Kesirli faktöriyel deneyler

Tam faktöriyelden farklı olarak kesirli faktöriyel deney tasarımı yönteminin ortaya çıkış sebeplerinin başında maliyet ve zaman kavramları gelmektedir. Tam faktöriyel olarak tasarlanan deneylerde maksimum bilgi kazancı elde edilirken, deneylerin

yürütülmesi sırasında geçen zaman ve harcanan para da maksimum düzeydedir. Bu şartlar bilgi ve maliyet arasındaki dengeyi en iyi şekilde oluşturmak ve bunun devamını sağlamak zorunluluğunu ortaya çıkarır. Ayıca klasik faktöriyel tasarımlarda gerek deneyin oluşturulmasında ve gerekse analizinde uzman personel gereklidir.

Kesirli faktöriyel deneylerde amaç işlem sayısını azaltmaktır. Bu da incelenen faktörlerden ödün vermeden incelenen etkileşimlerin sayısını azaltarak sağlanabilir. Genelde faktöriyel tasarımlarda faktörlerin iki seviyeli olduğu düşünülürse üç faktör için toplam (23) sekiz işlem yeterlidir. Bu işlemler içinde üç temel etki ve dört adet etkileşim mevcuttur. Tablo 3.5.'de artan faktör sayısına bağlı olarak olası etkileşim adetleri verilmiştir. Görüldüğü gibi artan faktör sayısına bağlı olarak etkileşimlerin sayıları artıyor ve bu da direk olarak yapılacak olan işlem sayısına yansıyor. Etkileşimlerin sayısı kombinasyon formülü yardımıyla hesaplanabilir [24].

Cnk = k!/(k-n)(n!) (3.1)

k: faktör sayısı

n: etkileşimde yer alan faktör sayısı

Tablo 3.5. Faktör sayısına bağlı olarak etkileşim adetleri [24]

Kesirli faktöriyel deney tasarımı mantığında yer alan etkileşim azaltma kavramından etkileşimleri gözardı etmek anlaşılmamalıdır. Zaten etkileşimlerin gözardı edilmesi demek bir kerede bir faktör değiştirilerek yapılan deneylere geri dönmek anlamındadır. Kesirli faktöriyelde ilke; probleme katılması durumunda çok sayıda

işlem gerektiren, fakat gerçekte katkısının analizlerde çok az çıkacağı tespit edilen yüksek serbestlik derecesine sahip olan etkileşimleri deney matrisine yerleştirmemektir [24].

Bu yaklaşım üç değişik bilyanın ağırlığının tartım işlemi sonunda kaç değişik yolla bulunabilineceği örneği ile açıklanırsa daha iyi anlaşılabilir. Bir kerede bir faktör denenerek yapılacak bir deney tasarımı neticesinde bilyaların ağırlıkları üç işlemle bulunabilir. Tam faktöriyel deney tasarımında ise aynı amaca ulaşabilmek için 8 işlem gereklidir (Tablo 3.6)[24].

Tablo 3.6: 23 tam faktöriyel tasarım matrisi [16]

Tam faktöriyelde işlem sayısının artma sebebi etkileşimlerinin deney matrisinde yer almasıdır. (AB, AC, BC, ve ABC) Ancak bilyanın tek başına tartımı ile diğer bilyalarla beraber tartımı sonucunda bilyanın tek başına ağırlığı değişmeyecektir. Bu yüzden bu deney için etkileşime gerek yoktur. Sonuçta üç bilyanın her biri için bir ve toplam ortalama için de bir ise toplam serbestlik derecesi dörde eşittir. Bu da üç faktör ve iki seviyeli bir tam faktöriyel bir deney tasarımında işlem sayısının yarıya indirilmesi ile elde edilen en basit tam faktöriyel tasarım matrisine eşittir. Tablo 3.7’de iki seviyeli A ve B için deney matrisi gösterilmiş olup aynı zamanda AB etkileşimi de matrise dahil edilmiştir.

Tablo 3.7: 23 _{kesirli faktöriyel matrisi [16]}

Normalde problemde etkileşimlerin olmaması gerektiği sonucuna varılmış olduğundan AB etkileşimi yerine C faktörü deneye alınabilir. Bu durumda deney matrisindeki deneme kombinasyonu değişir. (Tablo 3.8)

Tablo 3.8: Değişmiş 23 kesirli deney matrisi[24]

Bu durumda C faktörünün etkisi AB etkileşimi ile aynı gibi düşünülmüş olur. Aynı yaklaşımla matematiksel olarak bu iki faktörün birleştirildiği de düşünülebilir. Bu olayın istatistiki olarak anlamı karıştırma (confounding) veya benzetme (alias) olarak bilinir. Bu durum özel bir işaretle aşağıdaki gibi gösterilir[24].

C ≈ AB (3.2)

Karıştırma, faktöriyel deneyleri bloklarda tasarlama imkanı verir. Karıştırma iki veya daha fazla etkinin lineer bileşimidir. Karıştırılan faktörler aynı serbestlik derecesine sahiptir ve birbirinden bağımsız olarak düşünülemez. C ≈ AB karışması C veya AB'nin kendilerine ait etkilerinin olduğu ve her ikisinin birleşmiş etkilerinin aynı sayıya eşit olduğu anlamındadır[24].

Bu özel sembol (≈) karıştırılmış olan etkilerin ölçümünü gösterir ama eşitlik anlamında değildir. Gerçekte ölçülen etki, iki etkinin cebirsel toplamı veya lineer kombinasyonu olduğu için sonuç sıfırdır. Bu etkiler fiziksel olarak bağımsız kalabilirler fakat kesirli faktöriyel tasarımda bu tür matematiksel birleşmelerin ve karıştırmaların varlığı nedeniyle bu etkileri bağımsız olarak değerlendirmek mümkün değildir. Bu örnek için etkileşim olmadığı için C ve AB için ayırım söz konusu olabilir [16].

Kesirli faktöriyel tasarımlarda tüm karışıkları tanımlayan sistem Mod tabanına göre düzenlenmiştir. İki seviyeli bir sistem için karışım Mod 2'ye göre, üç seviyeli de ise Mod 3'e göre düzenlenir[16].

Bu sistem için kısmi faktöriyel tasarımın temelini C≈AB oluşturur buna generatör adı verilir. Generatörler genelde yüksek düzeyli etkileşim kolonudur. Generatör yardımı ile tanımlanmış bir ilişki (defining relation) veya tanımlanmış bir zıtlık (defining contrast) belirlenebilir. Tanımlanmış zıtlıklar kısmi faktöriyel tasarımda karıştırılan faktörlerin kümesidir. Bunu açıklamak için öncelikle etkisiz elemanın tanımlanması gereklidir. Etkisiz eleman, matematikten de bilindiği gibi bölme işleminde veya çarpma işleminde sonucu etkilemeyen elemandır. İkinci kavram cebirsel modüldür. Cebirsel modül sayının moda bölündüğünde kalan sayı veya sayıdan çıkarılan çarpan değerine eşittir [16].

Mod 2 için 1=1, 2=0, 3=1, 4=0, 5=1, 6=0, vs.

Generatör C≈AB olduğuna göre bu yaklaşımın her iki tarafı C ile çarpılırsa;

C*C≈AB*C (3.3)

C2≈ABC (3.4)

Daha sonra Mod 2 uygulanırsa C2≈C0 olduğu için 1≈ABC olarak etkisiz eleman bulunur. Etkisiz eleman karmaşık etkilerin tam kümesini belirlediği için tanımlanmış zıtlık (defining contrast) olarak tanımlanır. Tanımlanmış zıtlık ile her bir faktör çarpılır, Mod 2’ye göre işlem gerçekleştirilir ve etkisiz eleman kuralları uygulanırsa

A1≈A2BC .. A≈BC (3.5) B1≈AB2C .. B≈AC

C1≈ABC2 .. C≈AB

karmaşalar bulunur. Bu karıştırmalar deney matrisine taşınırsa aşağıdaki Tablo 3.9 elde edilir.

Tablo 3.9: 23 _{deney matrisinin karıştırma uygulanmış şekli [16]}

AC sütunun işaretleri A ve C sütunlarının işaretlerinin çarpımı ile elde edilmesine rağmen B sütunun işaretlerine eşittir. Bu da karıştırmanın bir göstergesidir. Sonuçta tanımlanmış zıtlığın B ≈ AC olduğunu gösterilir [16].

Karıştırmanın kuralları aşağıdaki gibi özetlenebilir;

1. Temel etkileri arasında karıştırma işlemi yapılmamaktır. 2. Temel etkileri ikili etkileşimlerle karıştırmamaktır .. 3. İki faktörlü etkileşimleri birbirleri ile karıştırmamaktır.

Kural 1 hiçbir zaman ihlal edilmemelidir. İkinci kural dışına bazı durumlarda çıkılabilir.Üçüncü kuralın ihlal edilmesinde çok büyük bir sakınca yoktur [16].