0007889 0.0013652 0.0013593 0.0013593

S¸ekil 4.1 ile ∆t = 0.00007, t = 0.35, N = 16 ve γ = 0.5 i¸cin elde edilen n¨umerik ¸c¨oz¨umler grafik yardımıyla g¨osterildi.

Dif¨uzyon denklemi i¸cin elde edilen ¸c¨oz¨umler ile Ref. [23]’da verilen Kuadratik B-spline Galerkin y¨ontemi ile bulunan ¸c¨oz¨umlerin bir kar¸sıla¸stırılması Tablo 4.2’

de verilmi¸stir. Ref.[23] ¸calı¸smasında N = 40 de˘geri se¸cilerek bulunan sonu¸clara kar¸sılık bu ¸calı¸smada N = 14 alınarak elde edilmi¸s sonu¸cların kar¸sıla¸stırıldı˘gı g¨oz ¨on¨unde tutulursa sunulan ¸calı¸sma ile elde edilen ¸c¨oz¨umlerin olduk¸ca yeterli oldu˘gu s¨oylenebilir. Tablodan a¸cık¸ca g¨or¨ulmektedir ki γ’nın k¨u¸c¨uk de˘gerlerinde sunulan y¨ontem artan de˘gerlerinde Galerkin y¨ontemi ¨one ¸cıkmaktadır.

Tablo 4.3’ de, kesirli mertebeden Dif¨uzyon denkleminin Lucas polinom y¨ontemi

Tablo 4.2: Problem 1 i¸cin elde edilen ¸c¨oz¨umlerin Ref. [23] ile verilen ¸c¨oz¨umler ile kar¸sıla¸stırılması

γ = 0.25 γ = 0.50 γ = 0.75

[23] Lucas [23] Lucas [23] Lucas

L₂× 10³ 0.003766 0.000563 0.003122 0.003498 0.008343 0.010774 L_∞× 10³ 0.004662 0.000449 0.004853 0.002791 0.007251 0.008596

yardımı ile elde edilen ¸c¨oz¨umleri, N = 14, ∆t = 0.00007, t = 0.35 ve farklı γ de˘gerleri i¸cin n¨umerik ve tam ¸c¨oz¨umleri verildi. Ayrıca Tabloda herbir γ de˘geri i¸cin L₂ ve L_∞ hata normları da verildi. Tablo dikkatle incelendi˘ginde bulunan

¸c¨oz¨umlerin tam ¸c¨oz¨umler ile uyumlu ve hata normlarının olduk¸ca k¨u¸c¨uk oldu˘gu ve γ’nın k¨u¸c¨uk de˘gerlerinde hata normlarınında k¨u¸c¨uk oldu˘gu g¨or¨uld¨u. Problemin γ = 0.5, N = 14, t = 0.35 ve farklı ∆t de˘gerleri i¸cin n¨umerik ¸c¨oz¨umleri ile L2 ve L_∞hata normları Tablo 4.4’de verildi. ∆t de˘gerinin k¨u¸c¨ulen de˘gerleri i¸cin giderek hatalarının k¨u¸c¨uld¨u˘g¨u tablodan a¸cık¸ca g¨or¨ulmektedir.

Tablo4.3:N=14,∆t=0.00007,t=0.35vefarklıγde˘gerlerii¸cinprobleminn¨umerik¸c¨oz¨umlerinintam¸c¨oz¨umlerilekar¸sıla¸stırılması γ=0.25γ=0.50γ=0.75 xN¨umerikTamN¨umerikTamN¨umerikTam 0.0000.000000000.000000000.000000000.000000000.000000000.00000000 0.2240.118173480.118173380.127188530.127187910.140147300.14014539 0.4490.230421250.230421050.247999290.247998080.273267040.27326331 0.6730.331114730.331114450.356374340.356372600.392684020.39267866 0.8980.415204740.415204390.446879290.446877100.492410180.49240346 1.1220.478474650.478474250.514975840.514973330.567444850.56743710 1.3460.517751850.517751410.557249350.557246630.614025450.61401707 1.5710.531066800.531066350.571580060.571577270.629816260.62980767 1.7950.517751850.517751410.557249350.557246630.614025450.61401707 2.0200.478474650.478474250.514975840.514973330.567444850.56743710 2.2440.415204740.415204390.446879290.446877100.492410180.49240346 2.4680.331114730.331114450.356374340.356372600.392684020.39267866 2.6930.230421250.230421050.247999290.247998080.273267040.27326331 2.9170.118173480.118173380.127188530.127187910.140147300.14014539 3.1420.000000000.000000000.000000000.000000000.000000000.00000000 L2×103 0.000563080.003497670.01077392 L∞×103 0.000449270.002790740.00859635

Tablo4.4.γ=0.5,N=14,t=0.35vefarklı∆tde˘gerlerii¸cinprobleminn¨umerik¸c¨oz¨umlerinintam¸c¨oz¨umilekar¸sıla¸stırılması x∆t=0.0035∆t=0.0007∆t=0.00035∆t=0.00007Tam 0.000−0.000000000.00000000−0.000000000.000000000.00000000 0.2240.127222790.127194410.127191100.127188530.12718791 0.4490.248066110.248010750.248004300.247999290.24799808 0.6730.356470350.356390800.356381530.356374340.35637260 0.8980.446999680.446899930.446888310.446879290.44687710 1.1220.515114570.514999630.514986230.514975840.51497333 1.3460.557399480.557275100.557260600.557249350.55724663 1.5710.571734040.571606470.571591600.571580060.57157727 1.7950.557399480.557275100.557260600.557249350.55724663 2.0200.515114570.514999630.514986230.514975840.51497333 2.2440.446999680.446899930.446888310.446879290.44687710 2.4680.356470350.356390800.356381530.356374340.35637260 2.6930.248066110.248010750.248004300.247999290.24799808 2.9170.127222790.127194410.127191100.127188530.12718791 3.1420.000000000.000000000.000000000.000000000.00000000 L2×103 0.196488430.036596200.017956980.00349767 L∞×103 0.156775090.029199550.014327600.00279074

Tablo 4.5: γ = 1.5, ∆t = 0.0015, t = 3.75 ve farklı N de˘gerleri i¸cin problemin L₂ ve L_∞ hata normları

N = 8 N = 10 N = 12 N = 14

L2× 10³ 0.000478 0.001625 0.001611 0.001754 L_∞× 10³ 0.000446 0.001295 0.001285 0.001282

Kesirli mertebeden Dif¨uzyon dalga denkleminin γ = 1.5, ∆t = 0.0015, t = 3.75 ve farklı N de˘gerleri i¸cin L₂ ve L_∞ hata normları Tablo 4.5’de verildi. N ’in k¨u¸c¨ulen de˘gerlerinde daha iyi sonu¸clar alındı˘gı g¨or¨uld¨u. B¨ol¨unt¨u sayısı k¨u¸c¨uk olarak se¸cilmesine ra˘gmen bulunan ¸c¨oz¨umlerdeki hataların ¸cok k¨u¸c¨uk oldu˘gu g¨ozlemlendi. Dif¨uzyon dalga denklemi i¸cinde Dif¨uzyon denkleminde oldu˘gu gibi N de˘gerinin daha b¨uy¨uk olarak se¸cilmesi polinomun derecesini artırdı˘gından kararsız sonu¸clar elde edilmesine neden oldu˘gu ve bunun y¨ontemin bir dezavantajı olarak kar¸sımıza ¸cıktı˘gı g¨or¨uld¨u.

Tablo 4.6’da ∆t = 0.0015, t = 3.75 de˘gerleri i¸cin sunulan y¨ontemle elde edilen hatalar ile Ref. [23]’de verilen hataların bir kar¸sıla¸stırması yapıldı. Lucas polinom y¨onteminde b¨ol¨unt¨u sayısı N = 14 ve kuadratik B-spline Galerkin[23] y¨onteminde ise N = 40 olarak kullanıldı˘gı g¨oz¨on¨unde bulundurularak tablo incelendi˘ginde γ’nın 1.25 ve 1.5 de˘gerlerinde Lucas polinom y¨ontemi ile elde edilen ¸c¨oz¨umlerin Ref. [23]’de verilenlere g¨ore daha iyi oldu˘gu ancak artan γ = 1.75 de˘gerinde bu

¨

ust¨unl¨u˘g¨u koruyamadı˘gı g¨or¨uld¨u. B¨ol¨unt¨u sayısının yeterince b¨uy¨uk se¸cilmemesine ra˘gmen elde edilen ¸c¨oz¨umlerin y¨ontemin olumlu y¨on¨u olarak kar¸sımıza ¸cıktı˘gı s¨oylenebilir.

Tablo 4.6: Problem 2 i¸cin elde edilen ¸c¨oz¨umlerin Ref. [23] verilen ¸c¨oz¨umler ile kar¸sıla¸stırılması

γ = 1.25 γ = 1.50 γ = 1.75

[23] Lucas [23] Lucas [23] Lucas

L2× 10³ 0.000758 0.000236 0.002714 0.001666 0.073826 0.381161 L_∞× 10³ 0.000890 0.000188 0.002229 0.001282 0.057599 0.555311

∆t = 0.0015, t = 3.75, N = 14 ve farklı γ de˘gerleri i¸cin n¨umerik ¸c¨oz¨umler ile L2 ve L_∞ hata normları Tablo 4.7’ de verildi. Kullanılan y¨ontemle elde edilen

¸c¨oz¨umler incelendi˘ginde γ ’nın daha k¨u¸c¨uk de˘gerlerinde metodun sonu¸clarının da iyi oldu˘gu g¨or¨uld¨u. Dif¨uzyon dalga denkleminin γ = 1.5, N = 14, t = 3.75 ve farklı ∆t de˘gerleri i¸cin ¸c¨oz¨umlerin davranı¸sının incelenmesi amacı ile Tablo 4.8 hazırlandı. K¨u¸c¨ulen ∆t de˘gerlerinde hatalarında giderek k¨u¸c¨uld¨u˘g¨u g¨or¨ulen tabloda yine N de˘gerinin ¸cok b¨uy¨uk de˘gerlerinin se¸cilmesine gerek kalmadan tatmin edici ¸c¨oz¨umler elde edildi˘gi s¨oylenebilir.

Tablo4.7:∆t=0,0015,t=3.75,N=14vefarklıγde˘gerlerii¸cinprobleminn¨umerik¸c¨oz¨umlerinintam¸c¨oz¨umlerilekar¸sıla¸stırılması γ=1.25γ=1.50γ=1.75 xN¨umerikTamN¨umerikTamN¨umerikTam 0.00000−0.00000−0.000000.00000−0.00000−0.00000−0.00000 0.22440−0.02193−0.02193−0.05291−0.05291−0.09878−0.09933 0.44880−0.04276−0.04276−0.10317−0.10317−0.19375−0.19368 0.67320−0.06144−0.06144−0.14825−0.14825−0.27835−0.27832 0.89760−0.07705−0.07705−0.18590−0.18590−0.34895−0.34900 1.12200−0.08879−0.08879−0.21423−0.21423−0.40213−0.40219 1.34640−0.09607−0.09607−0.23182−0.23182−0.43515−0.43520 1.57080−0.09854−0.09854−0.23778−0.23778−0.44634−0.44639 1.79520−0.09607−0.09607−0.23182−0.23182−0.43515−0.43520 2.01960−0.08879−0.08879−0.21423−0.21423−0.40213−0.40219 2.24399−0.07705−0.07705−0.18590−0.18590−0.34895−0.34900 2.46839−0.06144−0.06144−0.14825−0.14825−0.27835−0.27832 2.69279−0.04276−0.04276−0.10317−0.10317−0.19375−0.19368 2.91719−0.02193−0.02193−0.05291−0.05291−0.09878−0.09933 3.141590.00000−0.000000.00000−0.000000.00000−0.00000 L2×103 0.000235930.001665660.38116058 L∞×103 0.000188240.001282280.55531149

Tablo4.8.γ=1.5,N=14,t=3.75vefarklı∆tde˘gerlerii¸cinprobleminn¨umerik¸c¨oz¨umlerinintam¸c¨oz¨umilekar¸sıla¸stırılması x∆t=0.075∆t=0.015∆t=0.0075∆t=0.0015Tam 0.00000−0.000000.00000−0.000000.00000−0.00000 0.22440−0.05302−0.05292−0.05291−0.05291−0.05291 0.44880−0.10338−0.10319−0.10317−0.10317−0.10317 0.67320−0.14856−0.14828−0.14826−0.14825−0.14825 0.89760−0.18628−0.18594−0.18591−0.18590−0.18590 1.12200−0.21467−0.21427−0.21424−0.21423−0.21423 1.34640−0.23229−0.23186−0.23183−0.23182−0.23182 1.57080−0.23827−0.23782−0.23779−0.23778−0.23778 1.79520−0.23229−0.23186−0.23183−0.23182−0.23182 2.01960−0.21467−0.21427−0.21424−0.21423−0.21423 2.24399−0.18628−0.18594−0.18591−0.18590−0.18590 2.46839−0.14856−0.14828−0.14826−0.14825−0.14825 2.69279−0.10338−0.10319−0.10317−0.10317−0.10317 2.91719−0.05302−0.05292−0.05291−0.05291−0.05291 3.14159−0.000000.00000−0.000000.00000−0.00000 L2×103 0.612574290.052937170.018427870.00166566 L∞×103 0.488763570.042236820.014712810.00128228

S¸ekil 4.2’de Lucas polinom y¨onteminin Dif¨uzyon dalga denklemi i¸cin N = 14, ∆t = 0.0015 de˘gerlerinde U (π/2, t) de˘gerlerinin farklı γ de˘gerleri i¸cin grafikle g¨osterildi. S¸ekil 4.3’de N = 14, ∆t = 0.0015, γ = 1.5 de˘gerleri ve farklı t biti¸s zamanları i¸cin ¸c¨oz¨um profili g¨osterildi.

S¸ekil 4.2: N = 14, ∆t = 0.0015 de˘gerlerinde U (π/2, t) de˘gerlerinin farklı γ de˘gerleri i¸cin ¸c¨oz¨um profili

S¸ekil 4.3: N = 14, ∆t = 0.0015, γ = 1.5 de˘gerleri ve farklı t biti¸s zamanları i¸cin

¸c¨oz¨um profili