Kabuk model

Atom çekirdeğinin homojen bir sıvı damlası gibi olmadığı ve atom gibi kabuk yapısına sahip olduğunun ortaya çıkmasıyla kabuk model gelişmeye başlamıştır. Çekirdeğin kabuk modelinin oluşturulmasında Pauli dışarlama ilkesi temel bir role sahiptir. Buna göre, protonlar ve nötronlar (elektronların yanı sıra) yarım spinlere sahiptir ve Fermi–Dirac istatistiklerine uymak zorundadırlar. Atom çekirdeğinin kabuk modeli, spin (J) ve parite (P) gibi nükleer taban durumlarının kuantum karakteristiklerini ve ayrıca bazı uyarılmış durumların doğasını açıklamakta başarılı olmuştur. Bununla birlikte, çekirdeklerdeki özdeş nükleonların eşlenmesi ve nükleer kabukların oluşumundaki spin-yörünge etkileşiminin önemli rolü gibi olayları da açıklamıştır (Ishkanov ve Kapitanov, 2015). 1950'lerin başında çalışılmaya başlandıktan (bağımsız olarak Mayer ile Haxel, Jensen ve Suess tarafından) sonra, nükleer kabuk modeli nükleer yapının anlaşılmasında önemli bir rol oynamıştır. Sıvı damla modeli ile hesaplanan, bağlanma enerjilerinde sapmalar meydana gelen çekirdekler atom fiziğindeki soygazlara benzetilebilir. Geleneksel olarak bağlanma enerjilerinde sapmaların meydana geldiği proton ya da nötron sayıları 2, 8, 20, 28, 50, 82 ve 126 olarak verilir ve bu sayılar sihirli sayılar olarak adlandırılır (Iskhanov ve Kapitanov, 2015). Bu durumu açıklamak için Schrödinger dalga denklemi farklı nükleer potansiyeller ile çözülmüş ve sihirli sayılar elde edilmeye çalışılmıştır. Bu

amaçla kullanılan ilk potansiyel analitik çözümleri elde edilebilen kare kuyu potansiyelidir, fakat bu potansiyel ilk üç sihirli sayı dışındaki sayıları türetememiştir (2, 8, 20, 34, 58, … ) (Soloviev, 1976). Harmonik Osilatör potansiyeli bir diğer potansiyel olarak ele alınmıştır, lakin bu potansiyel de isteneni vermemiştir. Harmonik Osilatör potansiyeli ile elde edilen sihirli sayı adayları şöyledir 2, 8, 20, 40, 70, 112 ve 168. Bir diğer potansiyel Nilsson potansiyelidir. Küresel bir çekirdek için başlayan çalışmalar (Nilsson, 1955) deforme bir alanda meydana gelen çiftlenimin hesaba katılmasıyla tek parçacık spektrumları hesaplanarak devam etmiştir (Meng, 2016). Öncelikle küresel harmonik osilatör içerisindeki tek parçacık hareketi, nükleonların kendine özgü hareketinin seviye spektrumu hesaplanmıştır. Deforme nükleer alan içerisindeki parçacık hareketi çiftlenim ve spin-orbit ayrımı ile silindirik simetrili bir harmonikosilatör potansiyelinden meydana gelen tek parçacık hamiltoniyeni tarafından yönetilmektedir. Çekirdeğin tek parçacık seviyelerinin sınıflandırılması ortalama potansiyelin simetrisine bağlıdır. Bu seviyelerin sınıflandırılması bazı özelliklere bağlıdır. Bu özellikler çekirdeğin şekline göre değişim gösterebilmektedir (Tablo 2.1.).

Tablo 2.1. Tek parçacık seviyelerinin çekirdeğin şekline göre bağlı bulunduğu özelliklerin karşılaştırılması Küresel çekirdekler Eksenel simetrik elipsoidal çekirdek

Enerji Enerji

Parite Parite

Toplam açısal momentum j ve onun

izdüşümü  ^{Tüm açısal momentumun nükleer simetri} eksenindeki izdüşümü K

Tablo 2.1.’de görüldüğü gibi eksenel simetrik deforme çekirdeklerde tek parçacık seviyelerinin sınıflandırılmasında j geçerli bir kuantum sayısı değildir. Bununla birlikte çekirdek eksenel simetrik değilse j ile birlikte K kuantum sayısının da önemini yitirmektedir (Soloviev, 1976).

Şekil 2.2. Deforme çekirdekler için asimptotik kuantum numaraları (Kurchatov Institute- High Energy Physics Division http://dbserv.pnpi.spb.ru/)

Yukarıda ifade edildiği gibi eksenel simetrik potansiyeldeki bir parçacığın hareketi Nilsson tarafından tanımlanmıştır. Buna göre potansiyel, anizotropik harmonik osilatör şekline sahiptir ve spin-orbit çiftlenimi ile birlikte potansiyelin üst kısmını düzleştirip kare kuyuya yaklaştırmayla orantılı olan l2 katsayısını içermektedir. Bu durumda gerekli işlemler yapıldıktan sonra elde edilen enerji özdeğerleri r Nn( _z)

’dir ve boyutsuz matrisin köşegenleştirilmesiyle elde edilmiştir. Tek parçacık

özfonksiyonu ise _{( )} K z l l Nn a Nl  _ 

 



 ile verilmektedir. Tek parçacık dalga fonksiyonları, yukarıda görüldüğü üzere kompakt formdaki asimptotik Nilsson kuantum sayılarıyla etiketlenmiştir (Meng, 2016). Nilsson kuantum numarası



Nnz



’dır. Burada N baş kuantum sayısı, nz simetri ekseni boyunca osilatör kuantum sayısı, ve  sırasıyla parçacığın orbital açısal momentum ve spininin simetri ekseni üzerindeki izdüşümleridir (Morse ve ark., 1972). Şekil 2.2.’de bazı kuantum sayılarının gösterimi bulunmaktadır. K ve  kuantum numaraları tek

parçacık seviyelerini tümüyle temsil etmemektedir bu eksikliği gidermek için asimptotik kuantum numaraları kullanılmaktadır.

Tek parçacıklı bir sistemi tanımlamak için kullanılan bir diğer potansiyel Woods-Saxon potansiyelidir. Woods-Woods-Saxon potansiyeli Haxel ve ark. (1949) ile Mayer (1950) tarafından geliştirilip spin-orbit etkileşimlerinin eklenmesi ile gerçekçi nükleer potansiyel olarak elde edilmiştir. Nükleon saçılma deneylerinden elde edilen sonuçla nükleer potansiyelin, nükleer madde dağılımına benzediği ve Şekil 2.3.’de gösterilen sonlu derinlikte ve küresel simetrik olan Woods-Saxon potansiyeli ile temsil edilebileceği anlaşılmıştır. Nilsson potansiyeli yüksek duvarlıdır bu nedenle nükleer potansiyel yaklaşım için iyi bir yaklaşım değildir. Ancak asimptotik kuantum numaraları her iki potansiyel için geçerlidir.

Şekil 2.3. Nükleer potansiyeller (Heyde, 1994)

Şekil 2.3.’deki R nükleer yarıçaptır. Woods-Saxon potansiyelinin yüzey etrafındaki kısmı saçılma reaksiyonlarında önem arz etmektedir. Çekirdek içerisinde nükleonların yoğunluk dağılımını çok iyi ifade eden Woods-Saxon potansiyeli çekirdek dışında üstel (eksponansiyel) olarak sıfıra gitmektedir. Potansiyel iki kısımdan oluşmaktadır: birinci kısım nükleonların ürettiği izoskaler ve izovektör ortalama alan potansiyeli iken ikinci kısım ise spin-orbital potansiyelidir (Soloviev, 1976). Hamiltonyen operatörü aşağıdaki gibidir:

𝐻 = � ^ℏ 2𝑚^∇2+

−𝑉₀𝜏

1 + exp�((𝑟 − 𝑅)/𝑎)^{− 𝑉𝒍.𝒔}(𝑟)𝒍𝒔. (2.2)

Denklem 2.2’nin ikini ve üçüncü ifadesindeki 𝑉₀𝜏 ve 𝑉_𝒍𝒔�açıkça şu şekilde verilir:,

0 0 1 V^ V V^ (2.3)



⁰



0 0 ( ) 1 exp ( ) / V V r r R a     ^(2.4) 1 1 0 0 ; 4 z V N Z V V A V  

 

^



 (2.5) 1 ( ) ( ) ls dV r V r r dr    (2.6)

Woods-Saxon potansiyelinin izovektör (V1) kısmından dolayı nötron ve proton sistemlerinin derinliği birbirinden farklıdır:

0^N 0( ) 1 0.63^{N Z} V V r A     _  _   ^ve V0^Z V r0( ) 1 0.63^{N Z} A     _  _   ^(2.7)

Burada V0=53 MeV, R0=r0A1/3, r0=1.24x10-13cm, yüzey kalınlığı a=0,63x10-13cm,

spin-yörünge etkileşme parametresi =0.263×



1 2( NZ A/



(10-13cm)2’dir (Kuliev ve Pyatov, 1968). Eşitlik 2.2.’deki potansiyel ifadelerine yüzey etkisinin ihmal edildiği aşağıdaki gibi verilen Coulomb potansiyeli eklenmelidir:

3 2 0 0 0 0 3 1 ( / ) , ( 1) 2 2 ( ) 1 , c r r R r R Z e R V r r r R  _{ }    _  _  (2.8)

Denklem 2.2.’de verilen Hamiltonyen ile Schrödinger dalga denklemi çözüldüğünde Şekil 2.4.’te de görüldüğü üzere küresel çekirdekler için sihirli sayılar elde edilmiştir.

Şekil 2.4. Schrödinger dalga denkleminin soldan sağa sırasıyla Woods-Saxon potansiyeli ve Woods-Saxon’a yapılan spin-orbit düzeltmesi ile çözüldüğünde elde edilen enerji kabuklarının sıralaması (Krane, 1987)

Deforme Kabuk Model: Nükleonların ortalama bir alan içerisinde bağımsız olarak hareket etmesi üzerine olan varsayım kabuk modeli ve diğer tüm mikroskobik teorilerin temelini oluşturmaktadır. Bu ortalama alanı oluşturan potansiyel nükleonlar ve nükleonların yapmış olduğu etkileşimler tarafından üretilmektedir. En basit şekli ile ele aldığımızda bu potansiyel kuyusu küreseldir. Fakat bu kapalı kabuklara sahip ya da kapalı kabuk komşuluğunda doğru olan bir durumdur. Kapalı kabuk bölgesinden uzaklaşmaya başlandığı andan itibaren artık potansiyelin de

küresellikten sapacağını hesaba katma zorunluluğu ortaya çıkmaktadır. Deforme potansiyel düşüncesi birçok deneysel gözlemi açıklamak için önem arz etmektedir. Bu deneysel gözlemler dönme bantlarının varlığı, çok büyük dört kutuplu momentler, büyük dört kutuplu geçiş olasılıkları, 16 kutuplu matris elemanları ve fisyon izomer olarak sıralanabilir. Bir önceki bölümde Woods-Saxon potansiyelinin küresel çekirdekleri açıklamaktaki başarısından bahsetmiştik, o halde Woods-Saxon potansiyelini deforme çekirdekler için genelleştirmek akla uygun olacaktır (Faessler ve Sheline, 1966; Ring ve Schuck, 2004).

𝑉(𝑟, 𝛽, 𝜙) = � −𝑉₀[1 + 𝑒𝑥𝑝 (^{𝑟−𝑅(𝑟,𝛽,𝜙)}_{𝑎(𝛽,𝜙)} )]⁻¹ (2.9)

𝑉_𝑙𝑠(𝑟, 𝛽, 𝜃) = 2𝜉(𝒑 × 𝒔)𝑔𝑟𝑎𝑑𝑉(𝑟, 𝛽, 𝜃) (2.10)

Burada, 𝛽 deformasyon parametresi, 𝑝 çizgisel momentumdur (Soloviev, 1976).

Belgede Deforme çekirdeklerde dev dipol rezonansların inclenmesi (sayfa 34-40)