Lightlike Hipery¨ uzeylerde ˙Indirgenmi¸s Geometrik Nesneler

(m + 2)− boyutlu semi-Riemann (M , g) manifoldunun lightlike hipery¨uzeyi (M, g) olsun ve ∇ da M manifoldu ¨uzerinde g’ ye kar¸sılık gelen Levi-Civita konneksiyonu olsun. Kabul edelim ki S(T M ) ve tr(T M ) sırasıyla screen distrib¨usyon ve buna kar¸sılık gelen M ’ nin lightlike transversal vekt¨or demeti olsun. O zaman (3.0.5) teki

T M |_M= S(T M ) ⊥ (T M^⊥⊕ tr(T M )) = T M ⊕ tr(T M ) ayrı¸sımının 2. kısmını kullanarak

∇_XY = ∇_XY + h(X, Y ) (3.0.6)

ve

∇XV = −AVX + ∇^t_XV (3.0.7)

ifadeleri herhangi X, Y ∈ Γ(T M ) ve V ∈ Γ(tr(T M )) i¸cin elde edilir. Burada h(X, Y ) ve ∇^t_XV , Γ(tr(T M ))’ ye ba˘glı iken ∇_XY ve A_VX de Γ(T M )’ ye ba˘glıdır.

∇’ nın M ¨uzerinde torsiyonsuz lineer konneksiyon oldu˘gu ve h’ nın Γ(T M )

¨

uzerinde Γ(tr(T M )) de˘gerli simetrik bilineer form oldu˘gu g¨osterilebilir.

A_V , Γ(T M )’ de bir F (M )− lineer operat¨ord¨ur ve ∇^t de tr(T M )’ de lineer konneksiyondur. [2]

Tanım 3.0.58. ∇ ve ∇^t ye sırasıyla T M ve tr(T M )’ de indirgenmi¸s konneksiyonlar denir. Riemann hipery¨uzeylerin klasik teorisiyle uyumlu olarak h ve A_V’ ye de M ’ de M lightlike immersiyonun sırasıyla ikinci temel formu ve

¸

sekil operat¨or¨u denir. Ayrıca (3.0.6) ve (3.0.7) denklemlerine sırasıyla Gauss ve Weingarten form¨ulleri denir.[2]

{ξ, N }’ nin (3.0.1) de tanımlanmı¸s olan U ⊂ M ¨uzerinde kesitlerin ¸cifti oldu˘gunu g¨oz ¨on¨une alalım. (Teorem(3.0.1): g(N, ξ) = 1, g(N, N ) = g(N, W ) = 0

∀W ∈ Γ(S(T M ) |_U)).

Bu durumda, U ¨uzerinde simetrik F (U )−bilineer form B ve 1−form τ

B(X, Y ) = g(h(X, Y ), ξ), ∀ X, Y ∈ Γ(T M |_U) (3.0.8) τ (X) = g(∇^t_XN, ξ), ∀ X ∈ Γ(T M |_U) (3.0.9)

tanımlansın. Buradan

h(X, Y ) = B(X, Y )N (3.0.10)

ve

∇^t_XN = τ (X)N (3.0.11)

ifadelerinden U ¨uzerinde (3.0.6) ve (3.0.7) denklemleri sırasıyla

∇_XY = ∇_XY + B(X, Y )N (3.0.12)

ve

∇_XN = −A_NX + τ (X)N (3.0.13)

olur. Lightlike hipery¨uzeylerin geometrisi se¸cilen screen distrib¨usyona ba˘glı oldu˘gundan, iki screen distrib¨usyon tarafından indirgenmi¸s geometrik nesneler arasındaki ili¸skileri incelemek ¨onemlidir. Bu a¸cıdan, a¸sa˘gıdaki sonu¸c lightlike hipery¨uzeylerin t¨um ¸calı¸sması i¸cin ¨onemlidir. [2]

Onerme 3.0.10. S(T M ) ve S(T M )¨ ⁰, M ’ de iki screen distrib¨usyon ve h ve h⁰ sırasıyla tr(T M ) ve tr(T M )⁰ ne g¨ore ikinci temel formlar olsunlar.Bu durumda U ’ da B = B⁰ d¨ur ki M ’ nin ikinci temel formu bu U ’ da screen distrib¨usyon se¸ciminden ba˘gımsızdır. [11]

Sonu¸c 3.0.3. Lightlike hipery¨uzeylerin ikinci temel formu dejeneredir.[2]

˙Ispat. B(X, Y ) = B⁰(X, Y ) = g(∇_XY, ξ) ifadesinden ve ∇’ nın metrik konneksiyon oldu˘gu g¨oz ¨on¨une alınarak Y yerine ξ alınırsa ∀X ∈ Γ(T M )U i¸cin

B(X, ξ) = g(∇_Xξ, ξ) (3.0.14)

ifadesini ele alalım.

g(ξ, ξ) = 0 Xg(ξ, ξ) = 0 g(∇Xξ, ξ) + g(ξ, ∇Xξ) = 0 g(∇_Xξ, ξ) = 0

elde edilir. Bunu yukarıdaki (3.0.14) denkleminde yerine yazarsak

B(X, ξ) = 0 (3.0.15)

bulunur. Bu durumda

h(X, ξ) = B(X, ξ)N oldu˘gundan

h(X, ξ) = 0 bulunmu¸s olur.

Tanım 3.0.59. E˘ger B(V, W ) = 0 ise bu durumda M ¨uzerindeki V ve W vekt¨or alanlarına konjuge(e¸slenik) denir. E˘ger g(V, V ) = 0 ise bu self-konjuge vekt¨or alanına asimptotik vekt¨or alanı denir. [9]

Onerme 3.0.11. Herhangi ξ ∈ Γ(T M¨ ^⊥ |_U) , M ’ nin lightlike hipery¨uzeyi M

¨

uzerindeki herhangi vekt¨or alanıyla konjugedir. ¨Ozellikle de ξ asimptotik vekt¨or alanıdır. Yani

g(ξ, ξ) = 0 dır. [2]

Ayrıca not edelim ki hem B hem de τ , ξ ∈ Γ(T M^⊥ |_U) kesitine ba˘glıdır.

Ger¸cekten de ξ = αξ aldı˘gımızda bunu N = (_α¹)N takip eder ve (3.0.12) ve (3.0.13) den B = αB ve

τ (X) = τ (X) + X(log α) (3.0.16)

ifadesini herhangi X ∈ Γ(T M |_U) i¸cin elde ederiz. [2]

Onerme 3.0.12. (M, g, S(T M )), (M , g)’ nin lightlike hipery¨¨ uzeyi olsun. τ ve τ nin sırasıyla ξ ve ξ’ ne g¨ore U ¨uzerinde 1−formlar oldu˘gunu kabul edelim. Bu durumda N ¨uzerinde dτ = dτ ’ dir.[2]

E˘ger P , T M = S(T M ) ⊥ T M^⊥ ayrı¸smasına g¨ore S(T M )’ de T M ’ nin projeksiyon morfizmini tanımlarsa bu durumda

∇_XP Y = ∇^∗_XP Y + h^∗(X, P Y ), ∀X, Y ∈ Γ(T M ) (3.0.17)

ve

∇_XU = −A^∗_UX + ∇^∗t_XU , X ∈ Γ(T M ), U ∈ Γ(T M^⊥) (3.0.18) burada ∇^∗_XP Y ve A^∗_UX ,Γ(S(T M ))’ye ba˘glı; h^∗(X, P Y ) ve ∇^∗t_Xise Γ(T M^⊥)’ye ba˘glıdır. ∇^∗ve ∇^∗tsırasıyla S(T M ) ve T M^⊥ vekt¨or demetlerinde lineer konneksiyonlardır. h^∗ bir Γ(T M^⊥) de˘gerli bilineer formdu, Γ(T M ) × Γ(S(T M ))’

de de˘ger alır ve A^∗_U, Γ(S(T M ))’ de de˘ger alır ve Γ(T M )’ de F (M )− lineer operat¨ord¨ur.[2]

Tanım 3.0.60. h^∗ ve A^∗_U’a sırasıyla screen distrib¨usyon A^∗_U’ ın ikinci temel formu ve ¸sekil operat¨or¨u deriz. Ayrıca yukarıdaki (3.0.17) ve( 3.0.18) denklemlerine screen distrib¨usyon S(T M ) i¸cin sırasıyla Gauss ve Weingarten denklemleri denir.[2]

(3.0.6), (3.0.7), (3.0.17) ve (3.0.18) kullanılarak direkt hesaplamalarla

g(A_VY, P W ) = g(V, h^∗(Y, P W )); g(A_VY, V ) = 0, (3.0.19)

ve

g(A^∗_UX, P Y ) = g(U, h(X, P Y )); g(A^∗_UX, V ) = 0, (3.0.20) herhangi X, Y, W ∈ Γ(T M ), U ∈ Γ(T M^⊥) ve V ∈ Γ(tr(T M )) i¸cin bulunur.

Lokal olarak U ¨uzerinde

C(X, P Y ) = g(h^∗(X, P Y ), N ) (3.0.21)

ve

(X) = g(∇^∗t_Xξ, N ) (3.0.22) dir. B¨oylece

h^∗(X, P Y ) = C(X, P Y )ξ (3.0.23) ve

∇^∗t_Xξ = (X)ξ (3.0.24)

ifadeleri elde edilir. Di˘ger taraftan (3.0.22), (3.0.23), (3.0.12),(3.0.3) ve (3.0.13) denklemleri kullanılarak

(X) = g(∇_Xξ, N ) = g(∇_Xξ, N ) = −g(ξ, ∇_XN ) = −τ (X)

elde edilir. B¨oylece (3.0.17) ve (3.0.18) lokal olarak

∇_XP Y = ∇^∗_XP Y + C(X, P Y )ξ (3.0.25)

ve

∇_Xξ = −A^∗_ξX − τ (X)ξ (3.0.26) sırasıyla elde edilir. Son olarak (3.0.19) ten ve (3.0.20) ten lokal olarak

g(A_NY, P W ) = C(Y, P W ); g(A_NY, N ) = 0 (3.0.27)

ve

g(A^∗_ξX, P Y ) = B(X, P Y ); g(A^∗_ξX, N ) = 0 (3.0.28) sırayla elde edillir.[2]

Onerme 3.0.13. (M, g, S(T M )), (M , g)’ nin lightlike hipery¨¨ uzeyi olsun. Bu durumda M ’ nin ¸sekil operat¨or¨u AN ’ nin ¨ozde˘geri sıfırdır.[2]

Sonu¸c 3.0.4. Screen distrib¨usyonun ikinci temel formu da dejeneredir. [2]

S(T M )’ nin ¸sekil operat¨or¨un¨u g¨oz ¨on¨une alalım ve (3.0.28) ve (3.0.15) alalım. T (ξ) 6= 0 durumunda bu null C e˘grisi ¨uzerinde se¸cece˘gimiz yeni parametre t^∗ olsun ¨oyle ki

Ayrıca bir parametre, C ¨uzerinde daima mevcuttur. Buradan kolayca g¨or¨ul¨ur ki konneksiyonlarına g¨ore hem M ’ nin hem de M ’ n¨un bir null geodezi˘gidir.

Onerme (2.1.3)’ ¨¨ un ispatı izlenirse Γ(T M |_U) ile V yer de˘gi¸stirerek birim vekt¨or alanı {W_i}, i ∈ {1, ..., m} elde ederiz ki bu Γ(S(T M ) |_N) nin ortonormal bir taban formudur. S¸imdi lokal ortonormal tabanı {W_i⁰} ile ba¸ska bir screen

distrib¨usyonu olan S(T M )⁰ ve aynı ξ ∈ Γ(T M^⊥ |_U) ya g¨ore tr(T M |_U)⁰ n¨un kesiti Gauss ve Weingarten denklemleriyle indirgenmi¸s geometrik nesneler arasındaki ili¸skileri a¸sa˘gıdaki gibi elde ederiz:

∇⁰_XY = ∇XY + B(X, Y ){1 durumda, ∇ indirgenmi¸s konneksiyon tektir; yani ∇, S(T M )’ den ba˘gımsızdır, gerek ve yeter ¸sart M ’ nin ikinci temel formu h, M ’ de sıfırdır. [2]

S¸u not da ¨onemlidir ki ∇ indirgenmi¸s konneksiyon, genelde metrik konneksiyon de˘gildir. Bu ger¸ce˘gi ifade etmek i¸cin U ¨uzerinde bir η 1−formunu

η(X) = g(X, N ), ∀X ∈ Γ(T M |U) (3.0.36)

¸seklinde g¨osteririz.[2]

Onerme 3.0.15. .¨

i)(3.0.17) yani ∇XP Y = ∇^∗_XP Y + h^∗(X, P Y ), ∀X, Y ∈ Γ(T M )’ den∇^∗ lineer konneksiyonu S(T M )’ de metrik konneksiyondur. (3.0.37) ii)M ¨uzerine indirgenmi¸s ∇ konneksiyonu ∀X, Y, Z ∈ Γ(T M |_U) i¸cin

(∇Xg)(Y, Z) = B(X, Y )η(Z) + B(X, Z)η(Y ) sa˘glar. (3.0.38)

[2]

Tanım 3.0.61. ˙Indirgenmi¸s konneksiyon ∇’ ya g¨ore M ’ nin herhangi geodezi˘gi,

∇’ ya g¨ore M ’ nin geodezi˘gi olursa M ’ ye M ’ nin total(tamamen) geodezik lightlike hipery¨uzeyi denir.[2]

A¸sa˘gıdaki teorem, tanımın screen distrib¨usyona ba˘glı olmadı˘gını g¨osterir.

Teorem 3.0.3. (M, g, S(T M )), (M , g) semi-Riemann manifoldunun lightlike hipery¨uzeyi olsun. A¸sa˘gıdaki ifadeler denktir:

1. M total geodeziktir.

2. h, M ’ de sıfırdır.

3. A^∗_U herhangi U ∈ Γ(RadT M ) i¸cin M ’ de sıfırdır.

4. M ¨uzerinde tek bir metrik konneksiyon vardır.

5. RadT M , ∇’ ya g¨ore paralel distrib¨usyondur.

6. RadT M , M ¨uzerinde bir Killing distrib¨usyondur.[2]

˙Ispat. 2)⇔4) ve 3)⇔5) denkliklerini ispatlayalım:

2)⇔4): h = 0 ⇔ RadT M Killing distrib¨usyondur.

(£_ξg)(Y, Z) = 0 ise Killing distrib¨usyondur. ξ ∈ RadT M i¸cin

(£_ξg)(Y, Z) = ξg(Y, Z) − g([ξ, Y ], Z) − g(Y, [ξ, Z])

= g(∇ξY, Z) + g(Y, ∇ξZ) − g(∇ξY − ∇Yξ, Z) − g(Y, ∇ξZ − ∇Zξ)

= g(∇_ξY, Z) + g(Y, ∇_ξZ) − g(∇_ξY, Z) + g(∇_Yξ, Z)

− g(Y, ∇_ξZ) + g(Y, ∇_Zξ)

= g(∇_Yξ, Z) + g(Y, ∇_Zξ) (3.0.39)

Ote yandan¨

(∇_Yg)(ξ, Z) = B(ξ, Y )η(Z) + B(Y, Z)η(ξ) ifadesinden yola ¸cıkarsak

Y (g(ξ, Z)) − g(∇_Yξ, Z) − g(ξ, ∇_YZ) = B(Y, Z)

⇒ −g(∇_Yξ, Z) = B(Y, Z)

bu ifade (3.0.39) da yerine yazılırsa

(£_ξg)(Y, Z) = −2B(Y, Z)

bulunur. O halde

(£ξg) = 0 ⇔ B = 0 ⇔ h = 0 dır.

3)⇔5): A^∗_ξ, M ¨uzerinde sıfırdır⇔ RadT M paraleldir.

RadT M ’ nin paralel olması i¸cin ξ ∈ RadT M iken ∇_Xξ ∈ RadT M olmalıdır.

∇Xξ = −A^∗_ξX − τ (X)ξ

olup Y ∈ S(T M ) i¸cin

g(∇_Xξ, Y ) = −g(A^∗_ξX, Y ) − τ (X)g(ξ, Y )

| {z }

=0

g(∇_Xξ, Y ) = −g(A^∗_ξX, Y ) olup A^∗_ξ = 0 ⇔ ∇_Xξ ∈ RadT M dir.

Teorem 3.0.4. (M, g, S(T M )), (M , g) semi-Riemann manifoldunun bir lightlike hipery¨uzeyi olsun. Bu durumda a¸sa˘gıdaki iddialar dektir:

i) S(T M ) integrallenebilir distrib¨usyondur.

ii) h^∗(X, Y ) = h^∗(Y, X), ∀X, Y ∈ Γ(S(T M )).

iii) M ’ nin ¸sekil operat¨or¨u g’ ye g¨ore simetriktir; yani

g(A_VX, Y ) = g(X, A_VY ); ∀X, Y ∈ Γ(S(T M )); V ∈ Γ(tr(T M ))

[11]

Uyarı 3.0.4. S(T M ) integrallenebilir oldu˘gundan M lokal ¸carpım uzayıdır. ¨Oyle ki M bir C × M⁰ lokal ¸carpımdır. Burada C bir null e˘gri ve M⁰, S(T M )’ nin bir lifidir. ¨Ozellilkle M ’ nin 3− boyutlu Lorentz (M , g) manifoldunun lightlike hipery¨uzeyi oldu˘gunu kabul edelim. Buradan rankın 1 olmasından dolayı herhangi bir S(T M ) integrallenebilirdir. B¨oylece M bir C₁ × C₂ lokal ¸carpımıdır, burada C₁ ve C₂ sırasıyla M ’ nin null ve spacelike e˘grisidir.  [2]

S¸imdi kabul edelim ki S(T M ) distrib¨usyonu ∇’ ya g¨ore paralel olsun; yani herhangi X, Y ∈ Γ(T M ) i¸cin ∇_XP Y ∈ Γ(S(T M )) olsun. ∇ bir torsiyonsuz konneksiyon oldu˘gundan S(T M ) integrallenebilirdir. Dahası (3.0.17) ve (3.0.18) denklemlerinden a¸sa˘gıdaki ¨onermeyi elde ederiz:

Onerme 3.0.16. (M, g, S(T M )), (M , g)’ nin bir lightlike hipery¨¨ uzeyi olsun. Bu durumda, a¸sa˘gıdaki ifadeler denktir:

i) S(T M ), indirgenmi¸s ∇ konneksiyonuyla birlikte paraleldir.

ii)M ¨uzerinde h^∗ sıfırdır.

iii) M ¨uzerinde A_N sıfırdır.

[2]