A coleção Matemática: Curso Moderno, para os cursos ginasiais, é composta por quatro volumes, e os exemplares analisados a seguir datam de 1968. Diferente das coleções anteriormente analisadas, essa coleção reorganiza os conteúdos presentes em seus volumes, de maneira que seja possível transcorrer com a teoria dos conjuntos por, praticamente, todos os anos do ensino ginasial, ou seja, aos poucos a linguagem referente à teoria dos conjuntos vai sendo desenvolvida na coleção, dando suporte, principalmente, para o estudo das estruturas.
Fazendo-se uma analogia ao que Euclides Roxo havia pensado para o ensino secundário em relação ao conceito de função – sobre a questão da unidade matemática e de como essa percepção seria desenvolvida em sua coleção, precocemente, paulatinamente, através do conceito de função –, Osvaldo Sangiorgi propõe algo semelhante para sua coleção quanto ao método de ensino, só que agora em relação às estruturas matemáticas. Portanto, para entender
“espaço” do conceito de função, de como será desenvolvido o conteúdo de funções, no geral, na obra de Osvaldo Sangorgi, é preciso compreender a perspectiva da matemática como um todo nesta coleção.
Osvaldo Sangiorgi, no primeiro volume da coleção Matemática: Curso Moderno, faz a abertura do livro com uma carta ao estudante ou, como ele coloca, “uma palavra para você (o aluno) que inicia o ginásio...”. Segue abaixo um excerto do texto original:
Meu caro estudante:
Você, provavelmente já foi iniciado no estudo de Matemática de um modo diferente daquele pelo qual seus irmãos e colegas mais velhões estudaram.
Sabe por quê?
Porque a Matemática para eles, na maioria das vezes era um “exagero de cálculos”, “problemas complicados, trabalhosos e fora da realidade” que o tornavam, quase sempre, um fantasma!
Hoje, na era Atômica em que vivemos, isso é trabalho para as máquinas (os fabulosos computadores eletrônicos de que tanto falam nos jornais...), razão pela qual você vai aproveitar o seu precioso tempo aprendendo o verdadeiro significado e as belas
estruturas da Matemática Moderna (SANGIORGI, 1968a, carta ao estudante, grifo
do autor).
Alguns elementos inovadores podem ser conferidos na coleção de Osvaldo Sangiorgi no que toca aos conteúdos e à agregação de novos conceitos e noções, conforme citados no capítulo 3, ou seja, como a linguagem simbólica referente à teoria dos conjuntos e o estudo das estruturas como elemento unificador. Esses elementos são tidos como inovadores não apenas na concepção de Osvaldo Sangiorgi, pois a teoria dos conjuntos e o conceito de estrutura são tópicos característicos da evolução da álgebra a partir da segunda metade do século XIX.
Como visto, o rigor da linguagem matemática também é um elemento fundamental que denota a Matemática Moderna. Abel, Cauchy, entre outros matemáticos do século XIX, marcaram definitivamente a matemática com esse aspecto (REVUZ, 1980). A noção de conjunto, relação e operações e, fundamentalmente, o conceito de estrutura, formam o alicerce da modernização da matemática em âmbito mundial no final do século XIX, advento dos novos anseios que resultariam na consolidação de uma Nova Matemática, elementos esses presentes na coleção de Osvaldo Sangiorgi.
Quanto à presença dos conteúdos que envolvem conjuntos, relações e operações, na coleção Matemática: Curso Moderno, de Osvaldo Sangiorgi, estes dão abertura à coleção. A noção de conjunto – apresentada no livro como a noção concreta de coleção – e as relações de pertinência e inclusão são exploradas no primeiro capítulo do volume 1 juntamente com a apresentação do Diagrama de Venn, que precede o conteúdo de operações com conjuntos: intersecção, reunião, complementação e produto cartesiano.
Desde as primeiras páginas, faz-se uso da linguagem simbólica para explorar relações e operações, o que significa que Osvaldo Sangiorgi estava decidido a tornar concreta, através de sua coleção, suas crenças acerca das contribuições da modernização do ensino de matemática. E uma dessas contribuições era a utilização de símbolos lógicos como uma maneira de modernizar a linguagem, trazendo, através de seu domínio, os elementos matemáticos antes considerados primitivos (número, letra, ponto, entre outros já citados por ele) para o mundo das estruturas.
Essa simbologia é bastante explorada no conteúdo referente a conjuntos. As aplicações, presentes ainda no primeiro capítulo, fazem uso do Diagrama de Venn representando operações com conjuntos – as Práticas Modernas, assim como são chamadas essas representações no livro (figura 20).
Figura 20: práticas modernas. Fonte: SANGIORGI, 1968a, p. 22.
Logo em seguida, é apresentada outra operação entre conjuntos, juntamente à representação dessa relação por intermédio de um grafo: o “produto cartesiano” (figura 21).
Figura 21: produto cartesiano. Fonte: SANGIORGI, 1968a, p. 22.
Esta operação também é representada por diagramas, dando margem para que, uma vez estabelecido um par ordenado de um produto AB de dois conjuntos, cada par seja expresso em um plano, de maneira “tabular”, sendo esta, então, a representação do produto cartesiano por intermédio do plano cartesiano, em uma relação binária (figura 22).
Figura 22: plano cartesiano. Fonte: SANGIORGI, 1968a, p. 28.
A partir da compreensão de produto cartesiano, dá-se margem para que seja definida a noção de correspondência, só que desta vez não por intermédio de letras que representam variáveis, ou da dependência entre duas grandezas, como visto no quarto capítulo dessa tese, na análise dos livros que antecederam o MMM, mas sim através de conjuntos que mantém certa correspondência entre seus elementos, como mostra a figura 23.
Figura 23: correspondência biunívoca. Fonte: SANGIORGI, 1968a, p. 32.
Já no primeiro capítulo do primeiro volume são trabalhados conceitos e notações que permitirão, mais tarde, definir uma função através da relação entre conjuntos, como o conceito de correspondência biunívoca, que representa uma função bijetora, e a representação por diagramas de flechas.
No entanto, o objetivo imediato de se ter apresentado as relações entre conjuntos vem na segunda parte do primeiro capítulo (ver índice no ANEXO C), onde é trabalhado o conjunto dos números naturais e suas operações. Uma operação é, assim definida pelo autor, como uma estrutura, como um sistema formado por um conjunto não vazio que possui em si uma lei que relaciona dois elementos desse conjunto com um terceiro. Nas palavras do autor, uma operação é “uma lei [também chamada de lei de composição] ou regra que permite associar a dois números naturais um terceiro número natural” (SANGIORGI, 1968, p. 85).
Diagramas, conjuntos, relações e estruturas e as propriedades estruturais das relações (fechamento, propriedade comutativa, associativa, distributiva, elemento neutro e simetria) percorrem boa parte do primeiro volume. Esta abordagem é justificada em destaque pelo autor no início do primeiro volume (ANEXO D).
No segundo volume, na carta ao estudante, o autor ressalta, novamente, a importância do estudo das estruturas: “um novo mundo está a sua espera. Você que já teve contato com a Matemática Moderna da 1ª série, irá saborear mais intensamente, agora, os seus frutos, mediante as belas estruturas que serão estudadas” (SANGIORGI, 1968b, carta ao estudante).
Neste volume, a respeito do estudo das estruturas, o livro traz, já no primeiro capítulo, o estudo sobre as propriedades estruturais no conjunto dos racionais absolutos; no segundo capítulo, são propostos problemas com novas estruturas, onde são estabelecidas relações entre razão e proporção.
Da mesma maneira, nos capítulos seguintes (ver ANEXO E), são definidos o conjunto dos números inteiros relativos e o conjunto dos números racionais relativos, trazendo, também, as propriedades estruturais das operações nesses conjuntos. O autor faz questão de destacar em um “lembrete amigo” (destaques presentes em toda a coleção, que visam retomar de forma sucinta algumas definições exploradas em cada capítulo) o conceito de estrutura (figura 24).
Figura 24: lembrete amigo (estruturas). Fonte: SANGIORGI, 1968b, p. 135.
Neste mesmo volume, ao final do livro, dá-se atenção especial às sentenças abertas, às relações binárias e à representação através de flechas e “laços” (como em grafos dirigidos).
No terceiro volume, na carta ao estudante, Osvaldo Sangiorgi ressalta o conjunto dos números reais: “[...] você entrará em contato com uma porção de coisas novas. Primeiro, com o conjunto dos números reais, que, com relação às operações definidas, possui rica estrutura [...]” (SANGIORGI, 1968c, carta ao estudante). O autor segue apresentando o que será trabalhado no livro, dando ênfase também ao estudo de geometria16.
16Finalmente, vem o “bom-bocado” do livro: o estudo da Geometria. Agora não será mais preciso que você
“decore” enfadonhos teoremas e mais teoremas, contra o que, erradamente, alguns colegas mais adiantados costumavam “preveni-lo”.
Na verdade, trata-se de uma das partes da Matemática de valor e beleza reconhecidos desde antes de Cristo, pela notável cultura grega da época. Por quê? Porque as figuras geométricas – suas velhas conhecidas desde os
Neste volume, no primeiro capítulo, item 7 (ver ANEXO F), é definida a estrutura algébrica de corpo, “Corpo do números reais” (SANGIORGI, 1968c, p. 21), sendo uma estrutura que permite reduzir as quatro operações conhecidas em duas fundamentais: a adição e a multiplicação, sendo que a subtração de dois números reais a e b é entendia como a adição de a com o oposto de b e a divisão de a por b (ambos reais) é entendida como a multiplicação de a pelo inverso de b (com b ≠ 0).
Na estrutura de corpo, a adição goza das propriedades – usando a linguagem do livro de Sangiorgi – associativa (A), elemento neutro (N), elemento inverso (I) e comutativa (C), ou seja, uma estrutura de grupo abeliano (ou comutativo). Para a multiplicação no conjunto dos números reais, sem o zero, estas propriedades também se definem como um grupo abeliano (gozando das propriedades A, N, I e C). E, ao relacionar a multiplicação com a adição, no conjunto dos números reais, ainda vale a propriedade distributiva (D). Mais adiante, a estrutura de corpo é retomada em um “lembrete amigo” (figura 25).
Figura 25: estrutura de corpo. Fonte: SANGIORGI, 1968c, p.54.
primeiros anos de escola – quando tratadas “racionalmente”, constituem ótimo estímulo para a dedução de certas propriedades comuns a elas e que jamais poderiam ser aceitas se apenas as observássemos. E, se deduzir é uma das principais qualidades de “ser racional”, o estudo da geometria o fará mais racional ainda! (SANGIORGI, 1968c, carta ao estudante).
As estruturas topológicas também são abordadas nesse volume, no estudo de geometria, reaparecendo no quarto volume, ao final do livro, ilustrando alguns “mapas topológicos”, sugerindo o uso desses estudos até mesmo na geografia.
A terceira parte do segundo capítulo do livro é reservada a sistemas de equações e inequações, no entanto o autor optou por não fazer uso da representação gráfica da equação das retas na solução de problemas, pois essa abordagem, nos Assuntos Mínimos para um Moderno Programa de Matemática, está organizada na quarta série do ginasial, como também na coleção de Osvaldo Sangiorgi.