Bi-izotonik Uzaylarda Sürekli Dönüşümler

Tanım 4.2.1.

(

X, cl , cl1 2

)

ve

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

genelleştirilmiş bi-kapanış uzayları ve

(

1 2

) (

1 2

)

: , cl , cl , cl , cl

f X → Y ′ ′ dönüşümü olsun. Eğer i ∈

{ }

1, 2 için

( ) ( )

: , cl_i , cl_i

f X _→ Y ′ sürekli (açık, kapalı ya da homeomorfizm) ise f dönüşümüne

i −sürekli ( i − açık, i − kapalı ya da i − homeomorfizm) denir.

Ayrıca f dönüşümü her i ∈

{ }

1, 2 için i − sürekli ise bi-süreklidir denir.

Örnek 4.2.1.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

ve

(

X, cl , cl₁′ ′₂

)

genelleştirilmiş bi-kapanış uzayları olmak üzere Örnek 2.2.1’den de görüleceği üzere Ι:

(

X, cl , cl1 2

) (

→ X, cl , cl1′ ′2

)

özdeşlik dönüşümünün bi-sürekli olması için gerek ve yeter şart i ∈

{ }

1, 2 için cl_i

operatörünün cl_i′ den daha kaba olmasıdır.

Tanım 2.2.2’de verilen f :

(

X, cl_i

) (

→ Y, cl′_i

)

dönüşümünün sürekliliği tanımından aşağıdaki önerme verilir.

Önerme 4.2.1.

(

X, cl , cl1 2

)

ve

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

genelleştirişmiş bi-kapanış uzayları olsun.

(

1 2

) (

1 2

)

: , cl , cl , cl , cl

f X → Y ′ ′ dönüşümü bi-süreklidir ancak ve ancak her A∈P X( ) ve her i ∈

{ }

1, 2 için f

(

cl_i

( )

A

)

⊆cl′_i

(

f A

( ))

dir.

Önerme 2.2.1’de izotonik uzaylar arasında tanımlı f :

(

X, cl_i

) (

_→ Y, cl_i′

)

dönüşümünün sürekliliği için verilen karakterizasyon göz önüne alınarak aşağıdaki önerme verilir.

Önerme 4.2.2.

(

X, cl , cl1 2

)

ve

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

bi-izotonik uzayları ve

(

1 2

) (

1 2

)

: , cl , cl , cl , cl

f X → Y ′ ′ dönüşümü olsun. f dönüşümü bi-süreklidir ancak ve ancak her B∈P Y( ) ve i ∈

{ }

1, 2 için

(

1

( ))

1

( ( ))

Önerme 4.2.3.

(

X, cl , cl1 2

)

,

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

ve

(

Z, cl ,cl1′′ ′′1

)

bi-izotonik uzayları olmak üzere f :X → ve Y g Y: → bi-sürekli dönüşümler olsun. Bu durumdaZ

:

g_ f X →Z bi-süreklidir.

İspat. Herhangi B∈P Z( ) alt kümesini alalım. g bi-sürekli olduğundan her

{ }

1, 2 i ∈ için

(

1

( ))

1

( ( ))

cl_i′ g⁻ B ⊆g⁻ cl_i′′ B olur. 1

( ) ( )

g⁻ B ∈P Y olup f bi-sürekli olduğundan

(

1

(

1

( )))

1

( (

1

( )))

cl_i f⁻ g⁻ B ⊆ f⁻ cl′_i g⁻ B sağlanır. Ayrıca 1

( (

1

( )))

1

(

1

( ( )))

cl_i cl_i

f⁻ ′ g⁻ B ⊆ f⁻ g⁻ ′′ B olur. Son iki kapsama göz önüne alınırsa cl_i

(

f⁻1

(

g⁻1

( )

B

))

⊆ f⁻1

(

g⁻1

(

cl′′_i

( )

B

))

bulunur.

Böylece ₁

(

₁

( )) ( ) ( )

1

f⁻ g⁻ B = g_ f ⁻ B olduğu da bilindiğinden g_ f :X →Z bi-süreklidir.

Önerme 4.2.4.

(

X, cl , cl1 2

)

ve

(

X, cl , cl1′ ′2

)

bi-izotonik uzayları olsun.

(

1 2

) (

1 2

)

: , cl , cl , cl , cl

f X → Y ′ ′ dönüşümü için aşağıdakiler denktir. i) f dönüşümü bi-süreklidir.

ii) Her B∈P Y( ) ve i ∈

{ }

1, 2 için 1

( ( )) (

1

( ))

int_i int_i

f⁻ ′ B ⊆ f⁻ B dir

iii) Her B∈P Y( ) ve i ∈

{ }

1, 2 için B∈ NNNN i

(

f x

( ))

ise 1

( ) ( )

i

f⁻ B ∈ NNNN x dir. İspat.

(

i⇒ii

)

f dönüşümü bi-sürekli olsun. i ∈

{ }

1, 2 olmak üzere ∀ ∈B P Y( ) için

( )

(

1

)

1

( ( ))

cl_i f⁻ B ⊆ f⁻ cl_i′ B olduğundan 1

( ( ))

1

( ( ))

int_i cl_i f⁻ ′ B = f⁻ Y− ′ Y−B olup buradan 1

( ( )) (

1

( ))

cl_i cl_i X − f⁻ ′ Y−B ⊆ X − f⁻ Y −B dir. Ayrıca

( )

(

1

) (

1

( ))

cl_i int_i X− f⁻ Y−B = f⁻ B olduğundan 1

( ( )) (

1

( ))

cl_i int_i X − f⁻ ′ Y−B ⊆ f⁻ B elde edilir.

(

ii⇒iii

)

∀ ∈B P Y( ) için 1

( ( )) (

1

( ))

int_i int_i

f⁻ ′ B ⊆ f⁻ B olduğunu kabul edelim.

( )

( )

i

B∈ N N N N f x olsun. O halde f x

( )

∈int_i′

( )

B dir. Buradan

( )

( ) ( ( ))

1 1 int_i int_i x∈ f⁻ ′ B ⊆ f⁻ B olup

(

1

( ))

1

( ) ( )

int_{i i} x∈ f⁻ B ⇒ f⁻ B ∈ NNNN x bulunur.

(

iii⇒i

)

∀ ∈B P Y( ) için B∈ N N N N i

(

f x

( ))

ise 1

( ) ( )

i f⁻ B ∈ NNNN x olsun.

( )

(

1

)

cl_i x∈ f⁻ B alınsın. O halde

(

1

( )) (

1

( ))

cl_i f⁻ B =X −int_i X − f⁻ B olduğundan

( )

(

1

)

int_i x∈X − X − f⁻ B bulunur. Buradan

(

1

( ))

int_i x∉ X− f⁻ B olup

( ) ( )

1 i

X − f⁻ B ∉ NNNN x elde edilir. Bu durumda 1

( ) ( )

i

f⁻ B ∈ NNNN x bulunur. Ayrıca kabulümüzden B∈ N N N N i

(

f x

( ))

vardır. O halde

(

Y−B

)

∉ N N N N i

(

f x

( ))

( )

int_i

( )

f x ∉ ′ Y−B olup f x

( )

∈ −Y

(

int_i′

(

Y−B

))

=cl_i′

( )

B ise 1

( ( ))

cl_i

x∈ f⁻ ′ B dir. Sonuç olarak

(

1

( ))

1

( ( ))

cl_i f⁻ B ⊆ f⁻ cl_i′ B elde edilir.

Tanım 4.2.2. f dönüşümü birebir ve örten olsun. Eğer f bi-sürekli ve f⁻¹ bi-sürekli ise bi-homeomorfizm denir.

Tanım 4.2.3.

(

X, cl , cl1 2

)

ve

(

_ℝ,

ω)

alışılmış topolojik uzay olmak üzere f :X → ℝ

dönüşümü verilsin. Eğer a ∈ ℝ için 1

(( ))

,

f⁻ a ∞ kümesi

(

X, cl1

)

uzayında açık (

(

X, cl2

)

uzayında açık) küme ise f dönüşümüne cl −₁ alt yarı sürekli (cl −₂ alt yarı sürekli) denir. Eğer a ∈ ℝ için 1

(( ))

,

f⁻ −∞ a

(

X, cl1

)

uzayında açık (

(

X, cl2

)

uzayında açık) küme ise f dönüşümüne cl −₁ üst yarı sürekli (cl −₂ üst yarı sürekli) denir.

Önerme 4.2.5.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzay ve

(

_ℝ,

ω)

alışılmış topolojik uzay olmak üzere f :X → ℝ dönüşümü verilsin. Eğer a ∈ℝ için

-

(

1

(( )))

1

(( ])

1

cl f⁻ −∞,a ⊆ f⁻ −∞,a ise f dönüşümü cl −₁ alt yarı sürekli, -

(

1

(( )))

1

([ ))

1

-

(

1

(( )))

1

(( ])

2

cl f⁻ −∞,a ⊆ f⁻ −∞,a ise f dönüşümü cl −₂ alt yarı sürekli, -

(

1

(( )))

1

([ ))

2

cl f⁻ a,∞ ⊆ f⁻ a,∞ ise f dönüşümü cl −₂ üst yarı süreklidir.

İspat. Herhangi a ∈ ℝ için 1

(( ))

,

f⁻ a ∞ kümesi

(

X, cl1

)

uzayında açık küme ise

( )

( ) ( (( )))

1 1

1

, int ,

f⁻ a ∞ = f⁻ a ∞ dir. Diğer taraftan

(

a,∞ ⊆

) [

a,∞

)

olduğundan

( )

( ) ([ ))

1 1

, ,

f⁻ a ∞ ⊆ f⁻ a ∞ olur ki f dönüşümü izotonik olduğundan

( )

( )

(

1

) (

1

([ )))

1 1

int f⁻ a,∞ ⊆int f⁻ a,∞ sağlanır. Bu 1

(( )) (

1

([ )))

1

, int ,

f⁻ a ∞ ⊆ f⁻ a ∞

olmasını gerektirir. Buradan da 1

(( )) (

1

([ )))

1 , int , X − f⁻ a ∞ ⊇ X − f⁻ a ∞ bulunur. Dolayısıyla 1

( ( )) (

1

( [ )))

1 , cl , f⁻ _ℝ− a ∞ ⊇ f⁻ _ℝ− a ∞ elde edilir ki bu

( )

( )

(

1

)

1

(( ])

1

cl f⁻ −∞,a ⊆ f⁻ −∞,a demektir. Diğerleri de benzer yolla kolayca gösterilir.

Tanım 4.2.4.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ve

(

_ℝ,

ω)

alışılmış topolojik uzay olmak üzere f :X → ℝ dönüşümü verilsin. Eğer her i j ∈,

{ }

1, 2 ve i≠ için f dönüşümü j

cl_i−alt yarı sürekli ve cl_j− üst yarı sürekli ise f dönüşümüne cl cl_{i j}− alt üst yarı sürekli denir.

Önerme 4.2.6.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzay, ℝ reel sayılar doğrusu üzerinde

{ } ({ ) }

1 , a, :a

ω = _ℝ ∅ ∪ ∞ ∈_{ℝ sağ topolojik yapı ve} ω2 =

{

_ℝ,∅ ∪ −∞

} ({

,a

)

:a∈_ℝ

}

sol topolojik yapı olmak üzere

(

_ℝ,

ω ω

1, 2

)

bitopolojik uzay ve

(

_ℝ,

ω)

alışılmış topolojik uzay olsun. f :

(

X, cl , cl1 2

) (

→ ℝ,

ω)

dönüşümünün her i j ∈,

{ }

1, 2 ve

i≠ için cl clj _{i j}− alt üst yarı sürekli olması için gerek ve yeter şart

(

_{1 2}

) (

_{1 2}

)

: , cl , cl , ,

f X → ℝ

ω ω

dönüşümü bi-sürekli olmasıdır

( )

⇒: f :

(

X, cl , cl1 2

) (

→ ℝ,

ω ω

1, 2

)

dönüşümü bi-sürekli iken herhangi B∈P( )_{ℝ ,}

{ }

1, 2

i ∈ için

(

1

( ))

1

( ( ))

cl cl

i

i f⁻ B ⊆ f⁻ _ω B olur. Eğer herhangi a ∈ℝ noktası için

(

,

)

B= −∞ a alırsak ω₁ sağ topolojik yapıya göre kapanışı cl_ω1

( ) (

B = −∞,a

]

olduğundan kabulden

(

1

(( )))

1

(( ])

1

cl f⁻ −∞,a ⊆ f⁻ −∞,a elde edilir. Öyleyse

(

1 2

) ( )

: , , ,

f X

τ τ

→ ℝ

ω

cl −1 alt yarı süreklidir. Benzer şekilde herhangi a ∈ℝ

noktası için B=

(

a,∞

)

alırsak ω₂ sol topolojik yapıya göre kapanışı

( ) [ )

2 cl_ω B = a,∞ olur ki kabulden

(

1

(( )))

1

([ ))

2 cl f⁻ a,∞ ⊆ f⁻ a,∞ bulunur. Bu ise

(

_{1 2}

) ( )

: , , ,

f X

τ τ

→ ℝ

ω

dönüşümü cl −₂ üst yarı sürekli olduğunu gösterir. Sonuç olarak f :

(

X, ,

τ τ

_{1 2}

) (

→ ℝ,

ω)

’nin cl cl −_{1 2} alt üst yarı sürekli dönüşüm olduğu görülür.

( )

⇐: f :

(

X, cl , cl1 2

) (

→ ℝ,

ω)

dönüşümü cl cl −_{1 2} alt üst yarı sürekli olsun. Her

a ∈ ℝ için

(

a ∞ , ,

) ω

₁−açık kümelerini ve

(

−∞, a

) ω

₂−açık kümelerini göz önüne alalım. f :

(

X, cl , cl1 2

) (

→ ℝ,

ω)

dönüşümü cl cl −_{1 2} alt üst yarı sürekli olduğundan yani cl −₁ alt yarı sürekli ve cl −₂ üst yarı sürekli olduğundan her a ∈ ℝ için

( )

( )

(

1

)

1

(( ])

1 cl f⁻ −∞,a ⊆ f⁻ −∞,a ve

(

1

(( )))

1

([ ))

2 cl f⁻ a,∞ ⊆ f⁻ a,∞ sağlanır. Böylece her i ∈

{ }

1, 2 için f :

(

X, cl_i

) (

→ ℝ,

ω

_i

)

dönüşümü i − sürekli olduğundan

(

1 2

) (

1 2

)

: , , , ,

f X τ τ → ℝ ω ω dönüşümü bi-süreklidir.

4.3. Bi-izotonik Uzaylarda Ayırma Aksiyomları

Tanım 4.3.1.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

genelleştirilmiş bi-kapanış uzayı olsun. Eğer her ,x y∈X

noktaları için y∉N_x olacak şekilde N_x∈ NNNN₁

( )

x ya da x∉N_y olacak şekilde

( )

2

y

Önerme 4.3.1.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı olsun. Eğer her x y, ∈X için

{ }

( )

1

cl

y∉ x ya da x∉cl2

( ){ }

y ise

(

X, cl , cl1 2

)

ikili T −₀ uzayıdır.

İspat. Tanım 2.3.1 ve Önerme 2.3.1 gereği y∉N_x olacak şekilde Nx∈ NNNN1

( )

x

vardır ancak ve ancak her ,x y∈X için y∉cl1

( ){ }

x dir. Benzer şekilde x∉N_y

olacak şekilde N_y∈ NNNN ₂

( )

y vardır ancak ve ancak her ,x y∈X için x∉cl2

( ){ }

y

dir. Böylece ispat tamamlanır.

Tanım 4.3.2.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

genelleştirilmiş bi-kapanış uzayı olsun.

- x≠ y olmak üzere ∀x y, ∈X için y∉N_x olacak şekilde N_x∈ NNNN ₁

( )

x ve x∉N_y

olacak şekilde N_y∈ NNNN ₂

( )

y varsa

(

X, cl , cl_{1 2}

)

ikili S T −_ ₁ uzayıdır denir. - Eğer

(

X, cl₁

)

ve

(

X, cl₂

)

uzayları T −₁ uzayı ise

(

X, cl , cl_{1 2}

)

uzayı ikili R T −_ ₁

uzayıdır.

Önerme 4.3.2. Eğer

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı ikili R T −_ ₁ uzayı ise ikili 1

_

S T −uzayıdır.

İspat.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili R T −_ ₁ uzayı olsun. Önerme 2.3.2.’den

(

X, cl1

)

ve

(

X, cl2

)

izotonik uzayları T −₁ uzayı olup x≠ y olacak şekilde her ,

x y∈X için cl1

( ){ }

x ⊆

{ }

x ve cl2

( ){ }

y ⊆

{ }

y sağlanır. O halde

{ }

int1

( { })

X − x ⊆ X − x ve X −

{ }

y ⊆int2

(

X −

{ }

y

)

dir. x≠ y olduğundan

{ }

y∈ −X x ve x∉ −X

{ }

x olup kabulümüzden y∈ −X

{ }

x ⊆int1

(

X −

{ }

x

)

sağlanır ki böylece X −

{ }

x ∈ NNNN 1

( )

y bulunur. Benzer şekilde x∈ −X

{ }

y ve

{ }

y∉ −X y olup x∈int2

(

X −

{ }

y

)

sağlanır. Buradan da X −

{ }

y ∈ NNNN 2

( )

x bulunur. Sonuç olarak X bi-izotonik uzayı ikili S T −_ ₁ uzayı olur.

Tanım 4.3.3.

(

X, cl , cl1 2

)

genelleştirilmiş bi-kapanış uzayı olsun. x≠ y olmak üzere her ,x y∈X noktaları için U∩ = ∅V olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

x ve V∈ NNNN 2

( )

y

kümeleri varsa

(

X, cl , cl1 2

)

ikili Hausdorff uzayıdır.

Önerme 4.3.3.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı olsun. X ikili Hausdorff uzayı olması için gerek ve yeter şart x≠ y olmak üzere her ,x y∈X için y∉cl₁

( )

U olacak şekilde U∈ NNNN ₂

( )

x veya x∉cl₂

( )

V olacak şekilde V∈ NNNN₁

( )

y var olmasıdır. İspat.

( )

⇒:

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı ikili Hausdorff olsun. Öyleyse herhangi farklı ,x y∈X için U∩ = ∅V olacak şekilde U∈ NNNN ₂

( )

x ve V∈ NNNN ₁

( )

y vardır.

( )

1

V∈ NNNN y olduğundan y∈int1

( )

V olur. Öyleyse y∉ −X int1

( )

V olur.

( ) ( )

1 1

int cl

y∉ −X V = X−V dir. U ⊆ X − olduğundan V cl₁

( )

U ⊆cl₁

(

X −V

)

dir. Bu durumda y∉cl1

( )

U olacak şekilde U∈ NNNN 2

( )

x bulunur. Benzer şekilde

( )

2

U∈ NNNN x olduğundan x∈int2

( )

U olur. Öyleyse x∉ −X int2

( )

U olur.

( )

2

cl

x∉ X −U dir. V ⊆ X − olduğundan U cl2

( )

V ⊆cl2

(

X −U

)

dir. Bu durumda

( )

2

cl

x∉ V olacak şekilde V∈ NNNN 1

( )

y bulunur.

( )

⇐: Her farklı ,x y∈X için y∉cl2

( )

U olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

x var olsun. O zaman y∈ −X cl2

( )

U =int2

(

X −U

)

olur. Yani X− ∈ NU NNN 2

( )

y dir. X U− =V

dersek U∩ = ∅V olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

x ve V∈ NNNN 2

( )

y bulunmuş olur. Böylece X ikili Hausdorff uzayıdır.

Önerme 4.3.4.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili Hausdorff uzayı ise

(

X, cl1

)

ve

(

X, cl2

)

uzayları T −₁ uzayıdır.

İspat.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili Hausdorff olsun. O zaman x≠ y olacak şekilde ,x y∈X için x∉

{ }

y olur. Buradan X ikili Hausdorff uzayı olduğundan

( )

1

int

x∈ U dir. Yani x∉ −X int1

( )

U =cl1

(

X −U

)

olur. Ayrıca V ⊆X − U

olduğundan cl1

( )

V ⊆cl1

(

X −U

)

dir. Dolayısıyla x∉cl1

( )

V bulunur. Diğer taraftan

y∈ ve V

{ }

y ⊆V olup cl₁ izotonik olduğundan cl1

{ }

y ⊆cl1

( )

V dir. O halde

{ }

1

cl

x∉ y bulunur. Sonuç olarak cl₁

{ } { }

y ⊆ y olduğu görülür ki bu

(

X, cl₁

)

uzayının T −₁ uzayı olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde

(

X, cl₂

)

uzayının T −₁

uzayı olduğu gösterilir.

Bu son önerme ile ikili R T −_ ₁ uzayı tanımı ve sonrasında Önerme 4.3.2 göz önüne alınarak aşağıdaki sonuç verilebilir.

Sonuç 4.3.1. Her ikili Hausdorff bi-izotonik uzayı ikili R T −_ ₁ uzayı, dolayısıyla

1

_

S T −uzayıdır

Tanım 4.3.4.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı olsun. x≠ y olmak üzere her ,x y∈X

için cl1

( )

U ∩cl2

( )

V = ∅ olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

x ve V∈ NNNN 2

( )

y varsa

(

X, cl , cl1 2

)

ikili ₁ 2

2

T − uzayıdır.

Tanım 4.3.5.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

genelleştirilmiş bi-kapanış uzayında her x∈X noktası ve her F⊆ X alt kümesi için x∉cl₁

( )

F olmak üzere U∩ = ∅V olacak şekilde

( )

1

U∈ NNNN x ve V∈ NNNN ₂

( )

F varsa

(

X, cl₁

)

uzayı

(

X, cl₂

)

uzayına göre regülerdir denir.

Eğer

(

X, cl₁

)

uzayı

(

X, cl₂

)

uzayına göre regüler ve

(

X, cl₂

)

uzayı

(

X, cl₁

)

uzayına göre regüler ise

(

X, cl , cl_{1 2}

)

ikili regülerdir.

Önerme 4.3.5.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzay olsun.

(

X, cl₁

)

izotonik uzayı

(

X, cl₂

)

izotonik uzayına göre regüler olması için gerek ve yeter şart her x∈X noktasının her N∈ NNNN ₁

( )

x komşuluğu için cl U₂

( )

⊆N olacak şekilde U∈ NNNN₁

( )

x var olmasıdır.

İspat.

( )

⇒:

(

X, cl1

)

izotonik uzayı

(

X, cl2

)

izotonik uzayına göre regüler olsun. Her. x∈X noktası ve her F⊆ X alt kümesi için x∉cl1

( )

F olmak üzere

U∩ = ∅V olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

x ve V∈ NNNN 2

( )

F vardır. Herhangi x∈X ve

( )

1

N∈ NNNN x alalım. Bu durumda x∈int₁

( )

N olur. Öyleyse

( ) ( )

1 1

int cl

x∉ −X N = X −N bulunur. Kabulden U∩ = ∅V olacak şekilde ve

( )

2

V∈NNNN X −N vardır. Ayrıca U ⊆

(

X−V

)

ve cl₂ izotonik olduğundan

( ) ( )

2 2

cl U ⊆cl X −V yani X −cl₂

( )

U ⊇X −cl₂

(

X V−

)

=int₂

( )

V bulunur.

( )

2 V∈NNNN X −N ve V∈NNNN ₂

( )

F ⇒ ∈F int₂

( )

V olduğundan

( ) ( )

2 2 int cl

X −N ⊆ V ⊆X − U bulunur. Sonuç olarak cl U₂

( )

⊆N olacak şekilde

( )

1

U∈ NNNN x elde edilmiş olur.

( )

⇐: Her x∈X noktasının her N∈ NNNN1

( )

x komşuluğu için cl U2

( )

⊆N olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

x var olsun. Herhangi x∈X noktası ve x∉cl1

( )

F olacak şekilde herhangi F⊆ X alt kümesi alınsın.

O zaman x∈ −X cl₁

( )

F =int₁

(

X −F

)

olur. Böylece X− ∈ NF NNN₁

( )

x dir. Kabulümüzden cl U2

( )

⊆ X −F olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

x vardır. F ⊆X −cl2

( )

U

olur ki X −cl2

( )

U =V dersek U∩ = ∅V olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

x ve

( )

2

V∈ NNNN F bulunmuş olur. Sonuç olarak

(

X, cl1

)

izotonik uzayı

(

X, cl2

)

izotonik uzayına göre regüler bulunur.

Tanım 4.3.5 ve Önerme 4.3.5’den aşağıdaki sonuç verilir.

Sonuç 4.3.2.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayının ikili regüler olması için gerek ve yeter şart her x∈X noktasının her N′∈ NNNN1

( )

x komşuluğu için cl U2

( )

⊆N′ olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

x kümesinin ve her N′′∈ NNNN 2

( )

x komşuluğu için cl V1

( )

⊆N′′

Tanım 4.3.6.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı eğer ikili regüler ve ikili R T −_ ₁ uzayı ise ikili T −₃ uzayıdır denir.

Önerme 4.3.6.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı ikili T −₃ uzayı ise ikili T −₂ uzayıdır. İspat.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı ikili T −₃ uzayı olsun. Bu durumda ikili regüler ve ikili R T −_ ₁ uzayı olup herhangi farklı ,x y∈X için cl2

( ){ }

y ⊆

{ }

y sağlanır. Dolayısıyla X −

{ }

y ⊆int2

(

X −

{ }

y

)

olur. Buradan x∈ −X

{ }

y olduğundan

{ }

2

( )

X − y ∈ NNNN x bulunur. Ayrıca X ikili regüler olduğundan Sonuç 4.3.2.’den her

{ }

2

( )

X − y ∈ NNNN x komşuluğu için cl V1

( )

⊆X −

{ }

y olacak şekilde V∈ NNNN 2

( )

x

kümesinin vardır. y∉cl1

( )

V olacak şekilde V∈ NNNN 2

( )

x kümesinin var olduğundan Önerme 4.3.3. gereği X ikili Hausdorff uzayı bulunur.

Tanım 4.3.7.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayında A ve B alt kümeleri verilsin. Eğer

( )

0

f A = ve f B =

( )

1 olacak şekilde f :

(

X, cl , cl1 2

) (

→ ℝ,

ω)

dönüşümü cl cl_{i j}− alt üst yarı sürekli ise A kümesi B kümesinden

( )

i j −, tamamen ayrıktır denir. Tanım 4.3.8.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayında her kapalı (cl cl −_{1 2} kapalı) F kümesi her x∉F noktasından

( )

1, 2 −tamamen ayrık (

( )

2,1 −tamamen ayrık) ise

( )

1, 2 −

tamamen regülerdir (

( )

2,1 −tamamen regülerdir ) denir.

Eğer

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı hem

( )

1, 2 −tamamen regüler ve hem de

( )

2,1 −

tamamen regüler ise X uzayı ikili tamamen regüler olarak adlandırılır.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili tamamen regüler ve ikili R T_ ₁ ise ikili ₁ 3

2

T −

uzayıdır denir.

Önerme 4.3.7.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili tamamen regüler ise ikili regülerdir.

İspat.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili tamamen regüler uzay olsun. Herhangi kapalı F kümesini ve x∉F olacak şekilde herhangi x noktasını alalım. X ikili tamamen regüler uzay olduğundan f x =

( )

0 ve f F =

( )

1 olacak şekilde cl cl_{i j}− alt üst yarı sürekli f :

(

X, cl , cl1 2

) (

→ ℝ,

ω)

dönüşümü vardır. Buradan

(

1 2

) (

1 2

)

: , cl , cl , ,

f X → ℝ

ω ω

dönüşümünün bi-sürekli olmasıdır. Diğer taraftan

(

_ℝ,

ω)

alışılmış uzayı Hausdorff uzayı olduğundan U∩ = ∅V olacak şekilde 0 noktasının U ve 1 noktasının V

ω

−açık komşulukları vardır. Öyleyse

( )

(

1

)

1

( ( ))

cl cl i i f⁻ U ⊆ f⁻ _ω U yani 1

( )

1

( ( )) (

1

( ))

int i t 0 n i i x f U f U f⁻ = ∈ ⁻ _ω ⊆ ⁻ olur ki bu da 1

( ) ( )

i

f⁻ U ∈ NNNN x olduğu görülür. Benzer şekilde

( ) ( ( )) ( )

1 1 1 j j f⁻ V ∈NNNN f⁻ =NNNN F olur ki böylece 1

( )

1

( )

f⁻ U ∩ f⁻ V = ∅ olacak şekilde 1

( ) ( )

i f⁻ U ∈ NNNN x ve 1

( ) ( )

j

f⁻ V ∈ NNNN F kümeleri var olduğundan

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili regülerdir Bu önerme ile ikili ₁

3 2

T − uzayı ve ikili T −₃ uzayı tanımları göz önüne alınarak aşağıdaki sonuç verilir.

Sonuç 4.3.3.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili ₁ 3

2

T − uzayı ise ikili T −₃ uzayıdır.

Tanım 4.3.9.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzay olsun.

(TN) Boştan farklı her ayrık kapalı F K, ⊆ X alt kümeleri için U∩ = ∅V olacak şekilde U∈ NNNN 1

( )

F ve V∈ NNNN 2

( )

K kümeleri varsa X uzayına ikili t-normaldir. (QN) Her F K, ⊆ X için cl1

( )

F ∩cl2

( )

K = ∅ olmak üzere U∩ = ∅V olacak şekilde U∈ NNNN 1

( )

F ve V∈ NNNN 2

( )

K kümeleri varsa X uzayına ikili quasi-normaldir.

(N) Her F K, ⊆ X boştan farklı kümeleri için cl1

( )

F ∩cl2

( )

K = ∅ olmak üzere

U∩ = ∅V olacak şekilde U∈ NNNN 1

(

cl1

( )

F

)

ve V∈ NNNN 2

(

cl2

( )

K

)

varsa X kümesi ikili normaldir.

Önerme 4.3.8.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzay olsun. i) (N) ise (TN) dir.

ii) (QN) ise (TN) dir.

İspat. Bi-izotonik uzaylarda kapalı küme tanımları ile Tanım 4.3.9’dan görülür. Tanım 4.3.10.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili quasi-normal ve ikili R T −_ ₁ uzayı ise ikili T −₄ uzayıdır denir

Önerme 4.3.9.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı ikili T −₄ uzayı ise ikili ₁ 3

2

T − uzayıdır,

Tanım 4.3.11.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı olsun. ,A B⊆X için eğer

( ) ( )

1 2

cl A ∩ = ∩B A cl B = ∅

ise ,A B kümeleri yarı ayrıktır denir.

Tanım 4.3.12.

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzay olsun. Eğer her A B, ⊆ X yarı ayrık kümeleri U∩ = ∅V olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

A ve V∈ NNNN 2

( )

B kümeleri varsa ikili tamamen normaldir.

Ayrıca ikili tamamen normal ve R T_ ₁ ise T −₅ uzayıdır.

Önerme 4.3.10. Bi-izotonik uzaylarda ikili T₀, ikili R T_ ₁, ikili S T_ ₁, ikili

Hausdorff, ikili ₁ 2

2

T , ikili regüler, ikili T₃, ikili tamamen regüler, ikili ₁ 3

2

T , ikili

t-normal, ikili quasi t-normal, ikili t-normal, ikili T₄, ikili tamamen normal ve ikili T −₅

İspat.

(

X, cl , cl1 2

)

ve

(

Y, cl , cl1′ 2′ iki bi-izotonik uzay ve

)

f :X → bi-Y

homeomorfizm olsun.

-

(

X, cl , cl1 2

)

ikili T −₀ uzayı olsun. Y uzayında herhangi farklı x y′ ′ , noktalarını alalım. f :X → birebir olduğundan X uzayında Y 1

( )

1

( )

f⁻ x′ ≠ f⁻ y′ olur. Buradan 1

( ) ({

1

( )})

1 cl f⁻ y′ ∉ f⁻ x′ ya da 1

( ) ({

1

( )})

2 cl f⁻ x′ ∉ f⁻ y′ olduğundan sırasıyla

(

1

( )) ( ({

1

( )})) ( ({

1

( )})) ({ })

1 1 1 cl cl cl y′= f f⁻ y′ ∉ f f⁻ x′ ⊆ ′ f f⁻ x′ = ′ x′ ya da

( )

(

1

)

(

({

1

( )})

) (

({

1

( )})

)

({ })

2 2 2 cl cl cl x′= f f⁻ x′ ∉f f⁻ y′ ⊆ ′ f f⁻ y′ = ′ y′ bulunur. Sonuç olarak

(

Y, cl , cl1′ 2′ ikili

)

T −₀ uzayı elde edilir.

-

(

X, cl , cl1 2

)

ikili R T −_ ₁ uzayı olsun. Bu durumda

(

X, cl1

)

ve

(

X, cl2

)

uzayıdır. f :X → dönüşümü örten olduğundan herhangi Y x′∈Y noktası için

( )

1

f⁻ x′ = ∈x X noktası vardır. Her i ∈

{ }

1, 2 için cl_i

( ){ }

x ⊆

{ }

x dir. Ayrıca her

{ }

1, 2

i ∈ için f :

(

X, cl_i

) (

→ Y, cl′_i

)

dönüşümleri i − homeomorfizm olduğundan her

( )

A P X∈ için f

(

cl_i

( )

A

)

₌cl_i′

(

f A

( ))

sağlanır. Buradan

( ) ( ( ){ } ) ( ( ){ } ) ( ) { }

1 1 1 cl′ ′x =cl′ f x =f cl x ⊆ f x = x′ ve

( ) ( ( ){ } ) ( ( ){ } ) ( ) { }

2 2 2 cl′ x′ =cl′ f x =f cl x ⊆ f x = x′

elde edilir. Böylece sırasıyla

(

Y, cl1′

)

ve

(

Y, cl2′

)

uzayı bulunur. Sonuç olarak

(

Y, cl , cl1′ 2′ bi-izotonik uzayı ikili

)

R T −_ ₁ uzayıdır.

-

(

X, cl , cl1 2

)

ikili S T −_ ₁ uzayı olsun. Y uzayında herhangi farklı x y′ ′,

noktalarını alalım. f :X → birebir ve örten olduğundan X uzayında Y x≠ y

olacak şekilde 1

( )

f⁻ x′ =x ve 1

( )

f⁻ y′ = y noktaları vardır O zaman y∉N_x olacak şekilde Nx∈ NNNN1

( )

x ve x∉N_y olacak şekilde Ny∈ NNNN 2

( )

y vardır.

1

T −

1

( ) ( )

: , cl_i , cl_i

f X → Y ′ dönüşümleri i − homeomorfizm olduğundan ∀ ∈A P X

( )

için

( )

i

A∈ NNNN x ise f A

( )

∈ NNNN '_i

(

f x

( ))

sağlanır. Böylece y′∉ f N

( )

x olacak şekilde

( )

_x '1

( )

f N ∈ NNNN x′ ve x′∉ f N

( )

y olacak şekilde f N

( )

_y ∈ NNNN '2

( )

y′ bulunmuş olur ve

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

bi-izotonik uzayının ikili S_ T −₁ uzayı olduğu görülür.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili Hausdorff uzayı olsun. Y uzayında herhangi farklı x y′ ′, noktalarını alalım. f :X → birebir ve örten olduğundan X Y

uzayında x≠ y olacak şekilde 1

( )

f⁻ x′ =x ve 1

( )

f⁻ y′ = y noktaları vardır. Kabulümüzden herhangi farklı ,x y∈X için y∉cl₁

( )

U olacak şekilde U∈ NNNN ₂

( )

x

veya x∉cl₂

( )

V olacak şekilde V∈ NNNN₁

( )

y vardır. Ayrıca f dönüşümü bi-sürekli olduğundan her A∈P X( ) ve her i ∈

{ }

1, 2 için f

(

cl_i

( )

A

)

⊆cl_i′

(

f A

( ))

dir. Bu durumda y′∉ f

(

cl1

( )

U

)

⊆cl1′

(

f U

( ))

olacak şekilde f U

( )

∈ NNNN '₂

( )

x′ veya

( )

(

cl2

)

cl2

( ( ))

x′∉f V ⊆ ′ f V olacak şekilde f V

( )

∈ NNNN '1

( )

y′ bulunur. Buradan

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

bi-izotonik uzayı da ikili Hausdorff uzayı olur. - Kabul edelim ki

(

X, cl , cl1 2

)

ikili ₁

2 2

T − uzayı ve x′≠ y′ olmak üzere

,

x y′ ′∈Y olsun. f :X → birebir ve örten olduğundan X uzayında Y x≠ y olacak şekilde 1

( )

f⁻ x′ =x ve 1

( )

f⁻ y′ = y noktaları vardır. Kabulümüzden herhangi farklı ,

x y∈X için cl₁

( )

U ∩cl₂

( )

V = ∅ olacak şekilde U∈ NNNN₁

( )

x ve V∈ NNNN ₂

( )

y

vardır. f dönüşümü birebir ve her i ∈

{ }

1, 2 için i − homeomorfizm olduğundan sırasıyla

( ) ( )

(

cl1 cl2

) (

cl1

( )) (

cl2

( ))

f U ∩ V = f U ∩ f V ve

( )

(

cl1

) (

cl2

( ))

cl1

( ( ))

cl2

( ( ))

f U ∩ f V = ′ f U ∩ ′ f V

bulunur. Ayrıca f :

(

X, cl_i

) (

→ Y, cl′_i

)

dönüşümleri i − homeomorfizm olduğundan

( )

A P X

∀ ∈ için A∈ NNNN i

( )

x ise f A

( )

∈ NNNN '_i

(

f x

( ))

olduğu göz önüne alınırsa herhangi farklı x y′ ′∈, Y için cl1′

(

f U

( ))

_∩cl′2

(

f V

( ))

_{= ∅} olacak şekilde

( )

'₁

( )

f U ∈ NNNN x′ ve f V

( )

∈ NNNN '₂

( )

y′ bulunur. Buradan

(

Y, cl , cl₁′ ′₂

)

bi-izotonik uzayı ikili ₁

2 2

T − uzayıdır.

- Kabul edelim ki

(

X, cl , cl1 2

)

ikili regüler uzay olsun ve herhangi x′∈Y

noktasını alalım. f :X → dönüşümü örten olduğundan Y 1

( )

f⁻ x′ = ∈x X noktası vardır. Kabulümüzden herhangi x∈X noktasının her N′∈ NNNN 1

( )

x komşuluğu için

( )

2

cl U ⊆N′ olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

x kümesinin ve her N′′∈ NNNN 2

( )

x komşuluğu için cl V1

( )

⊆N′′ olacak şekilde V∈ NNNN 2

( )

x kümesi vardır. Her i ∈

{ }

1, 2 için

( ) ( )

: , cl_i , cl_i

f X → Y ′ dönüşümleri i − homeomorfizm iken her A∈P X

( )

için

( )

i

A∈ NNNN x ise f A

( )

∈ NNNN '_i

(

f x

( ))

ve ayrıca f

(

cl_i

( )

A

)

=cl′_i

(

f A

( ))

olduğunu göz önüne alalım. Öyleyse x′∈Y noktasının her f N′ ∈

( )

NNNN ' x1

( )

′ komşuluğu için

( )

( ) ( )

2

cl′ f U ⊆ f N′ olacak şekilde f U

( )

∈NNNN '1

( )

x′ kümesi ve her

( )

'2

( )

f N′′ ∈NNNN x′ komşuluğu için cl1′

(

f V

( ))

⊆ f N

( )

′′ olacak şekilde

( )

'₂

( )

f V ∈NNNN x′ kümesi bulunur. Bu da

(

Y, cl , cl₁′ ′₂

)

bi-izotonik uzayının ikili regüler uzay olduğunu gösterir.

-

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı ikili T −₃ uzayı olsun. O zaman

(

X, cl , cl_{1 2}

)

ikili regüler ve ikili R T −_ ₁ uzayıdır. f :X → bi-homeomorfizm olduğundan Y

(

Y, cl , cl1′ 2′ ikili regüler ve ikili

)

R T −_ ₁ uzayıdır. Böylece Y bi-izotonik uzayı da ikili T −₃ uzayıdır.

-

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı ikili tamamen regüler olsun. Herhangi cl cl₁′ ′ −₂

kapalı F ′ kümesini ve x′∉F′ olacak şekilde x′∈Y noktasını alalım. f :X → Y

dönüşümü bi-homeomorfizm olduğundan x∈X noktası ve x∉F olacak şekilde

( )

1

olduğundan g x =

( )

0 ve g F =

( )

1 olacak şekilde cl cl_{i j}− alt üst yarı sürekli

(

1 2

) ( )

g : X, cl , cl → ℝ,

ω

dönüşümü vardır. Buradan g :

(

X, cl , cl1 2

) (

→ ℝ,

ω ω

1, 2

)

dönüşümü bi-süreklidir. Diyagramından 1

( ) ( )

1 2 1 2 : , cl , cl , , g_ f− Y ′ ′ → _ℝ

ω ω

dönüşümünün bi-sürekli olduğu dolayısıyla 1

( ) ( )

1 2 : , cl , cl ,

g f_ − Y ′ ′ → _ℝ

ω

dönüşümünün cl cl_i′ ′ − alt üst yarı sürekli _j olup g x

( )

=g f

(

⁻1

( )

x′

)

=g f_ ⁻1

( )

x′ =0 ve g F

( )

=g f

(

⁻1

( )

F′

)

=g f_ ⁻1

( )

F′ =1

sağlanır.

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

bi-izotonik uzayında herhangi cl cl₁′ ′ −₂ kapalı F ′ kümesi herhangi x′∉F′ noktasından

( )

1, 2 −tamamen ayrık ve

( )

2,1 −tamamen ayrık olur ve

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

bi-izotonik uzayı ikili tamamen regüler uzaydır.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili ₁ 3

2

T −uzayı olsun. O zaman

(

X, cl , cl1 2

)

ikili tamamen regüler ve ikili R T −_ ₁ uzayıdır. f :X → bi-homeomorfizm Y

olduğundan

(

Y, cl , cl1′ ′ ikili tamamen regüler ve ikili 2

)

R T −_ ₁ uzayıdır. Böylece Y

bi-izotonik uzayı da ikili ₁ 3

2

T −uzayıdır.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili t-normal uzay olsun. Y kümesinde F ′ ve

K′ iki ayrık kapalı kümeler olsun. f :X → bi-homeomorfizm olduğundan Y

( )

1

f⁻ F′ =F ve 1

( )

f⁻ K′ =K kümeleri X kümesinde ayrık kapalı kümelerdir. X ikili t-normal uzayı olduğundan U∩ = ∅V olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

F ve

( )

2

V∈ NNNN K kümeleri vardır. Önerme 4.2.4’den den f U

( )

∩ f V

( )

= ∅ olacak şekilde f U

( )

∈NNNN '1

( )

F′ ve f V

( )

∈NNNN '2

( )

K′ kümeleri bulunur. Sonuç olarak Y ikili t-normal uzayı olarak elde edilir.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili quasi-normal olsun. Y kümesinde

( ) ( )

1 2

cl′ F′ _∩cl′ K′ _{= ∅} olacak şekilde boştan farklı F ′ ve K′ kümeleri alınsın. f bi-homeomorfizm olduğundan

( ) ( ( ) ( ))

( )

( ) ( ( ))

( )

( ) ( ( ))

( ) ( )

1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 cl cl cl cl =cl cl =cl cl f f F K f F f K f F f K F K − − − − − − ′ ′ ′ ′ ∅ = ∩ ′ ′ ′ ′ ∅ = ∩ ′ ∩ ′ ∩

olduğu kolayca görülür. Ayrıca X ikili quasi-normal uzay olduğundan U∩ = ∅V

olacak şekilde U∈ NNNN1

( )

F ve V∈ NNNN 2

( )

K kümeleri vardır. Önerme 4.2.4’den

( ) ( )

f U ∩f V = ∅ olacak şekilde f U

( )

∈NNNN '1

( )

F′ ve f V

( )

∈NNNN '2

( )

K′

kümeleri bulunur. Sonuç olarak Y ikili quasi-normal uzayı olarak elde edilir.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili normal uzay olsun ve Y kümesinde

( ) ( )

1 2

cl′ F′ ∩cl′ K′ = ∅ olacak şekilde boştan farklı F ′ ve K′ kümeleri alınsın. Y kümesinde cl1′

( )

F ∩cl2′

( )

K = ∅ olacak şekilde boştan farklı F K kümeleri alınsın. , Buradan cl1

( )

F ∩cl2

( )

K = ∅ olup X ikili normal uzay olduğundan U∩ = ∅V

olacak şekilde U∈ NNNN1

(

cl1

( )

F

)

ve V∈ NNNN 2

(

cl2

( )

K

)

kümeleri vardır. Bu durumda

( ) ( )

f U ∩f V = ∅ olacak şekilde f U

( )

∈ NNNN1′

(

f

(

cl1

( )

F

))

ve

( )

2

( (

cl2

( )))

f V ∈ NNNN ′ f K kümeleri elde edilir. Ayrıca f bi-homeomorfizm

olduğundan f

(

cl1

( )

F

)

₌cl1′

( )

F′ ve f

(

cl2

( )

K

)

₌cl2′

( )

K′ olup buradan

( )

'1

(

cl1

( ))

f U _{∈ N}NNN ′ F′ ve f V

( )

_{∈ N}NNN '2

(

cl′2

( )

K

)

kümeleri bulunur. Sonuç olarak

Y bi-izotonik uzayı ikili normal uzayı olarak elde edilir.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili T −₄ uzayı olsun. O zaman

(

X, cl , cl1 2

)

ikili normal ve ikili R T −_ ₁ uzayıdır. f :X → bi-homeomorfizm olduğundan Y

(

Y, cl , cl1′ 2′ ikili normal ikili

)

R T −_ ₁ uzayıdır. Böylece Y bi-izotonik uzayı da ikili 4

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili tamamen normal ve A B′ ′ ⊂ yarı ayrık , Y

iki küme olsun. O zaman cl1′

( )

A′ _∩B′₌A′_∩cl2

( )

B′ _{= ∅} olur. Buradan

( )

( ) ( ) ( ) ( ( ))

1 1 1 1 1 2 cl cl f⁻ ′ A′ _∩ f⁻ B′ ₌ f⁻ B′ _∩ f⁻ ′ A′ _{= ∅}

sağlanır. O halde f dönüşümü bi-homeomorfizm sürekli olduğundan X uzayının

( )

1

f⁻ A′ = A ve 1

( )

f⁻ B′ =B kümeleri cl1

( )

A ∩ = ∩B A cl2

( )

B = ∅ eşitliklerini sağlar. ,A B⊂X kümeleri yarı ayrık olup kabulümüzden U∩ = ∅V olacak şekilde

( )

1

U∈ NNNN A ve V∈ NNNN 2

( )

B kümeleri vardır. Böylece f U

( )

∩ f V

( )

= ∅ olacak şekilde f U

( )

∈NNNN '1

( )

A′ ve f V

( )

∈NNNN '2

( )

B′ kümeleri bulunur. Bu durumda

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

bi-izotonik uzayı ikili tamamen normal elde edilir.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili T −₅ uzayı olsun. O zaman

(

X, cl , cl1 2

)

ikili tamamen normal ve ikili R T −_ ₁ uzayıdır. f :X → bi-homeomorfizm Y

olduğundan

(

Y, cl , cl1′ ′ ikili tamamen normal ve ikili 2

)

R T −_ ₁ uzayıdır. Böylece Y

bi-izotonik uzayı da ikili T −₅ uzayıdır.

Önerme 4.3.11. bi-izotonik uzayında ikili T₀, ikili R T_ ₁, ikili S T_ ₁,

ikili Hausdorff, ikili ₁ 2

2

T , ikili regüler, ikili T₃, ikili tamamen regüler, ikili tamamen normal ve ikili T −₅ uzayı olmak kalıtsal özelliktir.

İspat.

(

, cl ,cl1Y Y2

)

Y bi-izotonik uzayı

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayının alt uzayı olsun. -

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili T −₀ uzayı olsun. Herhangi ,x y∈Y için ,

x y∈ ⊆Y X olup kabulümüzden ya y∉cl1

( ){ }

x ya da x∉cl2

( ){ }

y dir. Ayrıca Önerme 4.1.3’den y∉cl1

( ){ }

x ∩ =Y cl1^Y

( ){ }

x ya da x∉cl2

( ){ }

y ∩ =Y cl^Y2

( ){ }

x

bulunur. Dolayısıyla

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

bi-izotonik uzayı ikili T −₀ uzayı olarak elde edilir.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili R T −_ ₁ uzayı olsun. Bu durumda

(

X, cl1

)

ve

(

X, cl2

)

uzayları T −₁ uzayıdır. Bu durumda her x∈ ⊆Y X için cl1

( ){ }

x ⊆

{ }

x

ve her cl2

( ){ }

x ⊆

{ }

x dir. Dolayısıyla

(

Y, cl1^Y

)

ve

(

Y, cl^Y2

)

için sırasıyla

{ }

( ) ( ){ } { } { }

1 1 cl^Y x =cl x ∩ ⊆Y x ∩ =Y x ve cl^Y2

( ){ }

x =cl2

( ){ }

x ∩ ⊆Y

{ }

x ∩ =Y

{ }

x bulunur. Böylece

(

, cl1Y

)

Y ve

(

, cl2Y

)

Y uzayları T −₁ uzayı bulunur. Böylece

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

ikili R T −_ ₁ uzayı elde edilir.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili S T −_ ₁ uzayı olsun. Bu durumda x≠ y

olmak üzere ,x y∈ alınsın. O halde Y y∉N_x olacak şekilde N_x∈N x₁

( )

ve x∉N_y

olacak şekilde Ny∈N2

( )

y vardır. Y alt uzay olduğundan Y

x x y∉N ∩ =Y N olacak şekilde Y ₁Y

( )

x N ∈ NNNN x ve x∉N_y∩ =Y N_y^Y olacak şekilde Y ₂Y

( )

y N ∈ NNNN y vardır. O halde

(

Y, cl , cl₁′ ′₂

)

ikili S T −_ ₁ uzayı olarak bulunur.

-

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı ikili Hausdorff uzayı olsun. x≠ y olmak üzere ,

x y∈ alınsın. Kabulümüzden Y x≠ y olmak üzere her ,x y∈X için y∉cl₁

( )

U

olacak şekilde U∈ NNNN 2

( )

x veya x∉cl2

( )

V olacak şekilde V∈ NNNN 1

( )

y vardır. Buradan y∉cl₁

( )

U ∩ =Y cl₁Y

( )

U olup Tanım.4.1.5’den U∈ NNNN ₂Y

( )

x veya benzer şekildex∉cl2

( )

V ∩ =Y cl^Y2

( )

V olup 1

( )

Y

V∈ NNNN x sağlandığı görülür. Sonuç olarak

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

ikili Hausdorff uzayı elde edilir. -

(

X, cl , cl1 2

)

ikili ₁

2 2

T − uzayı olsun. x≠ y olmak üzere x y, ∈ alınsın. Y

Kabulümüzden cl1

( )

U ∩cl2

( )

V = ∅ olacak şekilde U∈ NNNN 1

( )

x ve V∈ NNNN 2

( )

y

vardır. O halde

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ))

1 2 1 2 1 2 clY U ∩clY V = cl U ∩Y ∩ cl V ∩Y = cl U ∩cl V ∩ = ∅∩ = ∅ Y Y olacak şekilde ₂Y

( )

U∈ NNNN x ve ₂Y

( )

V∈ NNNN y bulunur. Sonuç olarak

(

Y, cl , cl₁′ ′₂

)

ikili 1

2 2

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili regüler ve x Y∈ ⊂X olsun. Bu durumda her N1∈ NNNN 1

( )

x komşuluğu için cl U2

( )

⊆N1 olacak şekilde U∈N x1

( )

kümesi ve her N2∈ NNNN 2

( )

x komşuluğu için cl V1

( )

⊆N2 olacak şekilde V∈N2

( )

y kümesi

vardır. O halde _{1 1}Y ₁Y

( )

N ∩ =Y N ∈ NNNN x komşuluğu için

( ) ( )

2 2 1 1 cl^Y U =cl U ∩ ⊆Y N ∩ =Y N^Y olacak şekilde ₁Y

( )

U∈ NNNN x ve

( )

2 2 2 Y Y

N ∩ =Y N ∈ NNNN x komşuluğu için cl₁^Y

( )

V =cl₁

( )

V ∩ ⊆Y N₂∩ =Y N₂^Y olacak şekilde ₂Y

( )

V∈ NNNN x kümesi vardır.

(

Y, cl , cl₁′ ′₂

)

ikili regüler olarak bulunur.

-

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı T −₃ uzayı olsun. O halde X ikili regüler ve ikili R T −_ ₁ uzayıdır ve Y ⊂ X alt uzayı da ikili regüler ve ikili R T −_ ₁ uzayı olur. Böylece

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

bi-izotonik alt uzayının da T −₃ uzayı olduğu görülür.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili tamamen regüler ve Y ⊂ X bi-izotonik alt uzay olsun. Herhangi

1 2

cl cl^{Y Y} −kapalı F kümesini ve x∉F olacak şekilde herhangi

x Y∈ noktasını alalım. cl cl1 2

( )

F kümesi X ’de kapalı küme olup x∉cl cl1 2

( )

F

olur. X ikili tamamen regüler uzay olduğundan f x =

( )

0 ve f

(

cl cl1 2

( )

F

)

=1

olacak şekilde cl cl_{i j}− alt üst yarı sürekli f :

(

X, cl , cl1 2

) (

→ ℝ,

ω)

dönüşümü vardır.

f dönüşümünün Y bi-izotonik alt uzayı üzerine kısıtlanmasını f _Y =g ile gösterirsek g:

(

Y, cl ,cl1Y 2Y

)

→ ℝ

(

,

ω)

cl cl^Y_i ^Y_j −alt üst yarı sürekli olup g x =

( )

0 ve

( )

1

g F = sağlanır. Böylece

(

Y, cl , cl1′ ′2

)

bi-izotonik alt uzayı da ikili tamamen regüler uzaydır.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ₁ 3

2

T −uzayı olsun. O halde X ikili tamamen regüler ve ikili R T −_ ₁ uzayıdır ve Y ⊂ X alt uzayı da ikili tamamen regüler ve ikili

1

_

R T −uzayı olur. Böylece

(

Y, cl , cl₁′ ′₂

)

bi-izotonik alt uzayının da ₁ 3

2

T − uzayı olduğu görülür.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili tamamen normal olsun. A B, ⊆ yarı Y

ayrık kümeleri olsun. Yani cl1^Y

( )

A ∩ = ∩B A cl^Y2

( )

B = ∅ olsun. Bu durumda

( ) ( )

1 2

cl A ∩ = ∩B A cl B = ∅olur. Kabulümüzden U∩ = ∅V olacak şekilde

( )

1

U∈ NNNN A ve V∈ NNNN ₂

( )

B kümeleri vardır. Buradan Y Y

U ∩V = ∅ olacak şekilde

( )

1

Y Y

U ∈ NNNN A ve Y ₂Y

( )

V ∈ NNNN B kümeleri elde edilir. Sonuç olarak

(

Y, cl , cl1^{Y Y}2

)

bi-izotonik alt uzayı ikili tamamen normal uzay olarak bulunur.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı T −₅ uzayı olsun. O halde X ikili tamamen normal ve ikili R T −_ ₁ uzayıdır. Böylece

(

, cl , cl1Y Y2

)

Y bi-izotonik alt uzayı ikili tamamen normal ve ikili R T −_ ₁ uzayı olduğundan T −₅ uzayıdır.

Önerme 4.3.12.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı ve Y ⊆ X kapalı alt kümesi verilsin. Eğer

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı, sırasıyla, ikili t-normal, ikili quasi normal, ikili normal uzay ve ikili T −₄ uzayı ise

(

Y, cl ,cl1^{Y Y}2

)

bi-izotonik alt uzayı da ikili t-normal, ikili quasi normal, ikili normal ve ikili T −₄ uzayıdır.

İspat.

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzay ve Y ⊆ X kapalı alt küme olsun.

-

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı ikili t-normal ve boştan farklı ayrık kapalı ,

F K ⊆ alt kümeleri olsun. Önerme 4.1.4’den Y F K kümeleri ,

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayında kapalı kümedir. Kabulümüzden U∩ = ∅V olacak şekilde

( )

1

U∈ NNNN F ve V∈ NNNN ₂

( )

K kümeleri vardır. O halde

( ) ( )

Y Y

U ∩V = U∩Y ∩ V∩Y = ∅ olacak şekilde Y ₁Y

( )

U ∈ NNNN F ve Y ₂Y

( )

V ∈ NNNN K

kümeleri bulunur. Sonuç olarak

(

Y, cl , cl₁′ ′₂

)

bi-izotonik alt uzayı ikili t-normal uzaydır.

-

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayı ikili quasi-normal ve boştan farklı ayrık kapalı ,

F K ⊆ alt kümeleri olsun. O halde Y F K kümeleri ,

(

X, cl , cl_{1 2}

)

bi-izotonik uzayında kapalı olup cl₁

( )

F ∩cl₂

( )

K = ∅ olmak üzere U∩ = ∅V olacak şekilde

( )

1

U∈ NNNN F ve V∈ NNNN 2

( )

K kümeleri vardır. O halde

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ))

1 2 1 2 1 2 cl^Y F ∩cl^Y K = cl F ∩Y ∩ cl K ∩Y = cl F ∩cl K ∩ = ∅Y olur ve Y Y

( ) ( )

U ∩V = U∩Y ∩ V ∩Y = ∅ olacak şekilde 1

( )

Y Y U ∈ NNNN F ve

( )

2 Y Y

V ∈ NNNN K kümeleri bulunur. Sonuç olarak

(

Y, cl , cl1^{Y Y}2

)

bi-izotonik alt uzayı da ikili quasi-normal uzayıdır.

-

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayı ikili normal ve boştan farklı ayrık kapalı ,

F K ⊆ alt kümeleri olsun. O halde Y F K kümeleri ,

(

X, cl , cl1 2

)

bi-izotonik uzayında kapalı olup kabulden cl1

( )

F ∩cl2

( )

K = ∅ iken U∩ = ∅V olacak şekilde

( )

( )

1 cl1

U∈ NNNN F ve V∈ NNNN 2

(

cl2

( )

K

)

kümeleri vardır. O halde

( ) ( )

1 2

cl^Y F ∩cl^Y K = ∅ olup U^Y ∩V^Y = ∅ olacak şekilde U^Y∈ NNNN1^Y

(

cl1

( )

F

)

ve

( )

( )

2 cl2

Y Y

V ∈ NNNN K kümeleri bulunur. Sonuç olarak

(

Y, cl , cl1^{Y Y}2

)

bi-izotonik alt uzayı ikili normal uzayı olur.

Belgede Bi-izotonik uzaylar ve ayırma aksiyomları (sayfa 53-80)