3. ARAŞTIRMA BULGULARI
3.4. Kısmi Metrik Uzayda Lineer Olmayan ́iri ́ Tipi
dır ve buradan da { } Cauchy dizisdir. in tamlığından
(3.21.) olacak şekilde vardır ve dir. orbital sürekli olduğundan
olur ki bu nin bir sabit noktasıdır. (3.12.) ve her için olduğundan nin sabit noktası tektir.
3.4. Kısmi Metrik Uzayda Lineer Olmayan ́iri ́ Tipi Quasi-Büzülmeler
Lemma 3.4.1. kısmi metrik uzay ve { } olsun. Eğer ve ise her için dir [8].
Tanım 3.4.1. boş olmayan bir küme ve bir dönüşüm olsun. Eğer için ise noktasına ve nin çakışık noktası denir. Her olacak şekildeki için oluyorsa ve dönüşümlerine zayıf bağdaşık denir.
Tanım 3.4.3. boş olmayan bir küme olsun. kısmi metrik uzay ve kısmi sıralıysa uzayına sıralı kısmi metrik uzay denir.
Tanım 3.4.4. kısmi sıralı bir küme olsun. için veya oluyorsa x ile y elemanlarına karşılaştırılabilir elemanlar denir.
Tanım 3.4.5. iki dönüşüm, her için iken oluyorsa dönüşümüne -azalmayan denir. Eğer dönüşümü üzerinde birim dönüşümü ise dönüşümü azalmayan dönüşümdür.
37
aşağıdaki özelliklerle tanımlı reel değerli fonksiyonlarının kümesi olsun.
(i) azalmayan bir fonksiyon;
(ii) ;
(iii) ( ) ; (iv) Her için .
Not 3.4.1. (iv) den ve olduğundan her için olur. Dahası (i) ve (iv) den her için elde edilir.
Tanım 3.4.6. kısmi metrik uzay ve dönüşüm olsunlar. Her için;
{ ( ) ( ) ( )
( ) ( )} (3.22.)
sağlayan fonksiyonu varsa dönüşümüne - -quasi büzülme denir.
Tanım 3.4.7. sıralı kısmi metrik uzay olsun. olacak şekildeki her için (3.22.) şartını sağlayan fonksiyonu varsa ’ye - sıralı quasi büzülme denir. bir birim dönüşümü ise dönüşümü - - sıralı quasi büzülmedir.
Tanım 3.4.8. olsun. Her için { } dizisi, her için şeklinde tanımlansın. başlangıç noktasıyla { }dizisi - dizisidir. { } ve { } olarak tanımlansın. Bir kümesinin çapıda
{ }
38
şeklinde gösterilir. Ayrıca dikkat edilmelidir ki iken dir.
Bu bölümde - -quasi büzülme için bazı ortak sabit nokta teoremleri vereceğiz.
Teorem 3.4.1. kısmi metrik uzay ve , olacak şekilde iki dönüşüm olsun. dönüşümü ile birlikte - -quasi büzülme şartlarını sağlasın. uzayı, uzayının -tam alt uzayı ise ve dönüşümleri çakışık noktaya sahiptir. Bunlara ek olarak ve dönüşümleri zayıf bağdaşıksa bu iki dönüşüm te bir tek ortak sabit noktaya sahiptir. Üstelik herhangi bir başlangıç noktası ile oluşturulan { } dizisi ( - dizisi) sabit noktaya yakınsar.
İspat. sabit bir nokta olmak üzere olduğundan başlangıç noktalı { } dizisini ( - dizisi) oluşturabiliriz. Şimdi sınırlı olduğunu gösterelim.
Bunun için ilk olarak her ve her bir için
( ( )) (3.23.)
olduğunu göstermeliyiz.
Her bir için dönüşümü - -quasi büzülme olduğundan
{ ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))}
( ( ))
olur. ( ( )) ( ) olduğundan Not 3.4.1. ve (3.23.) eşitsizliği gereği her için ( ) olacak şekilde vardır.
fonksiyonunun (iii) özelliğinden her ve için olacak şekilde reel sayısı vardır. (3.23.) eşitsizliğini
kullanarak her için
39 ( )
( ( ))
olur. Buradan her için
( ) ( )
dir. Bu durum her için ( ) olmasıyla mümkündür. Buradan ( ) olduğundan sınırlıdır. Her için { } şeklinde tanımlanırsa her , - -quasi büzülme dönüşümü her için
( ) ( ( )) (3.24.)
sağlanır. (3.24.) den
( ) ( )
olup { } dizisi ( - dizisi) 0-Cauchy dizisidir.
, in 0-tam altuzayı olduğundan
olacak şekilde vardır.
Şimdi nun ve dönüşümlerinin çakışık noktası, yani olduğunu gösterelim. Eğer ise
40
olduğundan yeterince büyük için
olur. Lemma 3.4.1. kullanırsak olduğundan için
{ }
olur. Yeterince büyük için
{ ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )}
{ ( ) ( )}
{ }
olduğu açıktır. fonksiyonun (iv) özelliğinden için
{ }
olacağından bu bir çelişkidir, yani dur. Böylece ve dönüşümleri çakışık noktaya sahiptir.
Şimdi ve dönüşümleri zayıf bağdaşık ise ve dönüşümlerinin ortak sabit noktaya sahip olduğunu göstermeliyiz. olduğunu biliyoruz.
Eğer ise;
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
41 ( )
olur ki bu bir çelişki olduğundan dir. Ortak sabit noktanın tekliği -quasi büzülmenin tanımından kolayca elde edilir. Ayrıca herhangi bir için { } dizisi ( - dizisi) sabit noktaya yakınsar.
Not 3.4.2. Her ve için , ile tanımlı fonksiyon olmak üzere ye aittir. Teorem 3.4.1. den aşağıdaki sonuç açıktır.
Sonuç 3.4.1. kısmi metrik uzay ve , olacak şekilde iki dönüşüm olsun. Her için
{ }
olacak şekilde var olsun. uzayı uzayının -tam alt uzayı ise ve dönüşümleri çakışık noktaya sahiptir. Bunlara ek olarak ve dönüşümleri zayıf bağdaşıksa bu iki dönüşüm te bir tek ortak sabit noktaya sahiptir. Üstelik herhangi bir başlangıç noktası ile oluşturulan { } dizisi ( - dizisi) sabit noktaya yakınsar.
Örnek 3.4.1. kümesi { } kısmi metrikle
donatılmış olsun. Açıktır ki -tam kısmi metrik uzaydır.
dönüşümleri
olarak tanımlansın. Kolayca görülebilir ki dönüşümü her için şeklinde tanımlı fonksiyonu ile birlikte - - quasi büzülmedir. Bu alışılmış metriğine göre tam değildir.
Dolayısıyla dönüşümü için Teorem 3.3.1. uygulanamaz.
42
Dolasıyla Teorem 3.4.1. in bütün hipotezleri sağlanır. Burada ve nin ortak sabit noktası 2 dir. Diğer taraftan Teorem 3.3.1. bu örneğe uygulanamaz. Çünkü metriğine göre , alınırsa
=
= { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
{ }
43 { }
elde edilir.
Şimdi de sıralı kısmi metrik uzaylar için bazı sabit nokta sonuçlarını verelim.
Teorem 3.4.2. sıralı kısmi metrik uzay ve , olacak şekilde iki dönüşüm olsun. Kabul edelim ki dönüşümü ile -sıralı quasi büzülme ve “ “ sıralama bağıntısına göre -azalmayan dönüşüm olsun. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanırsa
(i) olacak şekilde vardır.
(ii) { }, noktasına yakınsayan de azalmayan dizisi için, her için ve vardır.
(iii) uzayı -tamdır.
o zaman ve dönüşümleri uzayında çakışık noktaya sahiptir. Üstelik, ve dönüşümleri zayıf bağdaşık ise, o zaman bu iki dönüşüm ortak sabit noktaya sahiptir.
İspat. olacak şekilde bir noktası { } dizisi ( - dizisi) için bir başlangıç noktası olsun. ve olduğu için olur.
dönüşümü azalmayan olduğundan dir. Bu şekilde devam edildiğinde
olur. Eğer bazı ler için ise olacağından bu bize in ve dönüşümleri için bir çakışık nokta olduğunu gösterir ve böylece ispat biter. O halde her için olduğunu kabul edelim. Her için olduğundan Teorem 3.4.1. deki gibi { } dizisinin dizisi bir -Caucyh dizisi olduğu gösterilebilir. uzayı uzayının - tam alt uzayı olduğundan
44
olacak şekilde vardır. Şimdi nun ve dönüşümlerinin çakışık noktası yani olduğunu gösterelim
ise
olduğundan yeterince büyük ler için
elde edilir. Lemma 3.4.1 gereği, olup ve böylece için
{ }
olur. (ii) şartından her için olacağından yeterince büyük ler için
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ ( ) ( )}
{ }
elde edilir. için
{ }
45
olduğundan bu bir çelişki olup olur. Buradan noktası ve dönüşümlerinin çakışık noktasıdır.
Şimdi ve dönüşümleri zayıf bağdaşık olması durumunda ve dönüşümlerinin ortak sabit noktasına sahip olduğunu göstereceğiz. olup (ii) şartından olur. dönüşümü - -sıralı quasi büzülme olduğundan
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
( )
olur ki bu bir çelişkidir. Bu durumda olup noktası ve dönüşümleri için ortak bir sabit noktadır.
Not 3.4.2. ve Teorem 3.4.2. den aşağıdaki sonuç verilebilir.
Sonuç 3.4.2. sıralı kısmi metrik uzay ve , olacak şekilde iki dönüşüm olsun. dönüşümü “ “ sıralama bağıntısına göre -azalmayan dönüşümdür. olacak şekildeki her için
{ }
olacak şekilde var olsun. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanırsa
(i) olacak şekilde vardır.
(ii) { }, noktasına yakınsayan de azalmayan dizisi için, her için ve vardır.
(iii) uzayı -tamdır.
46
o zaman ve dönüşümleri uzayında çakışık noktaya sahiptir. Üstelik, ve dönüşümleri zayıf bağdaşık ise, o zaman bu iki dönüşüm ortak sabit noktaya sahiptir.
Örnek 3.4.2. ] kümesi
olarak tanımlasın. ve dönüşümleri iki ortak sabit noktaya sahiptir. Bu yüzden dönüşümü - -quasi büzülme değildir.
47
fonksiyonunu göz önüne alırsak dönüşümü - -sıralı quasi büzülme ve azalmayandır. Teorem 3.4.2. den ve dönüşümleri ortak sabit noktaya sahiptir.
Şimdi Teorem 3.4.2. ve Sonuç 3.4.2. ortak sabit noktanın tekliği için ek bir şart vereceğiz.
Teorem 3.4.3. Teorem 3.4.2. nin tüm şartları sağlansın. Ayrıca her ve başlangıç noktasıyla oluşturulan { } dizisi ( - dizisi ) için ve olacak şekilde varsa o zaman ve dönüşümleri bir tek ortak sabit noktaya sahiptir.
İspat. olacak şekilde noktaları, ve dönüşümlerinin ortak sabit noktaları olsun. Eğer ve karşılaştırılabilirse hipotezden dönüşümü -büzülme olduğundan dir. Eğer ve noktaları karşılaştırılamıyorsa olacak şekilde bir vardır. dönüşümü azalmayan ve olduğu için
olur. Bu şekilde devam edilirse her için
olur. Buradan her için
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
{ ( ) ( ) ( )}
olur. Eğer
{ ( ) ( ) ( )} ( )
48 olursa
( )
olur ki bu bir çelişkidir. Teoremin hipotezinden ve yeterince büyük ler için
( ) (3.25.)
elde edilir. (3.25.) den ve her için olduğundan { } azalan dizi ve altan sınırlı olduğundan, dır. Eğer ise (3.25.) te için
( )
olur ki bu bir çelişkidir. Yani dır.
Benzer şekilde elde edilebilir. Bu yüzden için
olur ki bu da bir çelişkidir. Bu nedenle ve dönüşümleri bir tek ortak sabit noktaya sahiptir.
Sonuç 3.4.3. Sonuç 3.4.2. . nin tüm şartları sağlansın. Ayrıca her ve başlangıç noktasıyla oluşturulan { } dizisi ( - dizisi ) için ve olacak şekilde varsa o zaman ve dönüşümleri bir tek ortak sabit noktaya sahiptir.
49
Not 3.4.2. Teorem 3.4.1., Teorem 3.4.2. ve Teorem 3.4.3. den
(i) { ( ) ( ) ( )}
(ii)
{ ( ) ( ) ( ) (
)}
şartlarından birini sağlayan dönüşümleri için ortak sabit nokta sonuçları elde edilir.
50