KATILIK TEOREM˙I - T.C. ˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U M˙IN˙IMAL A

Lineer olmayan denklemler tarafından tanımlanan bir geometrik de˘gi¸smezlik pek ¸cok durumda katılık ¨ozelliklerine sahiptir. ˙Ikinci temel formun kare formu durumundadır. Bu olgu J. Simons tarafından ortaya ¸cıkarıldı. ˙Ilk olarak kullanı¸slı Bochner tekni˘gini minimum altmanifold teorisine uyguladı.

M ¨uzerindeki Hom(²T M, N M ) vekt¨or demetinin kesit alanı olarak g¨or¨ulen, M → M minimal immersiyonu ile B ikinci temel form olsun. Hom(²T M, N M )

uzerindeki bir ba˘glantı, T M ve N M den do˘gal olarak indirgenmi¸stir. Bu bir E Riemann vekt¨or demetinin herhangi bir kesiti ¨uzerinde hareket eden

∇² iz-Laplasyan operat¨or¨u vardır. E˘ger baz manifoldları kompakt ise ∇², Γ(E)

uzerinde global i¸c ¸carpıma g¨ore yarı negatif ve self-adjoint diferansiyel operat¨or oldu˘gunu biliyoruz. ∇²B’yi hesaplamak i¸cin bu demette konu ile ilgili bazı kesitleri a¸sa˘gıdaki ¸sekilde verebiliriz. [4]

Tanım 5.0.1.

B = B ◦ Be ^t◦ B burada B^t, B’nin e¸slenik haritasıdır. [4]

Tanım 5.0.2.

B_XY =

j=1

(B_AvjA^vj(X)Y + B_XAvjA^vj(Y )− 2B_Avj(X)A^vj(Y )) (5.0.1)

burada v_j normal uzayın temel vekt¨orleri ve p ekboyutudur.

B_XY ’nin X ve Y ’de simetrik oldu˘gu a¸cıktır. Bu Hom(²T M, N M ) demetin kesitidir. [4]

Lemma 5.0.1.

hB_XY, vi =

j=1

hadA^v^jadA^v^jA^v(X), Y i , burada v bir normal vekt¨or ve (adA)B = [A, B] dır. [4]

˙Ispat.

burada M ’nin boyutu n ve {e_j}, M ’ de yerel ortonormal ¸catı alanıdır.[4]

Lemma 5.0.2. eR_XY , {e_j}nin se¸ciminden ba˘gımsızdır ve simetriktir. eR_XY =

∇Y |_x dir. (5.0.2) de birinci ¸carpan i¸cin ikinci Bianchi ¨ozde¸sli˘gini ve ikinci ¸carpan i¸cin Birinci Bianchi ¨ozde¸sli˘gini kullanarak

Re_XY = − terim X ve Y ’de simetriktir. (5.0.3) deki son teriminde oldu˘gu gibi X ve Y ’de simetriktir, ¸c¨unk¨u

B_e_j_(R

XejY )^T = B_e_j_e_kRXejY, e_k ve B ve R’nin simetrik ¨ozellikleridir.[4]

Teorem 5.0.1. M de M bir minimal altmanifold ve B ikinci temel form olsun.

O halde

∇²B = − eB − B + eR + R (5.0.4) dır.[4]

˙Ispat. x ∈ M nin yakınında M nin bir yerel ortonormal te˘get ¸catı alanı {e_i} olsun. x yakınında M nin X, Y, ... te˘get vekt¨or alanı ve µ, v normal vekt¨or alanı ile

olsun. Bu nedenle

(5.0.5) deki her bir terimi ayrı ayrı inceleyelim.

A =h

Gauss ve Ricci denklemlerinden

R_XYZ, W = hR_XYZ, W i +Q^T_XYZ, W , R_XYµ, v = hR_XYµ, vi +Q^N_XYµ, v , burada

Q^T_XYZ, W = hBXW, B_{Y Z}i − hB_XZ, B_{Y W}i , Q^N_XYµ, v = h[A^v, A^µ] (Y ), Xi . Bundan dolayı

B = (RXeiBeiY)^N − Q^N_Xe_iBeiY − B_(R

Xeiei)^TY + B_Q^T

XeieiY − B_e_i_(R

XeiY )^T + B_e_i_Q^T

XeiY. A, B ve C’yi (5.0.5)’de yerine yazarsak

∇²B

XY = eR_XY + R_XY + A₀+ B₀+ C₀, (5.0.6) burada

A₀ = −Q^N_Xe

iB_e_i_Y , B₀ = B_QT

XeieiY , C₀ = B_e

iQ^T_XeiY. S¸imdi (5.0.6)’dan A₀, B₀ ve C₀ hesaplayalım.

hA₀, µi = −Q^N_Xe_iB_e_i_Y, µ = − A^µ, A^B^eiY ei, X

=A^B^eiYA^µei, X − A^µA^B^eiYei, X

= hA^µ(e_i), e_jiA^B^eiY(X), e_j − A^B^eiY(e_i), e_j hA^µ(X), e_ji

= hA^µ(e_i), e_jiB_Xe_j, B_e_i_Y − B_e_i_Y, B_e_i_e_j hA^µ(X), e_ji

= hA^µ(ei), eji hA^v^α(X), eji hA^v^α(Y ), eii

− hA^v^α(Y ), e_ii hA^v^α(e_i), e_ji hA^µ(X), e_ji

= hA^µ(e_i), A^v^α(X)i hA^v^α(Y ), e_ii − hA^v^α(Y ), e_ii hA^v^α(e_i), A^µ(X)i

= hA^v^α(Y ), eii hA^µA^v^α(X) − A^v^αA^µ(X), eii

= hA^v^α(Y ), [A^µ, A^v^α] (X)i

= hA^v^α [A^µ, A^v^α] (X), Y i ,

hB0, µi = D

B_Q^T

XeieiY, µ E

=A^µ(Y ), Q^T_Xe_iei

=B_XA^µ_{(Y )}, B_e_i_e_i − B_Xe_i, B_e_i_A^µ_{(Y )}

= − hB_Xe_i, v_αiBeiA^µ(Y ), v_α

= − hA^v^α(X), e_ii hA^v^αA^µ(Y ), e_ii

= − hA^v^α(X), A^v^αA^µ(Y )i

= − hA^µA^v^αA^v^α(X), Y i ,

hC₀, µi =D B_e_i_Q^T

XeiY, µE

=A^µ(e_i), Q^T_Xe_iY

=B_XA^µ_(e_i₎, B_e_i_Y − B_XY, B_e_i_A^µ_(e_i₎

= hA^v^α(X), A^µ(e_i)i hA^v^α(Y ), e_ii − hA^v^α(X), Y i hA^v^αA^µ(e_i), e_ii

= hA^µA^v^α(X), e_ii hA^v^α(Y ), e_ii − hA^v^α(X), Y i hA^v^α(e_i), A^µ(e_i)i

= hA^µA^v^α(X), A^v^α(Y )i − hA^v^α(X), Y i hA^v^α(e_i), A^µ(e_i)i Bu nedenle,

hA₀+ B₀+ C₀, µi = hA^v^α[A^µ, A^v^α] (X), Y i (5.0.7)

− hA^µA^v^αA^v^α(X), Y i + hA^µA^v^α(X), A^v^α(Y )i

− hA^v^α(X), Y i hA^v^α(e_i), A^µ(e_i)i

= hA^v^α[A^µ, A^v^α] (X), Y i + h[A^v^α, A^µ] A^v^α(X), Y i

− hA^v^α(X), Y i hA^v^α(ei), A^µ(ei)i

= h[[A^v^α, A^µ] , A^v^α] (X), Y i − hB_XY, v_αiB^t(v_α), B^t(µ)

= h[[A^v^α, A^µ] , A^v^α] (X), Y i −B_XY, B ◦ B^t(µ)

= h−B_XY, µi −(B ◦ B^t◦ B)_XY, µ

−B_XY − eB_XY, µE

(5.0.6)’nın yerine (5.0.7) yazarsak (5.0.4) verir. B¨oylece ispat tamamlanmı¸s olur. [4]

E˘ger M ambient manifoldu yerel simetrik ise, yani ∇ R ≡ 0 bu durumda R ≡ 0 dır. ¨e Ozellikle M ’nin kesit e˘grili˘gi c ise eR = 0 ayrıca R = ncB dir. Aslında

R_XYZ = c(hX, Zi Y − hY, Zi X) i¸cin

R_{Y e}_j(B_Xe_j) = 0, (R_{Y e}_je_j)^T = c(1 − n)Y,

R_B_XY_e_je_j = −cnB_XY, (R_Xe_jY )^T = c(hX, Y i e_j − hY, e_ji X), B_e_j_(R

XejY )^T = −cBXY. Daha sonra

R_XY = ncB_XY dır.[4]

Teorem 5.0.2. M bir Riemann manifoldu ile c sabit kesit e˘grili˘gi ve M, M de bir minimal altmanifold ve B ikinci temel form olsun. Bu durumda

∇²B = − eB − B + ncB (5.0.8)

dır.

E˘ger M nin boyutu 1 ise B = 0 oldu˘gunu tanımdan biliyoruz. Ayrıca D

B, Be E

=B^t◦ B, B^t◦ B

=B^t◦ B_e_i_e_j, e_k e_l B^t◦ B_e_i_e_j, e_k e_l

=B_e_i_e_j, B_e_k_e_l B_e_i_e_j, B_e_k_e_l

= |B|⁴ Bu durumda

∇²B, B =D

− eB − B + eR + R, BE

(5.0.9)

= −D B, Be E

− hB, Bi +D R, Be E

+ hR, Bi

= − |B|⁴+ nc |B|² dir. [4]

Teorem 5.0.3. Birim k¨urede M → Sⁿ⁺¹ bir kompakt y¨onl¨u minimal hipery¨uzey ile B ikinci temel form olsun. |B|² < n ise B ≡ 0 dır yani M , Sⁿ⁺¹ de bir total geodezik hipery¨uzeydir. [4]

˙Ispat. (5.0.9) un her iki tarafını M ¨uzerinde birle¸stirelim.

∇²B, B ∗ 1 = Z

|B|²(n − |B|²) ≥ 0.

Stokes teoremi ile yukarıda ki ifadenin sol tarafı

− Z

|∇B|²∗ 1 ≤ 0

dır. |B|² sıfırla ¨ozde¸s de˘gilse sa˘g taraf sıfır olur. B¨oylece bir ¸celi¸ski var. [4]

S¸imdi durumun daha y¨uksek ekboyutunu inceleyece˘giz.

Lemma 5.0.3.

B + B, Be E

≤

2 −1

|B|⁴ (5.0.10)

burada p ekboyuttur. [4]

˙Ispat. B ◦ B^t : N M → N M simetriktir, ¨oyle ki d¨u¸s¨un¨ulen bir noktada {v₁, v₂, ..., v_p} yerel normal ¸catı alanı vardır.

B ◦ B(v_α) = λ²_αv_α.

λ²_α =B ◦ B^t(v_α), v_α = B^t(v_α), B^t(v_α)

= hA^v^α, A^v^αi =Beiej, vα Beiej, vα = |B|²,

D B, Be

=B ◦ B^t◦ B, B = B^t◦ B, B^t◦ B

=B_e_i_e_j, B_e_k_e_l B_e_i_e_j, B_e_k_e_l

=Beiej, v_α hBekel, v_αiBeiej, v_β hBekel, v_βi

=e_i e_j, B^t(v_α) e_k e_l, B^t(v_α) e_i e_j, B^t(v_β) e_k e_l, B^t(v_β)

=B^t(v_α), B^t(v_β) B^t(v_α), B^t(v_β)

=B ◦ B^t(v_α), B ◦ B^t(v_α)

λ⁴_α.

Ayrıca

hB, Bi =D B_e

iej, v_αE

B_e_i_e_j, v_α

= h[A^v^β, [A^v^β, A^v^α]] (ei), eji hA^v^α(ei), eji

= h(A^v^βA^v^βA^v^α − 2A^v^βA^v^αA^v^β + A^v^αA^v^βA^v^β), A^v^αi .

hA^v^αA^v^βA^v^β, A^v^αi = hA^v^αA^v^αA^v^βA^v^β, Ii

= iz(A^v^αA^v^αA^v^βA^v^β)

= hA^v^αA^v^αA^v^β, A^v^βi ,

hB, Bi = hA^v^βA^v^βA^v^α− 2A^v^βA^v^αA^v^β + A^v^βA^v^βA^v^α, A^v^αi

= hA^v^βA^v^βA^v^α− A^v^βA^v^αA^v^β, A^v^αi − hA^v^βA^v^αA^v^β − A^v^βA^v^βA^v^α, A^v^αi

= hA^v^βA^v^α − A^v^αA^v^β, A^v^βA^v^αi − hA^v^αA^v^β − A^v^βA^v^α, A^v^βA^v^αi

= hA^v^αA^v^β − A^v^βA^v^α, A^v^αA^v^βi − hA^v^αA^v^β − A^v^βA^v^α, A^v^βA^v^αi

α6=β

|[A^v^α, A^v^β]|².

C, D simetrik matrisi i¸cin |[C, D]|² oldu˘gunu tahmin edelim. Herhangi bir T

ortogonal matrisi i¸cin

D’nin genelli˘gini kaybetmeden diyagonal oldu˘gunu varsayabiliriz. Daha sonra

|[C, D]|² = |CD − DC|² =X

Bundan dolayı (5.0.11) den (5.0.10) elde edilir ve ispat tamamlanmı¸s olur. [4]

Teorem 5.0.4. Birim k¨urede bir kompakt minimal altmanifold M → S^n+p olsun.

|B|² < n

2 − ¹_p, (5.0.12)

ise o zaman |B|² = 0, yani M , S^n+p de bir total geodezik altmanifolddur. [4]

˙Ispat. (5.0.8) ve (5.0.10) den

∇²B, B ≥ 1 p − 2

|B|⁴+ n |B|². (5.0.13)

(5.0.13) ¨un her iki tarafının integralini alalım ve Stokes teoremini kullanırsak

Ancak bu teoremin durumu |B| sıfıra e¸sit de˘gil ise o Z

Bu teorem bize, k¨urede ki kompakt bir minimal altmanifoldun ikinci temel formunun kare normunun her de˘geri almayaca˘gını s¨oyler.

0,₂₋ⁿ1

aralı˘gındaki de˘gerleri atlar. ¨Oyleyse g¨or¨un¨uyor ki |B|² dı¸ssal bir de˘gi¸smezdir. Aslında, Gauss denkleminin skaler e˘grili˘gi

s = n(n − 1) − |B|² ≤ n(n − 1) dir. B¨oylece skaler e˘grili˘gi

n(n − 1) − n

2 − ¹_p, n(n − 1)

aralı˘gında ki de˘gerleri atlar. Bu nedenle katılık teoremi i¸cseldir. Chern-do Carmo-Kobayashi

|B|² = n 2 − ¹_p

cevap veren k¨uredeki minimal altmanifoldlar ¨uzerinde ¸calı¸smı¸s. B¨oylece ikinci temel form uygun bir ¸catı alanında belirlenebilir, bu nedenle bu ba˘glantı bi¸cimi

¸catı alanına g¨ore uyarlanmı¸stır. Altmanifoldlar kompakt ise bunlar ya Clifford minimal hipery¨uzey ya da Veronese y¨uzeydir. Sabit skaler e˘grili˘gi ile k¨uredeki t¨um minimal altmanifoldlar arasında verilen boyutu n ve ekboyutu p i¸cin verilen |B|² ayrık de˘gerler midir sorusunu ortaya attılar. Bu olası de˘ger nedir? Peng–Terng bunu ispatladı. [4]

Teorem 5.0.5. Sⁿ⁺¹(n ≥ 3) de M bir kompakt minimal hipery¨uzeyi ile ikinci temel formun kare normu |B|² olsun. E˘ger |B|² > n ise o zaman |B|² > n + _12n¹ dir. n = 3 i¸cin |B|² > 3 ise o zaman |B|² > 6 dır. [4]

Uyarı 5.0.1. Sⁿ ⊂ Rⁿ⁺¹ de M nin minimal bir hipery¨uzel oldu˘gunu g¨oz ¨on¨une alalım. Sⁿ de M nin birim normal vekt¨or alanı v, Rⁿ⁺¹ de sabit vekt¨or a olsun.

(4.1.8) dekine benzer bir hesaplama ile

∆ ha, vi = − ha, vi |B|², (5.0.14)

burada B, Sⁿ de M nin ikinci temel formudur.Bu form¨ul¨un integrali ve Stokes teoremi kullanılarak Simons dı¸s katılık teoremi ¸su ¸sekilde verilir:

M, Sⁿde kompakt bir minimal hipery¨uzey, Rⁿ⁺¹de bir sabit vekt¨or ile pozitif i¸c ¸carpımın olu¸sturdu˘gu normal vekt¨ord¨ur. O halde M, Sⁿ de bir total geodezik altmanifolddur. [4]

KAYNAKLAR

[1] S¸ahin, B. (2012). Manifoldların Diferensiyel Geometrisi, Nobel Yayıncılık, Malatya.

[2] Bizim, O. (2013). Genel Topoloji, Dora Yayıncılık, Bursa.

[3] Chen, B.Y. (1981). Geometry of Submanifolds and Its Applications, Tokyo.

[4] Xin,Y. (2004). Minimal Submanifolds and Related Topics, World Scientific Publishing Company, London.

[5] Abbena E., Salamon S., Gray A. (2006). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Chapman and Hall / CRC, Boca Raton.

[6] Pressley, A. (2001). Elementary Differential Geometry, Springer, London.

OZGEC ¨ ¸ M˙IS ¸

Ki¸sisel Bilgiler

Adı Soyadı : Ebru G ¨OKSU Do˘gum Yeri ve Yılı : Malatya, 1994

Medeni Hali : Bekar

˙Ileti¸sim : ebru.goksu03@gmail.com

E˘gitim

Lisans : ˙In¨on¨u ¨Universitesi,

Fen Edebiyat Fak¨ultesi, Matematik B¨ol¨um¨u (2015) Pedogojik Formasyon : ˙In¨on¨u ¨Universitesi (2015)

Tezli Y¨uksek Lisans : ˙In¨on¨u ¨Universitesi, Fen Bilimleri Enstit¨us¨u, Matematik Ana Bilim Dalı (2018)

Belgede T.C. ˙IN ¨ON ¨U ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨U M˙IN˙IMAL ALTMAN˙IFOLDLARIN GEOMETR˙IS˙I Ebru G ¨OKSU Y ¨UKSEK L˙ISANS TEZ˙I MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI Ocak 2018 (sayfa 44-57)