Considere inicialmente o transporte de partículas num meio poroso, de modo que essas partículas estão sujeitas apenas à retenção por deposição. Segundo Chun-Han Ko e Elimelech (2000) e Liu et al. (1995), se as características químicas da solução injetada no meio, assim como as características químicas das partículas e do meio poroso, favorecem o surgimento de forças repulsivas entre as partículas, então o coeficiente de filtração, em geral, é uma função decrescente da concentração de partículas retidas. Isto ocorre porque à medida que as partículas são depositadas sobre os grãos, a vizinhança dessas partículas nos coletores torna-se indisponível para a deposição de outras partículas, reduzindo a disponibilidade de locais para a deposição, como ilustrado na Figura 6.1.
Figura 6.1 - Retenção de partículas em coletor esférico (Adaptado de Chun-Han Ko e Elimelech (2000)).
Área indisponível para retenção
Juliana Aragão de Araújo 44 Dessa maneira, haverá uma área máxima sobre os grãos coletores onde poderá ocorrer a deposição. Segundo Chun-Han Ko e Elimelech (2000) e Liu et al. (1995) a área máxima do coletor disponível à deposição de partículas está relacionada ao tamanho das partículas, à velocidade de aproximação e à força iônica da solução injetada.
Além disso, considerando que as forças de interação entre as partículas são repulsivas, as partículas depositadas não funcionam como coletores. Ou seja, as partículas são depositadas apenas sobre o grão coletor, e não umas sobre as outras, até que a área disponível para deposição sobre o grão tenha sido totalmente coberta. A partir daí, o coletor perde totalmente a capacidade de retenção. Consequentemente, todas as partículas injetadas serão recuperadas na saída do meio filtrante, ou seja, depois de um tempo tem-se ceff/c0=1. Tal comportamento é ilustrado na Figura 6.2 através do gráfico de ceff/c0 em função do tempo. O tempo t0 é anterior ao fluxo de partículas no meio poroso. No tempo t1 as partículas retidas não interferem na retenção de outras partículas, ou seja, é considerado o fluxo em meio poroso limpo. Após algum tempo, t2, as partículas capturadas diminuem a capacidade do meio de reter mais partículas. Ou seja, a probabilidade de retenção de partículas diminui e a concentração de partículas efluentes aumenta. Finalmente, quando o meio perde totalmente a capacidade de retenção, t3, ceff/c0→1, uma vez que as partículas injetadas não são mais retidas no meio.
Figura 6.2 - Concentração efluente em função do tempo para meio poroso com capacidade finita de retenção (Adaptado de Ryan e Elimelech (1996)).
Considere, numa outra situação, o transporte de partículas num meio poroso, sujeitas apenas ao mecanismo de exclusão pelo tamanho. Suponha que sejam injetadas partículas de um único tamanho no meio, de modo que uma parte das gargantas de poros é menor que as
Ceff / c0 Tempo 1 t1 t2 t3 t0
Juliana Aragão de Araújo 45 partículas injetadas e a outra parte é maior. Dessa maneira, as partículas serão capturadas inicialmente até que todas as gargantas menores tenham sido obstruídas, como ilustrado na Figura 6.3. A partir daí, todas as gargantas serão maiores que as partículas, não havendo mais a retenção por exclusão pelo tamanho.
Figura 6.3 - Transporte de partículas em meio com poros grandes abertos.
Nas duas situações apresentadas anteriormente tem-se que, a princípio, o meio filtrante retém partículas com coeficiente de filtração (). Entretanto, depois de algum tempo, devido a parâmetros como distribuição de tamanho de poros e de partículas, velocidade de aproximação das partículas e força iônica da solução injetada, as partículas injetadas no meio não serão mais retidas. Neste momento, a concentração de partículas retidas atinge um valor máximo, máx, e o coeficiente de filtração passa a ser nulo. Ou seja, nos dois casos citados, o coeficiente de filtração é uma função decrescente da concentração de partículas retidas, com (máx)=0.
Esta característica do transporte também pode explicar os dados experimentais relatados em Bradford et al. (2002), Chun-Han Ko e Elimelech (2000), Liu et al. (1995), Johnson e Elimelech (1995), Song e Elimelech (1993), ver Figura 6.4. Nestes trabalhos, foram obtidas curvas de ceff(T)/c0 que têm inicialmente um comportamento crescente e depois de algum tempo se aproximam de 1. Considerando que as partículas retidas não se desprendem do meio, o crescimento de ceff(T)/c0 significa que com a evolução do tempo, menos partículas ficam retidas no meio. Até o momento em que ceff(T)/c0=1, ou seja, todas as partículas injetadas no meio são recuperadas na saída da amostra. Portanto, não existe mais filtração.
Poros obstruídos
Juliana Aragão de Araújo 46 Figura 6.4 - Curvas de breakthrough para partículas de diferentes tamanhos, 133 nm, 228 nm e
899 nm, ilustrando a influência da força iônica sobre a dinâmica de transporte e retenção de partículas (Adaptado de Chun-Han Ko e Elimelech (2000)).
O transporte de partículas em meios porosos com característica de capacidade de retenção finita é também modelado pelas equações de conservação de massa e cinética de retenção de partículas dadas, respectivamente, pelas Equações (3.1)-(3.2). Entretanto, nesta abordagem, deve-se considerar que as condições de contorno não são fixas, como acontece no modelo clássico. Este tipo de problema é denominado problema de fronteira móvel.
Problemas de fronteira móvel surgem na modelagem de processos que envolvem mudanças de fase da matéria, como derretimento de gelo e solidificação de ligas metálicas, escoamento bifásico em meios porosos, entre outros, ver Crank (1984). E, portanto, são de interesse de diferentes áreas da ciência e da indústria.
Na próxima seção mostra-se, em detalhes, como os problemas de fronteira móvel estão relacionados ao transporte de partículas em meios porosos com capacidade finita de retenção. Além disso, neste capítulo é apresentada a solução das equações que compõe o modelo B.
Volumes Porosos Injetados Volumes Porosos Injetados
Volumes Porosos Injetados
cef f /c0 cef f /c0 cef f /c0 Água Água Água
Juliana Aragão de Araújo 47