Bir seriye ait gözlem değerleri küçükten büyüğe doğru sıralandığında, serinin toplam frekansını iki, dört, on veya yüz eşit kısma ayıran değerler, genelde kantil (quintiles) olarak tanımlanmaktadır. Kantiller seriyi ayırdıkları kısım sayısına göre adlandırılmakta ve bu doğrultuda, seriyi gözlem sayısı yönünden iki eşit kısma ayıran değere medyan, dört eşit kısma ayıran değerlere kartil (quartiles), on eşit kısma ayıran değerlere desil (deciles) ve yüz eşit kısma ayıran değerlere persantil (percentiles) adı verilmektedir (Url-5).
İstatistikte, değişim aralığının (bir serideki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark) serinin iki ucunda yer alan aşırı değerlerden etkilenmemesi için Kartiller Arası Farktan (KAF/ interquartile range/ iqr) yararlanılır.
Bir veri grubunun iqr değeri, Üçüncü çeyrek kartil ve birinci çeyrek kartil değerleri
arasındaki fark alınarak hesaplanır (Url-6).
iqr = KAF = Q3 – Q1 (2.82)
İqr, verilerin ortasındaki %50’sinin yer aldığı intervalin genişliğidir. Bu fark,
kısmını kapladığını belli eder ve değeri ne kadar büyük olursa değişkenliğin o kadar fazla olduğunu, ne kadar az ise orta %50 lik gruptaki değişkenliğin o kadar az olduğunu gösterir.
İqr değeri, olasılık dağılımının basit grafik gösterimleri olan kutu grafiklerinin
çizilmesinde kullanılır. Kutu Grafiği (Boxplot / Box and Whisker Plot), bir örneklemenin dağılımının grafikle gösterilmesidir. Kutu grafiği, veri yığınının ne kadar simetrik olduğunu, sayıların yayılımının ne olduğunu, diğerlerinden uzakta olan verilerin varlığını, verilerin yoğunluğunun nerede toplandığını, verilerin aralarında boşluklar olup olmadığını ve aykırı gözlem değerleri hakkında bilgi verir. Tukey (1977) verilerin nasıl dağıldığını gösterebilmek için beş-sayılı özet (five- number summary) önermiştir (Url-7). Bu beş sayı, en düşükten en yükseğe sıralı bir biçimde,
1-) Minimum değer,
2-) Birinci kartil (% 25’lik değer = Q1),
3-) İkinci kartil (%50’lik değer= Q2 = medyan), 4-) Üçüncü kartil (% 75’lik değer = Q3),
5-) Maksimum değer olmaktadır.
Bu beş sayının bir arada görülebilecek şekilde düzenlenmesi ile bir grafik oluşturulmaktadır (Şekil 2. 11).
Kutu grafiğinde, kutunun uzunluğu iqr değeri kadardır. Medyan değeri kutu üzerinde çizgi olarak gösterilir ve kutunun ortasında değildir. Bununla birlikte dağılımdaki kaba hataları tanımlamak için Alt Sınır Değer (ASD) = Q1- 1.5 iqr ve Üst Sınır Değer (ÜSD)= Q3 + 1.5 iqr olarak belirlenir. Alt ve üst sınır değerleri içerisinde kalmayan veriler kaba hatalı değerler olarak düşünülür. Şekil 2.10’da örnek olarak verilen iki veri setinde iki farklı durum söz konusudur.
Şekil 2.11 : Bir kutu grafiği bileşenlerinin gösterimi.
Birinci durumda verilerin, homojen dağılım gösterdiğini, Alt ve Üst sınır değerleri aralığının yaklaşık eşit uzunlukta olduğunu ve uyuşumsuz ölçü olmadığını, ikinci durumda verilerin daha heterojen bir yapı gösterdiğini, Alt ve Üst sınır değerleri aralığının farklı uzunlukta olduğunu ve (+) işareti ile gösterilen ölçünün uyuşumsuz ölçü olduğu şeklinde yorumlanır.
İstatiksel olarak kutu grafiği elemanlarının temsil ettiği değerler aralığının, jeodezik çalışmalarda sıkça kullanılan normal dağılımla karşılaştırılması Şekil 2.12’de verilmektedir.
Kutu grafiği bir ya da daha fazla veri kümesinin hızlı bir şekilde analiz edildiği grafiksel yöntemdir. Kutu grafikleri, histogramlardan ve benzeri yöntemlerden daha basit görünebilirler fakat bazı avantajlara sahiptirler. Daha az yer kaplarlar ve özellikle farklı veri grup yada kümeleri arasındaki dağılımların karşılaştırılması açısından kullanışlıdırlar. Medyan iqr 1.5 iqr 1.5 iqr Q3 Q1
Şekil 2.12 : Bir kutu grafiği ve Normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonunun karşılaştırılması.
Yukarıda özellikleri anlatılmış olan iqr değeri, dördüncü bölümde ayrıntılı bir şekilde
anlatılacak olan heyelan bloklarının BÇS ile belirlenmesinde bir girdi değişkeni olarak kullanılmıştır. Bunun nedeni, heyelan bloklarının, aynı yönde, aynı deformasyon büyüklüğüne sahip noktalardan oluşması durumunda, bu noktalar kümesi için (2.66) eşitliği ile hesaplanacak gerilme parametreleri düzeltme değerlerinin birbirleri ile homojen dağılım göstereceği düşüncesidir. Bu düşünceyi örneklemek için, Büyükçekmece-Gürpınar heyelan bölgesinde I. ve II. Kampanyalar arasında gerçekleştirilen blok belirleme çalışmasında ilk başlangıç bloğunu belirlemek için gerçekleştirilen 537 adet dört noktalı kombinasyon sonucunda elde edilen iqr değerleri hesaplanmıştır. Aynı blok üzerinde belirlenen noktalar için
hesaplanan iqr değerleri homojen dağılım göstermiştir. Bu nedenle hesaplanan iqr
değerleri küçüktür ve Alt ve Üst sınır değerlerini geçen uyuşumsuz değerlerinin olmadığı görülmüştür. Aynı blokta bulunmayan noktalar arasında gerçekleştirilen kombinasyonlarda iqr değerleri daha büyüktür ve içerinde uyuşumsuz ölçüler
Grafiksel olarak aynı blokta belirlenen noktalara ait 51 kombinasyonun iqr değerleri
mavi renk ile aynı blokta bulunmayan noktalara ait 486 kombinasyonun iqr değerleri
kırmızı renk ile gösterilmiştir. Aynı blokta yer alan noktalara ait iqr değerleri, aynı
blokta olmayan noktalar için hesaplanan iqr değerlerinden çok küçüktür.
Şekil 2.13 : Dört noktalı 537 kombinasyona ait düzeltme değerlerine göre iqr
değerleri. Aynı blokta olan noktalar mavi renk, farklı blokta olan noktalar kırmızı renk.
Şekil 2.14’teki histogramda aynı interqurtile range aralığı değerlerinin gösterimindeki farklı dağılım fark edilebilir. Aynı bloğa ait kombinasyonların iqr
değerleri sarı renkte, farklı bloklarda olan noktaların oluşturduğu yanlış bloklara ait kombinasyonlarda mavi renk olarak gösterilmiştir.
Şekil 2.14 : Aynı blokta bulunan noktalara ait kombinasyonlar (sarı renk) ve aynı blokta olmayan noktalara ait kombinasyonların (mavi renk) iqr