SANATÇI YAPITLARI VE KİÇ ÜZERİNE DEĞERLENDİRMELER
III. 4 3 Komar&Melamid’in Resimlerinin Çözümlenmes
3.3
Grupos Espor´adicos
Os grupos finitos simples apresentados nas se¸c˜oes anteriores ocorrem naturalmente em s´eries infinitas, mas esta regra geral n˜ao vale para todos os grupos finitos simples. As
exce¸c˜oes s˜ao conhecidas como os grupos espor´adicos, um termo originalmente usado por
Burnside [25] para se referir aos grupos de Mathieu, que formam uma “mini-s´erie” de 5 grupos.
Um dos aspectos mais curiosos da teoria dos grupos espor´adicos ´e que em alguns casos a “descoberta” de um novo grupo espor´adico G n˜ao chegou a uma constru¸c˜ao expl´ıcita de G, mas se reduziu a uma “forte evidˆencia” da existˆencia de um grupo G com um certo conjunto de propriedades, tais como: a ordem de G, a estrutura de certos subgrupos cha-
mados subgrupos locais12, a tabela de caracteres de G, alguns caracteres modulares, etc.
O princ´ıpio matem´atico por tr´as desta “constru¸c˜ao por convic¸c˜ao” ´e o seguinte: se a in- vestiga¸c˜ao de um grupo G tendo certas propriedades n˜ao leva a nenhuma contradi¸c˜ao mas sim a uma estrutura interna “compat´ıvel”, ent˜ao existe um grupo G com estas proprieda- des. Apesar do cr´edito maior (inclusive o direito de nomear o grupo) ser usualmente dado ao “descobridor”, a existˆencia do grupo foi frequentemente estabelecida por outros, ou pelo menos com a ajuda de outros, e com intervalos variando de alguns meses at´e alguns anos.
Existem 26 grupos espor´adicos, que ainda n˜ao est˜ao definitivamente organizados sob
um ´unico ponto de vista. O maior de todos eles ´e o “Monstro” de Fischer-Griess.13 Dentre
os 26 grupos espor´adicos, 20 est˜ao envolvidos nele como subquocientes e formam, segundo Robert Griess [73], a “Happy Family”, que ´e naturalmente dividida em 3 gera¸c˜oes.
A primeira gera¸c˜ao ´e composta dos 5 grupos de Mathieu: M11, M12, M22, M23 e
M24. Na busca de grupos de permuta¸c˜oes de alto grau de transitividade, Emil Mathieu (por
volta de 1860) descobriu dois grupos 5-transitivos14 de graus 12 e 24, respectivamente, e
denotados M12 e M24. Em seguida, ele definiu M11 e M23como os subgrupos de estabilidade
de um ponto em M12 e M24, respectivamente, e M22 como o subgrupo de estabilidade de
um ponto em M23. Geradores de cada um deles encontram-se em [65, p´ag. 79] e os detalhes de sua constru¸c˜ao podem ser vistos em [73]. Cada um destes grupos ´e simples, e todos s˜ao subgrupos de M24. Estruturalmente, o fato mais not´avel a seu respeito ´e que, al´em dos
grupos alternados e dos grupos sim´etricos, eles s˜ao os ´unicos grupos de permuta¸c˜oes que
s˜ao 4- e 5-transitivos. Mais not´avel ainda ´e o fato de que levou quase 100 anos para que se descobrisse outro grupo espor´adico.
12Um subgrupo H de um grupo G ´e chamado de subgrupo local se H ´e o normalizador de um subgrupo
de G cuja ordem ´e uma potˆencia de um n´umero primo p.
13Estima-se que o n´umero de elementos do Monstro ´e da mesma ordem de grandeza que o n´umero de
part´ıculas elementares no planeta Jupiter.
14Um grupo de permuta¸c˜oes G em um conjunto Ω ´e dito k-transitivo se quaisquer duas k-uplas ordenadas
50 Grupos Finitos Simples
A segunda gera¸c˜ao consiste dos 3 grupos de Conway Co1, Co2 e Co3, juntamente com
os grupos HS de Higman-Sims, M cL de McLaughlin, HJ de Hall-Janko (tamb´em denotado
por J2) e Suz de Suzuki. Todos estes grupos podem ser obtidos como subgrupos do grupo de
automorfismos Aut(Λ0) de um curioso reticulado Λ0 de dimens˜ao 24 chamado de “reticulado
de Leech”, que se originou a partir da teoria de empacotamento de esferas e foi estudado extensivamente por John Conway em 1969.
Um reticulado Λ em Rn´e o conjunto de todas as combina¸c˜oes lineares com coefici-
entes inteiros de n vetores linearmente independentes v1, . . . , vn, dos quais exigimos tamb´em
que o produto escalar (vi, vj) seja um inteiro para todo 16i, j6n.15 Em particular, Λ ´e um
grupo abeliano. O reticulado Λ ´e dito integral (racional ) se existe uma base ortonormal de
vetores e1, . . . , en em Rn tal que as coordenadas de cada vi com respeito aos ek s˜ao n´umeros
inteiros (racionais). Ademais, Λ ´e dito unimodular se a matriz de mudan¸ca de base dos ek
para os vi tem determinante 1. O grupo de automorfismos Aut(Λ) de um reticulado Λ em
Rn ´e o subgrupo do grupo de rota¸c˜oes de Rn que deixa Λ invariante.
O reticulado de Leech Λ0 ´e um reticulado racional unimodular em R24 e seu grupo
de automorfismos ´e denotado por Co0. Este grupo, por sua vez, ´e perfeito e possui um ´unico
subgrupo normal – o seu centro, que ´e de ordem 2. O grupo Co1 ´e definido como o quociente
de Co0 pelo seu centro e portanto ´e um grupo simples que tem Co0como recobrimento duplo.
Os grupos Co2 e Co3 s˜ao obtidos como subgrupos estabilizadores de certos subreticulados
de Λ0. Por outro lado, os grupos HS, M cL, HJ e Suz foram originalmente descobertos e constru´ıdos de forma completamente diferente. Posteriormente, Conway notou que eles
tamb´em ocorrem naturalmente como subgrupos ou subquocientes de Co0. Por exemplo, HS
e M cL (mais precisamente, Aut(M cL)) podem ser obtidos do mesmo modo que Co2 e Co3,
escolhendo-se subreticulados adequados. J´a os grupos Suz e HJ (que ´e subgrupo de Suz)
s˜ao subquocientes de Co0. Desta forma, todos os 7 grupos est˜ao envolvidos em Co1. Se John
Conway tivesse estudado o reticulado de Leech cinco anos antes, ele teria descoberto 7 novos grupos espor´adicos, ao inv´es de 3.
Um fato interessante ´e que o grupo de Mathieu M24 tem um papel fundamental na
constru¸c˜ao do reticulado de Leech, e por consequˆencia, todos os outros grupos de Mathieu
aparecem naturalmente como subgrupos de Co0. Portanto, a primeira gera¸c˜ao est´a inclu´ıda
na segunda. Todas estas informa¸c˜oes encontram-se, com os devidos detalhes, em [73]. A terceira gera¸c˜ao ´e formada pelos 8 grupos espor´adicos que est˜ao envolvidos no
Monstro, denotado por M . S˜ao eles: os 3 grupos de Fischer F i22, F i23 e F i′
24, o grupo He de
Held, o grupo HN de Harada-Norton, o grupo T h de Thompson e o grupo BM de Fischer.16
Os grupos He, HN , T h e BM tˆem nomes alternativos F7, F5, F3 e F2, respectivamente,
15Em muitas instˆancias, o termo “reticulado” ´e empregado sem esta condi¸c˜ao de integralidade sobre os
produtos escalares.
3.3 Grupos Espor´adicos 51
pois podem ser constru´ıdos como centralizador em M de classes de conjuga¸c˜ao de ordens 7, 5, 3 e 2, respectivamente. Como M ´e o centralizador de 1 ele tamb´em ´e denotado por
F1. Os grupos F i22, F i23 e F i′24 fazem parte de uma classe de grupos chamados grupos de
3-transposi¸c˜oes.17 Eles ocorrem como os ´unicos grupos espor´adicos no teorema de Fischer,
que classifica os grupos finitos de 3-transposi¸c˜oes que s˜ao aproximadamente simples [12].
Pelo fato de que o grupo Co1 est´a envolvido em M , segue que as duas gera¸c˜oes
anteriores tamb´em est˜ao envolvidas em M . Mais informa¸c˜oes sobre M e seus “filhotes” podem ser encontradas em [71].
Os 6 grupos espor´adicos restantes n˜ao est˜ao envolvidos em M e portanto n˜ao fazem parte da “Happy Family” [71, 157]: s˜ao chamados em [73] de “Parias”. S˜ao eles: a “mini-
s´erie” dos 3 grupos de Janko J1, J3 e J4, o grupo Ly de Lyons, o grupo Ru de Rudvalis e o
grupo O′N de O’Nan.
Dizemos que um grupo transitivo de permuta¸c˜oes tem posto r se o subgrupo de estabilidade tem r ´orbitas. Um grupo transitivo de permuta¸c˜oes ´e 2-transitivo se e somente se tem posto 2 [10] e portanto os grupos de permuta¸c˜oes de posto 3 s˜ao o pr´oximo est´agio al´em da situa¸c˜ao k-transitiva. Por outro lado, sabe-se que v´arias classes de grupos finitos simples podem ser realizados como grupos de permuta¸c˜oes de posto 3, como por exemplo, os grupos cl´assicos, os grupos alternados e sim´etricos e os grupos de Mathieu. No entanto, a consequˆencia mais importante que decorre do fato de que um grupo G pode ser realizado como um grupo de permuta¸c˜oes de posto 3 ´e que a partir desta representa¸c˜ao de G pode-se construir um grafo Γ de tal forma que o grupo G age transitivamente nos v´ertices de Γ e transforma arestas em arestas [10]. Portanto G ´e um subgrupo de Aut(Γ), ou em outras palavras, G possui uma “geometria” natural associada. Ademais, se sabemos “a priori” que um determinado grupo ´e isomorfo a um grupo de permuta¸c˜oes de posto 3, podemos em certos casos “favor´aveis” construir o grupo G partindo de um grafo apropriado [65].
O grupo HJ = J2, por ter uma representa¸c˜ao permutacional de posto 3, foi o primeiro grupo espor´adico a ser constru´ıdo por este m´etodo, o que motivou a procura de novos grupos espor´adicos por esta abordagem. Numa r´apida sucess˜ao, formam descobertos e constru´ıdos mais 4 novos grupos espor´adicos com representa¸c˜ao permutacional de posto 3: o grupo M cL de McLaughlin, o grupo HS de Higman-Sims, o grupo Suz de Suzuki e o grupo Ru de
Rudvalis. Os grupos de Fischer F i22, F i23 e F i′
24, que j´a haviam sido descobertos, tamb´em
foram constru´ıdos a partir de representa¸c˜oes permutacionais de posto 3. Deste modo, vemos que o grupo Ru compartilha uma propriedade importante com 8 grupos da “Happy Family”. Mais informa¸c˜oes sobre grupos espor´adicos com representa¸c˜ao permutacional de posto 3 encontram-se em [73, p´ag. 125].
17Uma classe de conjuga¸c˜ao D de ordem 2 em um grupo ´e chamada uma classe de p-transposi¸c˜oes, onde
52 Grupos Finitos Simples
Por outro lado, os grupos J1, J3 e J4, o grupo Ly de Lyons e o grupo O′N de
O’Nan, juntamente com o grupo He de Held, o grupo de HN de Harada-Norton, o grupo T h de Thompson, o grupo BM de Fischer e o grupo M de Fischer-Griess n˜ao possuem representa¸c˜oes permutacionais de posto 3 e portanto n˜ao possuem nenhuma “geometria” natural associada que pudesse ser usada para constru´ı-los. Estes grupos foram descobertos atrav´es de varia¸c˜oes do m´etodo tradicional de Brauer de an´alise do centralizador de involu¸c˜oes [65, p´ag. 86], que produziu uma s´erie de propriedades de cada um deles. A id´eia b´asica para constru´ı-los era usar estas propriedades para tentar mostrar que deveria existir alguma
representa¸c˜ao matricial ou permutacional do grupo em quest˜ao. Por exemplo, o grupo J1
foi explicitamente exibido, pelo pr´oprio Janko, como um subgrupo de GL7(11), gerado por duas matrizes de ordens 5 e 7, respectivamente [65, p´ag. 84].
J´a para a constru¸c˜ao dos outros grupos, foi necess´ario o uso de computadores, dando inicio assim `a teoria de grupos computacional. O pioneiro nesta ´area foi Charles Sims, que desenvolveu algoritmos para construir e realizar c´alculos com grupos de permuta¸c˜oes usando
computadores. Com esta abordagem, foi poss´ıvel construir os grupos J3, Ly, O′N , He e
BM como grupos de permuta¸c˜oes. A constru¸c˜ao do grupo Ru tamb´em necessitou de alguns
c´alculos computacionais, devido ao grande n´umero de elementos. Os grupos J4, HN e T h
foram constru´ıdos como grupos de matrizes sobre corpos finitos, tamb´em com o auxilio de computadores. Finalmente, o grupo M constru´ıdo por Robert Griess [71] numa “tour de force”, como o grupo de automorfismos de uma ´algebra n˜ao-associativa de dimens˜ao 196.884, tamb´em produziu constru¸c˜oes n˜ao-computacionais dos grupos BM , HN , T h e He.
Atualmente, todos os grupos espor´adicos j´a foram constru´ıdos de maneira n˜ao- computacional, utilizando sofisticados m´etodos combinat´orios-geom´etricos [87, 88] que tˆem grande potencial para fornecer uma teoria capaz de descrever todos os grupos espor´adicos de forma uniforme. Apesar disto, os esfor¸cos empregados nas constru¸c˜oes computacionais resultaram em poderosos algoritmos de ´algebra computacional que hoje se encontram `a dis- posi¸c˜ao em forma de pacotes especializados [57] e na montagem de um banco de dados com centenas de representa¸c˜oes permutacionais e matriciais expl´ıcitas de v´arios grupos finitos sim- ples, incluindo todos os grupos espor´adicos. Este banco de dados, chamado “Atlas of Group Representations”, funciona online atrav´es da Internet e fornece os geradores dos grupos nos formatos adequados para serem utilizados nos pacotes de ´algebra computacional [160]. Assim todos os grupos espor´adicos tamb´em j´a foram constru´ıdos computacionalmente, in-
cluindo o Monstro que ´e gerado por apenas duas matrizes 196882 × 196882 sobre F2, que
necessitam, cada uma, de aproximadamente 5 gigabytes de mem´oria para seu armazena- mento e levam 45 horas para serem multiplicadas usando todos os recursos computacionais
do Lehrstuhl D f¨ur Mathematik, RWTH Aachen.18
18A dificuldade para multiplicar dois elementos do Monstro n˜ao ´e causada por seu tamanho e sim pela
falta de representa¸c˜oes “pequenas”; por exemplo, o grupo sim´etrico Sym50´e muito maior que o Monstro e
3.3 Grupos Espor´adicos 53 G |G| M (G) Out(G) Nome M11 24.32.5.11 1 1 Mathieu M12 26.33.5.11 Z2 Z2 Mathieu M22 27.32.5.7.11 Z12 Z2 Mathieu M23 27.32.5.7.11.23 1 1 Mathieu M24 210.37.5.7.11.23 1 1 Mathieu HJ = J2 27.33.52.7 Z2 Z2 Hall-Janko Suz 213.37.52.7.11.13 Z 6 Z2 Suzuki HS 29.32.53.7.11 Z 2 Z2 Higman-Sims M cL 27.36.53.7.11 Z 3 Z2 McLaughlin Co3 210.37.53.7.11.23 1 1 Conway Co2 218.36.53.7.11.23 1 1 Conway Co1 221.39.54.72.11.13.23 Z2 1 Conway F i22 217.39.52.7.11.13 Z6 Z2 Fischer F i23 218.313.52.7.11.13.17.23 1 1 Fischer F i′ 24 221.316.52.73.11.13.17.23.29 Z3 Z2 Fischer He = F7 210.33.52.7.13.17 1 Z2 Held HN = F5 214.36.56.7.11.19 1 Z2 Harada-Norton T h = F3 215.310.53.72.13.19.31 1 1 Thompson BM = F2 241.313.56.72.11.31.17.19.23.31.47 Z2 1 Fischer M = F1 2 46.320.59.76.112.313.17. .19.23.29.31.41.47.59.71 1 1 Fischer-Griess J1 23.3.5.7.11.19 1 1 Janko J3 27.35.5.17.19 1 1 Janko J4 221.33.5.7.113.23.29.31.37.43 1 1 Janko Ru 214.33.53.7.13.29 Z 2 1 Rudvalis O′N 29.34.5.73.11.19.31 Z 3 Z2 O’Nan Ly 28.37.56.7.11.31.37.67 1 1 Lyons
54 Grupos Finitos Simples