Lorentz Grubun Denklik Probleminin Hiperbolik Fonksiyonlar

Önerme 45: , , , , , , , olmak üzere _~

aşağıdaki iki şartın biri sağlanır:

, 0, ve , ise;

, 0, ve , ise;

İspat: “ " _~ olsun. O halde öyle ki dır.

det det

det det det

, 1 olduğundan, bulunur. " " , 0, ve , , , olsun. Göstermeliyiz ki _~ dır. ) , ise; , ve ise 1, 1 olduğundan cosh sinh

sinh cosh ^{ve cosh}sinh cosh^{sinh dir.}

, ve ise 1, 1 olduğundan

cosh sinh sinh cosh ^ve

cosh sinh

sinh cosh ^{dir. Gösterelim ki} olacak şekilde mevcuttur.

cosh sinh

sinh cosh ^{alalım. Her ikitarafı cosh}sinh cosh^{sinh çarpalım.} cosh sinh

sinh cosh ^coshsinh cosh^sinh

cosh sinh

^{cosh sinh} sinh cosh

cosh sinh

sinh cosh

^cosh_sinh ^sinh_cosh , alalım,

^{cosh sinh}

sinh cosh ^bulunur. cosh sinh

sinh cosh ^olduğundan ~ dır.

) , ise;

, ve ise 1, 1 olduğundan

cosh sinh

sinh cosh ^{ve cosh}sinh cosh^{sinh dir.}

, ve ise 1, 1 olduğundan

cosh sinh

sinh cosh ^ve

cosh sinh

sinh cosh ^dir.

Gösterelim ki olacak şekilde mevcuttur. cosh sinh

sinh cosh ^{alalım. Her ikitarafı cosh}sinh cosh^{sinh çarpalım.} cosh sinh

sinh cosh ^coshsinh cosh^sinh

cosh sinh

sinh cosh ^cosh_{sinh cosh}^{sinh cosh}_{sinh cosh}^sinh

^cosh_sinh ^sinh_cosh , alalım,

^{cosh sinh}

sinh cosh ^bulunur. cosh sinh

sinh cosh ^olduğundan ~ dır.

Not: ’nin denklik probleminin çözümü [11] de yörüngeler dilinde verildi. Burada ise hiperbolik fonksiyonların matris gösterimi ile ’nin denkliği verildi.

2.9. , , Grubun Denklik Probleminin Hiperbolik Fonksiyonlar Yardımı İle Çözümü

Önerme 46: , , , , , , , olmak üzere _~^,

aşağıdaki sekiz şartın biri sağlanır:

, 0, ve , ise; , 0, ve , ise; , 0, ve , ise; , 0, ve , ise; , 0, ve , ise; , 0, ve , ise; , 0, ve , ise; , 0, ve , ise;

İspat: “ " _~^, olsun. O halde 1,1 öyle ki dır. det det

det det det

, 1 olduğundan, | | | | bulunur. " " | | | | , 0, alınırsa; , 0, , , , , ve , 0, , , , , olsun. Göstermeliyiz ki _~^, dir. ) , ise; , ve ise 1, 1 olduğundan cosh sinh

sinh cosh ^{ve cosh}sinh cosh^{sinh 1,1 dir.}

cosh sinh sinh cosh ^ve

cosh sinh

sinh cosh ^{1,1 dir.} Gösterelim ki olacak şekilde 1,1 mevcuttur.

cosh sinh

sinh cosh ^{alalım. Her ikitarafı cosh}sinh cosh^{sinh çarpalım.} cosh sinh

sinh cosh ^coshsinh cosh^sinh

cosh sinh sinh cosh ^{cosh sinh} sinh cosh cosh sinh sinh cosh

^cosh_sinh ^sinh_cosh , alalım,

^cosh_{sinh cosh}^sinh bulunur. cosh sinh

sinh cosh ^{1,1 olduğundan} ~^, dır.

) , ise;

, ve ise 1, 1 olduğundan

cosh sinh

sinh cosh ^{ve cosh}sinh cosh^{sinh 1,1 dir.}

, ve ise – — 2 1, 1 olduğundan

cosh sinh

sinh cosh ^ve

cosh sinh

sinh cosh ^1,1

dir. Gösterelim ki olacak şekilde 1,1 mevcuttur. cosh sinh

sinh cosh ^{alalım. Her ikitarafı cosh}sinh cosh^{sinh çarpalım.} cosh sinh

sinh cosh ^coshsinh cosh^sinh

cosh sinh sinh cosh ^{cosh sinh} sinh cosh cosh sinh sinh cosh

^cosh_sinh ^sinh_cosh , alalım,

^cosh_{sinh cosh}^sinh bulunur. – cosh sinh

sinh cosh ^{1,1 olduğundan} ,

) , ise;

, ve ise – 1, 1 olduğundan

cosh sinh

sinh cosh ^{ve cosh}sinh cosh^{sinh 1,1 dir.}

, ve ise 1, 1 olduğundan

cosh sinh

sinh cosh ^ve

cosh sinh

sinh cosh ^{1,1 dir.}

Gösterelim ki olacak şekilde 1,1 mevcuttur. cosh sinh

sinh cosh ^{alalım. Her ikitarafı cosh}sinh cosh^{sinh çarpalım.} cosh sinh

sinh cosh ^coshsinh cosh^sinh

cosh sinh

sinh cosh ^cosh_{sinh cosh}^{sinh cosh}_{sinh cosh}^sinh

^cosh_sinh ^sinh_cosh , alalım,

^{cosh sinh}

sinh cosh ^bulunur.

cosh sinh

sinh cosh ^{1,1 olduğundan} ~^, dır.

) , ise;

, ve ise 1, 1 olduğundan

cosh sinh

sinh cosh ^{ve cosh}sinh cosh^{sinh 1,1 dir.}

, ve ise 1, 1 olduğundan

cosh sinh

sinh cosh ^ve

cosh sinh

sinh cosh ^1,1

dir. Gösterelim ki olacak şekilde 1,1 mevcuttur. cosh sinh

sinh cosh ^{alalım. Her ikitarafı cosh}sinh cosh^{sinh çarpalım.} cosh sinh

sinh cosh ^coshsinh cosh^sinh

cosh sinh

^{cosh sinh} sinh cosh

cosh sinh

sinh cosh

^cosh_sinh ^sinh_cosh , alalım,

^{cosh sinh}

sinh cosh ^bulunur. cosh sinh

sinh cosh ^{1,1 olduğundan} ~^, dır. ) , ise;

, ve ise 1, 1 olduğundan

sinh cosh

cosh sinh ^{ve sinh}cosh ^coshsinh ^{1,1 dir.}

, ve ise 1, 1 olduğundan

sinh cosh

cosh sinh ^ve

sinh cosh

cosh sinh ^{1,1 dir.}

Gösterelim ki olacak şekilde 1,1 mevcuttur. sinh cosh

cosh sinh ^{alalım. Her ikitarafı} cosh^{sinh cosh}sinh ^çarpalım. sinh cosh

cosh sinh cosh^{sinh cosh}sinh

cosh sinh

sinh cosh

_cosh^{sinh cosh}_{sinh cosh}^{sinh cosh}_sinh

_cosh^{sinh cosh}_sinh , alalım,

sinh cosh

cosh sinh ^bulunur. sinh cosh

cosh sinh ^{1,1 olduğundan} ~^, dır.

) , ise;

, ve ise 1, 1 olduğundan

sinh cosh

cosh sinh ^{ve sinh}cosh ^coshsinh ^{1,1 dir.}

sinh cosh

cosh sinh ^ve

sinh cosh

cosh sinh ^1,1

dir. Gösterelim ki olacak şekilde 1,1 mevcuttur. sinh cosh

cosh sinh ^{alalım. Her ikitarafı} cosh^{sinh cosh}sinh ^çarpalım. sinh cosh

cosh sinh cosh^{sinh cosh}sinh

cosh sinh sinh cosh ^{sinh cosh} cosh sinh sinh cosh cosh sinh

_cosh^{sinh cosh}_sinh , alalım,

_cosh^{sinh cosh}_sinh bulunur. sinh cosh

cosh sinh ^{1,1 olduğundan} ~^, dır.

) , ise;

, ve ise 1, 1 olduğundan

sinh cosh

cosh sinh ^ve cosh^{sinh cosh}sinh ^{1,1 dir.}

, ve ise 1, 1 olduğundan

sinh cosh

cosh sinh ^ve

sinh cosh

cosh sinh ^{1,1 dir.}

Gösterelim ki olacak şekilde 1,1 mevcuttur. sinh cosh

cosh sinh ^{alalım. Her ikitarafı} cosh^{sinh cosh}sinh ^çarpalım. sinh cosh

cosh sinh cosh^{sinh cosh}sinh

cosh sinh sinh cosh ^{sinh cosh} cosh sinh sinh cosh cosh sinh

_cosh^{sinh cosh}_sinh , alalım,

_cosh^{sinh cosh}_sinh bulunur. sinh cosh

) , ise;

, ve ise 1, 1 olduğundan

sinh cosh

cosh sinh ^ve cosh^{sinh cosh}sinh ^{1,1 dir.}

, ve ise 1, 1 olduğundan

sinh cosh

cosh sinh ^ve

sinh cosh

cosh sinh ^1,1

dir. Gösterelim ki olacak şekilde 1,1 mevcuttur. sinh cosh

cosh sinh ^{alalım. Her ikitarafı} cosh^{sinh cosh}sinh ^çarpalım. sinh cosh

cosh sinh cosh^{sinh cosh}sinh

cosh sinh

sinh cosh _cosh^{sinh cosh}_{sinh cosh}^{sinh cosh}_sinh

_cosh^{sinh cosh}_sinh , alalım,

^{sinh cosh}

cosh sinh ^bulunur. sinh cosh

cosh sinh ^{1,1 olduğundan} ~^, dır.

Not: 1,1 ’in denklik probleminin çözümü [11] de yörüngeler dilinde verildi. Burada ise hiperbolik fonksiyonların matris gösterimi ile 1,1 ’in denkliği verildi.

Belgede Hiperbolik sayılar ve hiperbolik sayıların 2-boyutlu hiperbolik geometriye uygulamaları (sayfa 74-82)