Newton inicia o texto do De Methodis explicando as razões que o levaram a escrevê-lo. Primeiramente, ele observa que os geômetras de sua época negligenciam o método sintético dos antigos e aplicam-se ao cultivo da análise. Com a ajuda desse método (o método de análise), eles superaram inúmeras dificuldades restando, porém, o problema da quadratura das curvas e outros tópicos semelhantes a serem resolvidos. Então, o propósito do De Methodis é justamente o de ampliar os limites do campo da análise, estendendo-o à doutrina das curvas. Tal ampliação começa pela tarefa de expor, em termos de séries, as principais operações matemáticas.
Newton afirma que exceto por Mercator15, as operações foram até então comumente consideradas muito similares quer aplicadas aos números, quer às variáveis. Isso, porém, não se aplica quando as quantidades são definidas para os números e indefinidas para as variáveis. Então, o que ele propõe é um modo de conformar às variáveis a doutrina dos números decimais. Com esse propósito, ele inicia estabelecendo uma comparação entre a doutrina das espécies e a doutrina dos números, afirmando que a primeira relaciona-se com a Álgebra da mesma maneira que a segunda está ligada Aritmética. Assim, operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes seriam aprendidas por um estudante hábil em Aritmética decimal e Álgebra vulgar. Esse estudante, observando a correspondência que se têm entre frações decimais e termos algébricos infinitamente contínuos, constata que conforme as operações com números decimais, posições dispostas à direita diminuem continuamente na proporção decimal. Disso se conclui que, nas operações com variáveis, quando os termos são
15
Newton refere-se à obra Logarithmotecnia (1668) de Nicolaus Mercator, proposição XVII referente à quadratura da hipérbole.
dispostos em progressões uniformes continuadas infinitamente, eles diminuem na proporção, de acordo com a ordem das dimensões, por conveniência de qualquer numerador ou denominador.
Ao considerar a natureza dos decimais, vê-se que eles podem ser reduzidos a frações e por isso, em certa medida, possuem a mesma natureza de integrais. Com base em tal semelhança, Newton passa a manipular as variáveis envolvidas como integrais. E, por conveniência, todas as séries infinitas em operações com variáveis e todos os termos complicados, como frações cujos denominadores são quantidades compostas ou raízes de quantidades compostas (ou equações afetadas), podem ser reduzidos a classes de quantidades simples cujos numeradores e denominadores são simples.
Tendo introduzido essa noção de redução de quantidades compostas a quantidades simples – cuja remissão ao método cartesiano parece imediata – Newton enuncia o programa previsto para o De Methodis. Primeiramente, ele pretende mostrar como são realizadas essas reduções de quantidades compostas em termos simples e, em seguida, pretende aplicar esse procedimento na solução de problemas.
2.1.1 Exemplos de redução por divisão Propõe-se a fração
. Assim, divide-se a
2
por b+x do seguinte modo.
divisor dividendo quociente
+ 0
+
+ 0
+ 0
+
–
0. Tome o quociente mais simples e esse será o 1o termo da série:
1. Multiplique o 1o termo pelo divisor
1.1 Subtraia do dividendo o resultado acima
1.2 Tome o resto e divida-o por b
2. Multiplique o 2o termo pelo divisor
2.1 Subtraia do dividendo o resultado acima
2.2 Tome o resto e divida-o por b
3. Multiplique o 3o termo pelo divisor
3.1 Subtraia do dividendo o resultado acima
3.2 Tome o resto e divida-o por b
4. Multiplique o 4o termo pelo divisor
4.1 Subtraia do dividendo o resultado acima
Produz-se, então, a série que continua ad infinitum e é equivalente a
. Ou, ao estabelecer x como o primeiro termo do divisor, desta maneira
tem-se:
á
, da mesma maneira, a fração
é reduzida a
ou [ ]
, a fração
[é reduzida] para
Em seguida, Newton estabelece algumas propriedades de potências. Aqui, a propósito, deve-se notar que Newton empregou x–1, x–2, x–3, x–4, ... no lugar de , ,
, , ...; e , , , , , ..., no lugar de √ , √ , √ , √ , √ , ..., e , , , no lugar de
√ , √ , √ , ... Essa similaridade da forma pode ser, deste
modo, melhor detectada mediante progressões geométricas, , , , , , , (ou 1), , , , , ...
Dessa forma, a série pode ser escrita como ... E √ pode ser escrito como ; e, no
lugar do quadrado de ; e
no lugar de √
. E da mesma forma
para outros casos. Na sequência, será justificada a distinção de potências como positivas, negativas, integrais e fracionadas.
2.1.2 Exemplos de redução por extração de raiz
Quando a quantidade é proposta, a raiz será extraída da seguinte maneira: radicando + + – + – – +
0. Tome a raiz mais simples e essa será o 1o termo da série: 1. Subtraia do radicando o 1o termo ao quadrado:
1.1 Dobre o 1o termo: 1.2 Divida o resto pelo resultado acima:
1.3 O resultado é o 2o termo da série.
2. Dobre o 1o termo e some ao 2o:
2.1 Multiplique o resultado acima pelo 2o termo:
2.2 Subtraia o resultado acima do resto
2.3 Divida o resto pelo dobro do 1o termo:
2.4 O resultado acima é 3o termo
3. Dobre o 1o e 2o termos e some ao 3o:
3.1 Multiplique o resultado pelo 3o termo:
3.2 Subtraia o resultado acima do resto
3.3 Divida o resto pelo dobro do 1o termo:
3.4 A primeira fração do resultado acima é o 4o termo
4. Dobre o 1o, 2o e 3o termos e some ao 4o termo:
4.1 Multiplique o resultado pelo 4o termo:
4.2 Subtraia o resultado acima do resto
4.3 Divida o resto pelo dobro do 1o termo:
4.4 A primeira fração do resultado acima é o 5o termo
E, assim, como resultado tem-se
Note que Newton suprimiu os
termos cujas dimensões foram superiores ao último termo apresentado da série, ou seja múltiplo de , pois foi até onde Newton quis estender a série.
Mas, na prática, não é raro que essas operações possam ser preparadas
apropriadamente. Como no exemplo a seguir, para extrair √
, o numerador e o
denominador não deveriam estar na mesma forma, logo multiplicam-se ambos por √ , resultando em √
e, o restante do trabalho, então, será
terminado pela mera extração da raiz do numerador dividida pelo denominador.
Dessas observações, fica claro como outros tipos de raízes podem ser extraídas e como qualquer quantidade pode ser composta. Contudo, pode ocorrer um “emaranhamento” com raízes e denominadores, como este,
√ √ √
√ √ √ )
que pode ser reduzido a uma série infinita de termos simples.