Lebesgue Noktasında Yakınsaklık ve Yakınsaklık Hızı

Bu kesimde öncelikle
_(, ') uzayından
_(, ') uzayına dönüşüm yapan

_´(6; ) = | 6(8)_´(8, )28

•

–

,  ≤  ≤ ' , t > 0 (3.1)

integral operatör ailesinin,
_(, ') uzayında olan fonksiyonların karakteristik noktalarda yakınsaklığı ve yakınsaklık hızı, ardından ise
_(, ') uzayında olmayan ama bir ò ağırlık fonksiyonu ile bölümü
_(, ') uzayında olan fonksiyonların karakteristik noktalarda yakınsaklığı ve yakınsaklık hızı incelenecektir.

Tanım 3.1.1: _´ fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlasın. Bu koşulları sağladığı taktirde _´ fonksiyonu A-şartını sağlıyor denir.

Negatif olmayan _´ fonksiyonu, , 8 ∈ [, '] değişkenlerine ve t > 0 reel parametresine bağlı olmak üzere

53

)

´→Rlim| _´(8, )28

•

–

= 1 ,  ≤  ≤ ' , t > 0 (3.2)

') Her belirli t ve  için, 8 ye göre [, ] aralığında artan, [, '] aralığında azalandır.

0) Her belirli  ∈ [, '] ve belirli z > 0 için

´→Rlim_´( ± z, ) = 0 (3.3)

dir.

Teorem 3.1.1: 6 ∈
_(, ') ve negatif olmayan _´ fonksiyonu, A-şartını sağlasın.

Bu taktirde 6 fonksiyonunun her x Lebesgue noktasında,

´→Rlim
_´(6; ) = 6()

dir.

İspat: Lebesgue noktası tanımından

Û→ Plim

1ℎ | |6(8) − 6()|28

XBÛ X

= 0

veya

Û→Plim

1ℎ ||6(8) − 6()|28

X X¥Û

= 0

eşitlikleri mevcuttur. Buradan ∀( > 0 için öyle bir z > 0 sayısı vardır ki, her 0 < ℎ ≤ z için

54 kullanılarak ve _´(8, ) çekirdeğinin pozitif olmasından dolayı (3.1) integrali,

|
´(6; ) − 6()| ≤ ©| +

55

≤ _´( + z, )½*6*_c‚(–,•)+ |6()|(' − )¿

elde edilir. õ_,´ ve õ_",´ toplanır ve Tanım 3.1.1 in 0) şartı kullanılırsa

´→RlimMõ_,´+ õ_",´S = 0 (3.7)

bulunur. Şimdi õ _,´ yı hesaplayalım. Bunun için

è(8) = ||6(«) − 6()|

º X

2«

biçimde bir fonksiyon tanımlayalım. (3.4) eşitsizliğinden, 8 −  ≤ z olduğunda

|è(8)| ≤ ε(8 − ) (3.8) yazılabilir. Buna göre õ _,´ integrali

õ _,´= | _´(8, )2è(8)

XB»

X

şeklinde yazılabilir. Burada kısmî integrasyon uygulanırsa;

õ _,´= è( + z)_´( + z, ) − è()_´(, ) + | è(8)2_ºM−_´(8, )S

XB»

X

öõ _,´ö ≤ |è( + z)|_´( + z, ) − |è()|_´(, ) + | |è(8)|2_ºM−_´(8, )S

XB»

X

elde edilir. _´ fonksiyonu [, '] aralığında azalan olduğundan; −_´(8, ) artandır.

Dolayısıyla diferensiyeli pozitiftir. Böylece (3.8) eşitsizliği kullanılabilir. Yani

56

öõ _,´ö ≤ (z_´( + z, ) + ε | (8 − )2_ºM−_´(8, )S

XB»

X

elde edilir. Eşitsizliğin sağındaki integrale tekrar kısmî integrasyon uygulanırsa;

öõ _,´ö ≤ ( | _´(8, )28

XB»

X

olur ve _´(8, ) pozitif olduğundan, öõ _,´ö ≤ ( | _´(8, )28

•

–

eşitsizliği sağlanır. Diğer yandan õ_,´ integrali de benzer olarak hesap edilebilir.

Bunun için bir ÷ fonksiyonu

÷(8) = ||6() − 6()|

X º

2

şeklinde tanımlansın. O halde ÷(8) nin diferensiyeli

2÷(8) = −|6() − 6()|28

dir. (3.5) ten,  − 8 ≤ z olduğunda

|÷(8) | ≤ (( − 8) (3.9) eşitsizliği yazılabilir. ÷(8) nin tanımından õ_,´ integrali

öõ_,´ö = Æ− | _´(8, )2÷(8)

X X¥»

Æ

57

biçiminde yazılabilir. Burada kısmî integrasyon uygulanırsa

öõ_,´ö ≤ |÷( − z)|_´( − z, ) + ||÷(8)|2_ºM_´(8, )S

X X¥»

elde edilir ve (3.9) dan

öõ_,´ö ≤ (z_´( − z, ) + ε |( − 8) 2_ºM_´(8, )S

X X¥»

bulunur. Tekrar kısmî integrasyon uygulanırsa

öõ_,´ö ≤ ( | _´(8, )28

X X¥»

olur ve _´(8, ) nin pozitifliğinden öõ_,´ö ≤ ( | _´(8, )28

•

–

elde edilir. Buradan

öõ_,´ö + öõ _,´ö ≤ 2( | _´(8, )28

•

–

(3.10)

dir. Son olarak (3.2), (3.6), (3.7) ve (3.10) birleştirilirse ve t → ∞ için limit alınırsa ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.1.2: 6 ∈
_(, ') ve −∞ <  < ' < ∞ olsun. Negatif olmayan _´ fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlasın.

58

)

| _´(8, )28

X

–

= | _´(8, )28

• X

=1 2

') Verilmiş bir t ve x için _´ fonksiyonu 8 ye göre [, ] aralığında artan, [, ']

aralığında azalandır.

0) Belirli ø > 0 ve z_P > 0 için t → ∞ iken

Δ_´ = | |8 − |^ú_´(8, )28

XB»ˆ X¥»ˆ

⟶ 0

dır.

2) 0 ≤  ≤ ø olduğunda istenilen z > 0 için t → ∞ iken

_´( ± z, ) = @ Ÿ∆_´^úñ 

ifadesi sağlanır.

Eğer sonlu ¦() ve í() değerleri ve 6 fonksiyonu için x noktasında

|[6( + 8) − ¦()]28 = @(ℎ^ñB)

Û P

, (ℎ → 0) (3.11)

ve

|[6( − 8) − í()]28 = @(ℎ^ñB)

Û P

, (ℎ → 0) (3.12)

şartları sağlanır ise bu taktirde v_´(6; ) = | 6(8)_´(8, )28

•

–

(3.13)

59

singüler integralinin (3.11) ve (3.12) ifadelerinin sağlandığı her x noktasında t → ∞ için

üv_´(6; ) −¦() + í()

2 ü = @ Ÿ∆_´^ñú  (3.14)

ifadesi gerçeklenir.

İspat: Teoremin ) şıkkından

v_´(6; ) = | 6(8)_´(8, )28

•

–

+¦()

2 −¦()

2 +í()

2 −í() 2

v_´(6; ) −¦() + í()

2 = |[6(8) − í()]_´(8, )28

X

–

+ |[6(8) − ¦()]_´(8, )28

• X

= Ã_+ Ã (3.15)

şeklinde yazabiliriz. Şimdi Ã_ ve à değerlerini hesaplayalım.

(3.12) şartına göre, istenilen ( > 0 için öyle bir z_P > 0 seçilebilirki ℎ < z < z_P olduğunda

1

ℎ^ñBš|[6( − 8) − í()]28

Û P

š < ( (3.16)

eşitsizliği sağlanır. Diğer taraftan bir è fonksiyonu

è(8) = |[6( − «) − í()]2«

º P

60

biçiminde tanımlansın. (3.16) eşitsizliğine göre 8 ≤ z olduğunda

|è(8)| < (8^ñB (3.17)

olur. Ayrıca è(8) nin tanımından

2è(8) = [6( − «) − í()]28 (3.18)

olduğu açıktır. Buna göre Ã_ integrali yukarıda belirlenen z > 0 sayısı için

Ã_ = —| +

X¥»

–

|

X X¥»

˜ [6(8) − í()]_´(8, )28 = Ã_^+ Ã_ (3.19)

biçiminde yazılabilir. Şimdi Ã_ integralini hesaplayalım.

Ã_ = |[6(8) − í()]_´(8, )28

X X¥»

integralinde 8 =  − « dönüşümü yapılır, sonra « = 8 alınırsa

Ã_ = |[6( − 8) − í()]_´( − 8, )28

» P

olur. (3.18) eşitliği kullanılırsa

Ã_ = | _´( − 8, )2è(8

» P

)

elde edilir. Kısmî integrasyon yardımıyla

61

|Ã_| ≤ |è(z)|_´( − z, ) + ||è(8)|2_ºM_´( − 8, )S

» P

bulunur. (3.17) eşitsizliğinden

|Ã_| ≤ (z^ñB _´( − z, ) + ( | 8^ñB2_ºM_´( − 8, )S

» P

olur. Bu ifadede tekrar kısmî integrasyon uygulanırsa

|Ã_| ≤ (% + 1)( | 8^ñ_´( − 8, )28

» P

(3.20)

eşitsizliği elde edilir. Şimdi Ã^_ integraline bakalım.

Ã_^ = | [6(8) − í()]_´(8, )28

X¥»

–

|Ã_^| ≤ | |6(8) − í()|_´(8, )28

X¥»

–

≤ | |6(8)|_´(8, )28

X¥»

–

+ |í()| | _´(8, )28

X¥»

–

eşitsizliği sağlanır. Teoremin ') şıkkından _´(8, ), [,  − z] aralığında t ye göre artan olduğundan

|Ã_^| ≤ _´( − z, ) ï| |6(8)|28

X¥»

–

+ |í()| | 28

X¥»

–

ð

62 dir. Buradan da

|Ã_^| ≤ ´( − z, ) ï||6(8)|28

•

–

+ |í()| | 28

•

–

ð

= _´( − z, )½*6*_c‚(–,•)+ |í()|(' − )¿

elde edilir. Böylece teoremin 2) şıkkından dolayı t → ∞ iken istenilen z > 0 için

Ã_^ = @ Ÿ∆_´^ñú  (3.21)

olur. Yukarıdakilere benzer şekilde à de aynı yolla hesaplanabilir.

(3.11) eşitliğinden ∀( > 0 için ∃ z_P > 0 vardır öyleki ℎ < z ≤ z_P olduğunda

1

ℎ^ñBš|[6( + 8) − ¦()]28

Û P

š < ( (3.22)

eşitsizliği sağlanır. Diğer yandan bir ÷ fonksiyonu

÷(8) = |[6( + «) − ¦()]2«

º P

(3.23)

şeklinde tanımlansın. (3.22) eşitsizliğinden 8 ≤ z için

|÷(8)| < (8^ñB (3.24) yazılabilir. (3.23) ifadesinden

2÷(8) < [6( + 8) − ¦()]28 (3.25)

63

şeklinde yazılabilir. Ã_ nin bulunmasında kullanılan işlemlere benzer olarak Ã^ için kullanılırsa,

eşitliği bulunur. Kısmî integrasyondan

Ã^ = ÷(z)_´( + z, ) + | ÷(8)2_º

» P

M−_´( + 8, )S

olur. Burada _´ fonksiyonu, [, '] de azalan olduğundan −´ bu aralıkta artandır.

dolayısıyla 2_ºM−_´( + 8, )S pozitiftir. Böylece integral altında (3.24) eşitsizliğini kullanabiliriz. buna göre

|Ã^| ≤ |÷(z)|_´( + z, ) + ||÷(8)|2_º

dir. Tekrar kısmî integrasyon uygulanırsa

|Ã^| ≤ (% + 1)( | 8^ñ_´( + 8, )2

» P

8

olup yine 8 = « −  ve sonra 8 = « dönüşümü ile

64

elde edilir. Öte yandan (3.20) ve (3.27) eşitsizlikleri birleştirilirse

|Ã_| + |Ã^| ≤ (% + 1)( | |8 − |^ñ_´(8, )2

yazılabilir. Son eşitlikte Hölder eşitsizliği kullanılırsa

|Ã_| + |Ã^| ≤ (% + 1)( ý | |8 − |^ñ_´^úñ(8, )€

65

≤ (% + 1)( © | |8 − |^ú_´(8, )28

XB»

X¥»

ô

ñú

= (% + 1)( Ÿ∆_´^úñ  (3.29)

elde edilir. Son olarak (3.29), |Ã^_| ve |Ã| yerlerine yazılırsa üv_´(6; ) −¦() + í()

2 ü ≤ (% + 1)( Ÿ∆_´^úñ 

+ _´( − z, )½*6*_c‚(–,•)+ |í()|(' − )¿

+ _´( + z, )½*6*c‚(–,•)+ |¦()|(' − )¿

bulunur. t → ∞ iken (3.21) ve (3.28) den istenilen sonuç elde edilir.

Aynı yöntemle aralığın herhangi bir sınırı sonsuz olduğunda aşağıdaki teorem ispat edilmiştir.

Teorem 3.1.3: 6 ∈
_(, ∞) olsun. Negatif olmayan _´ fonksiyonu Teorem 3.1.2 deki ) − 2) şartlarını ve t → ∞ iken belirli z > 0 için

| _´(8, )28

R XB»

= @ Ÿ∆_´^úñ  , (0 ≤ % ≤ ø)

koşulunu sağlasın. Bu taktirde verilmiş x noktasında 6 fonksiyonu için

|[6( + 8) − ¦()]28 = @(ℎ^ñB)

Û P

, (ℎ → 0)

ve

66

|[6( − 8) − í()]28 = @(ℎ^ñB)

Û P

, (ℎ → 0)

koşulları sağlandığında ve t → ∞ iken

üv_´(6; ) −¦() + í()

2 ü = @ Ÿ∆_´^ñú 

ifadesi gerçeklenir.

İspat: İspat için Teorem 3.1.2 den yararlanarak, benzer şekilde à integrali yerine

|[6(8) − ¦()]_´(8, )28

R XB¼

alınarak sadece bu integrali bulmak yeterlidir.

à = |[6(8) − ¦()]_´(8, )28

R XB¼

|Ã| ≤ ||6(8)|´(8, )28

R XB¼

+ |¦()| | _´(8, )28

R XB¼

bulunur. _´(8, ), (, ∞) aralığında azalan olduğundan

|Ã| ≤ _´( + δ, ) ||6(8)|28

R XB¼

+ |¦()| | _´(8, )28

R XB¼

elde edilir. Hipotezden t → ∞ iken

67 à = *6*_c‚(–,R)@ Ÿ∆_´^úñ  + |¦()|@ Ÿ∆_´^úñ 

olur ki buda ispatı tamamlar.

Şimdi Teorem 3.1.1 yardımıyla daha genel ve önemli bir teorem ispatlayacığız.

ò ∈
_(, ') ve ò nun Lebesgue noktalarının kümesi ܧ_ఘ olsun. Buna göre  ∈ ܧ_ఘ olmak üzere

_´(ò; ) = | ò(8)_´(8, )28

•

–

integral operatörler ailesi, _´(8, ) çekirdeği A-şartını sağlıyorsa, t → ∞ için, ò() e yakınsaktır. _ఘ^Ç nun Lebesgue noktalarının kümesi ܧ^೑

ഐ olsun. Bu taktirde hem ò nun hemde ^Ç

ఘ nin Lebesgue noktalarının kümesi, ܧ = ܧ_ఘ ∩ ܧ^೑

ഐ olur. Bundan hareketle, 6 ∉
_(, ') olduğu zaman,

_´(6; ) = | 6(8)_´(8, )28

•

–

integral operatörünün  ∈ ܧ noktasında t → ∞ için 6() e yakınsaklığını veren aşağıdaki teorem elde edilmiştir. Yani daha önce verilen teoremlerden farklı olarak

_(, ') uzayında olmayan fonksiyonlara yaklaşımın varlığı gösterilmiştir.

Teorem 3.1.4: Kabul edelim ki ò > 0 ve 6 ∉
_(, ') olmak üzere, ^Ç_ఘ∈
_(, ') olsun. Negatif olmayan _´(8, ) çekirdeği Tanım 3.1.1 in şartlarını yani A-şartını sağlasın. Aynı zamanda ò ve _´(8, ) fonksiyonları t ye göre, hemen hemen her yerde türevlenebilir fonksiyon ve belirli x ve t için

68 ò^ᇱ(8) ߲

߲8 ^´(8, ) > 0 (3.30)

olsun. Bu taktirde  ∈ ܧ Lebesgue noktasında (3.1) integrali 6() e yakınsaktır. Yani

´→Rlim
_´(6; ) = 6()

dir.

Not: 6 ∈
_(, ') olduğunda, ò(8) = 1 alınabilir. Bu durumda (3.30) ifadesine ihtiyaç yoktur.

İspat: (3.1) in sağındaki integralin içindeki ifade ò(8) ile çarpıp bölünürse;

_´(6; ) = |6(8)

ò(8) ò(8)^´(8, )28

•

–

olur ve bu durumda

_´(6; ) − 6() = | ቈ6(8)

ò(8) −6()

ò()቉ ò(8)^´(8, )28

•

–

+ 6()

ò() ï| ò(8)^´(8, )28

•

–

− ò()ð (3.31)

yazılabilir. Diğer yandan ^Ç_ఘ∈
_(, ') ve x de ^Ç_ఘ nin Lebesgue noktası olduğundan;

Û→Plim| ü6( + 8)

ò( + 8) −6() ò()ü 28

Û P

= 0

ve

69

eşitsizlikleri sağlanır. Bu belirlenen z sayısına göre, _´(8, ) in pozitif olmasından dolayı (3.31) ifadesi,

şeklinde yazılabilir. Burada belirtelimki, ܧ de olan her x noktası ò nun da Lebesgue noktasıdır. Çünkü ò, [, '] aralığında türevlenebilir olduğundan aynı zamanda

_(, ') uzayındadır. O halde, bu x noktasında önceki teoreme göre,

´→Rlim| ò(8)_´(8, )28

•

–

= ò()

70

71

≤ ò( + z)_´( + z, ) ൥l6

òl_c‚(–,•)+ ü6()

ò()ü (' − )൩

elde edilir. Böylece

Ã_,´+ Ã_",´ < ò( + z)_´( + z, ) ൥l6

òl_c‚(–,•)+ ü6()

ò()ü (' − )൩

+ ò( − z)_´( − z, ) ൥l6

òl_c‚(–,•)+ ü6()

ò()ü (' − )൩

elde edilir. Tanım 3.1.1 in 0) şartından

´→RlimMÃ_,´+ Ã_",´S = 0 (3.35)

bulunur. Şimdi de Ã_,´ integralini hesaplayalım.

Bir ߔ fonksiyonu

ߔ(8) = | ü6( − «)

ò( − «) −6() ò()ü 2«

º P

şeklinde tanımlansın. (3.33) eşitsizliğinden, 8 ≤ z için

ߔ(8) < (8 (3.36)

eşitsizliği sağlanır. Ayrıca ߔ nin t ye göre diferensiyeli;

2ߔ(8) = ü6( − 8)

ò( − 8) −6()

ò()ü 28 (3.37)

72

dir. Öte yandan, Ã_,´ integralinde 8 =  − « dönüşümü yapılır ve sonra « = 8 alınırsa,

Ã_,´= | ü6( − 8)

ò( − 8) −6()

ò()ü ò( − 8)^´( − 8, )28

» P

elde edilir. Bu ifadede (3.37) kullanılırsa

Ã_,´= | ò( − 8)_´( − 8, )2ߔ(8)

» P

yazılabilir. Burada kısmî integrasyon uygulanırsa

Ã_,´= ߔ(z)ò( − z)_´( − z, ) + | ߔ(8)2_ºMò( − 8)_´( − 8, )S

» P

elde edilir. (3.30) dan eşitsizliğin sağındaki integralde diferensiyel pozitiftir. Böylece (3.36) dan

Ã_,´≤ (zò( − z)_´( − z, ) + ε | 82_ºMò( − 8)_´( − 8, )S

» P

yazılabilir. Tekrar kısmî integrasyon yardımıyla;

Ã_,´≤ ε | ò( − 8)_´( − 8, )28

» P

elde edilir. Burada  − 8 = « ve sonra 8 = « dönüşümü yapılırsa;

Ã_,´≤ ε | ò(8)_´(8, )28

X X¥»

73 eşitsizliği elde edilir. ò ve _´ pozitif olduğundan

Ã_,´≤ ε | ò(8)_´(8, )28

•

–

(3.38)

yazılabilir. Son olarak à _,´ yı bulalım. Bunun için ߖ fonksiyonunu

ߖ(8) = | ü6( + «)

ò( + «) −6() ò()ü 2«

º P

şeklinde tanımlayalım. (3.32) den 8 ≤ z olduğunda

ߖ(8) < (8 (3.39)

yazılabilir. Ayrıca

2ߖ(8) = ü6( + 8)

ò( + 8) −6() ò()ü 28

dir. Ã _,´ integralinde 8 =  + « ve sonra 8 = « dönüşümü yapılırsa

à _,´= | ü6( + 8)

ò( + 8) −6()

ò()ü ò( + 8)^´( + 8, )28

» P

integrali bulunur. Burada ߖ(8) nin diferensiyeli kullanılırsa

à _,´= | ò( + 8)_´( + 8, )2ߖ(8)

» P

olur. Kısmî integrasyon uygulanırsa

74

à _,´= ߖ(z)ò( + z)_´( + z, ) + | ߖ(8)2_ºM−ò( + 8)_´( + 8, )S

» P

elde edilir. Tanım 3.1.1 in ') koşulundan ve (3.30) dan ò( + 8)_´( + 8, ) bu aralıkta azalandır. Dolayısıyla −ò( + 8)_´( + 8, ) artan olup diferensiyeli pozitiftir. O halde (3.39) kullanılabilir olup

à _,´≤ (zò( + z)_´( + z, ) + ε | 82_ºM−ò( + 8)_´( + 8, )S

» P

elde edilir. Sağdaki integrale tekrar kısmî integrasyon uygulanırsa

à _,´≤ ε | ò( + 8)_´( + 8, )28

» P

elde edilir ki burada 8 =  − « ve sonra 8 = « dönüşümüyle

à _,´≤ ε | ò(8)_´(8, )28

XB»

X

bulunur. ò ve _´ fonksiyonları pozitif olduğundan

à _,´≤ ε | ò(8)_´(8, )28

•

–

(3.40)

yazılabilir. Böylece (3.38) ve (3.40) toplanırsa

Ã_,´+ Ã _,´≤ 2ε | ò(8)_´(8, )28

•

–

75

olduğundan bu integral sınırlıdır. Dolayısıyla her belirli x ve tüm t lar için

| ò(8)_´(8, )28

•

–

integrali sınırlıdır. Yani öyle bir N sabiti bulunur ki,

Ã_,´+ Ã _,´≤ (N (3.41)

76

dir. Son olarak (3.35) ve (3.41) ifadelerinden t → ∞ için (3.34) sıfıra yakınsaktır.

Yani

|
_´(6; ) − 6()| ≤ ò( + z)_´( + z, ) ൥l6

òl_c‚(–,•) + ü6()

ò()ü (' − )൩

+ ò( − z)_´( − z, ) ൥l6

òl_c‚(–,•)+ ü6()

ò()ü (' − )൩

+ (N + ü6()

ò()ü š| ò(8)^´(8, )28

•

–

− ò()š

olup eşitsizliğin sağ tarafı sıfıra yakınsaktır ve dolayısıyla

´→Rlim
_´(6; ) = 6()

dir.

Bu teoremde  = −∞ ve ' = ∞ olduğunda aşağıdaki teorem elde edilmiştir.

Teorem 3.1.5: ò > 0 fonksiyonu, ò ∈
_(−∞, ∞) ve 6 ∉
_(−∞, ∞) olmak üzere,

Ç

ఘ ∈
_(−∞, ∞) olsun. Negatif olmayan _´(8, ) çekirdeği Tanım 3.1.1 in şartlarını yani A-şartını ve her belirli z > 0 için

´→Rlim | _´(8, )28

X¥»

¥R

= 0 (3.42)

ve

´→Rlim | _´(8, )28

R XB»

= 0 (3.43)

77

şartlarını sağlasın. Ayrıca ò ve _´(8, ) fonksiyonları t ye göre, hemen hemen her yerde türevlenebilir fonksiyon ve her belirli x ve t için

ò^ᇱ(8) ߲

߲8 ^´(8, ) > 0

koşulu sağlanıyorsa, bu taktirde  ∈ ܧ noktasında

´→Rlim
_´(6; ) = 6()

dir.

İspat: Yukarıdaki teoremin ispatında olduğu gibi aynı işlemler buradada yapılabilir.

O zaman

eşitsizliği yazılabilir. (3.30) ve Tanım 3.1.1 in ') şartından;

Ã_,´ < | ü6(8)

78 ve aynı zamanda

Ã_",´ ≤ ò( + z)_´( + z, ) l6

òl_c‚(¥R,R)+ ü6()

ò()ü ò( + z) | ^´(8, )28

R XB¼

eşitsizlikleri elde edilir. Ã_,´ ve Ã_",´ toplanır t → ∞ için limit alımırsa, (3.42), (3.43) ve Tanım 3.1.1 in 0) koşulundan

´→RlimMÃ_,´+ Ã_",´S = 0

bulunur. Diğer yandan Ã_,´ ve à _,´ integralleri de yukarıdaki teoremin ispatına benzer şekilde yapılırsa

Ã_,´+ Ã _,´< (N

bulunabilir. Bu değerler yerine yazılırsa;

|
´(6; ) − 6()| ≤ l6

òl_c‚(¥R,R)[ò( − z)´( − z, ) + ò( + z)´( + z, )]

+ ü6()

ò()ü ïò( − z) | ^´(8, )28

X¥»

¥R

+ ò( + z) | _´(8, )28

R XB¼

ð

+ ü6()

ò()ü Æ | ò(8)^´(8, )28

R

¥R

− ò()Æ

+(N

elde edilir. Şimdi burada t → ∞ için limit alınırsa, Teoremin hipotezinden yani (3.42) ve (3.43) den aynı zamanda da Tanım 3.1.1 in 0) koşulundan yukarıdaki eşitsizliğin sağındaki ifade sıfıra yakınsak olup istenilen elde edilmiştir. Yani

79

´→Rlim
_´(6; ) = 6()

dir.

Bu kesimin son teoremi ise yakınsaklık hızı ile ilgili olan aşağıdaki teorem verilmiştir.

Teorem 3.1.6: ò > 0, ò ∈
_(, '), 6 ∉
_(, ') ve ^Ç_ఘ ∈
_(, ') olsun. Negatif olmayan _´(8, ) çekirdeği aşağıdaki şartları sağlasın.

1) Belirli bir t ve x için _´ fonksiyonu t ye göre [, ] aralığında artan, [, ']

aralığında azalandır.

2) z > 0, % ≥ 0 ve t → ∞ için

∆_´= | |8 − |^ñ_´(8, )28

XB¼ X¥¼

⟶ 0 (3.44)

dir.

3) İstenilen z > 0 ve t → ∞ için

_´( ± z, ) = @(∆_´) (3.45)

dir.

Ayrıca

| ò(8)_´(8, )28

X

–

= Ã() (3.46)

80

| ò(8)_´(8, )28

• X

= ܤ() (3.47)

mevcut olsun. ò ve _´ fonksiyonları t ye göre hemen hemen her yerde türevlenebilir fonksiyonlar ve her belirli x ve t için

ò^ᇱ(8) ߲

߲8 ^´(8, ) > 0 yani (3.30) koşulu sağlansın.

Sonlu Φ() ve Ψ() değerleri ^Ç_ఘ fonksiyonu için belirli bir x noktasında ℎ → 0 iken

| ü6( + 8)

ò( + 8) − ߔ()ü 28 = @(ℎ^ñB)

Û P

, (ℎ → 0) (3.48)

ve

| ü6( − 8)

ò( − 8) − ߖ()ü 28 = @(ℎ^ñB)

Û P

, (ℎ → 0) (3.49)

şartları sağlanıyorsa bu taktirde aynı x noktasında (3.1) yani

_´(6; ) = | 6(8)_´(8, )28

•

–

integrali için t → ∞ iken

|
´(6; ) − [ߖ()Ã() + ߔ()ܤ()]| = @(∆´) eşitliği sağlanır.

81

eşitsizlikleri sağlanır. Belirlenen z ya göre (3.46), (3.47) ve teoremin 1) şartından;

|
_´(6; ) − [Ψ()Ã() + Φ()ܤ()]| ≤ | ü6(8)

82

elde edilir. Aynı metodla, [ + z, '] aralığında _´ fonksiyonunun azalan olmasından ve (3.30) dan,

ܤ_",´< ò( + z)_´( + z, ) ൝l6

òl_c‚(–,•)+ |ߔ()|(' − )ൡ (3.54)

bulunur. Önceki teoremin ispatına benzer olarak şimdi de ܤ_,´ ve ܤ _,´ integrallerini hesap edelim. Bunun için bir ÷ fonksiyonu

÷(8) = | ü6( − «)

83 olur. Buradan

2÷(8) = ü6( − 8)

ò( − 8) − ߖ()ü 28

olduğu açıktır. Buna göre ܤ_,´ 8 =  − « dönüşümü yapılır ve sonra da 8 = « alınırsa

ܤ_,´ = | ò( − 8)_´( − 8, )2÷(8)

» P

olur. Kısmî integrasyondan

ܤ_,´ = G(δ)ò( − z)_´( − z, ) + | ÷(8)2_ºMò( − 8)_´( − 8, )S

» P

olup sağdaki integralin içindeki ifade pozitif olduğundan (3.55) eşitsizliği kullanılabilir ve böylece

ܤ_,´ ≤ (z^ñBò( − z)_´( − z, ) + ε | 8^ñB2_ºMò( − 8)_´( − 8, )S

» P

elde edilir. Eşitsizliğin sağındaki integral için tekrar kısmî integrasyon uygulanır ve (3.30) dan,

ܤ_,´ ≤ (% + 1)ò()ε | 8^ñ_´( − 8, )28

»

P

elde edilir. Burada « =  − 8 dönüşümü yapılır ve sonra « = 8 alınırsa;

ܤ_,´ ≤ (% + 1)ò()ε |( − 8)^ñ_´(8, )28

X X¥»

(3.56)

84

bulunur. Benzer şekilde ܤ _,´ integralini hesaplayalım. Öncelikle ܤ _,´ integraline 8 =  + « ve ardından « = 8 dönüşümü yapalım. Bu durumda ܤ _,´ integrali

ܤ _,´ = | ü6( + 8)

ò( + 8) − ߔ()ü ò( + 8)^´( + 8, )28

» P

şeklinde olur. Yine bu integralin hesaplanmasında yardımcı olacak bir ܪ fonksiyonu

ܪ(8) = | ü6( + «)

ò( + «) − ߔ()ü 2«

º P

biçimde tanımlansın. (3.50) dan 8 ≤ z için

ܪ(8) < (8^ñB (3.57)

yazılabilir. ܪ nın t ye göre diferensiyeli

2ܪ(8) = ü6( + 8)

ò( + 8) − ߔ()ü 28

dir. Bunun yardımıyla ܤ _,´ integrali

ܤ _,´ = | ò( + 8)_´( + 8, )2ܪ(8)

» P

şeklinde yazılabilir. Burada kısmî integrasyon uygulanırsa,

ܤ _,´ = ܪ(z)ò( + z)_´( + z, ) + | ܪ(8)2_ºM−ò( + 8)_´( + 8, )S

» P

olduğu görülür. Eşitliğin sağındaki integralde diferensiyel, teoremin 1) koşulundan ve (3.30) dan pozitiftir. Dolayısıyla (3.57) kullanılabilir. Bu durumda

85

ܤ _,´ ≤ (z^ñBò( + z)_´( + z, ) + ε | 8^ñB2_ºM−ò( + 8)_´( + 8, )S

» P

bulunur. Yine kısmî integrasyon uygulanırsa,

ܤ _,´ ≤ (% + 1)ε | 8^ñò( + 8)_´( + 8, )28

» P

elde edilir. Son olarak 8 = « −  ve ardından « = 8 dönüşümü yapılırsa aynı zamanda ò bu aralıkta azalan olduğundan

ܤ _,´≤ (% + 1)ò()ε | (8 − )^ñ_´(8, )28

XB»

X

(3.58)

elde edilir. ܤ_,´ ve ܤ _,´ toplanırsa

ܤ_,´+ ܤ _,´ ≤ (% + 1)ò()ε | |8 − |^ñ_´(8, )28

XB»

X¥»

= ε(% + 1)ò()∆_´ (3.59)

bulunur. Son olarak bu ifadeler yerlerine yazılırsa yani (3.53), (3.54) ve (3.59) değerleri (3.52) de yerlerine yazılırsa,

|
_´(6; ) − [Ψ()Ã() + Φ()ܤ()]| ≤ ò( − z)_´( − z, ) l6

òl_c‚(–,•)

+ ò( − z)_´( − z, )|ߖ()|(' − ) + ò( + z)_´( + z, ) l6

òl_c‚(–,•)

86

+ ò( + z)_´( + z, )|ߔ()|(' − ) + ε(% + 1)ò()∆_´

olur. Burada eşitsizliğin her iki tarafı ∆_´ ya bölünürse,

|
´(6; ) − [Ψ()Ã() + Φ()ܤ()]|

∆_´ ≤

ò( − z)_´( − z, ) l6òl_c‚(–,•)

∆_´

+ ò( − z)_´( − z, )|ߖ()|(' − )

∆_´

+

ò( + z)_´( + z, ) l6òl_c‚(–,•)

∆_´

+ ò( + z)_´( + z, )|ߔ()|(' − )

∆_´

+ ε(% + 1)ò()

elde edilir ki t → ∞ limit alınırsa ve teoremin 3) şartından da

´→Rlim

|
_´(6; ) − [Ψ()Ã() + Φ()ܤ()]|

∆_´ ≤@(∆_´)

∆_´ + ε(% + 1)ò()

´→Rlim

|
´(6; ) − [Ψ()Ã() + Φ()ܤ()]|

∆_´ ≤ ε(% + 1)ò()

bulunur. ε yeterince küçük sayı ve x belirli olduğundan ò() sabit sayı olup

´→Rlim

|
_´(6; ) − [Ψ()Ã() + Φ()ܤ()]|

∆_´ = 0

dır. Bu ise

87

|
´(6; ) − [Ψ()Ã() + Φ()ܤ()]| = @(∆´) anlamına gelir ki şu halde ispat tamamdır.

3.2. p-Lebesgue Noktasında Yakınsaklık ve Yakınsaklık Hızı

Bu kesimde 6 ∉
_(, ') ve  ≥ 1 olmak üzere

v_´(6, ) = | 6(8)_´(8, )28

•

–

(3.60)

integral operatör ailesinin aşağıda tanımlanan ^Ç

ఘ fonksiyonunun p-Lebesgue noktasında yakınsaklığı ve yakınsaklık hızı incelenecektir. Ayrıca bir teoremde 6 ∈
_(, ') için verilecektir.

Teorem 3.2.1: Kabul edelim ki ò > 0, 6 ∉
_(, ') olmak üzere ^Ç_ఘ ∈
_(, ') olsun. Negatif olmayan _´ fonksiyonu Tanım 3.1.1 i yani A-şartını sağlasın. Ayrıca ò ve _´ fonksiyonları t ye göre, hemen hemen her yerde türevlenebilir fonksiyon ve belirli x ve t için (3.30) yani

ò^ᇱ(8) ߲

߲8 ^´(8, ) > 0 sağlanıyorsa bu durumda ^Ç

ఘ fonksiyonunun her p-Lebesgue noktasında

´→Rlimv_´(6, ) = 6() gerçeklenir.

88

89

şeklinde yazılabilir. Burada Hölder Eşitsizliği uygulanırsa;

|v_´(6, ) − 6()| ≤ —| ฬ6(8)

elde edilir. Ayrıca a ve b pozitif sayılar olmak üzere

( + ')^ ≤ 2^(^+ '^) (3.63)

bulunur. Yukarıda belirlenen z sayısına göre

90 [ + z, '] aralığında azalan olması kullanılırsa,

91

ܧ_,´+ ܧ_",´ ≤ 2^Cò( − z)´( − z, ) + ò( + z)´( + z, )D

. ൥l6

òl_c(–,•)

 + ü6() ò()ü



(' − )൩ (3.65)

elde edilir. Şimdi ܧ_,´ integralini hesaplayalım. Bunun için

ܤ(8) = | ฬ6( − «)

ò( − «) −6() ò()ฬ

2«

º P

biçiminde bir B fonksiyonu tanımlayalım. (3.62) eşitsizliğinden ∀( > 0 için ∃z > 0 vardır öyleki ℎ ≤ z olduğunda

ܤ(8) < (^8

eşitsizliği vardır. ܧ_,´ integraline 8 =  − « ve ardından « =  dönüşümü uygulanırsa

ܧ_,´ = | ฬ6( − 8)

ò( − 8) −6() ò()ฬ

ò( − 8)_´( − 8, )28

» P

elde edilir. ܤ fonksiyonunun diferensiyelinden ܧ_,´ integrali ܧ_,´ = | ò( − 8)_´( − 8, )2ܤ(8)

» P

şeklinde yazılabilir. Burada önceki teoremlerin ispatlarına benzer olarak kısmî integrasyon uygulanması ve _´(8, ) çekirdeğinin pozitifliğinin kullanılmasıyla

ܧ_,´ ≤ (^ò() | _´(8, )28

•

–

(3.66)

92 eşitsizliği bulunur. Benzer şekilde ܧ _,´ integralide

ܧ _,´ ≤ (^ò() | _´(8, )28

hipotezlerinden yola çıkarak t → ∞ için limit alınırsa

|v´(6, ) − 6()|^ ≤ N_M_´( − z, ) + ´( + z, )S + N(^ ⟶ 0 elde edilir. Yani

93

´→Rlimv_´(6, ) = 6()

bulunur ki buda ispatı tamamlar.

Not: _´(8, ) çekirdeği, yukarıdaki teoremin koşullarına ilaveten t → ∞ için

| ò(8)_´(8, )28

R XB»

⟶ 0

ve

| ò(8)_´(8, )28

X¥»

¥R

⟶ 0

koşullarını da sağlıyorsa Teorem 3.2.1 (, ') = (−∞, ∞) içinde geçerlidir.

Teorem 3.2.2: 6 ∈
_(, '),  ≥ 1 ve negatif değerler almayan _´ fonksiyonu Teorem 3.1.2 in şartlarını sağlasın. Eğer ℎ → 0 iken x noktasında

||6( + 8) − ¦()|^28 = @(ℎ^ñB)

Û P

, (ℎ → 0) (3.68)

ve

||6( − 8) − í()|^28 = @(ℎ^ñB)

Û P

, (ℎ → 0) (3.69)

şartları sağlanıyorsa, bu durumda t → ∞ iken (3.68) ve (3.69) ifadelerini gerçekleyen x noktasında

üv_´(6; ) −¦() + í()

2 ü = @ Ÿ∆_´^ñú  (3.70)

ifadesi gerçeklenir.

94 İspat: Teorem 3.1.2 ye göre (3.70) ifadesini

üv_´(6; ) −¦() + í()

biçiminde yazılabilir. Hölder eşitsizliğinden

üv_´(6; ) −¦() + í()

elde edilir. Burada düzenleme yapılırsa

12 üv^´(6; ) −¦() + í()

95

= ܤ_+ܤ (3.71)

eşitsizliği elde edilir. ܤ_ ve ܤ integralleri Teorem 3.1.2 in ispatındaki gibi hesap edilir. (3.69) a göre istenilen ( > 0 için öyle bir z_P > 0 seçilebilir ki ℎ < z ≤ z_P olduğunda

ℎ^ñB1 š||6( − 8) − í()|^28

Û P

š < ( (3.72)

dir.

ܪ(8) = ||6( − «) − í()|^2«

º P

ile tanımlı bir ܪ fonksiyonu (3.72) eşitsizliğine göre 8 ≤ z için

|ܪ(8)| < (8^ñB

dir.Aynı zamanda

2ܪ(8) = |6( − 8) − í()|^28

olduğu görülür. Belirlenen z sayısına göre, ܤ_ integrali

ܤ_ = —| +

X¥»

–

|

X X¥»

˜ |6(8) − í()|^_´(8, )28 = ܤ_^+ ܤ_

şeklinde yazılabilir. Buradan

ܤ_ = ||6(8) − í()|^_´(8, )28

X X¥»

integralinde 8 =  − ݒ dönüşümü yapılır ve sonra 8 = ݒ alınırsa

96 ܤ_ = ||6( − 8) − í()|^_´( − 8, )28

» P

integrali elde edilir. Teorem 3.1.2 in ispatındaki gibi devam edilirse

|ܤ_| ≤ (z + 1)( |( − 8)^ñ_´(8, )28

X X¥»

(3.73)

eşitsizliği elde edilir. Diğer yandan

|ܤ_^| = ||6(8) − í()|^_´(8, )28

X

–

≤ 2^_´( − z, ) ï||6(8)|^28 +

•

–

|í()|^(' − )ð

≤ 2^_´( − z, ) Ó*6*_c^_(–,•)+ |í()|^(' − )Õ

olup Teorem 3.1.2 in ') şıkkından t → ∞ olduğunda z > 0 için

ܤ_^ = @ Ÿ∆_´^ñú  (3.74)

bulunur. Benzer şekilde

ܤ = —| +

XB»

X

|

• XB»

˜ |6(8) − ¦()|^_´(8, )28 = ܤ^+ ܤ

şeklinde yazılabilir. Yine yukarıdaki benzer yöntemle

97

|ܤ^| ≤ (z + 1)( | (8 − )^ñ_´(8, )28

XB»

X

(3.75)

ve

|ܤ| ≤ 2^_´( + z, ) Ó*6*_c^_(–,•)+ |í()|^(' − )Õ (3.76)

olduğu görülür. ܤ_^, ܤ_, ܤ^, ve ܤ ifadeleri (3.71) de yerine yazılırsa,

1

2 üv^´(6; ) −¦() + í()

2 ü^ ≤ (z + 1)( | |8 − |^ñ_´(8, )28

XB»

X¥»

+2^_´( − z, ) Ó*6*_c^_(–,•)+ |í()|^(' − )Õ +2^_´( + z, ) Ó*6*_c^_(–,•)+ |í()|^(' − )Õ

elde edilir ki eşitsizliğin sağındaki ilk terim ∆_´ ya eşittir. Bu ifadeye Hölder eşitsizliği uygulanırsa

1

2 üv^´(6; ) −¦() + í()

2 ü^ ≤ (z + 1)( Ÿ∆_´^úñ 

+2^_´( − z, ) Ó*6*_c^_(–,•)+ |í()|^(' − )Õ +2^_´( + z, ) Ó*6*_c^_(–,•)+ |í()|^(' − )Õ

bulunur. Böylece t → ∞ olduğunda Teorem 3.1.2 nin 2) şıkkından istenilen sonuç elde edilir.

Teorem 3.2.3: −∞ <  < ' < ∞, ò > 0, ò ∈
_(, '), 6 ∉
_(, ') ve ^Ç_ఘ∈

_(, ') olsun. Negatif olmayan _´(8, ) çekirdeği aşağıdaki şartları sağlasın.

98

1) Belirli bir t ve x için _´ fonksiyonu t ye göre [, ] aralığında artan, [, ']

aralığında azalandır.

2) z > 0, % ≥ 0 ve t → ∞ için

∆_´= | |8 − |^ñ_´(8, )28

XB¼ X¥¼

⟶ 0

dir.

3) İstenilen z > 0 ve t → ∞ için

_´( ± z, ) = @(∆´) dir.

4)

| ò(8)_´(8, )28

X

–

= N()

ve

| ò(8)_´(8, )28

• X

= ()

mevcut olsun. Aynı zamanda ò ve _´ fonksiyonları t ye göre hemen hemen her yerde türevlenebilir fonksiyonlar ve her belirli x ve t için (3.30) yani

ò^ᇱ(8) ߲

߲8 ^´(8, ) > 0 koşulunu sağlansın.

Sonlu %() ve &() değerleri _ఘ^Ç fonksiyonu için belirli bir x noktasında ℎ → 0 iken

99

şartları sağlanıyorsa bu taktirde aynı x noktasında t → ∞ için

|v_´(6; ) − [%()N() + &()()]| = @ Ÿ∆_´^ 

eşitliği sağlanır.

İspat: Teoremin 4. koşulundan,

|v_´(6; ) − [%()N() + &()()]| ≤ | ü6(8)

100

elde edilir. (3.63) eşitsizliğinden yararlanarak

|v_´(6; ) − [%()N() + &()()]|^ ≤ 2^—| ü6(8)

101

= 2^Mè_,´+ è_,´+ è _,´+ è_",´S —| ò(8)_´(8, )28

•

–

˜

’

yazılabilir. Teoremin 1. şartından ve _´(8, ) pozitif olduğundan

è_,´≤ 2^ò( − z)_´( − z, ) —l6

òl_c(–,•)

£ + |%()|^(' − )˜

ve

è_",´ ≤ 2^ò( + z)_´( + z, ) —l6

òl_c(–,•)

£ + |&()|^(' − )˜

olduğu yukarıdaki teoremden açıktır. Yine önceki teoremlerin ispatlarına benzer şekilde (3.77), (3.78) ve kısmî integrasyondan

è_,´ ≤ (% + 1)(^ò() |( − 8)^ñ_´(8, )28

X

X¥»

ve

è _,´ ≤ (% + 1)(^ò() | (8 − )^ñ_´(8, )28

XB»

X

eşitsizlikleri kolaylıkla bulunabilir. è_,´, è_,´, è _,´ ve è_",´ ifadeleri yerlerine yazılırsa

|v_´(6; ) − [%()N() + &()()]|^ ≤ 2^ۃMò( − z)_´( − z, )S¬ l6

òl_c(–,•)

£

+Mò( − z)_´( − z, )S|%()|^(' − )

+Mò( + z)_´( + z, )S l6

òl_c(–,•)

£

102

+Mò( + z)_´( + z, )S|&()|^(' − )

+(% + 1)(^ò() | |8 − |^ñ_´(8, )28

XB»

X¥»

. —| ò(8)_´(8, )28

•

–

˜

’

olur. Burada N_, N, N sabitler olmak üzere

|v´(6; ) − [%()N() + &()()]|^ ≤ N__´( − z, ) + N_´( + z, ) + εN ∆_´

eşitsizliği elde edilir. eşitsizliğin her iki tarafı ∆_´ ya bölünürse

|v_´(6; ) − [%()N() + &()()]|^

∆_´ ≤ N__´( − z, )

∆_´ + N_´( + z, )

∆_´ + εN

buradan da t → ∞ için limite geçilirse, hipotezden, _´( ± z, ) = @(∆_´) olduğundan

0 ≤ lim_´→R |v_´(6; ) − [%()N() + &()()]|^

∆_´ ≤ εN

´→R lim

|v_´(6; ) − [%()N() + &()()]|^

∆_´ = 0

|v_´(6; ) − [%()N() + &()()]|^= @(∆_´)

veya

|v_´(6; ) − [%()N() + &()()]| = @(∆_´^) elde edilir ki buda ispatı tamamlar.

103 3.3. Süreklilik Noktasında Yakınsaklık

Bu kesimde 6 ∈
_(, ') olmak üzere, (3.1) yani

_´(6; ) = | 6(8)_´(8, )28

•

–

,  ≤  ≤ ' , t > 0

integral operatör ailesinin, 6 fonksiyonunun süreklilik noktasında yakınsaklığı incelenmiştir.

Teorem 3.3.1: 6 ∈
_(, ') olsun. Negatif olmayan _´ fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlasın.

1)

´→Rlim| _´(8, )28

•

–

= 1 ,  <  < ' , t > 0

2) Her belirli x ve t sayısı için, _´(8, ) çekirdeği t ye göre [, ] aralığında artan, [, '] aralığında azalandır.

3) ∀8 ≠  için,

´→Rlim_´(8, ) = 0

dir.

Eğer x, 6 nin süreklilik noktası ise bu taktirde,

´→Rlim
_´(6, ) = 6() dir.

104

İspat: x süreklilik noktası olduğundan dolayı, keyfi ( > 0 verildiğinde öyle bir z > 0 sayısı bulunur ki, |8 − | < z olduğunda

|6(8) − 6()| < ( (3.79) dur. z yı belirledikten sonra (3.1) ifadesi, teoremin 1) koşulundan,

|
_´(6, ) − 6()| ≤ —|

yazılabilir. Öncelikle N_,´integralini hesap edelim. (3.79) dan

N_,´= | |6(8) − 6()|_´(8, )28

elde edilir. Diğer yandan

N_,´+ N _,´= | |6(8) − 6()|_´(8, )28

105 eşitliğinde teoremin 2) koşulu kullanılırsa,

N_,´+ N _,´< _´( − z, ) | |6(8) − 6()|28

ifadesi bulunur. Böylece (3.81) ve (3.82), (3.80) de yerlerine yazılırsa,

|
_´(6, ) − 6()| ≤ C_´( − z, ) + _´( + z, )D½*6*_c‚(–,•)+ |6()|(' − )¿ elde edilir. Bu durumda ispat tamamdır.

Teorem 3.3.2: 6 ∈ N[–¥ఓ,•Bఓ] olsun. Negatif olmayan _´ fonksiyonu;

106 1)

–WXW•sup š| _´(8, )28

•

–

− 1 š ⟶ 0 (t → ∞ )

2) Her belirli x ve t sayısı için, _´(8, ) çekirdeği t ye göre [, ] aralığında artan, [, '] aralığında azalandır.

3) ∀z > 0 için

´→Rlim sup

–WXW•|_´( ± z, ) | = 0

koşullarını sağlasın. Bu durumda t → ∞ için

_´(6, ) ⇉ 6() ,  ≤  ≤ '

dir. Yani

–WXW•sup |
_´(6, ) − 6()| ⟶ 0 (t → ∞ )

gerçeklenir.

İspat: 6 fonksiyonu [ − ߤ, ' + ߤ] aralığında sürekli ise [, '] aralığında düzgün süreklidir. Yani ∀( > 0 için öyle bir z = z(() sayısı vardır ki ∀8,  ∈ [, '] için

|8 − | < z olduğunda |6(8) − 6()| < ( dur. Kabul edelimki z < ߤ olsun.

Teoremin 1. koşulundan

|
_´(6, ) − 6()| ≤ ||6(8) − 6()|_´(8, )28

•

–

+ |6()| š| _´(8, )28

•

–

− 1 š

olur ve belirlenen z ya göre

107

yazılabilir. Bir önceki teoremin ispatında olduğu gibi

_,´≤ ( | _´(8, )28

eşitsizlikleri bulunur. Bu değerler yukarıda yerlerine yazılırsa

|
_´(6, ) − 6()| ≤ ( ï| _´(8, )28

108

–WXW•sup |
_´(6, ) − 6()| ≤ ( sup

–WXW•ï| _´(8, )28

•

–

− 1 ð + (

+ sup

–WXW•C´( − z, ) + ´( + z, )D . ൤*6*_c‚(–,•)+ sup

–WXW•|6()|(' − )൨

+ sup

–WXW•|6()| sup

–WXW•—| _´(8, )28

•

–

− 1 ˜

elde edilir ki buradan

–WXW•sup |
_´(6, ) − 6()| = ( sup

–WXW•ï| _´(8, )28

•

–

− 1 ð + (

+ ൜ sup

–WXW•_´( − z, ) + sup

–WXW•_´( + z, )ൠ . Ó*6*_c‚(–,•)+ *6*_஼[ೌ,್](' − )Õ

+*6*_஼[ೌ,್] sup

–WXW•—| _´(8, )28

•

–

− 1 ˜

bulunur. ∀z > 0 için _´( ± z, ) sıfıra düzgün yakınsak olduğundan λ → ∞ iken

–WXW•sup |
_´(6, ) − 6()| ⟶ 0 sağlanır. Buda ispatı tamamlar.

109

4. KONVOLÜSYON TİPLİ OLMAYAN NON-LİNEER İNTEGRAL OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE

Bu bölümde, 6 ∈
_ < Ã, ܤ >, Λ boş olmayan bir indis kümesi ve t_P bu kümenin bir yığılma noktası, < , ' > ve < Ã, ܤ > aralıkları , nin herhangi bir tipindeki keyfi alt aralıkları olmak üzere (, t) → (_P, t_P) iken

v_´(6; ) = | _´(8, , 6(8))28

஻

஺

,  ∈< , ' > , t ∈ Λ

integral operatör ailesinin 6 fonksiyonunun bazı _P karakteristik noktalarında noktasal yakınsaklık ve yakınsaklık hızı verilecektir.

Not: Bu bölümdeki < Ã, ܤ > ve < , ' > aralıkları , reel sayılar kümesinin herhangi bir tipindeki alt aralıklarıdır. Örneğin < Ã, ܤ >= (−∞, ), < Ã, ܤ >=

(−∞, ], < Ã, ܤ >= (, ') gibi aralıklardır.

4.1. Notasyonlar Ve Tanımlamalar

Λ boş olmayan bir indis kümesi, t > 0 bu küme üzerinde değişen reel parametre ve t_P bu kümenin bir yığılma noktası olsun. ÷ ⊂ , üzerinde ilk değişkene göre integrallenebilen _´: ÷ × ÷ × , ⟶ , fonksiyonları ele alalım. Her 8,  ∈ ÷ ve t ∈ Λ için _´(8, , 0) = 0 olsun. Buradaki  fonksiyonu çekirdek olarak adlandırılacaktır.

Tanım 4.1.1: Kabul edelimki _´: , × , × , ⟶ , fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlasın.

) ∀8, , «, ݒ ∈ , ve herhangi t ∈ Λ için
_´(8, ) bir fonksiyon olmak üzere

|_´(8, , «) − _´(8, , ݒ)| ≤
_´(8, )|« − ݒ|

110

dir. Ayrıca herbir t ∈ Λ ve herhangi bir  ∈< , ' > sabiti için
_´(8, ), t ye göre integrallenebilir olsun.

') Herhangi bir  ∈< , ' > sabiti için öyle bir _P ∈ < Ã, ܤ > vardır öyleki her Ë ∈ ࣯(_P) için

´→´limˆ |
_´(8, )28

K∖௎

= 0

dır. Burada ࣯(_P), _P ın , deki tüm komşuluklarının ailesidir.

0) Herhangi bir  ∈< , ' > sabiti için öyle bir _P ∈ < Ã, ܤ > vardır öyleki her

∀z > 0 için

´→´limˆ sup

º∈K∖࣯_ഃ(Xˆ)
_´(8, ) = 0

dır. Burada ࣯_»(_P) = (_P− z, _P+ z) dır.

2) Herhangi bir  ∈< , ' > sabiti için öyle bir _P ∈ < Ã, ܤ > ve z > 0 vardır öyleki herbir t ∈ Λ için
_´(8, ), t ye göre ¬< P− z, _P] üzerinde azalmayan ve [_P, _P+ z >¬ üzerinde artmayan bir fonksiyondur.

>) ∀« ∈ , için

(X,´)→(Xlimˆ,´ˆ)| _´(8, , «)28

K

= «

dır.

Bu tanımda ) şartında verilen tüm _´(8, , «) fonksiyonlarının sınıfına çekirdek denir.

111 4.2. Noktasal Yakınsaklık ve Yakınsaklık Hızı

_ < Ã, ܤ >, < Ã, ܤ > aralığında Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlar sınıfı olsun. 7 ∈
_(,) fonksiyonunu

7(8) = ൜6(8), 8 ∈ < Ã, ܤ >

0 , 8 ∉ < Ã, ܤ > ¬ (4.1)

şeklinde tanımlayalım.

Başlangıçta < Ã, ܤ > aralığının , de keyfi sonlu aralık olduğunu kabul edelim.

Teorem 4.2.1: Farz edelim ki _´(8, , «) çekirdeği Tanım 4.1.1 deki şartları sağlasın.

Ayrıca (, t) → (_P, t_P) iken

|
_´(8, )|8 − P|^ñ28

XˆB»

Xˆ¥»

⟶ 0 (4.2)

olsun. Eğer _P, 6 ∈
_ < Ã, ܤ > fonksiyonunun

Û→Plim^శ

ℎ^ñB1 ||6(_P+ 8) − 6(_P)|

Û P

28 = 0 , 0 ≤ % < 1 (4.3)

şartını sağlayan genelleştirilmiş Lebesgue Noktası ise bu durumda

(X,´)→(Xlim_ˆ,´ˆ)|v_´(6; ) − 6(_P)| = 0

dır.

İspat: ∀z > 0 için _P+ z < ܤ, _P− z > Ã olsun. õ(, t) ∶= v_´(6; ) − 6(_P) ile gösterilsin. (4.1) den ve Tanım 4.1.1 in >) şartından

112 yazılabilir. (4.5), (4.4) te yerine yazılırsa

|õ(, t)| ≤ |
_´(8, )|7(8) − 7(_P)|28

113

= õ_(, t) + õ(, t) + õ (, t) + õ_"(, t) + õ_#(, t)

yazılabilir. (4.1) den ve Tanım 4.1.1 in >) şartından (, t) → (_P, t_P) iken õ_#(, t) ⟶ 0 dır. õ(, t) integralini hesaplayalım.

õ(, t) = | |7(8) − 7(P)|
_´(8, )28

ழ஺,஻வ∖࣯ഃ(X_ˆ)

8 ∈ < Ã, ܤ >∖ ࣯_»(_P) üzerinden supremum alınırsa ve (4.1) den

õ(, t) ≤ sup

º∈ ழ஺,஻வ∖࣯ഃ(X_ˆ)
_´(8, ) | |6(8) − 6(_P)|28

ழ஺,஻வ∖࣯ഃ(X_ˆ)

elde edilir. Eşitsizliğin sağ tarafındaki integralde üçgen eşitsizliği uyulanırsa

õ(, t) ≤ sup

º∈ ழ஺,஻வ∖࣯ഃ(X_ˆ)
_´(8, ) | (|6(8)| + |6(_P)|)28

ழ஺,஻வ∖࣯ഃ(X_ˆ)

≤ sup

º∈ ழ஺,஻வ∖࣯ഃ(X_ˆ)
_´(8, ) —||6(8)|28

஻

஺

+ |6(_P)| | 28

஻

஺

˜

≤ sup

º∈ ழ஺,஻வ∖࣯ഃ(X_ˆ)
_´(8, ) ½*6*c‚ழ஺,஻வ+ |6(_P)|(ܤ − Ã)¿ (4.6) elde edilir. Burada (, t) → (_P, t_P) iken limit alınırsa Tanım 4.1.1 in 0) şıkkından õ(, t) ⟶ 0 dır. Şimdi ise õ (, t) integralini hesaplayalım. Bunun için bir è fonksiyonu

è(8) ≔ | |6() − 6(_P)|2

Xˆ º

(4.7)

şeklinde tanımlansın. Bu durumda è(8) nin diferensiyeli

114 2è(8) = |6(8) − 6(_P)|28

olur. (4.3) e göre ∀( > 0 için ∃z > 0 bulunabilir öyle ki _P− 8 ≤ z olduğunda

è(8) ≤ ((_P− 8)^ñB (4.8)

dir.

õ (, t) = | |7(8) − 7(_P)|
_´(8, )28

Xˆ Xˆ¥»

integrali (4.1) den

õ (, t) = | |6(8) − 6(_P)|
_´(8, )28

Xˆ Xˆ¥»

yazılabilir. Burada è(8) nin diferensiyeli kullanılırsa

õ (, t) = |
_´(8, )2è(8)

Xˆ Xˆ¥»

elde edilir. (4.7) den

|õ (, t)| = š− |
´(8, )2è(8)

Xˆ Xˆ¥»

š

yazılabilir. Burada kısmî integrasyon uygulanırsa

|õ (, t)| ≤ |è(_P− z)|
_´(_P− z, ) + | |è(8)|2_ºM
_´(8, )S

Xˆ Xˆ¥»

115 elde edilir. (4.8) den

|õ (, t)| ≤ (z^ñB
_´(_P− z, ) + ε | (_P− 8)^ñB2_ºM
_´(8, )S

Xˆ Xˆ¥»

bulunur. Tekrar kısmî integrasyon uygulanırsa

|õ (, t)| ≤ ε(% + 1) | (_P− 8)^ñ
_´(8, )28

Xˆ Xˆ¥»

(4.9)

elde edilir. Benzer şekilde õ_"(, t) integrali de hesaplanabilir. Bunun için bir G fonksiyonu

÷(8) ≔ ||6() − 6(_P)|2

º Xˆ

(4.10)

şeklinde tanımlansın. Bu durumda ÷(8) nin diferensiyeli

2÷(8) = |6(8) − 6(_P)|28

olur. (4.3) e göre ∀( > 0 için ∃z > 0 bulunabilir öyle ki 8−_P ≤ z olduğunda

÷(8) ≤ ((8−_P)^ñB (4.11)

dir.

õ_"(, t) = | |7(8) − 7(_P)|
_´(8, )28

XˆB»

Xˆ

integrali (4.1) den

116 õ_"(, t) = | |6(8) − 6(_P)|
_´(8, )28

XˆB»

Xˆ

yazılabilir. Burada ÷(8) nin diferensiyeli kullanılırsa

õ_"(, t) = |
_´(8, )2÷(8)

XˆB»

Xˆ

elde edilir. (4.10) dan

|õ_"(, t)| = š− |
_´(8, )2÷(8)

XˆB»

Xˆ

š

yazılabilir. Burada kısmî integrasyon uygulanırsa

|õ_"(, t)| ≤ |÷(_P+ z)|
_´(_P+ z, ) + | |÷(8)|2_ºM
_´(8, )S

XˆB»

Xˆ

elde edilir. (4.11) den

|õ_"(, t)| ≤ (z^ñB
_´(_P+ z, ) + ε | (8 − _P)^ñB2_ºM
_´(8, )S

XˆB»

Xˆ

bulunur. Tekrar kısmî integrasyon uygulanırsa

|õ_"(, t)| ≤ ε(% + 1) | (8 − _P)^ñ
_´(8, )28

XˆB»

Xˆ

(4.12)

elde edilir. O halde (4.9) ve (4.12) birleştirilirse

117

|õ (, t)| + |õ_"(, t)| ≤ ε(% + 1) |
_´(8, )|8 − _P|^ñ28

XˆB»

Xˆ¥»

(4.13)

elde edilir. Burada (, t) → (_P, t_P) iken limit alınırsa (4.13) ün sağındaki ifade teoremin hipotezinden yani (4.2) den dolayı sıfıra gider. Böylece sol tarafıda sıfırdır.

Son olarak õ_(, t) yı hesaplayalım.

õ_(, t) = | |7(8) − 7(_P)|
_´(8, )28

º∉ ழ஺,஻வ

integrali (4.1) den ∀8 ∉ < Ã, ܤ > için 7(8) = 0 dır. Böylece

õ_(, t) = |6(_P)| |
_´(8, )28

º∉ ழ஺,஻வ

elde edilir. 8 ∉ < Ã, ܤ > olduğundan ya 8 < Ã dır yada ܤ < 8 dir. _P ∈ (Ã, ܤ) olduğundan herhangi z > 0 için _P ın ࣯_»(_P) ≔ (_P − ?, _P+ ?) ⊂ < Ã, ܤ > şartını sağlayan bir komşuluğu vardır öyle ki

|
_´(8, )28

º∉ ழ஺,஻வ

≤ |
_´(8, )28

K\࣯ഃ(Xˆ)

dir. Böylece

õ_(, t) ≤ |6(_P)| |
_´(8, )28

K\࣯_ഃ(Xˆ)

(4.14)

elde edilir. Tanım 4.1.1 in ') şartından (, t) → (_P, t_P) iken õ(, t) ⟶ 0 dır.

O halde (4.6), (4.13) ve (4.14) yerlerine yazılırsa (, t) → (_P, t_P) iken istenilen elde edilmiş olur. Bu durumda ispat tamamdır.

118

Başlangıçta < Ã, ܤ > aralığı , nin sonlu bir aralığı idi. Şimdi yukarıdaki teoremi

< Ã, ܤ > = , olması durumunda yeniden ispatlayalım.

Teorem 4.2.2: 6 ∈
_(,) ve P noktası genelleştirilmiş Lebesgue noktası olsun.

Ayrıca Teorem 4.2.1 in hipotezleri sağlansın. Bu durumda

(X,´)→(Xlim_ˆ,´ˆ)|v_´(6; ) − 6(_P)| = 0

dır.

İspat: ∀z > 0 için _P+ z < ∞, _P− z > −∞ olsun. õ(, t) ∶= v_´(6; ) − 6(_P) ile gösterilsin. Tanım 4.1.1 in >) şartından

õ(, t) = | _´(8, , 6(8))28

K

− 6(_P)

= | _´(8, , 6(8))28

K

− | _´(8, , 6(_P))28

K

+ | _´(8, , 6(_P))28

K

− 6(_P)

yazılabilir. Her iki tarafın mutlak değeri alınır ve eşitliğin sağ tarafına üçgen

yazılabilir. Her iki tarafın mutlak değeri alınır ve eşitliğin sağ tarafına üçgen

Belgede Konvolüsyon tipli olmayan integral operatörler ailesinin karakteristik noktalarda yakınsaklığı ve yakınsaklık hızı (sayfa 58-0)