UH = + − − − − − − − − − − − + + − + − − − + + + − + + + + − + − − − + + + − + − + + − + − − − + + + + + − + + − + − − − + + + + + − + + − + − − − + + + + + − + + − + − − − + − + + + − + + − + − − + − − + + + − + + − + − + − − − + + + − + + − + + + − − − + + + − + + − + − + − − − + + + − + + , (8.13)
em que os símbolos + e − significam, respectivamente, 1/√12 e −1/√12. Entretanto, a partir do Lema 8.1 se pode ver que UH não é um entrelaçador universal uma vez que a primeira
coluna representa um estado separável. De fato, tem-se que
UH(|0i3⊗ |0i4) = F3|0i3⊗ F4|0i4, (8.14) portanto EV N[UH(|0i3⊗ |0i4)] = 0. Neste caso, |0id representa o estado zero d-dimensional,
enquanto Fd representa a transformada de Fourier operando no espaço Cd, cuja descrição será
dada adiante.
8.5
Busca por entrelaçadores universais
Ainda que não seja conhecida uma decomposição KAK similar a usada para o caso de SU(4), mas aplicável para uma dimensão arbitrária, é razoável supor que se pode decompor uma porta U qualquer de modo a extrair sua parte estritamente não local. Seguramente esta parte não local é ingrediente fundamental para compor o entendimento acerca da estrutura dos entrelaçadores universais. Enquanto não é conhecida uma abordagem para construir ex- plicitamente entrelaçadores universais arbitrários, conhecer alguns exemplos pode ser útil na busca pelo entendimento de suas propriedades gerais. Embora para altas dimensões, conforme apontado em [80], uma matriz unitária escolhida aleatoriamente tende a ser um entrelaça- dor universal, construi-los a partir de portas quânticas mais familiares pode fornecer pistas interessantes acerca dessa estrutura.
Segundo as estratégicas algébricas conhecidas para lidar com o problema, verificar se uma porta é ou não um entrelaçador universal é um problema intratável, isso emerge do fato que resolver um sistema de equações polinomiais é, em geral, um problema NP-Completo.
8.5. BUSCA POR ENTRELAÇADORES UNIVERSAIS 96
Entretanto, na prática, encontrar um contraexemplo que prova que uma dada porta não é um entrelaçador universal é uma tarefa mais factível. Deste modo, neste trabalho foi utilizada uma quantidade expressiva de estratégias em um algoritmo de Evolução Diferencial [84,85] para incrementar sua capacidade de encontrar contraexemplos que invalidem candidatos a entrelaçadores universais, incluindo: o uso da Equação (8.3) aplicada na Equação (8.12) e
EV N (U |ψi) como funções de aptidão, variação no tamanho da população, na taxa de crossover,
no fator de escala, detecção de estagnação de convergência e detecção de perda de diversidade da população. A aplicação da abordagem a casos sabidamente falsos indicam a corretude do procedimento, por exemplo, a porta UH é invalidada em poucos segundos ao encontrar o estado
|0i3⊗ |0i4 como contraexemplo.
O objetivo principal é encontrar bons candidatos à entrelaçadores universais a partir de portas largamente conhecidas na literatura, portanto, foram testadas as portas F12,
X12, Y12 e Z12 operando sobre o produto tensorial |ψAi3 ⊗ |ψBi4 e, de modo análogo, as portas F16, X16, Y16 e Z16 operando sobre o produto tensorial |ψAi4⊗ |ψBi4. Tais portas são
a generalização [1,18] d-dimensional das portas X, Z e F (transformada de Fourier em um qudit) [86], definidas como
Xd|ki = |(k + 1) mod di (8.15a)
Zd|ki = e(2πi/d)k|ki (8.15b) Fd|ki = 1 √ d d−1 X l=0 e(2πikl/d)|li, (8.15c)
cujos elementos da representação matricial de cada uma delas é dado por
(Xd)mn= ( 1 if m = (n + 1) mod d 0 otherwise , (8.16a) (Zd)mn= ( e(2πi/d)m−1 se m = n 0 se m 6= n , (8.16b) (Fd)mn = e(2πi/d) mn /√d. (8.16c)
Adicionalmente, faz-se Yd= i·XdZd. Embora todas essas portas não sejam separáveis em (3⊗4)
ou (4 ⊗ 4), todas elas falham quando submetidas ao algoritmo de avaliação de candidatos a entrelaçadores universais. Poucos segundos são suficientes para encontrar um contraexemplo. Depois da falha com essas portas optou-se por definir novos candidatos a partir de funções e/ou produtos dessas portas listadas, mas também falharam √X12, √Z12, √X16, e √Z16. Entretanto, foi possível encontrar alguns bons candidatos, são eles:
UE1 = p
8.5. BUSCA POR ENTRELAÇADORES UNIVERSAIS 97 UE2 = p Y16, (8.17b) UE3 = p X12†· F12· p X12, (8.17c) UE4 = p X16†· F16· p X16. (8.17d)
Todas as exaustivas tentativas de encontrar contraexemplos para as portas descri- tas na Equação (8.17) falharam. Nenhum ganho foi observado após vários dias de execução do algoritmo. Este comportamento embasa a Conjectura 8.1. Os valores mínimos de entrelaça- mento encontrados, para cada porta, pelo algoritmo de avaliação quando usada a entropia de Von Neumann na busca por contraexemplos são mostrados na Tabela 8.1.
Conjectura 8.1. As portas √Yd e √Xd† · Fd·√Xd operando sobre o espaço (m ⊗ n) são entrelaçadores universais para d = 12 (3 ⊗ 4) e d = 16 (4 ⊗ 4).
Tabela 8.1: Entrelaçamento mínimo gerado pelas portas UE1, UE2, UE3 e UE4 encontrados
pelo algoritmo de avaliação.
Porta Mínimo
UE1 0 0.0000161996871969521766493425168897 UE2 0 0.0000573252505355402686105723009113 UE3 0 0.0050235559536978020150899126861077 UE4 0 0.0001308255187422652026599939611983
Mostra-se curioso o fato de √Ydser potencialmente um entrelaçador universal enquanto para
√
Xde√Zd, conforme apontado anteriormente, rapidamente são encontrados contra exemplos
e, portanto, são descartados como candidatos.
Por fim, foi analisado o entrelaçamento gerado pelas portas UH, UE1 e UE3 sobre
um milhão de estados separáveis montados a partir do produto tensorial de colunas de matrizes geradas aleatoriamente [87,88], esta distribuição é mostrada na Figura8.1. Pode-se ver que as portas UE1 e UE3 geram, na média, mais entrelaçamento que UH, mas naturalmente o espaço
amostral é muito pequeno para permitir concluir que este comportamento é uma propriedade correlacionada com o provável fato de UE1 e UE3 serem entrelaçadores universais.
8.6. CONCLUSÃO 98
Figura 8.1: Distribuição do entrelaçamento gerado pelas portas UH, UE1 e UE3 sobre um
milhão de estados separáveis gerados aleatoriamente.
8.6
Conclusão
Neste capítulo foi descrita uma abordagem que pode ser usada para verificar a separabilidade de um estado quântico em partições e dimensões arbitrárias. Esta abordagem permitiu verificar, usando sua correspondente matriz densidade, que um estado de três qutrits apontado em [82] como separável era, de fato, não separável. Permitiu também mostrar que um exemplo de entrelaçador universal dado em [80] era falso. Com o apoio de uma heurística base- ada na diferenciação evolutiva foi possível conjecturar algumas portas, construídas a partir de outras largamente conhecidas na literatura, como sendo entrelaçadores universais. É possível que isso venha a dar pistas na investigação das propriedades de tais portas. Por fim, acredita-se que, ainda que similarmente difícil, o melhor caminho para chegar ao completo entendimento acerca da estrutura dos entrelaçadores universais, incluindo encontrar uma parametrização para gerá-los, é usar a abordagem aqui descrita com uma parametrização de matrizes unitá- rias [88,89] e estratégias para solução de sistemas de equações polinomiais [90–92].
Parte IV
Informação Quântica e a Teoria
dos Números
Capítulo 9
Estados quânticos sequências
Resumo
Este capítulo apresenta a definição dos chamados estados quânticos sequên-
cias, estados construídos a partir de sequências de números inteiros, bem como uma análise
sobre algumas propriedades do entrelaçamento e a preparação destes estados através do al- goritmo de Grover. Este entendimento pode ser útil ao desenvolvimento de protocolos em dimensões superiores e/ou testar ideias em teoria dos números.
9.1
Introdução
Há algum tempo surgiram trabalhos [25–27] estabelecendo conexões entre a teoria da informação quântica e a teoria dos números. Mais recentemente, novos trabalhos [28–30] apontam fortes evidências de que a teoria da informação quântica pode ser um ambiente fértil para desenvolver e testar ideias relacionadas à teorias dos números. Estes trabalhos descrevem a manipulação de problemas importantes, tais como a Hipótese de Riemann e a Conjectura de Goldbach.
Neste capítulo são estudadas as propriedades de alguns estados quânticos sequên- cias [93], em especial o entrelaçamento e a preparação usando o algoritmo de Grover. Este entendimento pode ser útil ao desenvolvimento de protocolos em dimensões superiores e/ou testar ideias em teoria dos números. Por exemplo, algum esforço [94–96] tem sido dedicado à busca por estados maximamente entrelaçados, mas isto é uma tarefa difícil, no melhor de nosso conhecimento não há exemplos descritos na literatura para estados com mais de sete qubits. Portanto, se um dado protocolo requer apenas que as bipartições formadas pela separação de um dos qubits dos demais sejam maximamente entrelaçadas, pode-se usar o estado P A aqui descrito para n-qubits, cuja preparação pode ser feita de modo eficiente. Por outro lado, no