LİTERATÜR ARAŞTIRMAS

Sürekli zamanlı sistemlerin kararlılık analizinde kapalı çevrim sistemin karakteristik polinomunu esas alarak inceleme yapan cebirsel kararlılık testleri arasında en önemli olanları Routh-Hurwitz kararlılık kriteri ve Hermite-Biehler teoremidir. Sürekli zamanlı sistemler için açık çevrim sistemi esas alarak kapalı çevrim sistemin kararlılık incelemesini yapan başlıca yöntemler içinde ise köklerin yer eğrisi tekniği, Nyquist kararlılık kriteri (Nyquist, 1932) ve Bode diyagramları vardır. Karakteristik denklemin köklerinin kararlılığın test edilmesinde belirleyici olacağı düşüncesini, Routh (1877) ispatlamıştır ve ilave olarak Hurwitz (1895) ise, karakteristik denklemin sistem kararlılığının analizinde nasıl kullanılması gerektiği problemini çözmüştür. Verilen sonlu boyutta doğrusal zamanla değişmeyen sistemleri kapalı çevrimde kararlı yapacak tüm kazançların Nyquist kriteri ve Routh-Hurwitz kriteri gibi klasik yöntemler kullanılarak bulunabilmesine rağmen; bu yöntemlerin düşük dereceli kontrolörler kümesinde önemli yere sahip PI veya PID kontrolörlerin kullanılmasını gerektiren daha karmaşık durumlara nasıl uygulanabileceği çok da açık değildir. Ayrık zamanlı sistemlerin kararlılık analizi için ise Jury kararlılık kriteri ve Schur-Cohn matris testi, oldukça yaygın kullanılmaktadır (Jury, 1974); ancak ayrık zamanlı sistemleri kapalı çevrimde oransal kazançla kararlı kılmak için kullanılan bu kararlılık kriterleri, doğrusal olmayan eşitsizliklerden oluşan kazanç aralıkları verdiğinden, yüksek mertebeli sistemlerde pratik olmayan çözümlere neden olur (Keel ve Bhattacharyya, 2002).

Verilen bir sistemi kararlı kılan tüm kontrolörlerin tam bir parametrizasyonu Youla ve diğ. (1974) ile Youla ve diğ. (1976) tarafından verilmiştir. Youla parametrizasyonu, cebirsel bir yöntem olduğu için; H∞ ve H2 optimal kontrol gibi

modern kontrol sentez yöntemlerine uygundur (Skogestad ve Postlethwaite, 2005; Sanchez-Pena ve Sznaier, 1998). Ancak önemli bir dezavantajı, bulunan optimal kontrolörlerin mertebesinin oldukça yüksek olmasıdır. Ayrıca optimal kontrolörler, tasarım kriterlerini sağlamak için kontrolör parametreleri üzerinde ayarlama yapmaya çok da uygun olmadıkları için; kırılgan kontrolörlerin ortaya çıkmasına neden olabilirler (Keel ve diğ., 1997; Makila, 1998; Kim ve diğ., 2007).

PID kontrolörler düşük dereceli basit yapısı ve dayanıklı performans özellikleri gibi nedenlerden dolayı endüstride oldukça sık kullanılırlar. Endüstride kullanılan

kontrolörlerin %90’dan fazlası PID tipi kontrolörlerdir (Astrom ve Hagglund, 2001). Pek çok sektörde de türevsel kısmının gerekmemesinden dolayı PI kontrolörlerin kullanımı da yaygındır. Buna örnek olarak kağıt endüstrisinde kullanılan kontrolörlerin %97’si PI tipidir (Bialkowski, 1993). Böyle kontrolörleri belirlemek için pek çok yöntem vardır. En yaygın olanlarından başlıcaları arasında: Ziegler- Nichols ayarlama yöntemi (Ziegler ve Nichols, 1942), Cohen-Coon yöntemi (Cohen ve Coon, 1953), Astrom-Hagglund yöntemi (Astrom ve Hagglund, 1995), gelişmiş (refined) Ziegler-Nichols yöntemi (Hang ve diğ., 1991), iç model kontrol yaklaşımı (Morari ve Zafiriou, 1989; Chien ve Fruehauf, 1990), kazanç ve faz payına dayanan tasarımlar (Ho ve diğ., 1995a; Ho ve diğ., 1995b; Ho ve diğ., 1996), ve integral performans kriterlerine dayanan yöntemler (Smith ve Corripio, 1985; Shinskey, 1985; Zhuang ve Atherton, 1993; Atherton ve Majhi, 1999) gelir.

Zaman gecikmesiz sistemleri kapalı çevrimde kararlı yapacak P, PI ve PID kontrolörler gibi düşük dereceli kontrolörlerin tasarımı için literatürdeki yöntemlerden üç tanesi çok kullanılır. Bunlardan ilki Hermite-Biehler teoreminin bir genelleştirilmesine dayanan yöntemlerdir (Ho ve diğ., 1997a; Ho ve diğ., 1997b; Ho ve diğ., 1998; Ho ve diğ., 1999; Ho ve diğ., 2000; Tan, 2003). İkincisi Nyquist eğrisinin reel ekseni kestiği yerlerin ve yönlerinin bulunmasıyla Nyquist teoreminin (Nyquist, 1932) bir genelleştirilmesine dayanan yöntemdir (Munro ve diğ., 1999; Munro ve diğ., 2000; Söylemez ve diğ., 2003). Sonuncusu ise parametre uzayı ve tekil frekans kavramları üzerine kuruludur (Ackermann ve Kaesbauer, 2001; Ackermann ve diğ., 2002a; Bajcinca, 2001; Bajcinca, 2006; Kiani ve Bozorg, 2006). Bu üç yöntem de ayrık zamanlı kontrol sistemlerine uyarlanmıştır. Ho ve diğ. (1997c) ile Ho ve diğ. (2004) tarafından Hermite-Biehler teoreminin genelleştirilmesi, ayrık zamanlı sistemler için kullanılmıştır. Ayrık zamanlı sistemlerin bilineer dönüşüklerine genelleştirilmiş Hermite-Biehler teoremini uygulayarak kararlı kılan P ve PID kontrolörlerinin hesabı, Xu ve diğ. (2001a) ile Xu ve diğ. (2001b) tarafından yapılmıştır. Hermite-Biehler teoreminin genelleştirilmesini esas alan ve karakteristik polinomun birim daire boyunca Chebyshev dizisi ile elde edilen görüntüsünün faz değişimini kullanarak kararsız kök sayısını ve özellikle kararlılığa ilişkin kısıtlamalar kümesini veren bir yöntemle ayrık zamanlı sistemleri kararlı yapan tek parametreli kontrolörlerin tam bir kümesi elde edilebilir (Datta ve diğ., 2000; Keel ve Bhattacharyya, 2001a; Keel ve Bhattacharyya, 2001b; Keel ve Bhattacharyya, 2002). Fakat yöntemin önemli bir dezavantajı, sistemi kararlı yapan kontrolörler kümesini bulmaya yarayan bu kısıtlamaların herbirinin sistem derecesine bağlı olarak üstel olarak artan sayıda işaret fonksiyonunun analizini gerektirmesidir. Bu nedenle daha hızlı iki yöntem, Bayhan ve Söylemez (2005) ile Bayhan ve Söylemez (2006b) tarafından önerilmiştir.

İlk yöntem açık çevrim transfer fonksiyonu bilinen ayrık zamanlı bir sistemi kararlı kılan oransal kontrolörleri bulmak için Chebyshev dizisinin iki tipinden de yararlanarak sıradan bir reel polinom biçimine gelen sistemin Chebyshev gösterimini bulur ve sonra Nyquist teoreminin genelleştirilmesini kullanır (Bayhan ve Söylemez, 2005). İkinci yöntem de, ayrık zamanlı sistemin bilineer dönüşüğü için Nyquist teoreminin genelleştirilmesini kullanarak sistemi kararlı yapan kazançları hesaplar (Bayhan ve Söylemez, 2006b). Parametre uzayı yöntemi ise Ackermann ve diğ. (2002b) tarafından ayrık zamanlı sistemlere uyarlanmıştır. Özel bir kontrolör türü olarak ayrık zamanlı birinci mertebeden C z( ) (= zx₁+x₂) /(z+x₃) biçimindeki kontrolörler ile ayrık zamanlı sistemlerin Chebyshev gösterilimi kullanılarak kararlı kılınması, Tantaris ve diğ. (2003a) tarafından önerilmiştir.

Verilen doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemin karakteristik polinomunun tüm kökleri, kompleks düzlemin açık sol yarı düzleminde bulunuyorsa; sistem kararlıdır. Karakteristik polinomun asli köklerini bulmaksızın sistemin kararlılığını belirlemek için klasik Hermite-Biehler Teoreminden yararlanılabilir. Bu teorem, verilen reel katsayılı bir polinomun kararlı olması için belirli bir iç içelik özelliğinin sağlanmasının gerek ve yeter olduğunu ifade eder (Datta ve diğ., 2000). Hermite- Biehler teoreminin bir genelleştirilmesi, Ho ve diğ. (1999) tarafından reel katsayılı polinomlar için yapıldıktan sonra kompleks katsayılı polinomlar için de düzenlenmiştir (Ho ve diğ., 2000). Bu genelleştirme, karakteristik polinomun sağ yarı düzlemdeki kök sayısı ile sol yarı düzlemdeki kök sayısı arasındaki farktan yararlanan analitik bir bağıntıya dayanır. Bu nedenle kullanışlıdır; fakat sistem derecesine bağlı olarak üstel olarak artan sayıda işaret fonksiyonunun analizini gerektirdiğinden hızlı sonuç veren bir yöntem değildir. Diğer taraftan Nyquist eğrisinin reel ekseni kestiği yerlerin ve yönlerinin hesaplanmasından hareketle kazanç aralıkları için kararsız kutup sayılarını bularak Nyquist teoreminin bir genelleştirilmesi olan hızlı bir yöntem, Munro ve diğ. (1999) tarafından önerilmiş ve daha sonra kararlı yapan tüm PID kontrolörlerin hesaplanması için Söylemez ve diğ. (2003) tarafından genişletilmiştir. Bu yöntem, sabitlenmiş bir oransal kazanç parametre değeri için kararlı kılan PID kontrolörler kümesinin konveks poligonlardan oluşturulması üzerine kuruludur ve 3-boyutta kararlı kılan bölgeleri bulmak için PID kontrolörün oransal kazanç parametresinin taranması gerekir (Söylemez ve diğ., 2003). Sistemi kapalı çevrimde kararlı yapan PID kontrolörler kümesini bulmak için bir diğer yöntem de Bajcinca ve Hulin (2004) ile Bajcinca (2006) tarafından önerilmiştir. Bu yöntem ise, tekil frekanslarda PID parametre uzayının ayrıştırılması üzerine kurulu bir yöntemdir. Konveks olmayan kararlılık bölgeleri, konveks poligonal dilimler yardımıyla oluşturulabilir. Burada problem iki kısma ayrılır. Birinci kısım, kararlı poligonlar ile oransal kazanç parametresinin

aralıklarının belirlenmesidir. İntegral kazanç parametresi ve türev kazanç parametresinden bağımsız olarak oransal kazanç parametresinin kararlı kılan aralıkları belirlenebilir. Bu problemin çözümü bir arama gerektirir. Bu arama, PID kontrolör için gerekli olan ve tekil frekansların oluşturduğu oransal kazanç parametre eğrisi yardımıyla yapılır (Söylemez ve diğ., 2003). Verilen bir sistemi kararlı kılmak için belli sayıda tekil frekans gerekmektedir. Bu yöntemin ilk kısımı, gerekli tekil frekans sayısını hesaplar. Bu yöntemin ikinci kısımı ise, oransal kazanç parametresinin sabitlenmiş bir değeri için integral-türev kazanç parametreleri düzleminde kararlı kılan poligonların ortaya çıkartılmasıdır. Yöntem, aslında özdeğerlerin hareketiyle tanımlanan geçişler üzerine kuruludur. Diğer taraftan kararlılık sınır eğrisinin PI düzleminde çizilmesine dayanan bir yöntem ise, Tan (2005) ile Tan ve diğ. (2006) tarafından tanıtılmıştır. Kararlılık sınır eğrisi, frekansa bağlı olduğundan; frekans sıfır ile sonsuz arasında değişebilir. Sistemi kararlı yapacak kontrolör parametrelerinin hangi frekans aralığına ilişkin olacağı, kararlılık sınır eğrisi yardımıyla bulunur. Ayrıca bu yöntem gerekli kazanç payı ve faz payı değerlerini de sağlayan tüm kontrolör parametre değerlerini de hesaplar; ancak dezavantajı grafiksel bir yöntem olmasıdır. Parametre uzayında kararlılık sınırlarının çizilmesine ve kararsız kutup sayılarının sabit kaldığı bölgelerin hızlı bir şekilde belirlenmesine dayalı olan bir başka PID kontrolör tasarlama yöntemi ise, Saeki (2007) tarafından önerilmiştir. Bu yöntemin önemli bir özelliği de özel tanımlanmış olan Γ -kararlılık bölgesi için de yöntemin uyarlanmış olmasıdır. Özel olarak

1 2 3

( ) ( ) /( )

C s = sx +x s+x biçimindeki birinci mertebeden kontrolörler ile zaman

gecikmesiz sürekli zamanlı sistemlerin parametre uzayı yaklaşımı yardımıyla kararlı yapılması için bir yöntem, Tantaris ve diğ. (2002) tarafından önerilmiştir.

Kazanç payı ve faz payı, açık çevrim transfer fonksiyonu ile ilgili kriterler olup; aynı zamanda kontrol sistemlerinin kapalı çevrimiyle ilgili olan dayanıklı kararlılık açısından da önemli ölçütlerdir. Ayarlanabilir parametreli tek giriş-tek çıkışlı bir kontrol sisteminin parametre uzayında belirtilmiş kazanç payı ve faz payı bölgelerini bulmak için Shenton ve Shafiei (1994) ile Shafiei ve Shenton (1997) tarafından bir yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntemde parametre uzayında belirtilmiş kazanç payı veya faz payı bölgelerinin gerekli sınırları, kompleks düzlemde kazanç payı veya faz payına ilişkin bir noktanın izdüşürülmesi (mapping) ile bulunur. Bu yöntemde açık çevrim D-bölgesi (OLDP) yöntemi (Aizerman, 1963), kullanılmıştır; ancak bu yöntem bir, iki veya üç parametreli sistemlerin göreli kararlılığının araştırılmasıyla sınırlıdır. Sınırlandırılmış (interval) polinom ailesine sahip bir kontrol sistemi için Hermite-Biehler teoremi kullanılarak kazanç payı ve faz payı hesabı ise Tan (2004) tarafından yapılmıştır. Zaman gecikmesiz sistemler için istenen kazanç payı ve faz payını sağlayan özel kontrolör türü olan C s( ) (= sx₁+x₂) /(s+x₃) kontrolörlerinin

bölgesi, parametre uzayı yaklaşımı kullanılarak Tantaris ve diğ. (2003b) tarafından verilmiştir. Diğer taraftan Munro ve diğ. (1999) tarafından önerilen Nyquist teoreminin bir genelleştirilmesi olan yöntemden hareketle istenilen kazanç payı ve faz payı için kapalı çevrimde sistemin kararlılığını sağlayacak oransal kontrolörlerin hesabı ile erişilebilecek maksimum kazanç ve faz paylarının hesabı, Bayhan ve Söylemez (2007a) ile Bayhan ve Söylemez (2007b) tarafından yapılmıştır.

Buraya kadar incelenen sistemlerin transfer fonksiyonları, polinomların oranı ile kolayca ifade edilebiliyordu. Uygulamada çeşitli fiziksel, kimyasal, biyolojik ve ekonomik sistemlerde zaman gecikmesiyle karşılaşılır. Zaman gecikmeli sistemlerin kararlılığına ve performans kriterlerine ilişkin bazı sonuçlar Marshall ve diğ. (1992) tarafından verilmiştir. Zaman gecikmeli sistemlerin kararlılık analizine ilişkin gelişmiş bir literatür tarama çalışması, O’Dwyer (2003) tarafından yapılmıştır. Doğrusal zamanla değişmeyen zaman gecikmeli sistemlerin polinomsu biçimindeki karakteristik polinomların kararlılığını analiz etmek için Pontryagin (1955)’in sonuçları ile Datta ve diğ. (2000) tarafından önerilen Hermite-Biehler teoreminin bir genelleştirmesi kullanılarak zaman gecikmeli birinci ve ikinci dereceden sistemleri kapalı çevrimde kararlı yapan P, PI ve PID kontrolörler kümesi bulunabilir (Silva ve diğ., 2005). Bundan hareketle Hermite-Biehler teoreminin genelleştirilmesi kullanılarak zaman gecikmeli açık çevrim kararlı ve açık çevrim kararsız birinci ve ikinci dereceden sistemlerin oransal kontrolü, Silva ve diğ. (2000) ile Silva ve diğ. (2001a) tarafından yapılmıştır. Benzer olarak Hermite-Biehler teoreminin bir genelleştirmesinin kullanılmasıyla zaman gecikmeli birinci dereceden sistemlerin PI kontrolü Silva ve diğ. (2001b)tarafından önerilmişken; PID kontrolü ise Silva ve diğ. (2001c) ile Silva ve diğ. (2002) tarafından yapılmıştır. Ancak bu yöntemin bir dezavantajı, zaman gecikmeli sistemin sonsuz sayıdaki kökleri arasından kararlılık analizi için yeterli olan kökleri bulmak için grafik bir arama gerektirmesi ve sadece zaman gecikmeli birinci ve ikinci dereceden sistemler için geliştirilmiş olmasıdır. Zaman gecikmeli keyfi dereceden sistemler için çözüm verilmemiştir. Zaman gecikmeli keyfi dereceden sistemlerin kararlı yapılması için grafiksel bir hesap yöntemi, Xu ve diğ. (2003) tarafından önerilmiştir. Bu yöntem, Nyquist kriterinin bir genelleştirilmesi olup; Pontryagin (1955)’in teoremleri üzerine kuruludur. Bu yöntemin dezavantajı ise, sistemin zaman gecikmesi elemanın sıfırdan istenilen keyfi bir değerine kadar sınırlandırılmış bir aralıkta değiştiğinin kabul edilmesi ve bu zaman gecikmesi aralığı için sistemi kararlı kılacak oransal kontrolörlerin ortak kümesini hesaplamasıdır. Diğer taraftan sınırlandırılmış zaman gecikmesi aralığına sahip sistemleri kapalı çevrimde kararlı yapacak tüm oransal kontrolörlerin ortak kümesi, benzer bir grafik yöntemle Naimark ve Zeheb (1996) ile Naimark ve Zeheb

(1997) tarafından hesaplanmıştır. Bu iki grafik yöntemin de dezavantajı tutuculuğa neden olmaları ve ayrıca zaman gecikmesi aralığı içindeki her değer için kapalı çevrim sistem kararlı yapılamayabilir. Bu noktada, açık çevrim kararsız bir sistemin zaman gecikmesi ile kararlı hale getirilmesini sağlayan ve Niculescu ve diğ. (2003)

tarafından önerilen bir yöntem dikkat çekicidir. Bu yöntem, uygun zaman gecikmesinin önemini de göstermektedir. Bu nedenle bir gecikme aralığı için kararlı kılan kazançların ortak kümesini bulmak yerine verilen bir gecikme için sistemi kararlı yapacak oransal kontrolörler kümesinin hesabının yapılması daha büyük önem taşır. Bu amaçla tezin dördüncü bölümünde Padé yaklaşımı kullanılarak sabit bir zaman gecikmesine sahip sistemi kesin kararlı kılan kazançlar kümesinin hesabı, hata paylarının hesabı da yapılarak verilmiştir. Bunun için Lam (1990) tarafından verilen bir teoremden yararlanılmıştır. Bu teorem, zaman gecikmesi elemanıyla Padé eş değeri arasındaki hata fonksiyonunu hesaplar. Bu hata fonksiyonları, disk kümeleri tanımlar (Özbay, 2000). Parametre uzayı yöntemini kullanarak zaman gecikmeli sistemleri kararlı yapan ve konveks poligonlardan oluşan PID kontrolör bölgelerin hesabı, Hohenbichler ve Ackermann (2003) tarafından yapılmıştır. Parametrik belirsizliklere sahip bir sistem modelinde pratikte bu belirsizlikleri göstermek her zaman mümkün olmayabilir. Böyle belirsizliklere sahip sahip sistemleri dayanıklı kararlı yapacak kontrolörler H∞ kontrol teorisi yardımıyla

bulunabilir; ancak bu şekilde bulunan kontrolörlerin mertebesi, en az kontrol edilmek istenen sistemin mertebesi kadar olur veya son derece kırılgan kontrolörler bulunabilir (Ho ve diğ., 2001). H∞ kontrolörlerin mertebesini kısıtlandırmak için bazı

çalışmalar yapılmıştır (Iwasaki ve Skelton, 1995). Ancak bu çalışmaların çoğunun cebrik açıdan kontrol edilmesi, zordur (Ho, 2001). İstenen H∞ performans kriterini

sağlayan PID kontrolörlerin kümesini bulmak için Ho (2001) ile Ho ve Lin (2003) tarafından bir yöntem önerilmiştir. Bu yöntem, PID kontrolörün oransal kontrolör parametresi üzerinde bir tarama yapmayı ve Hermite-Biehler teoremini kullanarak kompleks katsayılı bir polinom kümesi için ID düzleminde kararlı kılan bölgelerin belirlenmesini gerektirir. Alternatif bir yöntem, Blanchini ve diğ. (2004) tarafından verilmiştir. Bu yöntem, verilen H∞ özelliklerini sağlayan ikinci dereceden

kontrolörleri bulmak için grafiksel tabanlı olan ve PID kontrolörün üçüncü bir parametresi üzerindeki genelde oransal kontrolör parametresi üzerinde bir tarama yapmayı gerektiren bir yöntemdir. Ancak pek çok pratik durumda dayanıklı kararlılığı sağlayan oransal kontrolörün doğrudan belirlenmesi gerekir. Bu amaçla yapısal olmayan belirsizlikler içeren sistemler için dayanıklı kararlılığı sağlayan oransal kontrolörlerin kümesini doğrudan bulmak için Söylemez ve Bayhan (2008) tarafından yeni bir yöntem geliştirilmiş ve tezin üçüncü bölümünde de verilmiştir.

Zaman gecikmeli birinci mertebeden sistemler için dayanıklı kararlı yapacak PI kontrolörleri hesaplamak amacıyla bir yöntem, Krajewski ve diğ. (2004) ile Krajewski ve diğ. (2005) tarafından önerilmiştir. Kontrol edilmek istenen sistemin normalize edilmesine ve parametre uzayında kararlılık payları (kazanç ve faz payları) ile geçiş frekansına bağlı eliptik biçimli eğri ailesinin çizilmesine dayanan bir yöntemdir. Yapısal olmayan belirsizliklere karşı dayanıklı olan ve bazı performans özelliklerini de sağlayan PI kontrolörleri hesaplayan bir yöntem olmasına karşılık, sadece zaman gecikmeli birinci mertebeden sistemler için uygulanabilir olması bu yöntemin bir dezavantajıdır. Bu amaçla zaman gecikmeli keyfi mertebeden sistemleri dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin bulunmasına yönelik yeni bir yöntem, tezin altıncı bölümünde önerilmiştir.