Munson et al. (1997) discorre bem sobre adimensionais como descrito a seguir.
Muitos problemas de mecânica dos fluidos podem ser resolvidos com procedimentos analíticos. Entretanto, o número de problemas que só podem ser resolvidos a partir da utilização de resultados experimentais é enorme.
Esse é um dos motivos para os engenheiros que trabalham com fluidos estarem familiarizados com a abordagem experimental dos escoamentos, pois só assim eles podem interpretar e utilizar corretamente os dados experimentais públicos (aqueles que constam dos livros e manuais) ou serem capazes de planejar e executar os experimentos necessários em seus próprios laboratórios. Sendo assim, é importante considerar algumas técnicas e conceitos importantes para o planejamento e execução de experimentos bem como o modo de interpretar e correlacionar os dados que podem ser obtidos em experimentos.
O conceito de semelhança é utilizado para alcançar resultados amplamente aplicáveis, ou seja, o conceito de semelhança garante que as medidas obtidas num sistema (por exemplo, no laboratório) podem ser utilizadas para descrever o comportamento de outro sistema similar (fora
do laboratório). O sistema do laboratório usualmente é um modelo utilizado para estudar o fenômeno em que se está interessado sob condições experimentais cuidadosamente controladas. O estudo dos fenômenos no modelo pode resultar em formulações empíricas capazes de fornecer predições específicas de uma ou mais características de outro sistema similar. Para que isto seja possível é necessário estabelecer a relação existente entre o modelo de laboratório e o outro sistema. Isso pode ser feito de uma maneira sistemática.
Uma questão essencial a ser respondida é: “Qual é o número de grupos adimensionais necessários para substituir a relação original de variáveis?”. A resposta desta questão é fornecida pelo teorema básico da análise dimensional. Uma equação dimensionalmente homogênea envolvendo k variáveis pode ser reduzida a uma relação entre k - r produtos adimensionais independentes em que r é o número mínimo de dimensões de referência necessário para descrever as variáveis.
Os produtos adimensionais são usualmente referidos como "termos pi" e o teorema é conhecido como o de Buckingham pi pois Buckingham utilizou o símbolo para representar os produtos adimensionais (esta notação ainda é bastante utilizada). Apesar do teorema ser bastante simples sua demonstração é complexa.
3
O teorema pi está baseado no conceito de homogeneidade dimensional. Considere uma equação com significado físico e que apresenta k variáveis, como na Equação 32.
u u uk f
u1 2, 3,...,
Equação 32
Essencialmente, admite-se que a dimensão da variável do lado esquerdo da equação é igual a dimensão de qualquer termo isolado presente no lado direito da equação. Assim, pode-se rearranjar a equação num conjunto de produtos adimensionais (termos pi) do modo da Equação 33.
k r
f 3 3 3
31 2, 3,..., Equação 33
A diferença entre o número necessário de termos pi e o número de variáveis original é igual a r.
descrever todas as variáveis originais da equação. Normalmente, as dimensões de referência necessárias para descrever as variáveis originais são as dimensões básicas M, L e T ou F, L e T. Entretanto, em alguns casos, apenas duas dimensões, tais como L e T, são necessárias e em outros casos é necessária apenas uma dimensão para descrever as variáveis originais. Em alguns casos excepcionais as variáveis podem ser descritas por alguma combinação de dimensões básicas, tais como M/T2 e L, e neste caso r é igual a dois (em vez de três).
Existem muitos métodos para a determinação dos grupos adimensionais. O método das variáveis repetidas pode ser particionado em 8 passos que podem ser seguidos na análise de qualquer problema.
Alguns grupos adimensionais são usuais na Mecânica dos Fluidos. A parte superior do Quadro 01 apresenta as variáveis que normalmente são utilizadas na análise dos problemas de mecânica dos fluidos. A lista não é completa, mas indica as variáveis mais utilizadas em problemas típicos. Felizmente não se encontram todas estas variáveis em todos os problemas de mecânica dos fluidos. Entretanto, quando se encontra combinação destas variáveis é normal combiná-las nos grupos adimensionais (termos pi) fornecidos no mesmo Quadro. Estas combinações são utilizadas tão freqüentemente que receberam nomes especiais .
Quadro 01: Alguns Grupos Adimensionais e Variáveis Utilizadas na Mecânica dos Fluidos
Variáveis: Aceleração da gravidade, g; Módulo de elasticidade volumétrico, ; Comprimento característico, I; Massa específica,
X
E
U; Frequência de oscilação do escoamento,Z ; Pressão, p (ou p' );Velocidade do som, c; Tensão superficial,V ; Velocidade, V; Viscosidade dinâmica, P
Grupo Adimensional
Nome Interpretação Tipos de Aplicação
P UVl Número de Reynolds, Re força de inércia força viscosa É importante na maioria dos problemas de mecânica dos fluidos
gl V Número de Froude, Fr força de inércia força gravitacional Escoamentos em superfície livre 2 V p
U Número de Euler, Eu força de pressãoforça inércia Problemas onde a pressão ou diferenças de pressão é
importante X U E V2 Número de Cauchy*, Ca força de inércia força de compressibilidade Escoamentos onde a compressibilidade do fluido é importante c V Número de Mach*, Ma força de inércia força viscosa Escoamentos onde a compressibilidade do fluido é importante V l Z Número de Strouhal, St
força de inércia (local) força de inércia (convectiva)
Escoamentos transitórios com uma freqüência característica de oscilação
V
UV2l Número de Weber,
We
força de inércia força de tensão superficial
Problemas onde os efeitos da tensão superficial são importantes
*Os números de Cauchy e de Mach são relacionados e podem ser utilizados como indicador da relação entre os efeitos de inércia e da compressibilidade.
Fonte: Munson et al. (1997)
Sempre é possível fornecer uma interpretação física dos grupos adimensionais. Estas interpretações podem ser úteis na análise dos escoamentos. Munson et al. (1997) e Fox e McDonald (1995) utilizam-se desses adimensionais para analisar a semelhança entre modelos e protótipos propondo que cada grupo 3 deve ser igual para as duas escalas. Complementam,i também, que ao tratar de escalas deve-se estabelecer se a mesma é geométrica (altura, largura ou outro comprimento), cinemática (velocidades) ou dinâmica (acelerações, tempo), expressando-a na forma de divisão ou fração.