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Em ŖO idioma analìtico de John Wilkinsŗ Borges escreve:

Descartes, numa epístola datada de novembro de 1629, já tinha assinalado que, mediante um sistema decimal de numeração, num único dia podemos aprender a numerar todas as quantidades até o infinito e a escrevê-la num idioma novo que é dos algarismos;1

1

Teoricamente, o número de sistemas de enumeração é ilimitado. O mais complexo (para o uso das divindades e dos anjos) registraria um número infinito de símbolos,

150_{ŖBorges not only understood Cantor's essential methodology, but also appreciated that it led directly to the} discovery of paradoxes of self-referentialityŗ.

um para cada inteiro; o mais simples só requer dois: o Zero se escreve 0, um 1, dois 10, três 11, quatro 100, cinco 101, seis 110, sete 111, oito 1000, nove 1001.... É a invenção de Leibniz estimulado (ao que parece) pelos hexagramas enigmáticos do I

Ching (BORGES, 1999b, p.93).

Aqui Borges fala sobre os sistemas de numeração e apresenta o sistema binário, usado na Ciência da Computação, e que tem o mesmo Ŗpoderŗ que qualquer outro sistema de enumeração. O cálculo na computação é feito através da álgebra booleana (de George Boole, matemático inglês), que permite fazer operações lógicas e aritméticas usando apenas dois dígitos ou dois estados (sim e não, falso e verdadeiro, tudo ou nada, 1 ou 0, ligado e desligado). Em ŖPierre Menard, autor do Quixoteŗ, Borges também faz referência à Boole: Ŗh) Os rascunhos de uma monografia sobre lógica simbólica de George Booleŗ (BORGES, 1998n, p.491).

Os símbolos mais utilizados no sistema binário são 1 e 0. A lógica aristotélica utilizou os símbolos V e F e, a partir deles, construiu as tabelas-verdade criando, inicialmente, o Cálculo Proposicional. Muitos problemas podem ser resolvidos utilizando as tabelas- verdade e seus conectivos lógicos; porém, alguns paradoxos também podem ser criados a partir delas. Perec, nos livros Jeux intéressants (PEREC, 1997) e Nouveaux jeux intéressants (PEREC, 1998) trabalha, também, com alguns jogos lógicos que podem ser resolvidos e entendidos se conhecermos um pouco de lógica proposicional. No livro La littérature potentielle encontramos também os ŖPoèmes Booléensŗ e o ŖThéâtre Booléenŗ, que aplicam a álgebra de Boole na estrutura de seus textos (OULIPO, 1973, p.258; 264). Os Teoremas da Incompletude de Gödel também utilizam essas estruturas, além do cálculo de predicados (NEWMAN e NAGEL, 2001).

A seguir são apresentadas as principais tabelas-verdade:

a) Negação: Como só existem dois valores, a negação (~) é justamente o outro valor.

p ~p

V F

b) Conjunção (e ): Para que uma sentença seja verdadeira, é necessário que as duas proposições p e q sejam verdadeiras.

p q p  q

V V V

V F F

F V F

F F F

c) Disjunção (ou ): Para que uma sentença seja verdadeira, basta que a proposição p ou a proposição q sejam verdadeiras.

p q p  q

V V V

V F V

F V V

F F F

d) Implicação (se ... então): Se a partir de uma proposição p, verdadeira, eu chego numa proposição q falsa, então tenho uma falsidade na sentença.

p q p  q

V V V

V F F

F V V

F F V

Apesar de Borges não ter trabalhado explicitamente com as tabelas-verdade, todo o raciocínio aristotélico baseou-se nessa tentativa de mapear o pensamento através dos conectivos lógicos e da lógica proposicional. Isso nos levou a paradoxos p(~p), utilizados por Borges para construir seus contos:

Os melhores contos conhecidos de Borges, particularmente aqueles presentes em Ficções e O Aleph and Other Stories, mostram a estratégia em forma de protótipo. Apesar de escreverem sempre sobre estes contos, o papel das sequências infinitas não é geralmente reconhecido. A omissão é ainda mais

surpreendente, já que o trabalho de Borges é tão repetitivo: os mesmos temas, ideias e paradoxos são recorrentes (HAYLES, 1984, p.143).151

Assim é a obra de Borges: ele trabalha os mesmos conceitos, variando-os e criando diferentes aproximações, diferentes visões e problematizações dos paradoxos e da matemática, aumentando as possibilidades de leitura de suas obras. Assim, quanto mais conhecimento tiverem da matemática utilizada, mais possibilidades de leitura surgirão para os leitores de Borges.

Em ŖTlön, Uqbar, Orbis Tertiusŗ, apesar de apresentar outros conceitos matemáticos, o autor tem como objetivo alcançar as mesmas problematizações de outros contos. Já no começo do texto, Borges escreve Ŗque os espelhos e a cópula são abomináveis, porque multiplicam o número de homensŗ (BORGES, 1998m, p.475), predizendo a utilização de séries infinitas num mundo especular. E continua:

Recordo-o no corredor do hotel, com um livro de matemática na mão, contemplando, às vezes, as cores irrecuperáveis do céu. Uma tarde falamos do sistema duodecimal de numeração (no qual doze se escreve 10). Ashe disse que precisamente estava trasladando não sei que tabelas duodecimais a sexagemais (nas quais sessenta se escreve 10) (BORGES, 1998m, p.478).

Após ter utilizado os sistemas binário e decimal quando falou sobre a álgebra de Boole, Borges apresenta outros dois sistemas: o duodecimal e o sexagemal. Apesar de parecer estranho e diferente, Borges utiliza essa técnica como recurso ficcional para a construção de um mundo alternativo, especular, aparentemente diferente do nosso. Porém, mesmo com essa diferença entre mundos, um pode ser reduzido ao outro, assim como todos os sistemas de numeração utilizados por Borges (binário, decimal, duodecimal e sexagemal) podem ser reduzidos a um apenas, com o mesmo poder matemático. Esse argumento também foi utilizado na apresentação do livro com páginas infinitas (ŖO livro de areiaŗ) para representar toda ŖA biblioteca de Babelŗ e reduzi-la a um só volume.

As metamorfoses do texto borgiano conduzem também às recursividades e paradoxos trabalhados por Borges, conforme Hayles:

151_{ŖBorgesřs Best-known stories, particularly those anthologized in Ficciones and The Aleph and Other Stories,} show the strategy in prototypical form. Although these stories have often been written about, the role of infinite sequences in them has not been generally recognized. The omission is the more surprising because Borgesřs work is so repetitive: the same themes, ideas, and paradoxes keep recurringŗ.

No mundo que já foi uma vez Tlön e agora é uma sociedade materialista, um texto variante aparece em alusão a uma região misteriosa, onde qualquer outra filosofia, exceto idealismo, é inconcebível. A sequência, portanto, implica que o mundo torna-se outro e, cada um chamando um mundo oposto até a penúltima sequência que nunca termina. O texto se metamorfoseia em contexto, o contexto em texto, texto em contexto, em um Estranho Ciclo que faz com que a distinção entre Ŗficçãoŗ e Ŗrealidadeŗ seja uma questão indecidível (HAYLES, 1984, p.146).152

Através do recurso matemático dos sistemas de numeração presentes em ŖTlön, Uqbar, Orbis Tertiusŗ, no qual Tlön apresenta um sistema duodecimal, enquanto o Ŗnosso mundoŗ tem o sistema decimal, um mundo poderia se tornar o outro através do paradoxo das nove moedas. Assim, o penúltimo termo do sistema duodecimal (onze) se tornaria o penúltimo termo do sistema decimal (nove) e, atingida essa nova configuração, mais uma vez teríamos o paradoxo das nove moedas, construindo assim um ciclo (loop) infinito:153

Terça-feira, X atravessa um caminho deserto e perde nove moedas de cobre. Quinta-feira, Y encontra no caminho quatro moedas, um pouco enferrujadas pela chuva de quarta-feira. Sexta-feira, Z descobre três moedas no caminho. Sexta-feira de manhã, X encontra duas moedas no corredor de sua casa. O heresiarca queria deduzir desta história a realidade Ŕ id est, a continuidade Ŕ das nove moedas recuperadas. É absurdo (afirmava) imaginar que quatro das moedas não existiram entre terça e quinta-feira, três entre terça-feira e a tarde de sexta-feira, duas entre terça-feira e a madrugada de sexta-feira. É lógico pensar que existiram Ŕ ainda que de algum modo secreto de compreensão vedada aos homens Ŕ em todos os momentos desses três prazos (BORGES, 1998m, p.482-483).

Jaime Alazraki sugere que haja uma relação entre os quarenta volumes de A Primeira Enciclopédia de Tlön e a Enciclopédia Britânica, já que a de Tlön foi criada por uma sociedade secreta de geógrafos, químicos, artistas e algebristas, assim como as enciclopédias do Ŗnosso mundoŗ foram escritas, também, por químicos, geógrafos, artistas e algebristas. Dessa maneira, Borges recria e joga com o que é de fato realidade e ficção (ALAZRAKI, 1976).

Como dissemos anteriormente, Borges utilizou bastante os conceitos de infinito antes mesmo de conhecer o livro Matemática e imaginação. Outro livro muito importante que serve para corroborar a ideia de regressões infinitas, presentes também em ŖTlön, Uqbar,

152 _{ŖIn the world that was once Tlön and is now a materialist society, a variant text appears alluding to a} mysterious region where any other philosophy except idealism is inconceivable. The sequence thus posited implies that the worlds will became each other in turn, each calling the opposite world into being through the penultimate terms of sequence that never ends. Text metamorphoses into context, context into text, text into context, in a Strange Loop that makes the distinction between Řfictionř and Řrealityř an undecidable questionŗ. 153

Orbis Tertiusŗ, é também por ele apresentado em sua Biblioteca pessoal: ŖJ. W. Dunne: Uma experiência com o tempoŗ (BORGES, 1999t).

Dunne nasceu na Irlanda, em 1875, e morreu na Inglaterra, em 1949. Lutou na guerra dos Boers e sua principal tarefa militar foi como engenheiro aeronáutico. Além disso, tinha interesse por vários outros campos do conhecimento: construção de aviões, pesca, produção de textos de literatura infantil e de filosofia, nos quais defende a realidade dos sonhos premonitórios e a concepção de uma possível imortalidade. Apesar dessa via um pouco esotérica, Dunne apresentava suas teorias de forma séria e coerente, de maneira fiel aos fatos. A primeira referência de Borges a Dunne se dá em 1937, em El Hogar, e pode ser verificada também em: ŖŘI Have Been Here Beforeř, resenha presente no El Hogar; ŘJ. W. Dunne y la eternidadř, em Sur; ŘEl tiempo y J. W. Dunneř, em Sur; ŘGerald Heard, Pain, Sex and Time’, em Sur” (CAMURATI, 2005, p.178).

Para Borges, Ŗa profusão de diagramas, de equações e de itálicos ajudava-nos a supor que assistìamos a um processo dialético rigorosoŗ(BORGES, 1999r, p.465). Apesar de suas inúmeras referências a vários conceitos dos livros de Dunne, nos interessam aqui suas referências à regressão infinita, conforme o escritor argentino pontua em Outras inquisições:

No número 63 da revista Sur (dezembro de 1939) publiquei uma pré- história, uma primeira história rudimentar, da regressão finita. Nem todas as omissões desse esboço eram involuntárias: excluí deliberadamente a menção a J. W. Dunne, que extraiu do interminável regressus uma doutrina bastante assombrosa do sujeito e do tempo. A discussão (a mera exposição) de sua tese teria excedido os limites dessa nota. Sua complexidade requeria um artigo independente: este que agora ensaiarei (BORGES, 1999a, p.23).

Em The mystery to a solution: Poe, Borges, and the analytic detective story, John T. Irwin (1994) afirma que os paradoxos de autorreferência e autoconsciência absoluta que estão na base dos relatos policiais de Poe se repetem na obra de Borges. A esse respeito se posiciona Camurati:

É interessante destacar que Irwin se refere à regressão infinita e à progressão infinita, termos que significam literalmente retrocesso, ação de voltar; e progresso, ação de ir. Logicamente, segundo o contexto em que estes termos aparecem, seu significado pode ser mais preciso ou mais diversificado. Por exemplo, em matemática, falamos de uma progressão aritmética e progressão geométrica, conceitos que Irwin comenta quando transcreve e

explica o que Borges marcou em uma página de ŖAvatares da tartarugaŗ (CAMURATI, 2005, p.190).154

Como destacado por Irwin, Borges realmente faz referência a esses conceitos matemáticos com o intuito de aplicá-los em suas ficções, escrevendo em Discussão:

No Parmênides Ŕ cujo caráter zenoniano é irrecusável Ŕ Platão expõe um argumento muito parecido para demonstrar que o um é realmente muitos. Se o um existe, participa do ser; por conseguinte, há nele duas partes, que são o ser e o um, mas cada uma dessas partes é uma e é, de modo que encerra outras duas, que também encerram outras duas: infinitamente. Russell (Introduction to Mathematical Philosophy, 1919, pág. 138) substitui a progressão geométrica de Platão por uma progressão aritmética. Se o um existe, o um participa do ser, mas como são diferentes o ser e o um, existe o dois, mas como são diferentes o ser e o dois, existe o três, etc. Chuang Tzu (Waley: Three Ways of Thought in Ancient China, pág. 25) recorre ao mesmo interminável regressus contra os monistas que declaravam que as Dez Mil Coisas (o Universo) são uma só. Em todo caso Ŕ alega Ŕ a unidade cósmica e a declaração dessa unidade já são duas coisas: essas duas e a declaração de sua dualidade já são três; essas três e a declaração de sua trindade já são quatro... Russell opina que a imprecisão do termo ser basta para invalidar o raciocínio. Acrescenta que os números não existem, que são meras ficções lógicas (BORGES, 1998a, p.275).

Assim podemos comprovar os conceitos matemáticos que de fato estavam presentes na mente de Borges e como ele os usou.