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Os isolantes topológicos são um novo estado da matéria que não podem ser conectados adiabaticamente com isolantes e semicondutores convencionais. Eles são caracterizados por serem isolantes no interior (bulk) e possuírem estados metálicos protegidos na super- fície ou borda. Isso é possível devido a combinação da interação spin-órbita e a simetria de Reversão Temporal. Esse novo estado da matéria foi previsto teoricamente e depois foi observado em diferentes sistemas, que incluem casos bidimensionais e tridimensionais. Para entendermos bem os isolantes topológicos, vamos começar falando sobre isolantes convencionais e também sobre o efeito Hall quântico, que foi o primeiro estado da matéria a possuir um gap de energia no interior e não ser topologicamente equivalente ao vácuo. Depois iremos considerar o isolante topológico em 2 e 3 dimensões.

existe é o isolante atômico, onde todos os elétrons estão ligados aos seus átomos em camadas fechadas. Os isolantes são eletricamente inertes pois, para deslocar um elétron, é necessário uma quantidade considerável de energia. Utilizando a teoria de bandas, podemos dizer que em um isolante existe um gap de energia separando os estados ocupados na banda de valência dos estados vazios na banda de condução. Na Figura (10) temos um esquema da estrutura de bandas de um isolante.

Figura 10: Estado isolante da matéria. Temos aqui a estrutura de bandas de um isolante, onde existe um gap de energia entre a banda de valência e a banda de condução. Fonte: [74]

Os semicondutores, assim como os isolantes, também possuem um gap de energia entre as bandas de valência e de condução, mas esse gap é bem menor que nos isolantes. Mas, em certo sentido, os semicondutores e os isolantes têm a mesma fase. Pode-se imaginar um processo que deforme continuamente o hamiltoniano de um no hamiltoniano do outro sem fechar o gap. Esse processo define uma equivalência topológica entre diferentes esta- dos isolantes. Se adotarmos esse esquema de classificação topológica, todos os isolantes convencionais são equivalentes. Tais isolantes são equivalentes ao vácuo, que de acordo com a teoria quântica relativística de Dirac tem um gap de energia para a produção de um par elétron-pósitron. Porém, nem todos os estados com gap são equivalentes ao vácuo. O primeiro exemplo onde isso acontece é no estado Hall quântico inteiro (EHQI).

O estado Hall quântico inteiro ocorre quando elétrons são confinados em duas dimen- sões na presença de um forte campo magnético. O campo magnético leva aos níveis de Landau quantizados com energia Em = ~ωc(m+1/2), onde ωc é a frequência ciclotron das

órbitas circulares dos elétrons e m é um inteiro. Se temos N níveis de Landau ocupados e os estados restantes estão vazios, temos um gap de energia separando os estados ocu- pados dos estados vazios, como em um isolante. Mas, diferente de um isolante, quando um campo elétrico é aplicado as órbitas de cíclotron se espalham, levando a uma corrente

Hall que é caracterizada por uma condutividade Hall quantizada dada por

σxy = N

e2

~ . (4.51)

A diferença entre um isolante convencional e o estado Hall quântico é de ordem to- pológica. Para entendermos melhor a ideia de um invariante topológico vamos considerar uma superfície 2D. Em tal superfície é possível definir a curvatura gaussiana k, que pode ser positiva, negativa ou nula. Para superfícies fechadas (sem bordas), o teorema de Gauss-Bonnet nos diz que a integral da curvatura gaussiana é um invariante topológico quantizado, e está relacionado com o genos g. O genos conta o “número de buracos na su- perfície” e é invariante por deformações suaves da superfície, onde suave significa qualquer deformação que não rasgue a superfície.

O invariante topológico que distingue um isolante convencional do estado Hall quân- tico foi explicado por Thouless, Kohmoto, Nightingale e den Nijs(TKNN)[37] e pode ser entendido fisicamente em termos da fase de Berry associada com as funções de onda de Bloch |um(~k)i. Berry mostrou que, quando o hamiltoniano de um sistema muda adiaba-

ticamente em um caminho fechado no espaço dos parâmetros o sistema adquire uma fase bem definida dada pela integral de linha de ~Am = ihum|~∇k|umi. Isso pode ser escrito

como uma integral de superfície do fluxo de Berry dado por ~Fm = ~∇ × ~Am. Associado à

curvatura de Berry existe um invariante em um sólido que pode ser escrito como

n = N X m=1 nm , (4.52) onde nm = 1 2π Z d2kFm . (4.53)

né um inteiro quantizado e é um invariante topológico. A condição para ele ser quantizado

é que haja um gap de energia entre os estados ocupados e os estados vazios. Ele é conhecido como o invariante TKNN, pois estes autores mostraram que a condutividade Hall σxy, computada usando a fórmula Kubo, tem a mesma forma que Eq.(4.51), mas com

N idêntico a n. A quantidade n é um invariante topológico no sentido que ele não muda

quando o hamiltoniano muda suavemente. Mudar suavemente aqui significa não fechar o gap de energia. Portanto, se considerarmos a interface entre um sistema Hall quântico com n = 1, por exemplo, e o vácuo, que possui n = 0, para que o invariante n mude de valor é necessário que o gap de energia seja fechado e tenhamos estados metálicos na interface [Fig. 11]. Esses estados da borda se propagam em apenas uma direção, fazendo com que eles não possam ser espalhados por impurezas. Normalmente os elétrons podem

ser espalhados, fazendo com que eles se movam no sentido contrário, mas na interface mostrada na Fig. 11temos transporte eletrônico sem dissipação de energia.

Figura 11: Interface entre um estado Hall quântico e um isolante convencional. (a) Os elétrons na interface que se propagam pulando de uma órbita de ciclotron para outra. (b) A estrutura de bandas, onde um estado da borda conecta a banda de condução com a banda de valência. Fonte: [75].

Um estado topológico diferente da matéria foi teoricamente predito para ocorrer em poços quânticos e posteriormente foi observado experimentalmente. Esse novo estado da matéria é conhecido como Estado Hall Quântico de Spin (EHQS) ou simplesmente isolante topológico bidimensional. O que caracteriza o isolante topológico é uma forte interação spin-órbita e a presença da simetria de reversão temporal.

A condutividade Hall quebra a simetria de reversão temporal (T ), portanto o estado Hall quântico só existe quando não temos a simetria T . Contudo, a interação spin-órbita permite a existência de uma nova classe topológica de estruturas de bandas isolantes sem quebrar a simetria T . A simetria T é representada pelo operador antiunitário dado por

Θ = eiπSy/~_K (4.54)

onde Sy é o operador de spin e K toma o complexo conjugado. Para spin 1/2, o operador

Θ tem a propriedade Θ2 _{= −1. Isso tem uma importante consequência, conhecida como}

o teorema de Kramers, que diz que todos os autoestados de um hamiltoniano invariante por T são pelo menos duplamente degenerados. Isso ocorre por que se existisse um estado |χi não degenerado, então Θ|χi = c|χi, para alguma constante c. Isso implica em Θ2_{|χi = |c|}2_{|χi, o que não é permitido pois |c}2_{| 6= −1. Portanto, para um autoestado de}

energia |ni qualquer, o estado Θ|ni também será um autoestado com a mesma energia. Quando não temos a interação spin-órbita, essa degenerescência é simplesmente entre as componentes up e down do spin.

Um hamiltoniano de Bloch invariante em T deve satisfazer a condição

ΘH(~k)Θ−1 _{= H(−~k) . (4.55)}

É possível classificar topologicamente todos os hamiltonianos de Bloch que possuem essa simetria e tem um gap de energia em duas classes topológicas. Como já foi dito ante- riormente, a condutividade Hall quebra a simetria T , e portanto, o invariante TKNN é igual a zero para sistemas com essa simetria. Mas existe um outro invariante topológico que possui apenas dois valores possíveis, ν = 0 ou 1. Para entendermos esse invariante topológico vamos olhar para a correspondência entre o interior e a borda de um material.

Figura 12: Dispersão eletrônica na região entre dois pontos da borda que possuem de- generescência de Kramers Γa = 0 e Γb = π/a. Em (a) os estados da borda cruzam a

energia de Fermi EF um número par de vezes, enquanto que em (b) cruzam um número

ímpar de vezes. Um número ímpar de cruzamentos leva a estados de borda protegidos topologicamente. Fonte: [75].

Na Fig. 12temos os estados eletrônicos de um isolante 2D invariante por T , com um

gap de energia separando as bandas de condução e valência e estados da borda na região do gap. Apenas metade da zona de Brilouin é mostrada na figura, pois devido à simetria T , a

região −π/a < k < 0 é a imagem espelhada de 0 < k < π/a. Dependendo da forma como os átomos se reorganizam na borda ou de modificações nas ligações químicas, os estados da borda na região do gap de energia podem existir ou não. Se eles existem, o teorema de Kramers diz que eles têm que ser pelo menos duplamente degenerados nos pontos k = 0 e

k= π/a, nos outros pontos a interação spin-órbita quebra essa degenerescência. Na Fig.

12vemos que existem duas possibilidades para os estados da borda em k = 0 e k = π/a se conectarem. No primeiro caso à esquerda da figura, os estados de borda cruzam um número par de vezes a energia de Fermi. Nesse caso, esses estados da borda são frágeis

e sua existência depende da geometria e da química da borda, podendo ser facilmente eliminados. Na outra possibilidade os estados da borda cruzam a energia de Fermi um número ímpar de vezes. Neste caso, esses estados da borda são protegidos, não podendo ser eliminados.

Para cada banda cruzando a energia de Fermi em kx, temos um par de Kramers

degenerado em −kx. Se o isolante possui um número par de pares de Kramers cruzando

a energia de Fermi, ele encontra-se em uma fase topologicamente trivial com ν = 0. Se cruzar um número ímpar, o isolante está no ESHQ, que é um estado topologicamente não trivial com ν = 1. Diversas formulações matemáticas para o invariante topológico ν podem ser encontradas nas referências [43, 44, 45,46].

O EHQS pode ser visto como duas cópias do EHQI, onde estados com spin opostos se propagam em sentidos contrários na borda do material. Na interface entre um EHQS e o vácuo [Fig.13] temos uma mudança no invariante topológico ν, portanto temos estados metálicos na interface. Esses estados não podem ser localizados, nem na presença de desordem forte, contanto que a impureza não quebre a simetria de reversão temporal.

Figura 13: Estados da borda de um isolante Hall quântico de spin. Em (a) temos a interface entre um EHQS com ν = 1 e o vácuo com ν = 0. Existem estados metálicos na borda que são spin polarizados, isto é, partículas com spin up e down se propagam em sentidos opostos por dois canais de propagação conectados pela simetria de reversão temporal. Em (b) a estrutura de bandas do EHQS com os estados da borda é mostrado. Fonte: [75].

O primeiro estado de isolante topológico bidimensional obtido experimentalmente foi em poços quânticos de HgTe intercalado entre CdTe [38]. Ele havia sido anteriormente proposto teoricamente [76], onde se verificou que a espessura da camada de HgTe deve ser superior a um valor crítico de dc ∼ 6,5nm. O modelo utilizado para descrever a estrutura

eletrônica dos poços quânticos de HgTe/CdTe foi primeiramente introduzido na referência [76]. Explicitamente esse modelo é dado por

H(~k) = ǫ(k)1_4×4+          M(k) A(kx+ iky) 0 0 A(kx− iky) −M(k) 0 0 0 0 M(k) _−A(kx− iky) 0 0 −A(kx+ iky) −M(k)          (4.56) onde ǫ(k) = C + D(k2 x+ k2y), M(k) = M − B(kx2+ ky2) e os parâmetros A, B, C, D e M

dependem da geometria do poço quântico. O espectro de energia do bulk é dado por

E_{± = ǫ(k) ±}qA2_(k2

x+ k2y) + M2(k) , (4.57)

enquanto que o hamiltoniano efetivo que descreve os estados da borda é dado por

Hborda= Akyσz . (4.58)

Para poços quânticos de HgTe, A ≃ 3,6eV·Å e a velocidade dos estados da borda é dada por v = A/~ ≃ 5,5 × 105_m/s.

Em 2006 três grupos teóricos independentes descobriram que o EHQS pode ser gene- ralizado para três dimensões [39, 40, 41]. Depois disso, essa fase foi predita para existir em vários outros materiais reais [77]. A confirmação experimental veio em 2008 [42].

Para o isolante topológico bidimensional vimos que existe o invariante Z2 ν que

distingue o IT de um isolante trivial. Para o caso 3D, existem quatro invariantes Z2

(ν0; ν1,ν2,ν3), tal que cada um pode ter dois valores distintos, 0 ou 1. Isso faz com que

existam dezesseis fases topológicas distintas, mas apenas o invariante ν0 é robusto na

presença de desordem, fazendo com que exista apenas duas fases topológicas distintas. Neste caso, quando ν0 = 0, temos o isolante topológico fraco ou trivial, que pode ser

obtido empilhando várias camadas de IT bidimensionais criando uma estrutura 3D. Para

ν0 = 1 temos o isolante topológico forte ou simplesmente isolante topológico. Os invari-

antes (ν1,ν2,ν3) podem ser interpretados como os índices de Miller indicando a orientação

da rede.

O modelo efetivo para isolantes topológicos 3D proposto em [78] é válido para o

apenas termos lineares e quadráticos no momento ~k, o hamiltoniano efetivo é dado por H(~k) = ǫ(k)1_4×4+          M(k) AKz 0 A2k− A1kz −M(k) A2k− 0 0 A2k+ M(k) −A1kz A2k+ 0 −A1k+ −M(k)          , (4.59)

onde K_± = Kx±iky, ǫ(k) = C +D1kz2+D2k_⊥2 e M(k) = M −B1k2z−B2k2_⊥. Os parâmetros

dependem dos detalhes do material e podem ser determinados ajustando o espectro de energia do hamiltoniano efetivo com resultados obtidos de cálculos ab initio [79, 78].

Os estados da superfície podem ser obtidos projetando o hamiltoniano do bulk nos estados de superfície. No caso mais simples, onde temos apenas um ponto de Dirac, os estados da superfície podem ser descritos pelo hamiltoniano

Hsup = −i~vF~σ · ~∇ . (4.60)

onde ~σ são as matrizes de Pauli caracterizando o spin real dos estados superficiais.

4.5

Conclusões

Neste capítulo revisamos a equação de Dirac, que descreve elétrons relativísticos e mostramos como ela é utilizada de foram efetiva para descrever portadores de carga no grafeno e nos isolantes topológicos. Para o grafeno, a equação de Dirac efetiva descreve estados eletrônicos de baixa energia, onde existe uma relação de dispersão linear seme- lhante a de férmions de Dirac sem massa. Existem dois pseudospins, um relacionado com as duas subredes na estrutura da rede do grafeno e outro relacionado com os dois pontos de Dirac na estrutura de bandas. Para os isolantes topológicos tridimensionais, a equação de Dirac descreve os estados da superfície, que são protegidos topologicamente, e diferente do grafeno, não existe os pseudospins.

5

Equação de Dirac Efetiva com