Bu kısımda; kompleks fuzzy proksimal uzayının tanımı ve ilgili ¨ornekler verildi.
Fuzzy ba˘gıntının sa˘gladı˘gı ¨ozelikler, kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısı i¸cinde incele-nerek ayrıntılı ¸sekilde a¸cıklandı. Kompleks fuzzy ba˘gıntı yardımı ile, k¨umelerin iki farklı ¨orne˘gin uzaysal ve tanımsal proksimiti ¨ozellikleri dikkate alındı˘gında birbirlerine ne kadar proksimal oldukları incelendi. Bu yakla¸sım ile aynı anda iki farklı proksimal-lik incelenme imkanı elde edilmi¸s oldu. Ayrca, kompleks fuzzy ba˘gıntısının, birle¸sim ve kesi¸sim i¸slemleri altında birle¸sme ¨ozelli˘gine sahip oldu˘gu ¨orneklerle birlikte verildi.
Son olarak, bu i¸slemlerin birer yarı-grup oldukları elde edildi.
Tanım 3.2.1. (X, R) bir proksimal relator uzay, µR
C : P(X) × P(X) −→ eiθ
(A, B) 7−→ µRC(A, B)
bir kompleks fuzzy ba˘gıntı ve A,B ⊂ X olsun. Bu durumda;
Rµ
C = {((A, B) , µR
C(A, B) ) | (A, B) ∈ P(X) × P(X)}
k¨umesi her A, B, C ∈ P (X) i¸cin a¸sa˘gıdaki ko¸sulları sa˘glarsa, bu k¨umeye bir kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısı denir:
NµR
C1) µRC(A, ∅) = 0 (A 6= ∅).
NµR
C2) µRC(A, B) = µRC(B, A).
NµR
C3) µRC(A, B) 6= 0 iken A RC B.
NµR
C4) µRC(A, (B ∪ C)) 6= 0 iken µRC(A, B) 6= 0 (A RC B) ya da µRC(A, C) 6= 0 (A RC C).
P(X) k¨umesi ¨uzerinde tanımlanan b¨ut¨un kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntıların k¨umesi, PRC(X) ¸seklinde g¨osterilir. Ayrıca, µRC(A, B) ye kompleks fuzzy proksimiti
¨
ol¸c¨um¨u denir.
Kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısı, n×n boyutlu bir matrisle a¸sa˘gıdaki ¸sekildeki gibi g¨osterilebilir:
RµC = A1 ... An
A1 · · · An
µRC(A1, A1) · · · µRC(A1, An) ... . .. ... µRC(An, A1) · · · µRC(An, An)
µR
C(A, B) kompleks fuzzy proksimiti ¨ol¸c¨um¨u, A ve B k¨umelerinin iki farklı proksimiti ele alındı˘gında (uzaysal ve tanımsal gibi) birbirlerine ne kadar proksimal (yakın) olduklarını g¨osteren ¨ol¸c¨um anlamında kullanılır.
Kompleks fuzzy ba˘gıntı Rµ
C, A, B ∈ P(X) olmak ¨uzere; µRC(A, B) her bir (A, B) ikilisini bir kompleks ¨uyelik de˘gerine ta¸sıdı˘gında, kompleks ¨uyelik fonksiyonu µRC(A, B) ile karakterize edilir. µRC(A, B) kompleks d¨uzlemde birim daire ¨ uzerin-de bir uzerin-de˘ger alır ve µR
C(A, B) = rC(A, B) .eiwC(A,B) ¸seklindedir. rC(A, B) reel de˘gerli bir fonksiyon olup, rC(A, B) ∈ [0, 1] dir. Ayrıca, eiwC(A,B) periyodik bir fonksiyondur ve wC(A, B) = wC(A, B) + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, ..., ve 0 ≤ wC(A, B) ≤ 2π ¸seklinde tanımlanır.
Tanım 3.2.2. Rµ
C, P(X) de bir kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısı olsun. Bu durumda, (X, Rµ
C) ye bir kompleks fuzzy proksimal relator uzay denir.
Ornek 3.2.1. S g¨¨ une¸s sistemi k¨umesi ve X ⊂ S olmak ¨uzere;
X = {G¨une¸s, Merk¨ur, Ven¨us, D¨unya, Mars, J¨upiter, Sat¨urn} olsun. C¸ ap ve yıl uzunlu˘gu Tablo 3 ile a¸sa˘gıdaki gibi verilmi¸stir:
C¸ ap(km) Yıl Uzunlu˘gu G¨une¸s 1324332 224000000
Merk¨ur 4884 0, 2
Ven¨us 12346 0, 6
D¨unya 12709 1
Mars 6767 1, 8
J¨upiter 142647 11, 6 Sat¨urn 124309 29, 5
T ablo 3
Kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntı a¸sa˘gıdaki gibi tanımlansın.
µRC : P(X) × P(X) −→ eiθ
(P1, P2) 7−→ µRC(P1, P2) = rC(P1, P2) .eiwC(P1,P2)
rC(P1, P2) =
1 , if P1 = P2,
d(|P1−P2|)
d(S) , if P1 6= P2
wC(P1, P2) =
1 , if P1 = P2,
y(|P1−P2|)
y(S) , if P1 6= P2
d (|P1− P2|), y (|P1− P2|), d (S) ve y (S) ifadeleri sırasıyla gezegenlerin ¸capları arasındaki fark, gezegenlerin yıl uzunlukları arasındaki fark, g¨une¸sin ¸capı ve g¨une¸sin yıl uzunlu˘gu anlamındadır. Merk¨ur, Ven¨us, D¨unya, Mars, J¨upiter, Sat¨urn ve G¨une¸si sırasıyla A, B, C, D, E, F, S harfleri ile g¨osterelim. Dolayısıyla;
rC(A, B) = d(|A−B|)d(S) = |4884−12346|
elde edilir. S¸imdi de ikinci fonksiyonun de˘gerlerini bulalım.
wC(A, B) = y(|A−B|)y(S) = 224000000|0.2−0.6| = 0, 0001.10−7 wC(A, C) = y(|A−C|)y(S) = 224000000|0.2−1| = 0, 00003.10−7 wC(A, D) = y(|A−D|)y(S) = 224000000|0.2−1.8| = 0, 0007.10−7 wC(A, E) = y(|A−E|)y(S) = 224000000|0.2−11.6| = 0, 0050.10−7 wC(A, F ) = y(|A−F |)y(S) = 224000000|0.2−29.5| = 0, 0130.10−7 wC(B, A) = y(|B−A|)y(S) = 224000000|0.6−0.2| = 0, 0001.10−7 wC(B, C) = y(|B−C|)y(S) = 224000000|0.6−1| = 0, 0001.10−7 wC(B, D) = y(|B−D|)y(S) = 224000000|0.6−1.8| = 0, 0005.10−7 wC(B, E) = y(|B−E|)y(S) = 224000000|0.6−11.6| = 0, 0049.10−7 wC(B, F ) = y(|B−F |)y(S) = 224000000|0.6−29.5| = 0, 0129.10−7 wC(C, A) = y(|C−A|)y(S) = 224000000|1−0.2| = 0, 00003.10−7 wC(C, B) = y(|C−B|)y(S) = 224000000|1−0.6| = 0, 0001.10−7 wC(C, D) = y(|C−D|)y(S) = 224000000|1−1.8| = 0, 0003.10−7 wC(C, E) = y(|C−E|)y(S) = 224000000|1−11.6| = 0, 0047.10−7 wC(C, F ) = y(|C−F |)y(S) = 224000000|1−29.5| = 0, 0127.10−7 wC(D, A) = y(|D−A|)y(S) = 224000000|1.8−0.2| = 0, 0007.10−7 wC(D, B) = y(|D−B|)y(S) = 224000000|1.8−0.6| = 0, 0005.10−7 wC(D, C) = y(|D−C|)y(S) = 224000000|1.8−1| = 0, 0003.10−7 wC(D, E) = y(|D−E|)y(S) = 224000000|1.8−11.6| = 0, 0043.10−7 wC(D, F ) = y(|D−F |)y(S) = 224000000|1.8−29.5| = 0, 0123.10−7 wC(E, A) = y(|E−A|)y(S) = 224000000|11.6−0.2| = 0, 0050.10−7 wC(E, B) = y(|E−B|)y(S) = 224000000|11.6−0.6| = 0, 0049.10−7 wC(E, C) = y(|E−C|)y(S) = 224000000|11.6−1| = 0, 0047.10−7 wC(E, D) = y(|E−D|)y(S) = 224000000|11.6−1.8| = 0, 0043.10−7 wC(E, F ) = y(|E−F |)y(S) = |11.6−29.5|
224000000 = 0, 0079.10−7
wC(F, A) = y(|A−F |)y(S) = 224000000|29.5−0.2| = 0, 0130.10−7 wC(F, B) = y(|B−F |)y(S) = 224000000|29.5−0.6| = 0, 0129.10−7 wC(F, C) = y(|F −C|)y(S) = 224000000|29.5−1| = 0, 0127.10−7 wC(F, D) = y(|D−F |)y(S) = 224000000|29.5−1.8| = 0, 0123.10−7 wC(F, E) = y(|F −E|)y(S) = |29.5−11.6|
224000000 = 0, 0079.10−7
0, 0001.10−7 b¨ut¨un de˘gerlerde ortak olarak bulundu˘gundan ifadeyi kısaltmak i¸cin 0, 0001.10−7 = θ olarak alınırsa, di˘ger sonu¸clarda θ cinsinden ifade edilebilir.
wC(A, A) = 1 wC(A, B) = θ wC(A, C) = 3θ wC(A, D) = 7θ wC(A, E) = 50θ wC(A, F ) = 130θ wC(B, A) = θ wC(B, B) = 1 wC(B, C) = θ wC(B, D) = 5θ wC(B, E) = 49θ wC(B, F ) = 129θ wC(C, A) = 3θ wC(C, B) = θ wC(C, C) = 1 wC(C, D) = 3θ wC(C, E) = 47θ wC(C, F ) = 127θ
wC(D, A) = 7θ wC(D, B) = 5θ wC(D, C) = 3θ wC(D, D) = 1 wC(D, E) = 43θ wC(D, F ) = 123θ wC(E, A) = 50θ wC(E, B) = 49θ wC(E, C) = 47θ wC(E, D) = 43θ wC(E, E) = 1 wC(E, F ) = 79θ wC(F, A) = 130θ wC(F, B) = 129θ wC(F, C) = 127θ wC(F, D) = 123θ wC(F, E) = 79θ wC(F, F ) = 1
Buradan,
A, B ye 0, 0056.eiθ− kompleks fuzzy proksimaldir, A, C ye 0, 0059.ei3θ− kompleks fuzzy proksimaldir, A, D ye 0, 0014.ei7θ− kompleks fuzzy proksimaldir, A, C ye 0, 1040.ei50θ− kompleks fuzzy proksimaldir, A, F ye 0, 0901.ei130θ− kompleks fuzzy proksimaldir, B, C ye 0, 0002.eiθ− kompleks fuzzy proksimaldir, B, D ye 0, 0421.ei5θ− kompleks fuzzy proksimaldir, B, E ye 0, 0983.ei49θ− kompleks fuzzy proksimaldir, B, F ye 0, 0845.ei129θ− kompleks fuzzy proksimaldir, C, D ye 0, 0044.ei3θ− kompleks fuzzy proksimaldir, C, E ye 0, 0981.ei47θ− kompleks fuzzy proksimaldir, C, F ye 0, 0842.ei127θ− kompleks fuzzy proksimaldir, D, E ye 0, 1026.ei43θ− kompleks fuzzy proksimaldir, D, F ye 0, 0887.ei123θ− kompleks fuzzy proksimaldir, E, F ye 0, 0138.ei79θ− kompleks fuzzy proksimaldir.
elde edilir. Kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısı bir matrislede a¸sa˘gıdaki gibi g¨osterilir:
RµC = 0, 1040.ei50θ 0, 0983.ei49θ 0, 0981.ei47θ 0.1026.ei43θ 1 0, 0138.ei79θ 0, 0901.ei130θ 0, 0845.ei129θ 0, 0842.ei127θ 0, 0887.ei123θ 0, 0138.ei79θ 1
C4) aksiyomlarını sa˘gladı˘gından bir kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısıdır. Ayrıca, (X, RµC) bir kompleks fuzzy proksimiti uzaydır.
Tanım 3.2.3. (X, δ) bir proksimiti uzayı olsun. Her A, B, C ∈ P(X) i¸cin a¸sa˘gıdaki ko¸sulları sa˘glarsa, (X, δµC) ya uzaysal kompleks fuzzy proksimiti uzayı denir:
Nµδ
Nµδ
C3) µδ
C(A, B) 6= 0 iken AδCB.
Nµδ
C4) µδ
C(A, (B ∪ C)) 6= 0 iken µδ
C(A, B) 6= 0 (AδCB) ya da µδ
C(A, C) 6= 0 (AδCC).
(X, δµ
C), uzaysal kompleks fuzzy proksimiti aksiyomlarını ve a¸sa˘gıdaki Nµδ
C5 aksiyomunu sa˘glarsa, µδ
C kompleks fuzzy ba˘gıntısına bir uzaysal kompleks fuzzy Lodato proksimiti ba˘gıntısı denir:
Nµδ
C5) µδ
C(A, B) 6= 0 ve her b ∈ B i¸cin µδ
C({b} , C) 6= 0 iken µδ
C(A, C) 6= 0 (AδCC).
Ornek 3.2.2. X = {a, b, c, d, e, f, g, h, j, k} k¨¨ umesini ve (X, δ) proksimiti uzayını alalım. Temel proksimiti δ a¸sa˘gıdaki ¸sekilde tanımlansın:
CδD :⇔ C ∩ D 6= ∅.
C = {a, b, c, d, g} ve D = {d, e, f, g, h, j, k}, X k¨umesinin alt k¨umeleri olsun.
C ∩ D 6= ∅ oldu˘gundan, C δ D oldu˘gu kolayca g¨or¨ul¨ur. Kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısı a¸sa˘gıdaki ¸sekilde tanımlanabilir:
µδ
C : P(X) × P(X) −→ eiθ (C, D) 7−→ µδ
C(C, D) = rC(C, D) .eiwC(C,D)
rC(C, D) = |C∪D||C\D| ve wC(C, D) = wC(D, C) = π ¸seklinde tanımlansın. Buradan
µδC(C, D) = |C∪D||C\D| = 103 = 0.3, µδ
C(D, C) = |D∪C||D\C| = 105 = 0.5.
Dolayısıyla
C, D ye 0, 3.eiπ− kompleks fuzzy proksimaldir, D, C ye 0, 5.eiπ− kompleks fuzzy proksimaldir .
Ancak; µδC simetrik olmadı˘gından, yani µδC(C, D) 6= µδC(D, C) oldu˘gundan (X, δµC) kompleks fuzzy proksimiti uzay de˘gildir.
Tanım 3.2.4. X bo¸stan farklı bir k¨ume ve δΦ, Lodato proksimiti ba˘gıntısıyla donatıl-mı¸s olsun. µδ
C fuzzy ba˘gıntısı her A, B, C ∈ P(X) i¸cin a¸sa˘gıdaki ko¸sulları sa˘glarsa µδ
C ye bir tanımsal kompleks fuzzy Lodato proksimiti ba˘gıntısı denir:
Nµ
C bir tanımsal kompleks fuzzy Lodato proksimiti ba˘gıntısı olmak
¨
uzere, (X, δµΦC) ye tanımsal kompleks fuzzy Lodato proksimiti uzayı denir.
Tanım 3.2.6. (X, Rµ
C) bir kompleks fuzzy proksimal relator uzay olsun.
h (Rµ
C) = max
B∈P(X) max
A∈P(X)Rµ
C(A, B)
¸seklinde tanımlanan h (Rµ
C) ye Rµ
C kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısının y¨uksekli˘gi denir. h (Rµ
C) k¨umeler ailesindeki en b¨uy¨uk proksimiti derecesini verir.
Tanım 3.2.7. (X, Rµ
C) bir kompleks fuzzy proksimal relator uzay olsun. Fuzzy proksimiti ba˘gıntısının tersi Rµ
C, a¸sa˘gıdaki ¸sekilde tanımlanır:
R−1µ
C (B, A) = Rµ
C(A, B) R−1µ
C kompleks fuzzy ba˘gıntısal matrisinin transpozudur. R−1µ
C, (NµR
C1)−(NµR
C4) kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısı aksiyomlarını sa˘glar.
Ger¸cekten; Rµ
C(A, B) matrisi simetrik matris oldu˘gundan, kompleks fuzzy ba˘ gın-tısal matrisinin transpozu Rµ
C(B, A) ile birbirlerine e¸sittirler. B¨oylece, a¸sa˘gıdaki teorem ispatsız verilir.
Teorem 3.2.1. R−1µ
C (B, A) bir kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısıdır.
Tanım 3.2.8. (X, Rµ
C), (Y, Rµ
C) ve (Z, Rµ
C) kompleks fuzzy proksimal relator uzay-lar olsun.
Rµ1C = {((A, B) , µR
C(A, B) ) | (A, B) ∈ P(X) × P(Y )}
ve
Rµ2C= {((B, C) , µRC(B, C) ) | (B, C) ∈ P(Y ) × P(Z)}
kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntılar
µ1RC : P(X) × P(Y ) −→ eiθ ve
µ2RC : P(Y ) × P(Z) −→ eiθ verilsin. µ1RC ve µ2RC nin bile¸simi, µµ
1RC◦µ2RC ¸seklinde g¨osterilir. Bu bile¸sim a¸sa˘gıda verilen fonksiyon yardımıyla tanımlanır:
µµ1 RC◦µ2 RC(A, C) = rµµ
δµ1C◦ δµ2C bile¸simlerini bulalım;
elde edilir. Buradan, δµ1C◦ δµ2C bir kompleks fuzzy ba˘gıntıdır fakat kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntı de˘gildir. C¸ ¨unk¨u, bu bile¸sim (NµR
C2) aksiyomunu sa˘glamaz.
δµ1C◦ δµ1C bile¸simi hesaplanırsa;
C4) aksiyomlarını sa˘glar. Dolayısıyla δ2µ
1C, X2 de bir kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntıdır ve X2, δ2µ
C bir kompleks fuzzy proksimiti uzaydır.
Tanım 3.2.9. (X, Rµ
C) ve (Y, Rµ
C) birer kompleks fuzzy proksimal relator uzay olsun.
µ1RC : P(X) × P(X) −→ eiθ ve
µ2RC : P(Y ) × P(Y ) −→ eiθ
kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntılarının ¨uyelik fonksiyonları sırasıyla;
µ1RC(A, B) = r1C(A, B).eiw1C(A,B) ve µ2RC(A, B) = r2C(A, B).eiw2C(A,B) ¸seklindedir.
µ1RC ve µ2RC nin kompleks fuzzy proksimiti birle¸simleri, µµ
Ornek 3.2.4. δ¨ µ1C ve δµ2C birer fuzzy proksimiti ba˘gıntısı olsun:
Teorem 3.2.2. PRC(X) t¨um kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntıların ailesi olsun.
PR
C(X), “⊕” i¸slemi ile grupoiddir.
˙Ispat. PRC(X) nin “⊕” i¸slemi ile grupoid oldu˘gunu g¨ostermek i¸cin;
(µ1RC, µ2RC) = (µ10RC, µ20RC) oldu˘gunda, µ1 RC, µ2 RC, µ10RC, µ20RC ∈ PµR(X) i¸cin µ1 RC ⊕ µ2 RC = µ10RC ⊕ µ20 RC oldu˘gunu g¨ostermek gerekir. Bu durumda her bir A, B ∈ P (X) i¸cin,
(µ1 RC⊕ µ2 RC) (A, B) = (µ10RC ⊕ µ20RC) (A, B)
e¸sitli˘ginin sa˘glandı˘gını g¨osterelim. (µ1 RC, µ2 RC) = (µ10RC, µ20RC) oldu˘gundan µ1 RC = µ10 RC ve µ2 RC= µ20RC
dir. Buradan,
µ1 RC(A, B) = r1 C(A, B) .eiw1 C(A,B) ve µ10 RC = r10
C(A, B) .eiw10C(A,B) olur. r1 C(A, B) .eiw1 C(A,B) = r10
C(A, B) .eiw10C(A,B) e¸sitli˘gi elde edilir. Kolayca g¨or¨ulebilir ki, r1 C(A, B) = r10
C(A, B) ve eiw1 C(A,B) = eiw10C(A,B) dir. Benzer
¸sekilde,
µ2 RC(A, B) = r2 C(A, B) .eiw2 C(A,B) ve µ20 RC(A, B) = r20 C(A, B) .eiw20C(A,B) olarak alınırsa, r2 C(A, B) .eiw2 C(A,B) = r20
C(A, B) .eiw20 C(A,B) elde edilir. B¨oylece, r2 C(A, B) = r20
C(A, B) ve eiw2 C(A,B) = eiw20 C(A,B) oldu˘gu kolayca g¨or¨ul¨ur.
Her A, B ∈ P (X) i¸cin,
(µ1RC⊕ µ2RC) (A, B) = max(r1C(A, B) , r2C(A, B)).ei max(w1C(A,B),w2C(A,B))
= max(r10
C(A, B) , r20
C(A, B)).ei max(w10C(A,B),w20C(A,B))
= (µ10
C⊕ µ20C) (A, B) dir. B¨oylece, her A, B ∈ P (X) i¸cin
(µ1 RC⊕ µ2 RC) (A, B) = (µ10RC ⊕ µ20RC ) (A, B) e¸sitli˘gi elde edilir.
Teorem 3.2.3. PRC(X) t¨um kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntıların ailesi olsun.
Kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısının birle¸sim i¸slemi, PRC(X) ¨uzerinde birle¸sme
¨
ozelli˘gine sahiptir. Yani;
(µ1RC⊕ µ2RC) ⊕ µ3RC = µ1RC⊕ (µ2RC⊕ µ3RC) dır.
˙Ispat. Her A, B ∈ P (X) i¸cin,
((µ1RC⊕ µ2RC) ⊕ µ3RC) (A, B) = (µ1RC⊕ (µ2RC⊕ µ3RC)) (A, B)
oldu˘gunu g¨osterelim.
(µ1RC⊕ µ2RC) (A, B) = max(r1C(A, B) , r2C(A, B)).ei max(w1C(A,B),w2C(A,B))
= rC(A, B) .eiwC(A,B) ve
µ3RC(A, B) = r3C(A, B) .eiw3C(A,B) olarak alalım. Di˘ger taraftan,
µ1RC= r1C(A, B) .eiw1C(A,B)
ve
(µ2RC⊕ µ3RC) (A, B) = max(r2C(A, B) , r3C(A, B)).ei max(w2C(A,B),w3C(A,B))
= r0C(A, B) .eiw
0 C(A,B)
olur. Buradan,
((µ1RC⊕ µ2RC) ⊕ µ3RC) (A, B) = max(rC(A, B) , r3C(A, B)).ei max(wC(A,B),w3C(A,B)) ve
(µ1RC⊕ (µ2RC⊕ µ3RC)) (A, B) = max(r1C(A, B) , r0C(A, B)).ei max(w1C(A,B),w
0 C(A,B))
elde edilir.
r1C(A, B), r2C(A, B), r3C(A, B), w1C(A, B) , w2 C(A, B) ve w3C(A, B) de˘gerlerini ele alalım ve birbirleriyle kar¸sıla¸stırmalar yapalım. ¨Orne˘gin;
1) r1C(A, B) > r2C(A, B) > r3C(A, B) ve w2C(A, B) > w3C(A, B) > w1 C(A, B) olsun. Bu durumda,
((µ1 RC⊕ µ2 RC) ⊕ µ3 RC) (A, B) ve (µ1 RC⊕ (µ2 RC⊕ µ3 RC)) (A, B) nin de˘gerleri sırasıyla;
((µ1RC⊕ µ2RC) ⊕ µ3RC) (A, B) = max(r1C(A, B) , r3C(A, B)).ei max(w2C(A,B),w3C(A,B))
= r1C(A, B) .eiw2C(A,B)
ve
(µ1RC⊕ (µ2RC⊕ µ3RC)) (A, B) = max(r1C(A, B) , r2C(A, B)).ei max(w1C(A,B),w2C(A,B))
= r1C(A, B) .eiw2C(A,B)
dir. Dolayısıyla,
((µ1 RC⊕ µ2 RC) ⊕ µ3 RC) (A, B) = (µ1 RC⊕ (µ2 RC⊕ µ3 RC)) (A, B) elde edilir.
2) r2C(A, B) > r1C(A, B) > r3C(A, B) ve w2C(A, B) > w1C(A, B) > w3 C(A, B) olsun. Buradan,
((µ1RC⊕ µ2RC) ⊕ µ3RC) (A, B) = max(r1C(A, B) , r2 C(A, B)).ei max(w2C(A,B),w3C(A,B))
= r2C(A, B) .eiw2C(A,B) ve
(µ1RC⊕ (µ2RC⊕ µ3RC)) (A, B) = max(r1C(A, B) , r2 C(A, B)).ei max(w1C(A,B),w2C(A,B))
= r2C(A, B) .eiw2C(A,B)
dir. Benzer ¸sekilde,
((µ1 RC⊕ µ2 RC) ⊕ µ3 RC) (A, B) = (µ1 RC⊕ (µ2 RC ⊕ µ3 RC)) (A, B) olur.
3) r3C(A, B) > r1C(A, B) > r2C(A, B) ve w1C(A, B) > w3C(A, B) > w2 C(A, B) olarak alınırsa;
((µ1RC⊕ µ2RC) ⊕ µ3RC) (A, B) = max(r1C(A, B) , r3C(A, B)).ei max(w1C(A,B),w3C(A,B))
= r3C(A, B) .eiw1C(A,B) ve
(µ1RC⊕ (µ2RC⊕ µ3RC)) (A, B) = max(r1C(A, B) , r3 C(A, B)).ei max(w1C(A,B),w3C(A,B))
= r3C(A, B) .eiw1C(A,B)
elde edilir. B¨oylece,
((µ1 RC⊕ µ2 RC) ⊕ µ3 RC) (A, B) = (µ1 RC⊕ (µ2 RC ⊕ µ3 RC)) (A, B)
dir. Benzer y¨ontemle devam edilerek di˘ger durumlara da bakıldı˘gında g¨or¨ulecektir ki kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısı, PR
C(X) ¨uzerinde birle¸sme ¨ozelli˘gine sahiptir.
Teorem 3.2.2 ve Teorem 3.2.3 dikkate alınırsa; (PRC(X) , ⊕) bir yarı gruptur.
A¸sa˘gıdaki ¨ornekte bir monoid ¨orne˘gi vardır. Fakat, her zaman bir birim eleman bulunamayabilir.
Ornek 3.2.5. X = {a, b} k¨¨ umesini ve (X, δ) proksimiti uzayını alalım. δ, temel proksimiti ba˘gıntısı a¸sa˘gıdaki ¸sekilde tanımlansın:
AδB :⇔ A ∩ B 6= ∅.
Bu durumda, P (X) = {∅, {a, b} , {a} , {b}} oldu˘gu a¸cıktır. Kompleks fuzzy proksi-miti ba˘gıntıları a¸sa˘gıdaki ¸sekilde tanımlayalım:
µ1δ
Bu durumda, ba˘gıntıların matrisleri a¸sa˘gıdaki bi¸cimdedir:
δµ1C =
Ayrıca, kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısının birim elemanını a¸sa˘gıdaki ¸sekilde Bu durumda ba˘gıntı matrisi a¸sa˘gıdaki bi¸cimdedir:
δµeC = relator uzayında bir de˘gi¸smeli kompleks fuzzy proksimiti monoiddir.
⊕ µeδ
C yarı grubunun bo¸s k¨umeden farklı bir alt k¨umesi olsun.
E˘ger HRC, SRC ile aynı i¸slem altında kapalı olma ¨ozelli˘gini sa˘glarsa, bu durumda HR
C ye SR
C yarı grubunun proksimal relator uzayında bir kompleks fuzzy proksimiti alt yarı grubudur denir.
C} bir alt k¨umesini alalım. SRC kompleks fuzzy proksimiti yarı gruptur. Kolayca g¨or¨ulebilir ki HRC proksimal relator uzayında SRC nin bir kompleks fuzzy proksimiti alt yarı grubudur.
Tanım 3.2.11. PR
C) ko¸sulunu sa˘glarsa, bu durumda IR
C ye SR
C
alt yarı grubunun proksimal relator uzayında bir sol(sa˘g) kompleks fuzzy proksimiti ideali denir. IR
C hem sa˘g hem de sol kompleks fuzzy proksimiti ideali ise IR
C ye SR
C
alt yarı grubunun proksimal relator uzayında bir iki yanlı kompleks fuzzy proksimiti ideali denir.
C kompleks fuzzy proksimiti yarı gruptur. Kolayca g¨or¨ulebilir ki IRC proksimal relator uzayında SRC nin bir kompleks fuzzy proksimiti idealidir.
C ko¸sulunu sa˘glarsa, bu durumda µiδ
C
elemanına SRC alt yarı grubunun proksimal relator uzayında bir idempotent kompleks fuzzy proksimiti elemanı denir.
Ornek 3.2.8. ¨¨ Ornek 3.2.7 den SRC = {µ1δ
C, µ2δ
C, µeδ
C} kompleks fuzzy proksimiti yarı grubunu alalım. Kolayca g¨or¨ulebilir ki SR
C nin her bir elemanı proksimal relator uzayında kompleks fuzzy idempotenttir.
Tanım 3.2.13. (X, Rµ
C) ve (Y, Rµ
C) birer kompleks fuzzy proksimal relator uzay olsun.
µ1RC : P(X) × P(X) −→ eiθ ve
µ2RC : P(Y ) × P(Y ) −→ eiθ
kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntılarının ¨uyelik fonksiyonları sırasıyla;
µ1RC(A, B) = r1C(A, B).eiw1C(A,B) ve µ2RC(A, B) = r2C(A, B).eiw2C(A,B) bi¸cimindedir.
µ1RC ve µ2RC nin kompleks fuzzy proksimiti kesi¸simleri,
µµ1RC⊗µ2RC(A, B) = rµ1RC⊗µ2RC(A, B).eiwµ1RC⊗µ2RC(A,B)
Teorem 3.2.4. PRC(X) t¨um kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntıların ailesi olsun.
PRC(X), “⊗” i¸slemi ile grupoiddir.
PR
C(X) nin “⊗” i¸slemi ile grupoid oldu˘gunu g¨ostermek i¸cin;
(µ1RC, µ2RC) = (µ10RC, µ20RC) oldu˘gunda, µ1 RC, µ2 RC, µ10RC, µ20RC ∈ PµR(X) i¸cin µ1 RC ⊗ µ2 RC = µ10RC ⊗ µ20 RC oldu˘gunu g¨ostermek gerekir. Bu durumda her bir A, B ∈ P (X) i¸cin,
(µ1 RC⊗ µ2 RC) (A, B) = (µ10RC ⊗ µ20RC) (A, B)
e¸sitli˘gini g¨ostermemiz gerekir. (µ1 RC, µ2 RC) = (µ10RC, µ20RC) oldu˘gundan µ1 RC = µ10 RC ve µ2 RC= µ20RC
dir. Buradan,
µ1 RC(A, B) = r1 C(A, B) .eiw1 C(A,B) ve µ10 RC = r10
C(A, B) .eiw10C(A,B) olur. r1 C(A, B) .eiw1 C(A,B) = r10
C(A, B) .eiw10C(A,B) elde edilir. Kolayca g¨or¨ulebilir ki, r1 C(A, B) = r10
C(A, B) ve eiw1 C(A,B) = eiw10 C(A,B) olur. Benzer ¸sekilde, µ2 RC(A, B) = r2 C(A, B) .eiw2 C(A,B) ve µ20 RC(A, B) = r20
C(A, B) .eiw20C(A,B) olarak alalım. r2 C(A, B) .eiw2 C(A,B) = r20
C(A, B) .eiw20 C(A,B) elde edilir. B¨oylece, r2 C(A, B) = r20
C(A, B) ve eiw2 C(A,B) = eiw20 C(A,B) olur.
Her A, B ∈ P (X) i¸cin,
(µ1RC⊗ µ2RC) (A, B) = min(r1C(A, B) , r2C(A, B)).ei min(w1C(A,B),w2C(A,B))
= min(r10
C(A, B) , r20
C(A, B)).ei min(w10C(A,B),w20C(A,B))
= (µ10C⊗ µ20C) (A, B) dir. Dolayısıyla, her A, B ∈ P (X) i¸cin
(µ1 RC⊗ µ2 RC) (A, B) = (µ10RC ⊗ µ20RC ) (A, B) e¸sitli˘gi elde edilir.
Teorem 3.2.5. PR
C(X) t¨um kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntıların ailesi olsun.
Kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısının kesi¸sim i¸slemi, PRC(X) ¨uzerinde birle¸sme
¨
ozelli˘gine sahiptir. Yani;
(µ1 RC⊗ µ2 RC) ⊗ µ3 RC = µ1 RC⊗ (µ2 RC ⊗ µ3 RC) dır.
˙Ispat. Her A, B ∈ P (X) i¸cin,
((µ1 RC⊗ µ2 RC) ⊗ µ3 RC) (A, B) = (µ1 RC⊗ (µ2 RC ⊗ µ3 RC)) (A, B) oldu˘gunu g¨osterelim.
(µ1RC⊗ µ2RC) (A, B) = min(r1C(A, B) , r2C(A, B)).ei min(w1C(A,B),w2C(A,B))
= rC(A, B) .eiwC(A,B) ve
µ3 RC(A, B) = r3 C(A, B) .eiw3 C(A,B) olarak alalım. Di˘ger taraftan,
µ1 RC = r1 C(A, B) .eiw1 C(A,B)
ve
(µ2RC⊗ µ3RC) (A, B) = min(r2C(A, B) , r3C(A, B)).ei min(w2C(A,B),w3C(A,B))
= r0
C(A, B) .eiw
0 C(A,B)
olsun. Buradan,
((µ1RC⊗ µ2RC) ⊗ µ3RC) (A, B) = min(rC(A, B) , r3C(A, B)).ei min(wC(A,B),w3C(A,B)) ve
(µ1RC⊗ (µ2RC⊗ µ3RC)) (A, B) = min(r1C(A, B) , rC0 (A, B)).ei min(w1C(A,B),w
0 C(A,B))
elde edilir.
r1C(A, B) , r2C(A, B) , r3C(A, B), w1C(A, B) , w2C(A, B) ve w3C(A, B) de˘gerlerini ele alalım ve birbirleriyle kar¸sıla¸stırmalar yapalım. ¨Orne˘gin;
1) r3C(A, B) > r2C(A, B) > r1C(A, B) ve w3C(A, B) > w1C(A, B) > w2C(A, B) olsun. Bu durumda,
((µ1 RC⊗ µ2 RC) ⊗ µ3 RC) (A, B) ve (µ1 RC⊗ (µ2 RC ⊗ µ3 RC)) (A, B) nin de˘gerleri sırasıyla;
((µ1RC⊗ µ2RC) ⊗ µ3RC) (A, B) = min(r1C(A, B) , r3C(A, B)).ei min(w2C(A,B),w3C(A,B))
= r1C(A, B) .eiw2C(A,B)
ve
(µ1RC⊗ (µ2RC⊗ µ3RC)) (A, B) = min(r1C(A, B) , r3C(A, B)).ei min(w2C(A,B),w3C(A,B))
= r1C(A, B) .eiw2C(A,B) dir. Dolayısıyla,
((µ1 RC⊗ µ2 RC) ⊗ µ3 RC) (A, B) = (µ1 RC⊗ (µ2 RC ⊗ µ3 RC)) (A, B) elde edilir.
2) r2C(A, B) > r3C(A, B) > r1C(A, B) ve w2C(A, B) > w1C(A, B) > w3C(A, B) olsun. Buradan,
((µ1RC⊗ µ2RC) ⊗ µ3RC) (A, B) = min(r1C(A, B) , r3C(A, B)).ei min(w1C(A,B),w3C(A,B))
= r1C(A, B) .eiw3C(A,B) ve
(µ1RC⊗ (µ2RC⊗ µ3RC)) (A, B) = min(r1C(A, B) , r3C(A, B)).ei min(w1C(A,B),w3C(A,B))
= r1C(A, B) .eiw3C(A,B)
dir. Benzer ¸sekilde,
((µ1 RC⊗ µ2 RC) ⊗ µ3 RC) (A, B) = (µ1 RC⊗ (µ2 RC ⊗ µ3 RC)) (A, B) olur.
3) r1C(A, B) > r3C(A, B) > r2C(A, B) ve w3C(A, B) > w2C(A, B) > w1C(A, B) olsun. olarak alınırsa;
((µ1RC⊗ µ2RC) ⊗ µ3RC) (A, B) = min(r2C(A, B) , r3C(A, B)).ei min(w1C(A,B),w3C(A,B))
= r2C(A, B) .eiw1C(A,B) ve
(µ1RC⊗ (µ2RC⊗ µ3RC)) (A, B) = min(r1C(A, B) , r2C(A, B)).ei min(w1C(A,B),w2C(A,B))
= r2C(A, B) .eiw1C(A,B)
B¨oylece,
((µ1 RC⊗ µ2 RC) ⊗ µ3 RC) (A, B) = (µ1 RC⊗ (µ2 RC ⊗ µ3 RC)) (A, B) dir.
Benzer y¨ontemle devam edilerek di˘ger durumlara da bakıldı˘gında g¨or¨ulecektir ki kompleks fuzzy proksimiti ba˘gıntısı, PRC(X) ¨uzerinde birle¸sme ¨ozelli˘gine sahiptir.
Teorem 3.2.4 ve Teorem 3.2.5 dikkate alınırsa; (PRC(X) , ⊗) bir yarı gruptur.
KAYNAKLAR
[1] L. A. Zadeh, Fuzzy Sets, Inf. Control, 8 (1965) 338-353.
[2] J. A. Goguen, L-fuzzy sets, J. Math. Anal. Appl., 18 (1967) 145-174.
[3] J. J. Buckley, Fuzzy Complex Numbers, in Proceedings of ISFK, Guangzhou, China, (1987), 597-700.
[4] J. J. Buckley, Fuzzy Complex Numbers, Fuzzy Sets Syst., 33:3 (1989), 333-345.
[5] J. J. Buckley, Y. Qu, Fuzzy complex analysis I: differentiation, Fuzzy Sets Syst. 41 (3) (1991) 269284.
[6] J. J. Buckley, Fuzzy Complex Analysis II: Integrations, Fuzzy Sets Syst., 49:2 (1992), 171-179.
[7] D. Ramot, R. Milo, M. Friedman and A. Kandel, Complex Fuzzy Sets, IEEE Trans. Fuzzy Syst., 10:2 (2002), 171-186.
[8] D. Ramot, R. Milo, G. Langholz and A. Kandel, Complex Fuzzy Logic, IEEE Trans. Fuzzy Syst., 11:4 (2003), 450-461.
[9] F. Riesz, Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengenlehre, Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici, II, (1908), 109-182.
[10] V. A. Efremoviˆc, The geometry of Proximity.I., Mat. Sbornik N. S. 31:73 (1952), 189-200.
[11] S.B. Krishna Murti, A set of axioms for topological algebra, J. Indian Math.
Soc., New Ser. 4, (1940), 116-119.
[12] A.D. Wallace, Separation Spaces, Ann. of Math. 42, (1941), 687-697.
[13] A.D. Wallace, Separation Spaces II , Anais Acad. Brasil. Ci., 14, (1942), 203-206.
[14] P. Szymanski, La notion des ensembles separes comme terme primitif de la topologie, An. Univ. Vest Timi., Ser. Mat.-Inform., 17, (1941), 65-84.
[15] S. Leader, On products of proximity spaces, Math. Ann., 154, (1964), 185-194.
[16] W. J. Perwin, Quasi-proximities for topological spaces, Math. Ann., 150, (1963), 325-326.
[17] M. W. Lodato, On topologically induced generalized proximity relations, I, Proc. Am. Math. Soc, 15 (1964) 417-422.
[18] J. F. Peters, E. ˙Inan and M. A. ¨Ozt¨urk, Spatial and descriptive isometries in proximity spaces, Gen. Math. Notes, 21:2 (2014) 125-134.
[19] S. A. Naimpally and B. D. Warrack, Proximity Spaces, Cambridge Tract, UK 1970.
[20] J. F. Peters, Local near sets: Pattern discovery in proximity spaces, Math.
Comput. Sci. 7:1 (2013), 87106.
[21] J. F. Peters, R. Hettiarachchi, Visual motif patterns in separation spaces, Theory Appl. Math. Comput. Sci. 3:2 (2013), 3658.
[22] S. A. Naimpally and J. F. Peters, Topology with Applications. Topological Spaces via Near and Far. World Scientific, Sinapore (2013).
[23] J. F. Peters, Near Sets: An Introduction, Math. Comput. Sci.,7:1 (2013), 3-9.
[24] A. K. Katsaras, Fuzzy Proximity Spaces, J. Math. Anal. Appl., 68 (1979) 100-110.
[25] G. Artico and R. Moresco, Fuzzy Proximities and Totally Bounded Fuzzy Uniformities, J. Math. Anal. Appl. 99 (1984) 320-337.
[26] G. Artico and R. Moresco, Fuzzy proximities according with Lowen fuzzy uniformities, Fuzzy Sets Syst., 21 (1987) 85-98.
[27] E. ˆCech, Topological Spaces, revised Ed. by Z.Frolik and M. Katˆetov. John Wiley and Sons, London (1996), 893pp.
[28] M. W. Lodato. On topologically induced generalized proximity relations, Ph.D.
thesis, Rutgers University USA 1962.
[29] S. Leader, On clusters in proximity Spaces, Fundam. Math., 47 (1959) 205-213.
[30] J. M. Smirnov, On Proximity Spaces, Sb. Math. (N.S.) 31, 73 (1964) 543-574.
English translation: Amer. Math. Soc. Trans. Ser. 2, 38, 5-35.
[31] J. F. Peters, Computational Proximity, Springer, 2016.
[32] J. F. Peters, Near sets. General theory about nearness of objects, Appl. Math.
Sci., 1:53-56 (2007) 2609-2629.
[33] C. Henry and G. Smith, Proximity System, University of Manitoba Computational Intelligence Laboratory Technical Report, TR-2012-021.
[34] J. F. Peters and S.A. Naimpally, Application of near sets, Notices Am. Math.
Soc., 59:4 (2012) 536-542.
[35] `A. Sz´as, Basic Tools and Mild Continuties in Relator Spaces, Acta Math.
Hung. 50 (1987) 177-201.
[36] J. F. Peters, Proximal Relator Spaces, Filomat, 30:2 (2016) 469-472.
[37] D.Didier and H.Prade, Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications . Academic Pres, New York, 1980.
[38] Majid Hussain. ”Fuzzy Relations”, Master Thesis, Blekinge Institute of Technology School of Engineering Sweden, 2010.
[39] G. Birkhoff, Lattice Theory, American Mathematical Society, RhodeIsland 1967.
[40] A. Kaufmann, Introduction to the Theory of Fuzzy Subsets Vol (1), Academic Pr., New York, (1975).
[41] M. W. Lodato, On topologically induced generalized proximity relations II, Pac. J. Math., 17 (1966) 131-135.
[42] J. F. Peters, Topology of Digital Images. Visual Pattern Discovery in Proximity Spaces, Intelligent Systems Reference Library, (63) Springer, xv + 411pp. 2014.
[43] A.K. Katsaras, Fuzzy Proximity Spaces, J. Math. Anal. Appl. 75, (1980) 571-583.
[44] `A. Sz´as and A. Zakaria, Mild Continuity Properties of Relations and Relators in Relator Spaces, Essays in Math. and its Appl., 439-511 (2016).
[45] B. A. Davey and H. A. Priestly, Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press, UK 1990.
[46] C.L. Chang, Fuzzy topological spaces, J. Math. Anal. Appl, 24, (1968), 182-190.
[47] I. Dochviri and J.F. Peters, Topological Sorting of finitely many near sets, Math. Comput. Sci.,10 (2016), 273-277.
[48] L. A. Zadeh, Similarity relations and fuzzy orderings, Inf. Sci., 3 (1971), 177-200.
[49] L. A. Zadeh, Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision process, IEEE Trans. Fuzzy Syst., Man. and Cybern. SMC-3, (1973).
[50] M. El-Darderya and J. Zhang, On L-fuzzy proximity spaces, Int. J. Hybrid Intell. Syst., 11:2 (2014) 137-144.
[51] M. Kovar, A new causal topology and why the universe is co-compact, arXive:1112.0817[math-ph]1-15arXiv:1112.0817.
[52] N. Murthy and P. Prasad, Representation of L-fuzzy relations via a galois connection, Tamkang J. Math., 40:3 (2009) 287-305.
[53] X. Fu, Q and Shen, A Novel Framework of Complex Fuzzy Numbers and Its Application to Computational Modelling, FUZZ-IEEE, Korea, August 20-24, (2009).
[54] Z. Guangquan, T. S. Dillon, K.C.J. Ma and J. Lu, δ-Equalities of Complex Fuzzy Relations, 24. IEEE International Conference on Advance Information Networking and Application, (2010).
OZGEC ¨ ¸ M˙IS ¸
Adı Soyadı: ¨Ozlem TEK˙IN
Do˘gum Yeri ve Tarihi: Ere˘gli/ Konya - 27.11.1988
Adres: Adıyaman ¨Universitesi, Fen Edebiyat Fak¨ultesi, Matematik B¨ol¨um¨u.
E-Posta: oumdu@adiyaman.edu.tr.
Lisans: Cumhuriyet ¨Universitesi, Fen Edebiyat Fak¨ultesi, Matematik B¨ol¨um¨u (2005 - 2009).
Y¨uksek Lisans: McMaster University, Algebra and Number Thoery, Matematik Anabilim Dalı (2011 - 2013).
Yayın Listesi:
1) ¨Ozt¨urk, M. A., ˙Inan, E., Tekin, ¨O. and Peters, J. F., Fuzzy Proksimal Relator Spaces, Neural Computing and Applications, (Elektronik Baskda).
2)Tekin, ¨O, ¨Ozt¨urk, M. A. and ˙Inan, E., L-Fuzzy Relations via Proximal Spaces, Thai Journal of Mathematics, (G¨onderildi).