A dose do corticóide causou perda de massa óssea em fêmur de rato, resultando em diminuição da densidade óssea constatada pelos parâmetros morfométricos e pela densitometria óptica radiográfica.
Na análise morfológica do padrão radiográfico verificou-se que o número de trabéculas ósseas e de bifurcações destas foi maior no grupo Hidrocortisona tanto nos fêmures direitos e esquerdos. Entretanto, o número de nós se manteve sem diferença significante entre os grupos Hidrocortisona e Controle em todos os tempos estudados. No tocante a área trabecular, houve uma redução significante no grupo Hidrocortisona no 21º dia e no 28º dia em ambos os fêmures estudados. Na análise fractal constatou-se que a dimensão fractal foi maior no grupo Hidrocortisona que no Controle no 28º dia de administração do corticóide, em ambos os lados.
Outro achado foi que a densidade óssea radiográfica no terço médio do fêmur dos animais submetidos à droga esteroidal foi menor que naquele dos animais do grupo Controle. Isto ficou evidenciado no 21º dia e no 28º dia.
Pelos resultados morfométricos, análise fractal e densidade óptica radiográfica expostos neste estudo, constatou-se que o modelo de osteoporose em ratos foi estabelecido, podendo-se afirmar que se trata de um modelo de fácil exequibilidade e boa reprodutibilidade. O modelo poderá ser de grande utilidade para testes futuros de substâncias com potencial para o tratamento da osteoporose.
REFERÊNCIAS
ARMITAGE, P.; BERRY, G. Statistical methods in medical research. 3rd ed. Oxford: Blackwell, 1994.
AUFDEMORTE, T. B.; BOYAN, B. D.; FOX, W. C.; MILLER, D. Diagnostic tools and biologic markers: animal models in the study of osteoporosis and oral bone loss. J. Bone Miner Res., v. 8, Suppl. 2, p. S 529- S534, 1993.
BAGI, C. M.; MECHAM, M.; WEIS, J.; MILLER, S. C. Comparative morphometric changes in rat cortical bone following ovariectomy and/ or immobilization. Bone, v. 14, p. 877–883, 1993.
BAISH, J. W.; JAIN, R. K. Fractals and Cancer. Cancer Res., v. 60, p.3683-3688, 2000.
BENHAMOU, C. L.; LESPESSAILLES, E.; JACQUET, G. Fractal organization of trabecular bone images one calcaneus radiographs. J. Bone Miner. Res., v. 9, p. 1909-1918, 1994.
BERDUD, I.; MARTIN-MALO, A.; ALMADEN, Y.; ALJAMA, P.; RODRIGUEZ, M.; FELSENFELD, A. The PTH-calcium relationship during a range of infused PTH doses in the parathyroidectomized rat. Calcif. Tissue Int., v. 62, p.457–461, 1998. CALDWELL, C. B.; MORAN, E. L.; BOGOHT, E. R. Fractal dimension as measure of altered trabecular bone in experimental inflammatory arthritis. J. Bone Miner. Res., v. 13, p. 978-985, 1998.
CALDWELL, C. B.; STAPLETON, S. J.; HOLDSWORTH, D. W.; JONGRA; WEISER W.J.; COOKE, G.; YAFFE, M. J. Characterization of mammographic parenchymal pattern by fractal dimension. Phys. Med. Biol., v. 35, p. 235-247, 1990.
CALIGIURI, P.; GIGER, M. L.; FAVUS, M. Multifractal radiographic analysis of osteoporosis. Med. Phys., v. 21, p. 503-508, 1994.
CHAPPARD, D.; CHENNEBAULT, A.; MOREAU, M.; LEGRAND, E.; AUDRAN, M.; BASLE, M. F. Texture Analysis of X-Ray Radiographycs Is a More Realiabe Descriptor of Bone Loss Than Mineral Content in a Rat Model of Localized Disuse Induced by the Clostridium botulinum Toxin. Bone, v.28, p.72-79, 2001a.
CHAPPARD, D.; LEGRAND, E.; BASLE, M. F.; AUDRAN, M.; HAETTICH, B.; CHARLES, G.; AUVINET, B.; ESCHARD, J. P.; HAMELIN, J. P. Fractal dimension of trabecular bone: comparison of three histomorphometric computed techniques for measuring the architectural two-dimensional complexity. J. Pathol., v. 195, p. 515- 521, 2001b.
CHAPPARD, D.; BASLÉ, M. F.; LEGRAND, E.; AUDRAN, M. Trabecular bone microarchitecture: A review La microarchitecture de l’os trabéculaire: une revue. Morphologie, v. 92, p. 162-170, 2008.
CLEGHORN, T. F.; FULLER, J. J. Edge detection and image segmentation of space scenes using fractal analyses. Proc. SPIE, v.1705, p. 34-42, 1992.
COMPSTON, J. E. Connectivity of cancellous bone: assessment and mechanical implications. Bone, v. 15, p. 463—466, 1994.
CROSS, S. S. Fractals in pathology. J. Pathol., v.182, p. 1-8, 1997.
DEMPSTER, D. W. Bone histomorphometry in glucocorticoidinduced osteoporosis. J. Bone Miner. Res., v. 4, p. 137—141, 1989.
FAZZALARI, N. L.; PARKINSON, I. H. Fractal dimension and arquitecture of trabecular bone. J. Pathol., v. 178, p. 100-105, 1996.
FEDER, J. Fractals. New York: Plenum Press, 1988.
FELSENBERG, D.; BOONEN, S. The bone quality framework: determinants of bone strength and their interrelationships, and implications for osteoporosis management. Clin. Ther., v. 27, p. 1—11, 2005.
FROST, H. M. The regional acceleratory phenomenon. A review. Henry Ford Hosp. Med. J., v. 31, p. 3–9, 1983.
GONZALEZ, R. C.; WOODS, R. E. Fundamentos de imagens digitais. In: _____. Processamento de imagens digitais. São Paulo: Edgard Blücher, 2000. cap. 2, p. 15-56.
HAIDEKKER, M. A.; ANDRESEN, R.; EVERTSZ, C. J.; BANZER, D.; PETIGEN, H. O. Assessing the degree of osteoporosis in the axial skeleton using the dependence of the fractal dimension on the grey level threshold. Br. J. Radiol., v.70, p. 586-593, 1997.
HARALICK, R. M. Statistical and structural approaches to texture. Proc. IEEE, v. 67, p. 786-804, 1979.
HEO, M. S; LEE, S. S.; KOAK, J. Y.; HAN, C. H. Fractal analysis of mandibular bony healing after orthognathic surgery. Oral Surg. Oral Med. Oral Pathol., v. 94, p. 763- 767, 2002
HENRIKSON, P. A. Periodontal disease and calcium deficiency: an experimental study in the dog. Acta Odontol. Scand., v. 26, Suppl. 50, p. 1-132, 1968.
IJIRI, K.; MA, Y. F.; JEE, W. S. S.; AKAMINE, T.; LIANG, X. Adaptation of nongrowing former epiphyses and metaphyseal bones to aging and immobilization in the rat. Bone, v. 17, n. 4, Suppl., p. 207–212, 1995.
IWAMOTO, J.; TAKEDA, T.; ISCHIMURA, S. Differential effect of short-term etidronate treatment on three cancellous bone sites in orchidectomized adult rats. Keio J. Med., v. 53, p.12–17, 2004.
IWAMOTO, J.; TAKEDA, T.; SATO, Y.; YEH, J. K. Effects of vitamin K2 and growth hormone on the long bones in hypophysectomized young rats: a bone histomorphometry study. J. Bone Miner. Metab., v. 25, p. 46–53, 2007.
JEE, W. S. S.; YAO, W. Overview: animal models of osteopenia and osteoporosis. J. Musculoskelet. Neuronal. Interact., v. 1, p.193–207, 2001.
KANIS, J. A.; BLACK, D.; COOPER, C.; DARGENT, P.; DAWSONTHEGHES, B.; DE LAET, C. A new approach to the development of assessment guidelines for osteoporosis. Osteoporos. Int., v. 13, p. 527–538, 2002.
KIRCHNER, L. M.; SCHMIDT, S. P.; GRUBER, B. S. Quantitation of angiogenesis in the chick chorioallantoic membrane model using fractal analysis. Microvasc. Res., v. 52, p. 2-14, 1996.
KIMMEL, D. B. Animal models for in vivo experimentation in osteoporosis research. In: MARCUS, R.; FELDMAN, D.; KELSEY, J. (Ed.). Osteoporosis. San Diego: Academic Press, 1996. p. 681.
KIMMEL, D. B.; WRONSKI, T. J. Nondestructive measurement of bone mineral in femurs from ovariectomized rats. Calcif. Tissue Int., v. 46, p.101–110, 1990.
KUKLINSKI, W. S.; CHANDRA, K.; RUTTIMAN, U. E.; WEBBER, R. L. Application of fractal texture analysis to segmentation of dental radiographs. Proc. SPIE, v.1092, p.111-117, 1989.
KYRIACOS, S.; BUCZKOWSKI, S.; NEKKA, F.; CARTILIER, L. A modified box- counting method. Fractals, v. 2, p. 321-324, 1994.
LANDINI, G. Pathology in geometry and geometry in pathology. In: PICKOVER, C. A. (Ed.). Fractal Horizons. New York: St. Martin’s Press, 1996. p.251-262.
LAUX, P. R.; PEREIRA, R. S. Revisão do Modelo de Geometria Fractal. In: SIMPÓSIO BRASILEIRO DE SENSORIAMENTO REMOTO, 12., 2005, Goiânia. Anais... Goiânia: INPE, 2005. p. 4103-4110.
LE, H. M.; HOLMES, R. E.; SHORS, E.; ROSENSTEIN, D. A. Computerized quantitative analysis of the interconnectivity of porous biomaterials. Acta Stereol., v. 11, p. S1, p. 267—272, 1992.
LESPESSAILLES, E.; CHAPPARD, C.; BONNET, N.; BENHAMOU, C. L. Imaging techniques for evaluating bone microarchitecture. Joint Bone Spine, v. 73, p. 254- 261, 2006.
LI, X. J.; JEE, W. S. S.; CHOW, S. Y.; WOODBURY, D. M. Adaptation of cancellous bone to aging and immobilization in the rat: a single photon absorptiometry and histomorphometry study. Anat. Rec., v. 227, p.12–24, 1990.
LI, M.; SHEN. Y.; QI, H.; WRONSKI, T.J. Comparison study of skeletal response to estrogen depletion at red and yellow marrow sites in rats. Anat. Rec., v.245, p. 472– 480, 1996.
LI, M.; SHEN, Y.; WRONSKI, T. J. Time course of femoral neck osteopenia in ovariectomizd rats. Bone, v. 20, p. 55–61, 1997.
LOSA, G. A. Fractals in pathology: are they really useful? Pathologica, v.87, p. 310- 317, 1995.
LOUZADA, M. J. Q.; PELÁ, C. A.; BELANGERO, W. D.; SANTOS – PINTO, R. Metodologia para avaliação de densidade em imagens radiográficas. Rev. Bras. Eng./ Cad. Eng. Biom., v. 14, n. 2, p. 37- 47, 1998b.
MANDELBROT, B. B. The fractal geometry of nature. 3rd ed. New York: W. H. Freeman and Company, 1983.
MEURER, M. I.; MEURER, E.; YURGEL, L. S.; COSTA, N. P. Análise da densidade óssea em região parassinfisária de mandíbulas humanas: comparação entre níveis de cinza em radiografias digitais (Sistema Digora) e unidades Hounsfield. Rev. Odonto Ciência, v. 18, n. 40, p. 179-186, 2003.
MIDGETT, R. J.; SHAYE, R.; FRUGE, J. F. The effect of altered bone metabolism on orthondontic tooth movement. Am. J. Orthod., v.80, p. 256-262, 1981.
MILLER, S. C.; BOWMAN, B. M.; MILLER, M. A.; BAGI, C. M. Calcium absorption and osseous organ-, tissue-, and envelops-specific changes following ovariectomy in rats. Bone, v. 12, p. 439–446, 1991.
MIYAKOSHI, N.; SATO, K.; TSUCHIDA, T.; TAMURA, Y.; KUDO, T. Histomorphometric evaluation of the effects of ovariectomy on bone turnover in rat caudal vertebrae. Calcif. Tissue Int., v. 64, p. 318–324, 1999.
MOREY, E. R. Spaceflight and bone turnover: correlation with a new rat model of weightlessness. Bioscience, v. 29, p.168–172, 1979.
MOTULSKY, H. Intuitive biostatistics. Oxford: Oxford University Press, 1995. NITTA, T.; FUKUSHIMA,T.; NAKAMUTA,H.; KOIDA, M. Glucocorticoidinduced secondary osteopenia in female rats: a time course study as compared with ovariectomy-induced osteopenia and response to salmon calcitonin. Jpn. J. Pharmacol., v. 79, p. 379–386, 1999.
OKUMURA, H.; YAMAMURO, T.; KASSAI, R.; HIRASHI, T.; TADA, K.; NISHII, Y. Effect of 1 alpha-hydroxyvitamin D3 on osteoporosis induced by immobilization combined with ovariectomy in rats. Bone, v. 8, p. 351–355, 1987.
OLIVEIRA-FILHO, A. B.; SALZEDAS, L. M. P.; LOUZADA, M. J. Q. Densidade radiográfica em milímetros de alumínio no sistema digital direto. Metodologia. Pesqui. Odontol. Bras., v. 17, supl.1, p. 53, 2003.
PARFITT, A. M.; MATTHEWS, C. H. E.; VILLANUEVA, A. R.; KLEEREKOPER, M.; FRAME, B.; RAO, D. S. Relationships between surface, volume and thickness of iliac trabecular bone in aging and in osteoporosis. Implications for the microanatomic and cellular mechanisms of bone loss. J. Clin. Invest., v. 72, p. 1396—1409, 1983; RUTTIMANN, U. E.; WEBBER, R. L.; HAZELRIG, J. B. Fractal dimension from radiographs of peridental alveolar bone: a possible diagnostic indicator of osteoporosis. Oral Surg. Oral Med. Oral Pathol., v.74, p. 98-110, 1992.
SAMPSON, H. W.; PERKS, N.; CHAMPNEY, T. J.; DEFEE, B. Alcohol consumption inhibits bone growth and development in young actively growing rats. Alcohol. Clin. Exp. Res., v. 20, p. 1375–1384, 1996.
SARKAR, S.; REGINSTER, J. Y.; CRANS, G. G.; DIEZ-PEREZ , A.; PINETTE K. V.; DELMAS, P. D. Relationship between changes in biochemical markers of bone turnover and BMD to predict vertebral fracture risk. J. Bone Miner. Res., v. 19, p. 394–401, 2004.
SCHIMMER, B. P.; PARKER, K. Hormônio adrenocorticotrófico, esteróides adrenocorticais e seus análogos sintéticos; inibidores da síntese e das ações dos hormônios adrenocorticais. In: HARDMAN, J. G.; LIMBIRD, L. E.; MOLINOFF, P. B.; RUDDOM, R. W. As bases farmacológicas da terapêutica. 9. ed. México, DF: McGraw-Hill, 1996. p. 1082-1102.
SETO, H.; AOKI, K.; KASUGAI, S.; OHYA K. Trabecular bone turnover, bone marrow cell development, and gene expression of bone matrix proteins after low calcium feeding in rats. Bone, v. 25, p. 687–695, 1999.
SHEN, V.; BIRCHMAN, R.; LIANG, X.G.; WU, D.D.; LINDSAY, R.; DEMPSTER D. W. Prednisolone alone, or in combination with estrogen or dietary calcium deficiency or immobilization, inhibits bone formation but does not induce bone loss in mature rats. Bone, v. 21, p. 345–351, 1997.
SMITH, T. G.; MARKS, W. B.; LANGE, G. D.; SHERIFF, W. H. Jr.; NEALE, E. A. A fractal analysis of cell images. J. Neurosci. Methods, v. 27, p. 173-80, 1989.
SONES, A. D.; WOLINSKY, L. E.; KRATOCHVIL, F. J. Osteoporosis and mandibular bone resorption in the Sprague Dawley rat. Calcif. Tissue Int., v. 39, p.267-270, 1986.
SOUTHARD, T. E.; SOUTHARD, K. A.; JAKOBSEN, J. R.; HILLIS, S. L.; NAJIM, C. A. Fractal dimension in radiographic analysis of alveolar process bone. Oral Surg. Oral Med. Oral Pathol. Oral Radiol. Endod., v. 82, p. 569-576, 1996.
SOUTHARD, T. E.; SOUTHARD, K. A.; HILLIS, S. L.; KRIZAN, K.E; HALLER, J.W; KELLER, J.; VANNIER, M. W. Mandibular bone density and fractal dimension in rabbits with induced osteoporosis. Oral Surg. Oral Med. Oral Pathol. Oral Radiol. Endod., v.89, p.244- 249, 2000.
THOMPSON, D. D.; RODAN, G. A. Indomethacin inhibition of tenotomy- induced bone resorption in rats. J. Bone Miner. Res., v. 3, p. 409–414, 1988.
TURNER, A. S. Animal models of osteoporosis—necessity and limitations. Eur. Cell Mater., v. 1, p. 66–81, 2001.
VICO, P. G.; CARTILIER, L. H. A new approach in the study of skin vascularization. Plast. Reconstr. Surg., v. 92, p.463-468, 1993.
VICO, P. G.; KYRIACOS, S.; HEYMANS, O.; LOURYANS, S.; CARTILIER, L. H. Dynamic study of the extraembrionic vascular network of the chick embryo by fractal analysis. J. Theor. Biol., v. 195, p. 525-532, 1998.
WEBBER, R. L.; HAZELRIG, J. B.; PATEL, J. R.; VAN DEN BERG, H. R.; LEMONS, J. E. Evaluation of site-specific differences in trabecular bone using fractal geometry. J. Dent. Res., v. 70, p. 528, 1991.
WRONSKI, T. J.; DANN, L. M.; SCOTT, K. S.; CINTRON, L. M. Long-term effects of ovariectomy and aging on the rat skeleton. Calcif. Tissue Int., v. 45, p. 360 366, 1989.
WRONSKI, T. J.; DANN, L. M.; HORNER, S. L. Time course of vertebral osteopenia in ovariectomized rats. Bone, v. 10, p. 295–301, 1990.
ZECCHIN, K. G.; PEREIRA, M. C.; GRANER, E.; JORGE JÚNIOR, J. Conventional x-ray densitometry detects osteopenia in ovariectomized young rats. Short communication. Braz. J. Oral Sci., v. 3, n. 8, p. 425-427, 2004.
ZENG, Q. Q.; JEE, W. S. S.; BIGORNIA, A. E.; KING, J. G.; D’ SOUZA, S. M.; LI, X. J.; MA, Y. F.; WECHTER, W. J. Time responses of cancellous and cortical bones to schiatic neurectomy in growing female rats. Bone, v. 19, p.13–21, 1996.
ZUCKER, S. W.; TERZOPOULOS, D. Rinding structures in co-occurrence matrices for texture analysis. Comp. Graph. Image, v.12, p. 286-308, 1990.
APÊNDICE A – Geometria Fractal
Uma das noções mais intuitivas de dimensão está associada à escala e auto-semelhança. Um objeto de dimensão 1, uma reta por exemplo, se dividida em N partes idênticas, cada parte será idêntica à original multiplicada pelo fator de
escala de L = 1/N , e N x L1 reconstituirá o objeto.
Um objeto de duas dimensões, por exemplo, um quadrado, pode ser dividido em N partes idênticas, cada uma será idêntica à original multiplicado por um fator de escala de L = 1/N e N x L2 reconstitui o objeto.
Já um objeto de três dimensões, se dividido em N partes iguais, cada parte será igual a anterior multiplicado por L = 3 1/N e N x L3 reconstitui o objeto.
O número que se deve elevar L para que, multiplicado por N tenha-se 1, é a dimensão D, do objeto. Para os fractais, D é fracionário.
N x (L)D = 1
» N = 1 » N = 1 D » log N = log 1 D » log N = D log 1 LD L L L
» D = log N log (1/L)
Uma reta se dividida em N partes (figura 33), cada parte é igual à reta original escalada de L = 1/N. A reta original será reconstituída se → N x (L)1 = 1. Se N = 64 → L = 1/64, e N x (L)1 = 1.
FIGURA 33- Divisão de reta (N partes).
Um quadrado dividido em N partes iguais (figura 34), cada parte é igual ao quadrado original escalado de L = 1 .
O quadrado original será reconstituído se → N x L2 = 1. Deste modo, se N = 64 → L = 1/ 64 = ⅛, e N x (L)2 = 1.
FIGURA 34- Divisão do quadrado (N partes).
Um cubo se dividido em N partes iguais (figura 35), cada parte será igual ao cubo original escalado de L = 1 .
(N)1/3
O cubo original será reconstituído se N → N x (L)3 = 1. Deste modo, se N = 64 → L = 1/3
64 = ¼, e N x (L)3 = 1. Assim, por dedução, a dimensão D deve ser tal que:
N x LD= 1 → N = (1/L)D → log N = log (1/L)D→ log N = D log (1/L) → D = logN
log (1/L)
Onde: N → número de partes para reconstruir a figura original L → escalonamento da figura original
FIGURA 35 – Cubo dividido em N partes iguais.
Para a fractal, “floco de neve” ou “tríade de Koch” (figura 1) temos que a figura original é escalada de L = 1/3 e 4 partes, N = 4, reconstituem a figura, logo:
D = log N = log 4 = 1,26 log 1/L log 3
A fractal “quadrado de Kock” (figura 36) é semelhante à fractal do bloco de neve, mas o terço médio de uma reta é substituída pelos 3 lados de um quadrado de mesma base, para esta fractal tem-se:
L = ⅓, N = 5 e D = log 5 = 1,47 log 3
FIGURA 36 – Quadrado de Koch
A regra de subdivisão e substituição destas fractais (“triadic ou quadric de Koch”) é fundamental para o cálculo de suas dimensões .
Quanto mais próximo de 2, o valor da dimensão de uma fractal, maior a área da superfície que a fractal deve ocupar.
A partir destes conceitos iniciais de formas fractais, pode-se avaliar que os mesmos poderiam ser usados para estudo de estruturas mais complexas utilizando o conceito matemático de dimensão fractal, contanto que obedecessem ao princípio de auto-semelhança.
O primeiro golpe na noção intuitiva de dimensão foi desferido por George Cantor (1845-1918) em 1878: ele provou que é possível “mapear” continuamente o espaço euclidiano R1 no R2. Isto equivaleria a dizer que é possível endereçar todos os pontos de um plano com uma única coordenada.
Alguns anos mais tarde, Giuseppe Peano (1858-1932) demonstrou graficamente o que Cantor havia provado: ele demonstrou que é possível desenhar curvas, até então consideradas unidimensionais, que “preenchem” o plano, que eram considerados objetos bidimensionais. A curva que Peano propôs levou o seu nome: “A Curva de Peano”.A Figura 37 descreve o processo de geração da mesma.
FIGURA 37 – Ilustração do processo de construção da curva de Peano.
O processo de geração da curva é interativo: partindo-se de um segmento de reta qualquer (“nível 0”) com comprimento unitário, divide-se o mesmo em três partes, construindo na porção central uma espécie de retângulo (“nível 1”). Pode-se observar que cada “lado” da figura resultante (“nível 1”) pode ser visto como uma versão rotacionada e escalada do segmento inicial (“nível 0”). Uma vez que se trata de um processo interativo, o passo seguinte é justamente realizar a operação inicial
em cada lado da curva “nível 1”, chegando na curva “nível 2”. O processo é repetido até que todo o plano seja preenchido.
FIGURA 38– Ilustração do fenômeno de mapeamento do espaço euclidiano explicado através da
curva de Peano.
A Figura 38 demonstra o fenômeno do mapeamento: primeiramente, mede-se um ponto qualquer sobre o segmento de reta inicial (que está no R1), por exemplo, um ponto que esteja a 10/27 avos da extremidade esquerda, tomada como referência. Este é o ponto do intervalo unitário (já que o segmento possui comprimento total igual a 1) que será mapeado em um ponto do R2 (no plano).
No passo seguinte, realiza-se a transformação já descrita, gerando-se a curva “nível 1” (agora já contida no plano). Realiza-se a mesma medida: a partir do mesmo ponto de referência (a extremidade esquerda) percorre-se a distância de 10/27 avos do comprimento total da curva “nível 1”, seguindo o sentido indicado. O ponto de parada estará agora, naturalmente, no plano (R2).
Repetindo-se este processo inúmeras vezes, ou seja, realiza-se a transformação e em seguida mede-se 10/27 avos do comprimento da curva no estágio em questão, é possível verificar que o ponto tende a se estabilizar em um local do plano. Conforme se aumenta o número de interações do processo, o ponto de parada converge gradativamente para um determinado local no plano. Esse ponto pode ser considerado um ponto do R2, descrevendo-o a partir de duas coordenadas (x e y, por exemplo). Entretanto, ao mesmo tempo também pode ser
endereçado com uma única coordenada, partindo-se do ponto de referência (extremidade esquerda) e medindo-se 10/27 avos do comprimento total da curva no estágio em questão. Isso é válido para qualquer estágio, para qualquer interação do processo. Matematicamente o que foi feito é um mapeamento do ponto 10/27 do intervalo unitário em um ponto correspondente do R2. Uma vez que é possível repetir o processo para qualquer ponto do intervalo, digamos 1/12 avos, é possível mapear todo o intervalo unitário no R2 .
APÊNDICE B − Princípio de Richardson
Foi descrita uma curva “artificial” para mostrar que as medidas clássicas, como o comprimento, podem perder o sentido. No entanto, esse fenômeno também pode ser observado na natureza.
Observe a figura 39 que mostra um círculo cujo diâmetro tem o valor hipotético de 1000km. É possível calcularmos o valor do comprimento do círculo variando o número de lados de um polígono inscrito no mesmo(Tabela 15).
FIGURA 39 – Ilustração do cálculo do perímetro de um círculo utilizando-se um compasso de abertura ajustável.
mostrado na do compasso.
TABELA 15 –Cálculo do perímetro do círculo mostrado na Figura 39 utilizando-se valores diferentes de abertura do compasso.se valores diferentes de abertura do compasso.
Número de Lados Abertura do Compasso Comprimento do Perímetro
6 500,00 Km 3.000 Km 12 258,82 Km 3.106 Km 24 130,53 Km 3.133 Km 48 65,40 Km 3.139 Km 96 32,72 Km 3.141 Km 192 16,36 Km 3.141 Km
A idéia neste exemplo é medir o comprimento de um círculo a partir de um compasso, usando-o como uma “régua” de comprimento ajustável. Escolhendo-se uma medida inicial arbitrária para a abertura do compasso, conta-se, a partir de um
ponto de referência, o número de vezes que é necessário deslocar o compasso de maneira a cobrir toda a circunferência.
Esse processo fornece uma medida aproximada do comprimento do círculo. Caso se queira aumentar a precisão da medida, basta aumentar a precisão do instrumento de medida: diminuir a abertura do compasso. A Tabela 15 da Figura 39 demonstra o esperado: à medida que se diminui a abertura do compasso, que equivale a aumentar a precisão da medida, o comprimento tende ao valor teórico: ×d (d= diâmetro do círculo).
O processo utilizado para medir o comprimento do círculo também pode ser estendido para outras figuras consideradas mais complexas. Vejamos, como exemplo, o comprimento da costa da Grã-Bretanha.
FIGURA 40 – Ilustração de como medir o comprimento da costa da Grã-Bretanha, utilizando-se um compasso de abertura ajustável.
TABELA 16 – Cálculo do comprimento da costa da Grã-Bretanha tomando-se valores diferentes de abertura do compasso.
Abertura do Compasso Comprimento da Costa
500 Km 2.600 Km
100 Km 3.800 Km
54 Km 5.770 Km
A Figura 40 demonstra um efeito curioso: à medida que se aumenta a precisão da medida (diminuindo a abertura do compasso), o comprimento total medido não tende a um valor bem definido, como no caso do círculo. Isso é espantoso, pois revela um fenômeno no mínimo inesperado, em se tratando de instrumentos de medida: aumentar a precisão do instrumento não melhora a precisão da medida.
Ainda assim, a medida oferecida possui sentido. Isto ocorre, por que o estranho fenômeno não ocorre de maneira aleatória: existe uma relação entre o comprimento do instrumento de medida (precisão do mesmo) e o comprimento total da figura medida com este instrumento. Este efeito ficou conhecido como “Efeito Richardson”; e descreve que, embora conceitos, como o comprimento perdem o sentido para alguns objetos, ainda é possível atribuir uma medida a esses objetos.
FIGURA 41 – Diagrama “log-log” da relação entre o comprimento total do objeto (log u) pelo comprimento da abertura do compasso (log 1/s), utilizando-se os exemplos do cálculo do perímetro do círculo e do comprimento da costa da Grã-Bretanha.
Denominando “u” o comprimento do objeto, e “s” o comprimento do instrumento de medida empregado, a lei que descreve o Efeito Richardson é :
Traçando essa lei em um diagrama “log-log”, ter-se-á uma reta, como indica a Figura 41. A inclinação “d” da reta é exatamente uma medida que descreve a complexidade dos objetos, também podendo ser utilizada para classificar objetos, como uma medida alternativa ao comprimento. Verifica-se que para objetos simples,
como o círculo, ocorre uma melhoria da medida com o aumento da precisão. Assim, a reta resultante no diagrama “log-log” é horizontal.