Nas se¸c˜oes precedentes descrevemos como a an´alise curvelet, que devido a seu car´ater angular deve ser mais adequada `a an´alise de sinais que contenha singularidades superfici- ais, ´e utilizada para remover o ru´ıdo de rolamento superficial de dados s´ısmicos.
dado sint´etico que simula sinais s´ısmicos. Neste dado sint´etico, onde consta a presen¸ca de reflex˜oes com velocidades aparentes distintas, resultando em diferentes inclina¸c˜oes no sismograma, sendo uma com inclina¸c˜ao mais acentuada representando o sinal do ru´ıdo de rolamento superficial. Tamb´em foi inclu´ıdo um ru´ıdo sint´etico neste conjunto de dados.
O objetivo da an´alise curvelet aqui implementada ´e remover a reflex˜ao mais acentuada, que corresponde ao ru´ıdo de rolamento superficial, e preservar as reflex˜oes de interesse. Utilizando o algoritmo da an´alise Curvelet foi poss´ıvel identificar o ˆangulo de inclina¸c˜ao da reflex˜ao indesejada e, com isto, este ˆangulo teve seus coeficientes zerados. Em seguida, restauramos a imagem sem a presen¸ca deste sinal.
Na figura 4.1 temos o dado sint´etico usado para testar o m´etodo de an´alise curvelet em sinais s´ısmicos. Especificamente, na figura 4.1.a temos o dado sint´etico com reflex˜oes horizontais representando as camadas litol´ogicas do subsolo onde ocorrem as reflex˜oes de interesse e tamb´em com um tra¸co com maior inclina¸c˜ao que representa o ru´ıdo de rolamento superficial presente neste dado sint´etico. Na figura 4.1.b temos o dado sint´etico filtrado, onde ´e mostrado o sinal reconstru´ıdo pela an´alise curvelet. J´a na figura 4.1.c ´e mostrado apenas o ru´ıdo que foi removido do dado sint´etico por nossa an´alise.
O procedimento para executar essa limpeza a partir da transformada Curvelet ´e sim- ples. Vamos entender esse procedimento.
Figura 4.1: Nesta imagem podemos verificar na figura (a) o dado sint´etico com reflex˜oes horizontais representando as camadas litol´ogicas e um tra¸co com maior inclina¸c˜ao que pode ser melhor visualizado na figura (c) simulando o comportamento do ru´ıdo de rola- mento superficial. Na figura (b) temos o dado sint´etico limpo em que a reflex˜ao destacada j´a foi removida.
A transformada curvelet permite decompor o sinal primeiramente em escalas e, a seguir, em zonas angulares. Na figura 4.2, por exemplo, podemos verificar a distribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 2. Os gr´aficos em forma de pizza, na parte superior da figura, indicam as zonas angulares selecionadas e cujos padr˜oes s˜ao mostrados a partir de uma reconstru¸c˜ao parcial a partir dos coeficientes das respectivas escala e zonas angulares na parte inferior da figura.
Figura 4.2: Distribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 2. Na parte superior da figura temos os ˆangulos selecionados nessa escala e na parte inferior temos a reconstru¸c˜ao parcial do sinal para esses ˆangulos nessa escala.
Por exemplo, a ´ultima coluna desta figura demonstra o padr˜ao referente aos ˆangulos 2, 3, 10 e 11 da escala 2, que s˜ao as partes marcadas do gr´afico em forma de pizza na parte superior dessa coluna. Na parte inferior da coluna, temos a reconstru¸c˜ao parcial do dado s´ısmico, vemos que o padr˜ao correspondente a estas zonas angulares representa uma reflex˜ao horizontal. Se visualizarmos esse padr˜ao como uma onda em propaga¸c˜ao, a sua frente de onda estaria se propagando em uma dire¸c˜ao vertical. Isto j´a era esperado, j´a que esses ˆangulos correspondem a curvelets com padr˜ao oscilat´orio com dire¸c˜oes mais pr´oximas `a vertical. Vale ressaltar que nenhum dos ˆangulos (2, 3, 10 e 11) se ajusta perfeitamente `a vertical, por isso dizemos que eles est˜ao mais pr´oximos `a vertical ou que
est˜ao aproximadamente na vertical.
Para encontrar os padr˜oes desejados em cada escala foi utilizada uma an´alise da dis- tribui¸c˜ao de energia, conforme a defini¸c˜ao dada pela equa¸c˜ao (4.4), nos diferentes ˆangulos de cada escala. Uma quantidade de energia maior, concentrada em determinadas zonas angulares indica que os sinais referentes a estas zonas est˜ao mais presentes, ou s˜ao mais fortes, na determinada escala.
Na figura 4.3, vemos a distribui¸c˜ao de energia, conforme a equa¸c˜ao (4.4), para os diferentes ˆangulos da escala 2. Podemos ver, pelo gr´afico polar, que, para o caso da escala 2, a energia est´a mais concentrada nos ˆangulos correspondentes aos padr˜oes de oscila¸c˜ao mais pr´oximos `a vertical.
Figura 4.3: Distribui¸c˜ao de energia para os diferentes ˆangulos da escala 2.
Pela an´alise das reconstru¸c˜oes parciais do sinal na escala 2 para cada conjunto de ˆangulos (reconstru¸c˜oes parciais mostradas na figura 4.2) e tamb´em da distribui¸c˜ao de
energia (mostrada na figura 4.3) pudemos escolher o conjunto de ˆangulos da escala 2 a serem utilizados na reconstru¸c˜ao do sinal s´ısmico de interesse. Esse conjunto de ˆangulos ´e mostrado na figura 4.4, onde vemos que apenas os ˆangulos mais pr´oximos `a horizontal foram exclu´ıdos por nossa an´alise.
Figura 4.4: Conjunto de ˆangulos da escala 2 cujos coeficientes foram selecionados para a reconstru¸c˜ao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b.
A an´alise descrita acima e que foi feita para a escala 2, tamb´em foi feita para as escalas 3, 4 e 5, para nos permitir uma reconstru¸c˜ao acurada do sinal de interesse e excluir o ru´ıdo de rolamento superficial em todas as escalas.
Nas figuras 4.5 a 4.13 verificamos os resultados dessa an´alise, como a descrita para a escala 2, para as escalas 3, 4 e 5. Estas escalas s˜ao mais finas que a escala 2 e, portanto, possuem um n´umero maior de ˆangulos dispon´ıveis e sua an´alise precisa ser mais criteriosa. Na figura 4.5 temos a distribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares se- lecionados na escala 3. Na parte superior da figura temos os ˆangulos selecionados nessa escala e na parte inferior temos a reconstru¸c˜ao parcial do sinal para esses ˆangulos.
Como podemos verificar visualmente, a presen¸ca no sismograma sint´etico da estru- tura determinada pelo ru´ıdo de rolamento superficial tem ˆangulos bem mais pr´oximos `a horizontal (primeira coluna da figura 4.5) e, portanto, s˜ao estes ˆangulos que devem ser
Figura 4.5: Distribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 3.
exclu´ıdos da reconstru¸c˜ao do sinal.
Na figura 4.6 vemos a distribui¸c˜ao de energia para os diferentes ˆangulos da escala 3. Nesta figura percebemos que a distribui¸c˜ao de energia para a escala 3 tamb´em ´e maior nos ˆangulos pr´oximos `a horizontal, embora possamos visualizar uma razo´avel contribui¸c˜ao de energia para ˆangulos intermedi´arios.
Essa an´alise de energia corrobora o fato de que, para a reconstru¸c˜ao do sinal, os ˆangulos exclu´ıdos da escala 3 devem ser apenas os ˆangulos mais pr´oximos `a horizontal, ou seja, apenas os ˆangulos 12, 13, 28 e 29.
Na figura 4.8 temos a distribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares sele- cionados na escala 4. Na parte superior da figura temos, tamb´em, os ˆangulos selecionados
Figura 4.6: Distribui¸c˜ao de energia para os diferentes ˆangulos da escala 3.
Figura 4.7: Conjunto de ˆangulos da escala 3 cujos coeficientes foram selecionados para a reconstru¸c˜ao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b.
nessa escala e na parte inferior temos a reconstru¸c˜ao parcial do sinal para esses ˆangulos nessa escala.
Figura 4.8: Distribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 4.
sualmente falando, com as estruturas apresentadas para a escala 3. Podemos ver isto comparando as figuras 4.5 (escala 3) e 4.8 (escala 4). Assim, podemos concluir tamb´em que a presen¸ca da estrutura determinada pelo ru´ıdo de rolamento superficial, a estrutura em forma de cone com ˆangulo acentuado, ´e bem mais marcante nos ˆangulos pr´oximos `a horizontal (primeira coluna da figura 4.8) e, portanto, estes ˆangulos devem ser exclu´ıdos da reconstru¸c˜ao do sinal.
Na figura 4.9 vemos a distribui¸c˜ao de energia para os diferentes ˆangulos da escala 4. Nesta figura percebemos que a distribui¸c˜ao de energia para a escala 4 tamb´em ´e maior nos ˆangulos pr´oximos `a horizontal. A contribui¸c˜ao de energia nos ˆangulos mais afastados da horizontal (intermedi´arios) ´e comparativamente menor que na escala 3.
Figura 4.9: Distribui¸c˜ao de energia para os diferentes ˆangulos da escala 4.
Tamb´em na escala 4, essa an´alise de energia indica, junto com a an´alise das estruturas das reconstru¸c˜oes parciais do sinal, que, para a reconstru¸c˜ao do sinal, os ˆangulos exclu´ıdos da escala 4 devem ser apenas os ˆangulos mais pr´oximos `a horizontal, ou seja, apenas os ˆangulos 12, 13, 28 e 29.
Na escala 5, por esta ser uma escala mais fina, o n´umero de ˆangulos ´e o dobro das escalas 3 (ou 4). A an´alise das estruturas presentes em cada grupo de ˆangulos foi feita, na figura 4.11 apresentamos as estruturas apenas para alguns poucos grupos de ˆangulos. Nesta an´alise foi percept´ıvel que nos ˆangulos mais pr´oximos `a horizontal (24, 25, 56, e 57) n˜ao h´a contribui¸c˜ao significativa devida a reflex˜oes de ondas por estruturas litol´ogicas, ou seja, a parte do sinal mostrada na primeira coluna da figura 4.11 ´e, provavelmente, devida ao ru´ıdo sint´etico inserido nesse dado de teste. J´a a presen¸ca da estrutura determinada pelo ru´ıdo de rolamento superficial, a estrutura com ˆangulo mais acentudo, ´e marcante
Figura 4.10: Conjunto de ˆangulos da escala 4 cujos coeficientes foram selecionados para a reconstru¸c˜ao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b.
nos outros ˆangulos pr´oximos `a horizontal (23, 26, 55 e 58), como podemos ver na segunda coluna da figura 4.11. Portanto, todos esses ˆangulos onde as contribui¸c˜oes dos ru´ıdos sint´etico e de rolamento superficial s˜ao importantes devem ser exclu´ıdos da reconstru¸c˜ao do sinal.
Na escala 5 vemos, de forma mais dram´atica, a partir da an´alise da distribui¸c˜ao de energia (figura 4.12), a separa¸c˜ao entre os diferentes padr˜oes do sinal. O padr˜ao mostrado nessa figura, referente a ˆangulos mais inclinados, comp˜oe quase toda a energia presente nesta escala, o que nos confirma que podemos excluir, sem perdas para o sinal s´ısmico de interesse, os ˆangulos pr´oximos `a horizontal no espa¸co curvelet.
Na figura 4.13 ´e mostrado o conjunto de ˆangulos selecionados na escala 5 para a resconstru¸c˜ao do sinal.
Amorim[34] utilizou o m´etodo de Decomposi¸c˜ao em Modos Emp´ıricos (EMD) para de- compor este mesmo conjunto de dados sint´eticos em eventos distintos. O resultado obtido foi semelhante. O m´etodo EMD decomp˜oe o sinal em sinais de oscila¸c˜ao simples (modos), de forma an´aloga aos m´etodos da transformada em ondaletas e da transformada Curvelet
Figura 4.11: Distribui¸c˜ao de padr˜oes para conjuntos de zonas angulares selecionados na escala 5.
e, desta forma, pode tamb´em ser aplicado a sinais n˜ao-lineares e n˜ao-estacion´arios. A diferen¸ca ´e que, no caso do m´etodo EMD, as bases s˜ao retiradas do pr´oprio dado. Esse m´etodo tamb´em foi aplicado, de forma satisfat´oria, a dados de uma bacia sedimentar terrestre.
A vantagem da transformada Curvelet para dados s´ısmicos ´e que sua intuitiva natureza anisotr´opica ´e bem adaptada aos padr˜oes gerados por diferentes refletores, al´em de sua na- tureza multiescala, que permite focar em diferentes frequˆencias e, portanto, deve fornecer dados mais precisos e confi´aveis ao analisarmos sinais s´ısmicos reais. No cap´ıtulo a seguir discutiremos a an´alise de dados feita aplicando-se a an´alise curvelet a sinais s´ısmicos reais.
Figura 4.13: Conjunto de ˆangulos da escala 5 cujos coeficientes foram selecionados para a reconstru¸c˜ao de parte do sinal indicado na figura 4.1.b.
Cap´ıtulo 5
An´alise de dados reais usando
transformada curvelet
5.1
Introdu¸c˜ao
Os sinais s´ısmicos ou sismogramas obtidos em sondagens s´ısmicas s˜ao uma crucial fonte de informa¸c˜oes acerca da estrutura geol´ogica do subsolo terrestre e sua an´alise e interpreta¸c˜ao nos permite, entre outras coisas, localizar e avaliar o potencial de jazidas de petr´oleo nessa importante e dif´ıcil tarefa relacionada `a prospec¸c˜ao de petr´oleo.
As v´arias t´ecnicas de an´alise que s˜ao atualmente utilizadas na remo¸c˜ao de ru´ıdos dos sinais s´ısmicos e, sobretudo, do principal ru´ıdo presente nos sinais s´ısmicos, o ru´ıdo de rolamento superficial, acabam fornecendo resultados imprecisos quer sejam por n˜ao conseguir remover a contento esse ru´ıdo ou por distorcer os sinais e imagens reconstru´ıdos ap´os a an´alise.
Uma boa ferramenta recente de an´alise de sinais s´ısmicos ´e a transformada em ondale- tas, que pode ser utilizada para a an´alise de sismogramas dando bons resultados[15], no entanto, da pr´opria defini¸c˜ao da transformada em ondaletas, esse tipo de an´alise n˜ao ´e bem adequada ao reconhecimento de singularidades superficiais[22] e, em an´alise de imagens e sinais com este tipo de singularidade, como ´e o caso dos sinais s´ısmicos, os resultados poderiam ser melhores usando-se uma an´alise baseada na transformada curvelet que, por seu car´ater direcional, est´a mais adequada a recuperar sinais que possuam singularidades
superficiais.
O m´etodo implementado nos trabalhos desta tese para se analisar sinais s´ısmicos usando a transformada curvelet foi explicado e testado no cap´ıtulo anterior para um conjunto de dados sint´eticos, mostrando-se muito eficaz em separar os padr˜oes relaciona- dos ao ru´ıdo de rolamento superficial dos padr˜oes referentes a reflex˜oes de ondas por camadas geol´ogicas, no entanto, para comprovarmos a efic´acia do m´etodo em analisar sinais s´ısmicos, precisamos test´a-lo para um conjunto de dados reais e o fazemos neste cap´ıtulo, onde explicamos, novamente, o procedimento de an´alise devido `as peculiaridades e diferen¸cas que h´a entre a an´alise de um dado sint´etico e a an´alise de um dado real.
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E importante ressaltarmos novamente que, para um dado real que envolva singulari- dades superficiais como os dados s´ısmicos, a vantagem da transformada Curvelet ´e que sua intuitiva natureza anisotr´opica ´e bem adaptada aos padr˜oes gerados por diferentes refletores, al´em de sua natureza multiescala, que permite focar em diferentes frequˆencias e, portanto, deve fornecer dados mais precisos e confi´aveis ao analisarmos sinais s´ısmicos reais.