Kaplamaların Arayüzeyinden Alınan SEM Analiz Sonuçlarının

(tipo-n). Existem poucos trabalhos publicados sobre este tipo de estrutura, Degani [27]estudou

as propriedades eletronicas deste tipo de estrutura usando

0

metodo auto-consistente.

Como dito na sec;ao anterior, a super-rede, pOI' constru~ao, gera urn potencial peri6dico na direc;ao de crescimento. Desta forma, 0 potencial efetivo

e

tambem peri6dico nesta dire~ao.

Nossa questao

e

resolver 0 problema de urn eh~tron em urn potencial peri6dico Uej(z) com a

periodicidade da super-rede, isto

e,

00

Uej(z) =

L

Uej(z - na), Uej(z) = Uej(z - na),

em conta aqui as complic<u;oestecno16gicas envolvidas no crescimento destas estruturas, ou seja, efeitos de borda ou eventual nao-periodicidade da estrutura. Vamos considerar uma sequencia infinita de poc;os de delta separados pOI' uma distancia a.

3 . 3 . 2 A e q u a c ; ; a o d e T h o m a s - F e r m i p a r a a s u p e r - r e d e

Nesta sec;ao vamos encontrar 0 potencial efetivo de urn corpo da equac;ao de Schrodinger usando

o formalismo de Thomas-Fermi discutido no Capitulo 2. 0 modelo que usamos segue as mesmas aproxima<;Oes que as de uma unica delta estudada na sec;ao anterior. Com base no teorema de Bloch, podemos nos limitar a uma unica cela do potencial, ou seja, -a/2 ::;Z ::; a/2. A

extensao para outras regioes do espac;o

e

feita usando-se 0 teorema de Bloch e as propriedades

8

3/2 871"

d

d

- - [Jl - U f ( Z )]

+

-n

D

O( -

+

z)

O( - -

z) -

371" e d 2 2 a a

-871"nA

O( -

+

z)

O( - -

z)

2

2

(3.21)

Nesta equa~ao, z

e

a coordenada na dire~ao perpendicular aos pIanos de dopantes. Estes pIanos SaG considerados difusos de urn tamanho

d

comnD doadores por area de Bohr efetiva. Dentro da

cela unit aria

e

considerado urn fundo unifome de dopantes aceitadores com nA aceitadores por

volume de Bohr efetivo. Vamos considerar tambem que todos os a.tomos doadores SaG ionizados

cedendo urn eletron. Desde que 0 periodo da super-rede que vamos considerar

e

muito menor

que 0 tamanho da camada de deple<;;ao,os efeitos de fundo do aceitadores sao despreziveis, ja

que estamos trabalhando com densidade de aceitadores na faixa de 0.001 aceitador pOl' volume de Bohr efetivo. Muito poucos eletrons SaG tirados do poc;o. Temos, entio, que resolver a equa<;;ao(3.21) impondo condic;oes de contorno tais que 0 sistema seja neutro dentro da cela

{

~I

_{dz z=o} =0

dUel -

a

dz

L=a/2 -

Vma vez determinado 0 potencial efetivo, podemos resolver a equaC;aode Schrodinger dentro da aproxima<;;aode mass a efetiva. As fun<;;oesde onda que correspond em ao movimento no plano x, y sao dadas pOI'uma onda plana, enquanto que 0movimento na direc;aoz

e

dado pela

seguinte equac;ao de Schrodinger em unidades de Bohr efetiva

Mais adiante fica claro 0 significado dos indices n e q na funC;aode onda e na energia. Os

eletrons que obedecem a equa<;;aode Schrodinger com urn potencial peri6dico sao conhecidos

SUVIC;:O DE 8tBLlOTECA E It'>lFORMAC;:AO - IFOSC

Utilizando

0

teorema de Bloch em nosso problema temos

Vamos impor condic;oes de contorno peri6dicas sobre as soluc;oes de (3.22) com base na seguinte afirmac;ao: as propriedades dos s61idos SaG nao dependem das condic;oes de contorno. Existem provas rigorosas desta afirma~ao

[19].

Imaginemos que 0 comprimento Na do cristal

(N aqui

e

0 numero de periodos da super-rede) seja muito grande e que a super-rede se feche

num circulo de tal forma que

1. 0 teorema de Bloch introduz 0vetor de onda q, 0qual faz 0mesmo pape! que 0 vetor de

onda de urn eletron livre, com a diferenc;a de que aqui q nao

e

proporcional ao momentum eletronico na direc;ao z. Devemos ver q como urn numero quantico caracteristico da simetria translacional do potencial. Notemos que q pode sempre ser confinado

a

primeira zona de Brillouin. Qualquer q' que nao esteja na primeira zona de Brillouin pode ser escrito como q' = q

+

Gz, com q na primeira zona e Gz vetor da rede redproco. Como

2. 0

indice

n

que aparece nas solu<;oes da equa<;ao

(3.22)

se faz necessario pois para urn certo q aparecem muitas solu<;oes diferentes. Para cada n, 0 conjunto de niveis eletronicos

especificado por En(q)

e

chamado minibandas de energia. Os valores permitidos de En(q)

sao separados por lacunas (gaps) de energia. Para energias correspondentes a estes gaps,

nao ha estados de Bloch permitidos satisfazendo as condi<;oes de contorno impostas. Estes

gaps de energia saD resultados da inter~ao dos eletrons com os pIanos de dopantes. Como a estrutura

e

periodica, ocorre espalhamento de Bragg e, assim, regioes on de a equa<;ao de Bragg nao

e

satisfeita nao existem est ados permitidos.

A condi<;ao de contorno peri6dica imp6e, como vimos acima, que q = 2p7rj

N

a. Como acabamos de ver, podemos restringir

q

na faixa

-7rja:S;

q:S; 7rja

(primeira zona de Brillouin). Assim, concluimos que existem N valores de q diferentes, ou seja, para cada minibanda existem exatamente N (numero de periodos da super-rede) niveis de energia discretos permitidos. Quando N e muito grande, estes niveis estao muito pr6ximos e podemos considerar, em alguns caIculos, que a minibanda seja continua.

Para determinarmos a estrutura de minibandas temos que resolver as equa<;oes (3.21) e (3.22). Podemos escolher a origem do sistema de coordenadas de tal modo que a energia potencial seja uma fun<;ao par de z. Com isto, dentro da cela unitaria da super-rede a equa<;ao de Schrodinger admite duas solu<;6es linearmente independentes que dependem da energia. Tais solu<;6es constituem uma base dentro da ce1a unitaria. Escolhemos uma fun<;ao par <pp(z) e uma

fun<;ao impar <pi(Z) como duas solu<;6es da equa<;ao de Schrodinger linearmente independentes. Estas solu<;oes saD definidas dentro da cela unitaria da super-rede pelas seguintes condi<;oes de contorno

<Pi(O)

=

0, d<Pddzlo

=

1

<pp(O)

=

1, d<ppjdzlo

=

0

Observemos que deixamos implicita a dependencia das fun<;oes de onda acima com rela<;ao

a

energla. A partir destas condi<;Oes, podemos resolver a equa<;ao (3.22) por metodos numericos

padroes. A solu<;ao geral para a equa<;ao de Schrodinger para uma dada energia pode ser escrita

Usando agora a continuidade da func;ao de onda e de sua derivada em z

=

aj2 obtemos, entao,

para cada valor E da energia

cos(qa)

=

'Pp(a/2)'P~(a/2)

+

'P~(a/2)'Pi(a/2)

=

F(E).

A equac;ao (3.26) acima

e

uma equac;ao transcendental que relaciona as energias permitidas e o vetor de onda q, isto

e,

a relac;ao de dispersao fn(q). As energias permitidas sao aquelas tais

2.3 1.0 ,...., w _0.0 '-"_u.. -1.0 -2.3 - -4.5 -16 -17 -8 -4 0 ENERGIA lR·)

Belgede Östenitik paslanmaz çeliğin bor katkılı Ni3Al ile kaplanabilirliğinin araştırılması / Investigation of boron doped Ni3Al coating of austenitic stainless stell (sayfa 73-82)