Kontrol Öz Değerlendirmenin Geleneksel Denetimden Farkı

Modelos plásticos representam modelos fisicamente não-lineares e são a base de muitos modelos constitutivos que descrevem o comportamento dos solos e de outros materiais. Uma característica importante que define os modelos plásticos é a deformação permanente, que

ocorre depois que um corpo é carregado com uma tensão acima da de escoamento. A Figura 3.21 ilustra um diagrama típico de materiais que seguem leis plásticas.

Figura 3.21 – Diagrama tensão x deformação de um material plástico (Mase, 1970)

Pela análise da Figura 3.21, verifica-se que o diagrama tensão x deformação tem uma porção reta (elástica) e uma porção curva (plástica). O ponto P divide os dois segmentos e sua ordenada corresponde ao limite de proporcionalidade entre tensões e deformações. No exemplo presente, carrega-se o material até atingir o ponto B. Quando se retira o carregamento, a estrutura volta por uma linha paralela à porção linear do gráfico, atingindo o

ponto C. Além disso, causa-se uma deformação residual permanente, representada por p_.

Quando se realiza um segundo carregamento, a tensão de escoamento passa a ser representada pelo ponto B. Essa característica é chamada de endurecimento e, representa o aumento da porção elástica.

Entende-se por superfície de plastificação aquela que separa os estados de tensão que conduzem à deformações elásticas e plásticas. Caso o estado de tensão do material seja interno à superfície, serão observadas apenas deformações elásticas, caso o estado esteja sobre a superfície, serão observadas deformações residuais. Essa superfície pode ser representada por funções de plastificação, que podem seguir vários critérios: Mohr-Coulomb, Tresca, Von Mises, dentre outros. Lourenço (1999) apresenta a Figura 3.22 para descrever a plastificação.

Figura 3.22 – Sistema massa-mola para representação de modelo elasto-plástico (Lourenço, 1999)

Ao se aplicar uma força sobre o sistema massa-mola, haverá a deformação elástica da mola e, em sequencia, depois de vencido o atrito do bloco com o solo, ele se movimentará. Contudo, depois de cessada a força, ocorrerá uma deformação permanente, devido ao deslizamento dos objetos, caracterizando um comportamento plástico. Imaginando que seja possível uma movimentação vertical do bloco, só haverá o deslizamento, segundo o critério de Coulomb, se a tensão de cisalhamento aplicada for superior à tensão normal aplicada no mesmo corpo, multiplicada por um ângulo de atrito, somado a uma dada coesão. Essa expressão é representada pela Equação 3.25:

0 tan

. + =

−σ φ c

τ (3.25)

Em que: τ - tensão cisalhante; σ - tensão normal; φ - ângulo de atrito; c - coesão do solo. Imaginando-se um estado de tensões bidimensional, pode-se desenhar o círculo de Mohr, que representa os estados de tensão de um elemento plano, para quaisquer eixos. Substituindo-se as expressões obtidas no círculo de Mohr na Equação 3.25, dá-se origem à Equação 3.26.

(

)

(

)

Essa expressão é definida como a função de plastificação de Coulomb, representando os estados de tensão em que ocorre a plastificação. Estados de tensão, que deixam a expressão negativa, indicam comportamento unicamente elástico. Pela lei de escoamento, define-se que não basta que o ponto representativo da tensão esteja sob a superfície de plastificação, mas, que permaneça um tempo curto sob ela.

A taxa de variação das deformações plásticas pode ser expressa na Equação 3.27. . λ ε = dt d p m (3.27)

Em que: d p_{/dt - taxa de variação das deformações plásticas; - magnitude do escoamento}

plástico; m: direção do escoamento plástico.

Admitindo-se que a função de plastificação depende unicamente do estado de tensões, pode- se definir o vetor n, que representa o vetor perpendicular à função de plastificação no ponto indicado pelas tensões. A fórmula que o define, bem como a figura ilustrativa, são mostradas na Equação 3.28 e na Figura 3.23:

σ

∂ ∂

= f

n (3.28)

Em que: n - vetor gradiente da função de plastificação no ponto correspondente aos estados de tensão do corpo; - tensor de tensões; f - função de cedência.

Figura 3.23 – Representação do vetor gradiente da função de plastificação (Lourenço, 1999)

Quando a direção do escoamento plástico coincide com a do gradiente da função plastificação, ou seja, quando o vetor m é ortogonal à superfície de plastificação e paralelo à n, é caracterizada a plasticidade associada. Isso significa que no diagrama p x q, qualquer alteração nas tensões normais médias (p), há alteração unicamente na deformação volumétrica e, uma mudança no valor das tensões desviadoras (q), implica unicamente em distorções angulares. Esse tipo de plasticidade descreve com propriedade o comportamento dos metais. Quando não ocorre a ortogonalidade já descrita, é definida a plasticidade não-associada. Ela é útil quando se descrevem os comportamentos de solos, concreto e rochas (Lourenço, 1999). O autor também coloca que existe um conjunto importante de leis de escoamento não-associado, que cobre quase todas as aplicações. Para tal, existe uma função g, denominada função potencial plástico, tal que:

σ

∂ ∂

= g

m (3.29)

A função g é designada por potencial plástico e, de acordo com a Equação 3.29, a direção do escoamento plástico é agora ortogonal à superfície definida pela equação g = 0.

A função de plastificação não é dependente unicamente do estado de tensões, mas também do parâmetro de endurecimento ( ). Ele é um escalar, que depende da história de tensões do material. Com isso, pode-se concluir que a relação unívoca entre tensão x deformação não mais ocorre, como nos modelos elásticos. Isso pode ser visualizado na Figura 3.21. Pode-se

ter uma tensão igual à P aplicada sobre o material, gerando deformações diferenciadas do primeiro carregamento.

Para se representar um modelo constitutivo elasto-plástico, torna-se necessário apresentar a função de plastificação à qual ele está representado, a função potencial plástico, que pode ser igual à anterior, em caso de plasticidade associada, e a lei de endurecimento que descreve o material.

Um modelo muito usado na mecânica dos solos e recentemente introduzido no desenvolvimento de algumas pesquisas relativas ao comportamento dos RSU é o Modelo Cam-Clay. Trata-se de um modelo constitutivo elasto-plástico, que representa o comportamento das argilas. Ele foi desenvolvido tendo três premissas básicas: representa solos normalmente adensados, com plasticidade associada e sem dilatância. É um modelo que depende de seis parâmetros, que podem ser obtidos a partir de ensaios triaxiais e oedométricos com descarregamento.

3.9 Estudos recentes de modelos bidimensionais e tridimensionais