Bu bölümde konu benzerliği ve kronoloji dikkate alınarak tek tabakalı plak ve kabuk teorilerinden çok tabakalı plak ve kabuk teorilerine geçişe kadar yapılmış çalışmalar açıklanmıştır.
Kabuk ve plak teorisinde yapılmış ilk çalışma [1]’de yapılmıştır. Bu çalışmada başlangıçta plak eksenine dik ve düzlem olan kesitlerin şekildeğiştirdikten sonra da plak eksenine dik ve düzlem kaldıkları kabulü yapılmış; kayma şekildeğiştirmeleri γIC, γBC ve enine normal şekildeğiştirme εCC’nin plak kalınlığının fazla olmaması
nedeniyle ihmal edilebileceği belirtilmiştir.
Benzer şekilde [2], [3] ve [4]’te birinci grup olarak adlandırılan ince plak ve ince kabuk teorisi üzerine çalışmalar yapılmıştır.
İnce plak teorisinin geçersiz kaldığı, plak kalınlığı arttıkça kayma deformasyonlarının önem kazanarak kayma deformasyonlarının yaptığı işleri de dikkate alan Reissner-Mindlin plak teorisi ise ikinci grup çalışmalar olarak ortaya çıkmıştır.
[5]’de yapılan çalışmalarda, kayma deformasyonun etkisini dikkate alırken enine normal şekildeğiştirmelerin ihmal edilmemesi gerektiğini belirten önerilerde bulunulmuştur.
Reissner-Mindlin plak teorisinin tabakalı kompozit plaklara genişletilmesi Birinci Mertebe Kayma Deformasyon Teorisi (BKDT) olarak isimlendirilmiştir [6]. Bu teoride kullanılan sabit kayma gerilmesi kabulü nedeniyle ortaya çıkan; gerçekte ise üst ve alt sınırlarda kayma gerilmelerinin bulunmayacak olma çelişkisi, kayma düzeltme katsayıları ile giderilmiştir.
3
[7]’de BKDT’ye göre ince ve kalın tabakalı plakların lineer statik analizini yapmak üzere dört düğüm noktalı, sırasıyla 20 ve 24 serbestlik dereceli alternatif bir dörtgen sonlu plak eleman sunulmuştur.
[8]’de BKDT’ye göre yerdeğiştirme bazlı üç düğüm noktalı ve 18 serbestlik dereceli üçgen plak sonlu eleman geliştirilmiş olup plak kalınlığının azalmasıyla meydana gelecek kayma kilitlenmesi problemini aşmak amacıyla eleman sınırlarında Timoshenko’nun tabakalı kompozit kiriş fonksiyonları kullanılmıştır.
[9]’da mevcut BKDT; kullanılan yerdeğiştirme bilinmeyenlerinin (u, v, w, φI, φB) sayısının, düzleme dik yerdeğiştirmenin (w) sırasıyla eğilme ve kaymaya bağlı yerdeğiştirmelere wK , wL ayrılıp azaltılmasıyla yeniden ele alınmıştır.
Daha sonraki çalışmalar ise kayma düzeltme katsayıları gerektirmeyecek ve tabaka kalınlığı doğrultusunda parabolik kayma gerilme dağılımını sağlatacak daha yüksek mertebeden deplasman alanı belirlemeler üzerine kurulmuş ve bu çalışmalar üçüncü mertebe kayma deformasyon teorisi (ÜKDT) veya yüksek mertebe kayma deformasyon teorisi adıyla literatüre geçmiştir.
[10] ve [11]’de; ÜKDT’ne göre bilinmeyen sayısında herhangi bir artışa gerek kalmadan tüm tabakalar boyunca deplasman alanı üçüncü mertebeden fonksiyon olarak tanımlanmış; deplasman ve gerilmeler BKDT’ne göre daha gerçekci olarak elde edilmiştir.
[12]’de Reddy(1984)’nin ÜKDT’ne göre bir sonlu eleman formülasyonu geliştirilmiş ve bu sonlu eleman kullanılarak tabakalı kompozit ve sandviç plakların farklı tabakalanmalar altında titreşim analizleri yapılmıştır.
[13]’de ÜKDT’ne göre dört düğüm noktalı bir sonlu eleman tanımlanarak tabakalı kalın kompozit plakların lineer statik, dinamik ve titreşim analizleri yapılmıştır. [14]’de ÜKDT kullanılarak geliştirilen tabakalı kompozit kiriş sonlu elemanda eğilme şekildeğiştirmesinin kesit dönmesi (ϕ) veya çökme (w) ve kayma şekildeğiştirmesi (γ) cinsinden yazılmasına bağlı olarak elde edilen sonuçlardaki farklılıklar incelenmiştir.
[15]’de tabakalı kompozit sektör plakların rektilineer ve polar ortotropik durumları için diferansiyel kuadratör yöntemiyle lineer statik analitik çözümleri yapılmıştır. Yüksek mertebe kayma deformasyon teorisi ile ilgili çalışmalar her ne kadar tabakalanmanın en üst ve en alt noktalarında kayma gerilmelerini sıfırlayacak bir deplasman alanı üzerine kurulmuş olsa da; sonuçlar incelendiğinde; farklı malzemelerden oluşan iki tabaka arasındaki geçişlerde kayma gerilmelerinin
4
birbirine eşit olması gerekirken ilgili noktalarda sıçrama yaptıkları gözlemlenmiştir. Literatürde bu durum; tabakalar arası gerilme süreksizliği olarak adlandırılmıştır. Tabakalar arası gerilme süreksizliğinin nedeni olarak tüm plak kalınlığı boyunca tek bir deplasman alanı alınmasından kaynaklı tabakalar arası geçiş sınırlarında deplasman birinci türevinin sürekliliğinin korunması (C1 sürekliliği) gösterilmiştir. Buna göre C1 (1.Türev sürekliliği) sağlanması ile kayma şekildeğiştirmeleri, iki farklı kayma malzeme sabitinden oluşan iki tabaka için de aynı değere sahip olarak kayma gerilmelerinin birbirine eşit olma imkanını ortadan kaldırmaktadır [16]. [16]’da yukarıda söz edilen BKDT ve ÜKDT teorileri eşdeğer tek tabaka teorisi (ESL) olarak isimlendirilmiş ve gerçekte mevcut tabakalar arasındaki zigzag deplasman biçiminin, tüm tabakalanma boyunca tek bir deplasman alanı ile belirlendiği bu teorilerle tam yansıtılamadığı belirtilerek; herbir tabakanın birbirinden bağımsız olarak ele alındığı tabaka duyarlı model tanımlanmıştır.
Tabaka duyarlı modelleme üzerine [17]’de yapılan çalışmada herbir tabaka üzerinde klasik plak teorisi uygulanırken; [18]’de yapılan çalışmada ise herbir tabakada yüksek mertebe kayma deformasyon teorisi kullanılmıştır.
[19]’da yapılan tabaka duyarlı çalışmada, zigzag biçimi sağlatılarak kayma gerilmelerindeki sıçramayı ortadan kalkdırmak için Reissner’ın karışık sonlu eleman metodu kullanılmıştır.
Tabakalı kompozit plakların geometri bakımından doğrusal olmayan davranışlarının hesaba katılması, bu elemanlarla oluşturulan yapıların analizlerinin daha gerçekçi biçimde yapılmasına olanak sağlamaktadır. Bu konuyla ilgili literatürde çeşitli çalışmalar bulunmaktadır.
[20]’de tabakalı kompozit plakların geometrik bakımından doğrusal olmayan analizini gerçekleştirmek üzere melez bir sonlu eleman tanımlanmıştır.
[21]’de tabakalı kompozit plakların geometrik nonlineer analizini gerçekleştirmek üzere yerdeğiştirme bazlı, 4 düğüm noktalı sırasıyla 20 ve 24 serbestlik dereceli iki basit dörtgen plak sonlu eleman geliştirilmiştir. Formülasyon Von Karmann’ın geometrik bakımından doğrusal olmayan teorisine ve toplam Lagrange yaklaşımına dayanmaktadır.
[22]’de ise; [11]’deki çalışmanın geometrik nonlineer statik analize genişletilmesi kapsamında genel bir geometrik nonlineer üçüncü mertebe teori geliştirilmiştir. [23]’de ise tabakalı kompozit dairesel plakların geometrik nonlineer analizi amacıyla yeni bir sonlu eleman geliştirilmiştir.
5
Tabakalanmaların ince olması halinde tasarım aşamasında büyük önem kazanan tabakalı plak burkulması ve ilgili kritik burkulma yükünün bulunması üzerine literatürde çeşitli çalışmalar bulunmaktadır.
[24]’de tabakalı kompozit dörtgen plakların üç boyutlu elastisite çözümüne göre burkulma yükleri elde edilmiştir.
[25]’de tabakalı kompozit dairesel plakların üç boyutlu elastisite çözümüne göre burkulma yükleri elde edilmiştir.
[26]’da kayma düzeltme katsayılarının kullanıldığı BKDT’ne göre yeni bir sonlu eleman geliştirilmiş ve tabakalı kompozit dörtgen plakların burkulma analizleri gerçekleştirilmiştir.
[27]’de BKDT’ne göre sekiz düğüm noktalı ve her düğüm noktasında 5 serbestlik dereceli, isoparametrik bir tabakalı plak sonlu eleman geliştirilmiş olup sınır şartları, en/boy oranı ve tabakalanma dizilişlerine bağlı olarak burkulma analizleri gerçekleştirilmiştir.
[28]’de ÜKDT’ne göre sekiz düğüm noktalı ve her düğüm noktasında 10 serbestlik dereceli, isoparametrik bir tabakalı plak sonlu eleman geliştirilerek burkulma analizleri yapılmıştır.