Os trabalhos para minimização do makespan começaram a se destacar a partir de Bonney e Gundry (1976), que utilizaram relações geométricas e extensões de algoritmos criados para problemas de máquina única, para estabelecer os primeiros métodos heurísticos para solução do problema. King e Spachis (1980) fizeram uma pesquisa com algumas
ordenações, comparando e avaliando os resultados quanto ao porte dos problemas gerados. Em seguida, Papadimitriou e Kanellakis (1980) apresentaram uma pesquisa sobre um caso particular de no-wait para problemas de pequeno porte, como de 3 e 4 máquinas, onde evidenciam as dificuldades para estender o problema para portes maiores e deixando em aberto a questão de se encontrar soluções ótimas para estes problemas.
No decorrer destes estudos, Adiri e Pohoryles (1982) apresentaram uma pesquisa para ambientes no-idle e no-wait, baseados em problemas de solução para duas máquinas estendidas para problemas de maior porte. Em no-idle, a tarefa nas máquinas deve ser contínuo, isto é, não é permitido qualquer intervalo de inoperância nas máquinas. As operações devem ser programadas para que se estabeleça esta continuidade, e para isto, estabeleceram-se critérios de dominância entre máquinas. A referência do autor a no-wait está numa extensão do problema anterior, também como uma tentativa de se empregar soluções ótimas para casos de duas máquinas.
A evolução dos métodos para o problema NWFS foi abordada por Kang e Markland (1988). Os autores selecionaram na literatura seis diferentes algoritmos, cada qual estruturado de maneira diferente, como branch-and-bound, programação linear, ou caixeiro- viajante, realizando comparações para problemas de pequeno porte, de até 10 tarefas e 5 máquinas. Para tanto, o trabalho avaliou o comportamento dos algoritmos pela qualidade da solução e, além disso, forneceu dados sobre o esforço computacional. Os dois algoritmos que mais se destacaram são baseados em estruturas distintas, levando a uma conclusão dos autores de que a eficiência do método, para problemas de pequeno porte, independe do mecanismo da busca pela melhor solução.
Outro trabalho em ambientes no-idle e no-wait foi o apresentado por Pekny e Miller (1991). Eles desenvolveram o método branch-and-bound para o problema do caixeiro-viajante
para solucionar problemas NWFS, comparando seus resultados com algoritmos baseados em Simulated Annealing.
Em conseqüência do aumento das publicações de métodos para o problema no-wait, Sriskandarajah (1993) criou upper bounds e lower bounds para o problema NWFS com máquinas paralelas. A pesquisa realizada foi para auxiliar a qualidade dos métodos para o problema proposto.
Trabalhos com várias máquinas intensificaram-se no meio acadêmico. Gangadharan e Rajendran (1993) desenvolveram dois métodos heurísticos construtivos – algoritmo 1 e algoritmo 2 –, que comprovaram serem melhores que as heurísticas desenvolvidas anteriormente. Cada algoritmo apresenta duas fases: uma primeira onde se obtém uma seqüência inicial das tarefas, e uma fase posterior de construção da seqüência. O algoritmo 2 apresentou melhores soluções que o algoritmo 1 devido a utilização de um coeficiente auxiliar Pi na ordenação inicial das tarefas, e mais intensiva investigação de seqüências
parciais. Todavia, o algoritmo 2 não é tão rápido computacionalmente quanto o algoritmo 1. Rajendran (1994) desenvolveu um novo método construtivo que apresentou melhor desempenho. O autor considerou esse método como uma evolução de dois métodos já desenvolvidos, o de Bonney e Gundry (1976) e, o de King e Spachis (1980). Semelhante aos algoritmos de Gangadharan e Rajendran (1993), a construção da seqüência inicial corresponde à primeira fase. A segunda fase do algoritmo é composta por um método de inserção de tarefas em seqüências parciais originadas da seqüência inicial da primeira fase. Buscando minimizar o tempo de duração total da programação, esta pesquisa destacou dois aspectos importantes:
• A última tarefa programada deveria possuir tempos de processamento pequenos. Nesse sentido Rajendran (1994) utilizou um critério que pondera os tempos de processamento e a máquina em que se efetuará a operação. Assim, atribuiu-se o mesmo coeficiente Pi de Gangadharan e Rajendran (1993) para cada tarefa, obtido pela expressao 03.
= =
=
m k ki m k ki i p p k P 1 1 * (03)Com estes coeficientes Pi são construídos dois subconjuntos A e B (expressão 04 e 05), formando a seqüência inicial. A tarefa é alocada em A ou em B de acordo com o valor do seu coeficiente Pi:
A = {i|Pi
≥
(1+
m)/2,i∈
J} (04)B = {i|Pi
<
(1+
m)/2,i∈
J} (05)A segunda fase é então aplicada parcialmente até que todas as tarefas estejam programadas e assim, estabelecendo a solução.
Através da utilização de metaheurísticas, Aldowaisan e Allahverdi (2003) desenvolveram três heurísticas denominadas SA, SA-1 e SA-2, baseadas no método Simulated Annealing e outras três denominadas GA, GA-1 e GA-2 baseadas no método Algoritmo Genético que, por sua vez, mostraram-se superiores aos métodos propostos anteriormente. Este trabalho apresenta uma análise de como procedimentos metaheurísticos foram aplicados, identificando os parâmetros utilizados em cada caso. Os métodos SA, SA-1 e SA-2,
bem como GA, GA-1 e GA-2, apresentam busca na vizinhança em todas as sucessivas iterações de forma a obter melhores resultados, mais intensos nos casos SA-2 e GA-2. Com isso, os autores verificam que o simples aumento das iterações a um valor alto não resultará em efeito significativo no resultado final do procedimento.
Allahverdi e Aldowaisan (2004) propuseram um método com bi-critério para o problema NWFS, minimizando makespan e o máximo lateness. Eles propõem dois algoritmos híbridos baseados novamente nas técnicas de simulated annealing e algoritmo genético, comparando-os com Gangadharan e Rajendran (1993) e com o melhor heurístico construtivo para o critério makespan (Rajendran (1994)).
Outro importante trabalho desenvolvido para NWFS foi o de Grabowisk e Pempera (2005), que desenvolveram 5 algoritmos com variações de buscas locais e busca tabu. Os métodos foram comparados com os principais métodos heurísticos construtivos, entre eles Rajendran (1994), evidenciando mais uma vez que este último é o melhor heurístico construtivo desenvolvido.
No próximo capítulo será apresentada a propriedade de Lawler et al. (1993), que é utilizada no método proposto neste trabalho.
CAPÍTULO 3
APRESENTAÇÃO DA PROPRIEDADE
Dentre as propostas que serão apresentadas no capítulo seguinte, duas ordenações iniciais das tarefas serão baseadas na expressão que fornece o tempo total da programação de pares de tarefas adjacentes, em quaisquer posições na seqüência, em situação de no-wait para m máquinas, conforme Lawler et al. (1993).
Em um problema NWFS, se a tarefa i precede j, as duas seqüências parciais possíveis para duas máquinas são apresentadas na figura 3.1.
Figura 3.1: Problemas de 2 máquinas NWFS
Para ambos os casos, o tempo total da programação do par de tarefas, que é a data de término a partir da data zero, pode ser obtido pela expressão 06.
) , max( ) , ( 1 2 1 2 ) 2 max( i j pi p j p j p i C
=
+
+
(06)Para três máquinas a expressão pode ser estendida conforme a expressão 07.
j i i j j i i p p p p p p p j i Cmax(3)( , )
=
1+
max(max( 2 ; 1 )+
2 ; 2+
3))+
3 (07)Generalizando para um caso de
m
máquinas, obtém-se o conjunto de expressões 08,09 e 10. ) , ( ) , ( 1 ) max( i j p R i j C m = i+ m (08) 0 ) , ( 0 i j = R (09) = − + = m k ki m mj m i j p R i j p R 2 1(, ); ) max( ) , ( (10)
As datas de término das programações de cada par de tarefas são importantes e, a partir destas, serão desenvolvidos novos métodos heurísticos construtivos.
CAPÍTULO 4
INVESTIGAÇÃO E PROPOSIÇÃO DE UM NOVO MÉTODO HEURÍSTICO CONSTRUTIVO PARA O PROBLEMA NO-WAIT FLOWSHOP
O método heurístico construtivo proposto inicialmente nesta pesquisa possui duas fases, semelhante ao melhor método (Rajendran (1994)) composto pelas seguintes fases:
• Fase I: Ordenação inicial das tarefas;
• Fase II: Re-seqüenciamento de uma solução inicial.
Nesta pesquisa são analisados na literatura os principais algoritmos desenvolvidos para o problema de flowshop observando as estrutura de composição dos métodos existente conforme Framinan et al. (2003), sendo em seguida definidos oitos ordenações iniciais e mais cinco métodos de re-seqüenciamento, que ao final totalizará 40 algoritmos. Após a análise dos melhores métodos será implementada a Fase III de melhoria, apresentada no capítulo 7.