|ψAB ∈ HA⊗ HB, que as entropias S(ρA) e S(ρB) s˜ao iguais, onde lembramos que
ρA= tr
B|ψABψAB| e ρB = trA|ψABψAB|.
Podemos agora, em analogia com informa¸c˜ao cl´assica, definir o importante conceito de informa¸c˜ao m´utua quˆantica. Assim como sua contrapartida cl´assica, ela ser´a uma medida das correla¸c˜oes totais, por´em agora, entre dois sistemas quˆanticos.
Defini¸c˜ao 3.2.3. SeHA eHB s˜ao dois espa¸cos de Hilbert de dimens˜oes NA e NBrespec-
tivamente, ρAB ∈ C(HA⊗ HB), ρA≡ tr
BρAB e ρB ≡ trAρAB ent˜ao, a informa¸c˜ao m´utua
quˆantica entre A e B ´e
IQ(A : B)≡ S(ρA) + S(ρB)− S(ρAB).
Como consequˆencia direta da Defini¸c˜ao 3.2.3 e da equa¸c˜ao (3.28), vemos que
IQ(A : B) = IQ(B : A)≥ 0. (3.29)
Usando a Defini¸c˜ao 3.2.3 e a equa¸c˜ao (3.29), vemos que a soma das incertezas relacionadas aos sistemas A e B separadamente ´e sempre maior do que a incerteza relacionada com o sistema total com exce¸c˜ao do caso em que A e B n˜ao tˆem correla¸c˜oes, i.e., ρAB = ρA⊗ ρB,
em que elas s˜ao iguais. Esse fato, combinado com a simetria da informa¸c˜ao m´utua, sugere que IQ(A : B) d´a uma medida das correla¸c˜oes entre os sistemas quˆanticos A e B.
3.3
Sistemas Quˆanticos de Comunica¸c˜ao
Nessa se¸c˜ao iremos estudar sistemas quˆanticos de comunica¸c˜ao. Come¸caremos estudando a transmiss˜ao de comunica¸c˜ao cl´assica utilizando canais sem ru´ıdos e mostraremos que existe um limite superior para a informa¸c˜ao acess´ıvel no destino, o limite de Holevo. Em seguida, estudaremos o processo de compress˜ao de uma mensagem a ser transmitida e mostraremos que a entropia de von Neumann ´e o limite inferior para a taxa de compress˜ao por caractere da mensagem.
3.3.1 O Limite de Holevo
Suponha que temos uma fonte caracterizada por uma vari´avel aleat´oria X, i.e., ela gera s´ımbolos xi com probabilidades pi, i ∈ {1, ..., K}. Alice, a emissora, deseja enviar um
caractere xk para um receptor, Bob. Para fazer isso, ela codifica cada xi em um estado
ρi ∈ C(H) de acordo com a distribui¸c˜ao {pi} e envia o estado misto resultante, ρ =ipiρi,
para Bob por um canal quˆantico sem ru´ıdo, i.e., Bob recebe o mesmo estado enviado por Alice. Por´em, para obter a informa¸c˜ao cl´assica enviada, Bob ter´a que fazer uma medi¸c˜ao (que ´e caracterizada por um POVM{Ei|i ∈ {1, ..., n}}) e atrav´es do seu resultado
3.3 Sistemas Quˆanticos de Comunica¸c˜ao 31 y∈ {1, ..., n} tentar inferir o caractere xienviado. A informa¸c˜ao sobre X que Bob obt´em ao
fazer a medi¸c˜ao ´e dada pela informa¸c˜ao m´utua I(X : Y ), onde Y ´e uma vari´avel aleat´oria que toma os valores em{1, ..., n} com probabilidades {p1 = tr(E1ρ), ..., pn= tr(Enρ)}. Se
Alice tivesse usado um canal cl´assico sem ru´ıdos, a informa¸c˜ao que Bob obteria medindo a sa´ıda do canal seria H(X) j´a que classicamente os {x1, ..., xK} s˜ao distingu´ıveis (por
exemplo, se x1 = 0 e x2 = 1 e Alice manda um email contendo 0 ou 1 para Bob, ele
consegue saber com certeza qual n´umero recebeu). Entretanto, como em geral estados quˆanticos n˜ao s˜ao distingu´ıveis, temos que I(X : Y ) ≤ H(X) e definimos a informa¸c˜ao acess´ıvel a Bob como sendo
IAc≡ max {Ei}
I(X : Y ). (3.30)
O fato da informa¸c˜ao acess´ıvel em geral n˜ao ser H(X), devido `a indistinguibilidade dos estados ρi, est´a diretamente ligado a um dos principais resultados em mecˆanica quˆantica,
a saber, o teorema da n˜ao clonagem (ver Apˆendice B). Se fosse poss´ıvel copiar estados arbitr´arios, Bob poderia fazer c´opias dos estados enviados por Alice, ρ1 e ρ2, obtendo os
estados ρ⊗1n e ρ⊗2n que s˜ao ortogonais no limite de n→ ∞ e portanto distingu´ıveis. Logo, a informa¸c˜ao acess´ıvel seria H(X).
Apesar de n˜ao existir nenhum procedimento geral para calcular a informa¸c˜ao acess´ıvel, ´e poss´ıvel mostrar que existe um limite superior para o seu valor, o chamado limite de Holevo [10, 28, 33, 48].
Teorema 3.3.1 (Limite de Holevo). SejaH um espa¸co de Hilbert de dimens˜ao N e X uma vari´avel aleat´oria que toma os valores x1, ..., xK com probabilidades p1, ..., pK. Se cada xi
´e codificado em um estado ρi ∈ C(H), i ∈ {1, ..., K} e ´e enviado por um canal quˆantico
sem ru´ıdo, a informa¸c˜ao acess´ıvel no receptor ´e limitada por χ(ρ) ≡ S(ρ) −ipiS(ρi),
i.e.,
IAc ≤ χ(ρ).
Como a entropia de von Neumann satisfaz [10] i piS(ρi)≤ S(ρ) ≤ H(p1, ..., pK) + i piS(ρi),
com a igualdade se e somente se os ρi s˜ao ortogonais, vemos que
χ(ρ)≤ H(X). (3.31)
Conclu´ımos assim que usando K qubits ´e poss´ıvel transmitir no m´aximo H(X) bits de informa¸c˜ao cl´assica. Conv´em observar que, apesar do Teorema 3.3.1 mostrar que χ(ρ) ´e um limite superior para a informa¸c˜ao acess´ıvel, em muitos casos esta nunca atinge χ(ρ) [49]. Entretanto, como mostrado em [50, 51, 52], sempre ´e poss´ıvel utilizar uma codifica¸c˜ao
3.3 Sistemas Quˆanticos de Comunica¸c˜ao 32 em bloco conveniente de tal maneira que a informa¸c˜ao ´e transmitida a uma taxa que se aproxima arbitrariamente de χ(ρ) com probabilidade de erro arbitrariamente baixa.
Uma propriedade importante da quantidade de Holevo χ ´e que ela nunca aumenta ao realizarmos um mapeamento quˆantico, i.e., χ (E(ρ)) ≤ χ(ρ) [10, 29]. Veremos mais `
a frente que, quando Alice e Bob tˆem um movimento relativo, tal rela¸c˜ao n˜ao ser´a mais v´alida. Isso nos permitir´a concluir que em situa¸c˜oes relativ´ısticas a evolu¸c˜ao, por exemplo dos graus de liberdade spin do el´etron, n˜ao ser´a descrita por mapeamentos quˆanticos.
3.3.2 O Teorema de Schumacher
No Cap´ıtulo 2, mostramos que podemos comprimir a informa¸c˜ao de uma fonte i.i.d. e portanto, utilizar menos bits para transmiti-la. O Teorema 2.2.3 mostra que a maior taxa de compress˜ao poss´ıvel (bits por caractere da mensagem) ´e dada pela entropia de Shannon. Nessa se¸c˜ao, vamos mostrar que existe um resultado an´alogo em informa¸c˜ao quˆantica, o Teorema de Schumacher. Ele afirma que podemos comprimir informa¸c˜ao quˆantica e com isso usar menos qubits para transmiti-la. O teorema mostra tamb´em que a maior taxa de compress˜ao ´e dada pela entropia de von Neumann. Para isso, precisaremos das vers˜oes quˆanticas de fonte i.i.d. e codifica¸c˜ao em bloco.
Defini¸c˜ao 3.3.2. Uma fonte quˆantica i.i.d. ´e um par (H, ρ) onde H ´e um espa¸co de Hilbert de dimens˜ao N e ρ∈ C(H) tal que ρn≡ ρ ⊗ ... ⊗ ρ
n vezes
´e o estado total resultante ap´os n usos da fonte.
Ou seja, a cada uso da fonte ´e gerado um estado quˆantico ρ. Os estados s˜ao gerados de maneira independente em cada utiliza¸c˜ao da fonte e com isso, o estado total ap´os n usos ´e o estado produto ρn.
Defini¸c˜ao 3.3.3. Seja (H, ρ) uma fonte quˆantica i.i.d. e V um espa¸co de Hilbert de di- mens˜ao 2⌊nR⌋, n ∈ N, R ∈ R+ e R < n log
2N . Uma codifica¸c˜ao em bloco (2⌊nR⌋, n)
consiste no par (Cn,Dn) de mapeamentos quˆanticos Cn : B(Hn)→ B(V ) e Dn : B(V )→
B(Hn). Os mapeamentos Cn e Dn s˜ao chamados de compress˜ao e descompress˜ao, res-
pectivamente. Aqui, Hn ≡ H ⊗ ... ⊗ H
n vezes
e lembramos que B (H) ´e o conjunto de todos os operadores lineares em H.
Vemos que o processo de compress˜ao substitui o estado original ρn por um estado
Cn(ρn) definido em um espa¸co de Hilbert de dimens˜ao menor. O quanto o estado ρn ´e
preservado ao realizarmos o processo de compress˜ao/descompress˜ao ´e medido pela fideli- dade F (ρn,Dn◦ Cn) [10]. Ela satisfaz 0≤ F (ρn,Dn◦ Cn)≤ 1 com F (ρn,Dn◦ Cn) = 1 se o
estado foi completamente preservado. Podemos agora enunciar o Teorema de Schumacher [10, 29, 53, 54]:
3.4 Emaranhamento 33