O estado de equilíbrio de tal equação é dado por:
ρeq =
∞
X
n=0
e−~ω(n+1/2)/kBTe−~ω/2kBT(1 − e−~ω/kBT)|nihn| (2.45)
que é o operador densidade de um oscilador harmônico em contato com um reservatório a temperatura constante T .
2.3
Simulação Computacional e Descrição do Modelo
N
o início da década de 90 se intensificou a busca pela temática de localização de estados quânticos. (37) Desde então inúmeros trabalhos contextualizados em diferentes áreas surgiram. Apresenta-se neste capítulo uma das primeiras tentativas de técnicas de localização empregada no cenário de eletrodinâmica de cavidades. Mostra-se o proto- colo de partida que, inicialmente proposto, se tratou de uma simulação computacional. Posteriormente faremos também analiticamente, tratando o presente caso com teoria de perturbação e assim tem-se uma possível direção sobre os resultados obtidos.A ideia de localização proposta por J.R.Kuklinski (37) visava localizar estados de Fock através de uma cavidade, preenchida com um material não-linear de susceptibilidade
χ. Injeta-se dentro da cavidade uma série de pulsos curtos coerentes atuando como
um bombeio para o sistema, aqui considerados periódicos e idênticos de modo a terem frequência central ωL e tempo de duração τ, considerado menor do que qualquer escala
de tempo envolvida no problema. Deve-se atentar de antemão a respeito de algumas considerações: a primeira delas diz respeito ao meio ativo não linear, sendo este não ressonante aos modos de vibração da cavidade. Além disso, os vários modos de vibração da cavidade não interagem entre si, ou seja, o meio ativo não induz nenhuma relação entre eles devido ao fato do meio interagir com a luz. Além disso considera-se que uma das placas da cavidade é fixa enquanto a outra pode se mover. O movimento da placa móvel deve ser de forma lenta, caracterizando um movimento quase-estático. Dessa forma os modos de vibração não interagem entre eles e assim asseguramos a condição imposta acima. Dessa maneira, preparando a cavidade no estado fundamental (ou estado de
34
CAPÍTULO 2. LOCALIZAÇÃO DE ESTADOS DE FOCK EM
ELETRODINÂMICA QUÂNTICA DE CAVIDADES
vácuo), a dinâmica das equações é obedecida e o estado inicial (vácuo) evolui para um estado excitado de vibração, caracterizando a localização.
Figura 2.1 – Representação esquemática de uma cavidade com uma das paredes livre para se movimentar. Internamente preenche-se a cavidade com um material não-linear que interage com o modo de vibração selecionado. Devido ao lento movimento da placa móvel (adiabaticamente), garantimos que os modos de vibração não interagem entre si. De maneira conjunta, aplicamos um campo externo representado por pulsos de curta duração de forma que a interação radiação-matéria possa amplificar o modo de vibração escolhido e assim, ao competir com o processo de dissipação (absorção de luz pela cavidade), dá-se início ao processo de localização do estado de Fock almejado.
Fonte: Elaborada pelo Autor
Uma vez satisfeitas as condições, a dinâmica de um dado modo do campo eletromag- nético pode ser estudada. A equação mestra que descreve tal sistema é dada abaixo, de modo que o Hamiltoniano já leva em conta a mudança de volume da cavidade e aproxi- mação de onda girante. Além disso, considera-se também a não linearidade manifestada pelo material de susceptibilidade χ e o bombeio por parte dos pulsos de curta duração. Isso nos leva a um conjunto de equações dado abaixo:
dρ dt = i [ρ, H0+ H1] + Lρ (2.46a) H0 = ∆ (t) a†a+ χ a†a†aa (2.46b) H1 = Ω(t) a†+ a (2.46c) Lrho = γ 2 a† ρ a − ρ a† a − a†aρ (2.46d)
de forma que ∆(t) representa a frequência do modo de oscilação (da cavidade) dependente do tempo e o termo proporcional a γ descreve o processo de absorção da luz pela cavidade
2.3 Simulação Computacional e Descrição do Modelo 35
(próximo a temperatura zero). O termo H1 descreve os pulsos injetados na cavidade,
aqui considerados periódicos. Além de todas as considerações feitas acima, citadas como condições a serem cumpridas, a Eq.(2.46d) ressalta um ponto crucial: a dependência do sistema em relação a perdas para a cavidade, evidenciadas pela constante γ. Tal parâmetro torna o experimento altamente sensível, uma vez que se a taxa de absorção da cavidade for muito alta não é possível gerar um estado localizado, o que, de certa forma, é um fator limitante à realização experimental do sistema proposto. Portanto, o estado localizado com maior grau de fidelidade em relação ao estado almejado se restringe a um limite de valores para γ, pois, caso contrário, a localização não será efetuada.
Os pulsos injetados na cavidade, conforme já citado anteriormente, possuem uma curta duração e são considerados um bombeio externo ao sistema cuja intensidade é Ω0.
Representando o período dos pulsos como T e sabendo que τ << T , aproxima-se sua fórmula para um conjunto de funções Delta caracterizando um bombeio pulsado:
Ω(t) = Ω0 ∞
X
n=0
δ(t − nT ) (2.5)
A frequência do modo deve ser controlada lentamente para garantirmos que não ocorra superposição entre diferentes modos de oscilação e pode ser descrita linearmente com relação ao tempo da seguinte forma:
∆(t) = ∆0 (t − t0) Θ (t − t0) (2.6)
ou seja, o tamanho da cavidade deve ser alterado lentamente. Em tal condição, um estado localizado em torno do vácuo é gerado e é levado adiabaticamente para um estado excitado devido à mudança de ∆(t). Abaixo plota-se a distribuição de probabilidade do número de fotons em relação ao número de fotons N.
36
CAPÍTULO 2. LOCALIZAÇÃO DE ESTADOS DE FOCK EM
ELETRODINÂMICA QUÂNTICA DE CAVIDADES
Figura 2.2 – Localização do estado de Fock |n = 1i partindo do estado de vácuo (ou equivalen- temente |n = 0i).
Fonte: Elaborada pelo Autor
É possível notar a localização do estado |n = 1i porém em uma dada escala de tempo limite da ordem de 1/γ, uma vez que atingida tal escala, a perda de excitação para a ca- vidade atua de forma catastrófica e a localização é perdida. Além disso, a não linearidade também se mostra crucial para o processo, uma vez que é possível ter acesso ao controle do estado localizado através dela selecionando os estados degenerados do sistema.
Escalonando todas as grandezas dependentes do tempo em termos de T , geram-se abaixo os gráficos das probabilidades de ocupação dos estados de Fock. As curvas encon- tradas são resultado de simulações numéricas baseadas nas equações apresentadas nessa seção.
2.3 Simulação Computacional e Descrição do Modelo 37
(a) Localização do estado |n = 1i com dissipação de γ = 10−3T−1
(b) Localização do estado |n = 1i com dissipação de γ = 10−6T−1
Figura 2.3 – Probabilidade de ocupação entre |0i e |1i ao longo da evolução temporal. O estado inicial é o estado de vácuo (|0i) durante a interação sendo ∆0 = 4 × 10−4s−2,
Ω0 = 10−2T−1, χ = 0, 32 T−1
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CAPÍTULO 2. LOCALIZAÇÃO DE ESTADOS DE FOCK EM
ELETRODINÂMICA QUÂNTICA DE CAVIDADES
Comparando-se as figuras podemos notar que o processo de dissipação possui forte influência na localização dos estados, uma vez que quanto maior a taxa de dissipação, maior será a perda de excitação e como consequência o sistema tende a ir para o estado de vácuo. Além disso, a intensidade dos pulsos aplicados na cavidade deve ser muito menor que a taxa de decaimento, a fim de que a amplificação do modo da cavidade não ocorra em uma escala de tempo da ordem da taxa de dissipação de forma que o sistema possa evoluir para um estado localizado sem perdas significativas.