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Para identificar o conjunto de elementos a serem refinados, é feito um ponteiro de vetor lista(e), com e = 1, ..., ne sendo n o número de elementos da malha. Caso lista(e) = 1 o e-

ésimo elemento será refinado, com e ∈ Jr. Senão, lista(e) = 0 e não haverá refino, com e /∈ Jr.

Estando o ponteiro Jr definido para identificar todos os elementos, apresenta-se a estratégia de

refino:

3.6 Refino da Malha de Elementos Finitos 52

• Verificar para cada elemento se ρe ∈ [0,5 ,ρsup] e fazer lista(e) = 1, então, o elemento

material pertencente ao Jr será refinado; No entanto, se ρe∈ [ρin f , 0, 5) o elemento é

vazio, assim é verificado se o elemento tem ao menos um nó pertencente ao contorno material. Caso afirmativo o valor do ponteiro é feito como lista(e) = 1. Portanto, esse elemento também será refinado, pois pertence ao conjunto Jr;

• Determinar a medida de qualidade Q(e) de cada elemento sendo definida como no item 3.6.1. Então, se Q(e) > 0,55 faz-se o valor do ponteiro para lista(e) = 1. Assim, todos os elementos distorcidos serão refinados;

• Determinar o erro global e o erro médio dos elementos como no item 3.6.3. Mas, se Θe> (1 + φ )Θepara um dado φ > 0 (aqui é utilizado φ = 0,8), o ponteiro assume o valor

lista(e) = 1, indicando que o elemento será refinado.

Após esse processo, é obtida uma primeira estimativa do conjunto Jr. Assim esse conjunto

pode ser aumentado com um critério de refino para suavização. A estratégia de refino apresen- tada refina todos os elementos materiais e todos os elementos vazios que tem pelo menos um nó pertencente ao contorno material. Dessa forma, se a fração de volume for pequena o aumento das variáveis de projeto não é relevante. Para grandes frações de volume o aumento das variá- veis de projeto é considerável. Para evitar esse problema, deve-se refinar apenas os elementos materiais que têm no mínimo uma aresta pertencente ao contorno material. No entanto, essa estratégia muitas vezes ocasiona regiões de vazios internos aos grandes elementos materiais não refinados, o que proporciona uma região com definição de baixa qualidade [COSTA JUNIOR, 2003]. Como a maioria dos problemas práticos prescrevem pequenas frações de volume, houve a decisão de refinar todos os elementos materiais.

4 Resultados e Discussões 53

4

Resultados e Discussões

Para resolver um problema computacionalmente, é necessário considerar algumas etapas: pré-processamento, processamento e pós-processamento.

4.1 Comparação de Resultados 54

• Pré-processamento

Na fase de pré-processamento, é feita a caracterização do problema, ou seja, como são as características geométricas do sistema físico, as propriedades dos materiais envolvidos, as condições de contorno impostas ao sistema e a geração da malha de elementos finitos. Logo após a entrada desses parâmetros, é gerado um arquivo de entrada de dados que será usado na fase de processamento. Esse arquivo contém todas as informações do modelo a ser estudado, como o número de elementos finitos, o número de nós do elemento finito utilizado, as coordenadas desses nós, a conectividade dos elementos finitos, as condições de contorno e as propriedades do material.

• Processamento

A fase de processamento consiste em processar os dados, a partir de um código compu- tacional formado por um conjunto de programas escritos em linguagem Fortran 95, de acordo com a formulação proposta nessa tese. Assim, o arquivo gerado na fase de pro- cessamento é lido, processado, e então é gerado um arquivo de saída para ser analisado na parte de pós-processamento.

• Pós-processamento

Esse arquivo de saída da fase de processamento é utilizado então no programa comercial GID, versão 11, o qual fornece visualmente a topologia processada na fase anterior.

4.1 Comparação de Resultados

Os resultados mostrados na Figura 4.2 são apresentados no artigo do Weihong et al. [2007] com as topologias formadas utilizando o módulo de elasticidade E = 4000, poisson µ = 0.3 e restrição de volume V = 0.5. As diferenças entre as topologias são ocasionadas pelos diferentes valores do termo que evita o problema de instabilidade de tabuleiro. Na Figura 4.2 (a) P = 0.05, (b) P = 0.1, (c) P = 0.2, e (d) P = 0.5.

Os resultados mostrados na Figura 4.3 foram obtidos usando o módulo de elasticidade E = 4000, poisson µ = 0.3 e restrição de volume V = 0.5. A Figura 4.3 (a) foi obtida com uma malha regular de 200 elementos finitos triangulares de três nós, já a Figura 4.3 (b) foi gerada após ocorrer o refino dos elementos finitos e assim essa malha possui 708 elementos. A malha mostrada na Figura 4.3 (c) possui 2472 elementos. Já a Figura 4.3 (d) mostra apenas a topologia gerada, com malha possuindo 8116 elementos.

4.1 Comparação de Resultados 55

Figura 4.2: Resultados de cisalhamento prescrito: (a) P = 0.05, (b) P = 0.1, (c) P = 0.2 e (d) P = 0.5.

Figura 4.3: Resultados de cisalhamento prescrito: (a) 200 elementos, (b) 708 elementos, (c) 2472 elementos e (d) 8116 elementos.

4.1 Comparação de Resultados 56

Os resultados do artigo do Zhang et al. [2007] são mostrados na Figura 4.4. A Figura 4.4 (a) mostra o resultado da otimização topológica com 50% de prescrição de deslocamento tanto para a direção horizontal quanto para a vertical com 50% de restrição de volume, a malha utili- zada é composta de elementos finitos quadrilaterais de quatro nós. Os mesmos parâmetros são usados para gerar a topologia mostrada na Figura 4.4 (b) com malha assimétrica de elementos triangulares de três nós.

Figura 4.4: Resultados

Os problemas apresentados nas seções a seguir utilizam os mesmos valores para as propri- edades do material, portanto, é conveniente organizá-los como mostrados na Tabela 4.1 com o objetivo de evitar repetições.

Descrição Valor

Elasticidade longitudinal 210 GPa Coeficiente de Poisson 0.3 Restrição de volume 60 % Densidades iniciais 0.5

Tabela 4.1: Dados dos problemas

Todos os problemas são resolvidos com o auxílio da simetria do sistema. Assim, eles são otimizados para o primeiro quadrante da célula base, com as condições de contorno proporcio- nais a essa região. Após a topologia final ser gerada, é feito um espelhamento para reproduzir os outros 3/4 restantes.

4.1 Comparação de Resultados 57

Figura 4.5: Região de projeto do problema de microestruturas com deslocamento horizontal

A região de projeto é mostrada na figura (4.5) com dimensões 1x1 unidades de compri- mento representando a célula base da microestrutura. Esse domínio é mostrado com a malha de elementos finitos inicial, e sem material, pois somente após o processo de otimização é que será obtida a resposta ótima para a solicitação imposta.